RANGKUMAN MATERI VEKTOR

Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Sekolah

Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd.

Oleh

Abdul Hayyih (147785010)

Kelas D

PROGRAM STUDI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA

PROGRAM PASCASARJANA

UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA

2014

Universitas Negeri Surabaya

ii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL . i

DAFTAR ISI ii

BAB XIII VEKTOR 1

13.1 Translasi dari Sebuah Bidang 1

13.2 Vektor Aljabar ..... 3

13.3 Vektor Satuan Dasar 6

13.4 Vektor Posisi 7

13.5 Aljabar dengan Vektor Posisi .. 9

13.6 Vektor dalam Dimensi Tiga .. 9

13.7 Besaran Vektor ... 15

13.8 Produk Skalar . 15

13.9 Produk Skalar dalam Bentuk Komponen .. 18

13.10 Aturan Distributif (p + q).r = p.r + q.r 21

DAFTAR PUSTAKA . 24

Chapter 13_Vektor_2014 1

BAB XIII

VEKTOR

Bab ini memperkenalkan gagasan vektor sebagai sebuah cara untuk mengerjakan

geometri dalam dua atau tiga dimensi. Ketika anda telah selesai, anda harus:

Memahami gagasan terjemahan, dan bagaimana ia dapat diungkapkan baik

dalam bentuk kolom atau dalam hal unit dasar vektor

Tahu dan dapat menggunakan aturan vector aljabar

Memahami gagasan perpindahan dan posisi vektor, dan menggunakannya

untuk membuktikan geometris hasil

Menghargai persamaan dan perbedaan antara geometri dalam dua dan tiga

dimensi

Tahu ,definisi di setiap scalar produk, dan ekspresi dalam istilah

komponen

Dapat menggunakan aturan vector aljabar yang melibatkan scalar produk

Dapat menggunakan scalar produk untuk memecahkan masalah dalam dua

bentuk geometris dan tiga dimensi, menggunakan vector aljabar umum

atau komponen.

13.1. Translasi dari sebuah bidang

Dalam Bagian 3.6 Anda melihat bahwa jika Anda menerjemahkan grafik y = ax2 -

bx melalui jarak c ke arah-y persamaan barunya adalah y = ax2 + bx + c. Secara

umum, jika Anda menerjemahkan grafik y = f (x) dengan jarak c satuan ke arah y,

persamaannya menjadi y = f (x) + c. Sebuah cara praktis untuk melakukan hal ini

adalah dengan menggambar grafik pada lembar transparan ditempatkan di atas

koordinat grid, dan kemudian memindahkan lembar ini diatas grid hingga c

satuan.

Fitur penting dari translasi adalah bahwa lembaran bergerak melebihi grid tanpa

berputar. Sebuah translasi umum akan memindahkan lembaran melampaui k

satuan dan l satuan diatas grid. Hal ini ditunjukkan pada Gambar. 13.1, di mana

Chapter 13_Vektor_2014 2

beberapa titik bergerak dalam arah yang sama melalui jarak yang sama. Translasi

seperti ini disebut vektor, dan ditulis .

Misalnya, translasi dari y = f (x) yang dijelaskan di atas akan dilakukan oleh

vektor ; sama halnya vektor melakukan translasi dari k satuan ke arah x.

Dalam prakteknya, menggambar beberapa panah, seperti pada Gambar. 13.1,

bukanlah cara yang nyaman untuk mewakili vektor. Hal ini biasanya hanya

digambarkan dengan panah tunggal, seperti pada Gambar. 13.2. Tapi Anda harus

memahami bahwa posisi anak panah di bidang-(x, y) adalah tidak penting. Panah

ini hanyalah salah satu dari tak terhingga banyaknya yang

dapat ditarik untuk mewakili vektor.

Anda mungkin menemukan penggunaan vektor dalam konteks lain. Misalnya,

mekanik menggunakan vektor kecepatan, vektor percepatan, vektor gaya, dan

sebagainya. Bila Anda ingin membuat perbedaan, vektor yang dijelaskan di sini

disebut vektor translasi. Ini adalah satu-satunya vektor yang digunakan dalam

buku ini.

Chapter 13_Vektor_2014 3

13.2 Vektor aljabar

Sering digunakan satu huruf untuk memisalkan vektor. Dalam cetakan huruf tebal

digunakan untuk membedakan vektor-vektor dari bilangan. Misalnya, dalam

= , p adalah vektor tapi k dan l adalah angka, yang disebut komponen

vektor p dalam arah-x dan arah-y.

Dalam tulisan tangan vektor ditandai dengan garis bergelombang di bawah huruf:

~ = . Penting untuk membiasakan menulis vektor dengan cara ini, sehingga

cukup jelas dalam pekerjaan Anda tulisan yang mana yang memisalkan vektor dan

yang memisalkan bilangan.

Jika s adalah sebarang bilangan dan p adalah sembarang vektor, maka sp adalah

vektor lain. Jika s > 0, vektor sp merupakan translasi dengan arah yang sama

dengan p tapi s kali lebih besar; jika s < 0 translasi itu dalam arah yang

berlawanan dan | s | kali lebih besar. Bilangan seperti s sering disebut skalar,

karena biasanya mengubah skala vektor.

Segitiga yang sama pada Gambar. 13.3 menunjukkan bahwa = . Secara

khusus, (1) = , yang merupakan translasi yang sama besarnya dengan p

tetapi dalam arah yang berlawanan. Hal ini dilambangkan dengan .

Vektor ditambahkan dengan melakukan transformasi satu demi satu. Dalam

Gambar. 13.4, p dan q adalah dua vektor. Untuk membentuk jumlah, misalkan

vektor tersebut sebagai sepasang anak panah yang dapat menggambarkan jalur

titik tertentu dari perpindahan lembar melalui dua panah tersebut. Dalam Gambar.

Chapter 13_Vektor_2014 4

13.5, p ditunjukkan oleh panah dari U ke V, dan q oleh panah dari V ke W.

Kemudian ketika translasi digabungkan, titik dari lembar yang semula di U akan

bergerak duluan ke V dan kemudian ke W. Jadi jumlah p + q diwakili oleh panah

dari U ke W.

Gambar. 13.5 juga menunjukkan bahwa:

Jika = dan = , maka + =

Untuk membentuk penjumlahan q + p translasi dilakukan dalam urutan terbalik.

Dalam Gambar. 13.6, q diwakili oleh panah dari U ke Z; dan karena UVWZ adalah

jajargenjang, p diwakili oleh panah dari Z ke W. Hal ini menunjukkan bahwa

p + q = q + p.

Ini disebut aturan komutatif untuk penambahan vektor.

contoh 13.2.1

Jika = , = dan = , tunjukkan bahwa ada bilangan s sedemikian

rupa sehingga p + sq = r.

Anda dapat menulis p + sq = r dalam bentuk vektor kolom sebagai

23 +

12 =

23 + 2 =

2 +3 + 2

Jika vwktor kolom ini sama dengan r, maka baik komponen-x dan komponen-y

dari dua vektor harus sama. Hal ini memberikan dua persamaan

2 + s = 5 dan -3 + 2s = 3.

Chapter 13_Vektor_2014 5

Kedua persamaan ini dipenuhi oleh s = 3, sehingga p + 3q = r.

Ide penambahan dapat diperpanjang untuk tiga atau lebih vektor. Tetapi ketika

Anda menulis p + q + r tidaklah jelas apakah Anda menambahkan p dan q

terlebih dahulu dan kemudian menambahkan r untuk hasilnya, atau apakah Anda

menambahkan p ke hasil penambahan q dan r. Gambar. 13.7 menunjukkan bahwa

tidaklah masalah, karena hasilnya adalah sama bagaimanapun caranya. Artinya,

(p + q) + r = p + (q + r).

Ini disebut aturan asosiatif untuk penambahan vektor.

Untuk melengkapi aljabar vektor penjumlahan, simbol 0 dibutuhkan untuk vektor

nol, translasi tetap-tinggal, yang memiliki sifat-sifat yang ; untuk setiap vektor

p,

0 + p = 0, p + 0 = p, dan p + (-p) = 0.

Vector penjumlahan dan perkalian dengan skalar dapat dikombinasikan sesuai

dengan dua aturan distributif untuk vektor:

s(p + q) = sp + sq (dari segitiga yang sama pada Gambar. 13,8)

dan (s + t)p = sp + tp (lihat Gambar, 13.9)

Chapter 13_Vektor_2014 6

Pengurangan vektor didefinisikan oleh

p + x = q x = q - p

Hal ini diilustrasikan pada Gambar. 13.10. Perhatikan bahwa untuk menunjukkan

q p, p dan q dimisalkan dengan panah yang berawal dari titik yang sama; ini

berbeda dari penambahan, panah q berawal di mana panah p berakhir.

Membandingkan Gambar. 13.10 dengan Gambar. 13.11 menunjukkan bahwa

q - p = q + (-p).

Singkatnya, aturan vektor penjumlahan, pengurangan dan perkalian dengan skalar

terlihat sangat mirip dengan aturan penambahan bilangan, pengurangan dan

perkalian. Namun diagram-diagram menunjukkan bahwa aturan untuk vektor

diinterpretasikan secara berbeda dari aturan untuk bilangan.

13.3 Vektor satuan dasar

Jika Anda menerapkan aturan vektor aljabar untuk vektor dalam bentuk kolom,

Anda bisa. melihat bahwa

Chapter 13_Vektor_2014 7

= =+ 0

0 + = 0 +0

=10 +

01

Vektor dan yang muncul dalam ekspresi terakhir ini disebut vektor

satuan dasar dalam arah-x dan arah-y. Dilambangkan dengan huruf i dan j,

sehingga

p = ki + lj.

Hal ini diilustrasikan oleh Gambar. 13.12. Persamaan ini menunjukkan bahwa

setiap vektor dalam bidang dapat dibangun sebagai jumlah kelipatan dari dua

vektor dasar i dan j.

Vektor ki dan lj disebut vektor komponen p dalam arah-x dan arah-y;

Terdapat dua notasi alternatif untuk mengerjakan aljabar dengan vektor. Misalnya,

jika Anda ingin mencari 3p - 2q, dimana p adalah dan q adalah , Anda

dapat menulis :

325 2

13 =

615

26 =

6 215 (6) =

421

atau 3(2i 5j) - 2(i - 3j) = (6i + 15j) - (2i - 6j) = 6i + 15j - 2i + 6j = 4i + 21j.

Anda akan menemukan bahwa kadang-kadang salah satu dari bentuk ini lebih

mudah daripada yang lain, tetapi biasanya tidak ada bedanya mana yang Anda

gunakan.

13.4 Vektor posisi

Jika E dan F adalah dua titik pada grid, ada translasi yang unik yang akan

membawa Anda dari E ke F. Translasi ini dapat diwakili oleh panah yang dimulai

dari E dan berakhir di F, dan dilambangkan