SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

VEKTOR

A Vektor dan NotasinyaSuatu vektor ialah suatu besaran yang mempunyai besar dan arah. Dengan demikian maka

dua vektor yang mempunyai besar dan arah yang sama, maka dua vektor tersebut adalah sama, tanpa memandang di mana vektor tersebut berada.

Suatu vektor digambarkan dengan suatu anak panah di mana panjangnya anak panah menyatakan besarnya vektor dan arah anak panahmenunjukkan arah dari vektor.

B Gambar ini menunjukkan gambar vektor, A disebut titik tangkap vektor / titik pangkal vektor dan B disebut titik ujung

vektor (terminal). A Vektor tersebut dinyatakan : atau .

B Vektor pada Bidang Datar R2 (Dimensi Dua)Di dalam bidang datar (R2) suatu vektor yang titik pangkalnya di A (x1, y1) dan titik

ujungnya di B (x2, y2) dapat dituliskan dalam bentuk komponen :

Dilukiskan sebagai : y

B (x2, y2)

A (x1, y1) x

Vektor dalam bidang datar juga dapat dinyatakan dalam bentuk :- Kombinasi linear vektor satuan i, j , misalnya vektor = xi + yj.- Koordinat kartesius, yaitu : = (a1, a2).

- Koordinat kutub, yaitu : = r dengan r = dan tg = .

C Ruang Lingkup Vektor1. Kesamaan Dua Vektor

Dua buah vektor dan dikatakan sama apabila keduanya

mempunyai besar (panjang) dan arah yang sama.Diperoleh: =

2. Vektor Negatif

Vektor negatif dari adalah vektor yang besarnya sama dengan vektor tetapi arahnya berlawanan dan ditulis .

Diperoleh: = .

3. Vektor Nol

1

VEKTOR PADA BIDANG DATAR1

SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

Vektor nol adalah vektor yang besar / panjangnya nol dan arahnya tak tentu. Pada sistem koordinat kartesius vektor nol digambarkan berupa titik. Di ruang dimensi dua vektor nol

dilambangkan dengan = .

4. Vektor Posisi

Vektor posisi adalah vektor yang titik pangkalnya terletak pada pusat koordinat O(0,0) dan titik ujungnya berada pada koordinat lain. Vektor posisi pada R2 dari titik A(x,y) dinyatakan sebagai kombinasi linear vektor satuan sebagai berikut :

Penulisan vektor dan menyatakan vektor satuan pada sistem koordinat. Vektor satuan adalah vektor yang searah dengan sumbu X positif dan besarnya 1 satuan. Vektor satuan adalah vektor yang searah dengan sumbu Y positif dan besarnya 1 satuan.

5. Modulus atau Besar Vektor atau Panjang vektor

Misalnya = , panjang vektor dinotasikan dengan = .

Jika diketahui titik A (x1, y1) dan B (x2, y2). Secara analitis, diperoleh komponen vektor

.

Panjang vektor dapat dirumuskan : = .

Contoh:Diketahui titik A(3, -5) dan B(-2, 7), tentukan hasil operasi vektor tersebut !a. Komponen vektor b. Modulus/besar vektor

Jawab:

a. Komponen vektor =

b. Modulus/besar vektor = =

6. Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai panjang (besar) 1 satuan. Vektor satuan dapat ditentukan dengan cara membagi vektor tersebut dengan besar (panjang) vektr semula.

Vektor satuan dari vektor dirumuskan: .

D Operasi Hitung Vektor di R2

1. Operasi Penjumlahan Vektor

Penjumlahan dua vektor dapat dikerjakan dalam dua cara yaitu cara grafis dan analitis.

a. Cara Grafis

2

SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

1) Dengan cara penjumlahan segitiga atau segitiga vektor

+

Cara: pangkal vektor digeser ke ujung vektor maka vektor hasil + adalah vektor yang menghubungkan pangkal vektor dengan ujung vektor .

2) Dengan cara penjumlahan jajar genjang atau jajar genjang vektor

+

Cara: pangkal vektor digeser ke pangkal vektor , dilukis jajar genjang, maka diagonal dari ujung persekutuan adalah + .

Untuk melakukan penjumlahan lebih dari dua vektor digunakan aturan segi banyak (potongan).

+ +

b. Cara Analitis1) Apabila kedua vektor diketahui mengapit sudut tertentu , maka dapat digunakan

perhitungan dengan memakai rumus aturan cosinus seperti pada trigonometri.

Apabila sudut antara dan adalah , maka : + ( + )2 = 2 + 2 + 2 Cos ( + ) =

2) Jika vektor disajikan dalam bentuk komponen (dalam bidang kartesius) maka penjumlahan dapat dilakukan dengan menjumlahkan komponennya.

Misalnya: = dan = maka + =

Contoh:

a) Apabila dan maka + =

b) Diketahui panjang vektor = 2 dan panjang vektor = 4, sudut antara vektor dan adalah 60, maka :+ =

= = =

2. Pengurangan Vektor

Memperkurangkan vektor dari vektor didefinisikan sebagai menjumlahkan vektor negatif pada vektor dan ditulis : = + (- ).

3

SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

-

Apabila vektor disajikan dalam bentuk komponen (dalam bidang kartesius) maka pengurangan dapat dilakukan dengan mengurangkan komponen-komponennya.

3. Perkalian Vektor dengan Skalar

Jika suatu vektor dan m adalah skalar (bilangan nyata), maka m atau m adalah suatu vektor dengan kemungkinan :a. Jika m > 0 maka m adalah vektor yang besarnya m kali dan searah dengan .b. Jika m < 0 maka m adalah vektor yang besarnya m kali dan arahnya berlawanan

dengan .c. Jika m = 0 maka m adalah nektor nol.

Contoh perkalian vektor dan scalar

a. Vektor diberikan dalam bentuk gambar

2 -3

b. Vektor diberikan dalm bentuk kmponen

Jika = maka 2 = 2 =

Jika = maka = =

Jika maka

Apabila titik-titik dalam vektor dapat dinyatakan sebagai perkalian vektor yang lain, titik-titik itu disebut kolinier (segaris).

4. Perkalian Dua vektorOperasi perkalian pada vektor dapat dikerjakan melalui dua cara sebagai berikut :

a. Sudut antara kedua vektor diketahui

Diberikan vektor =(a1, a2), =(b1, b2) dan sudut yang dibentuk oleh vektor dan adalah . Perkalian antara vektor dan dirumuskan sebagai berikut :

Contoh:

Tentukan hasil kali kedua vektor = dan = serta sudut antara kedua vektor

adalah 60!

4

. = . . Cos

SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

Jawab:Diketahui dua buah vektor sebagai berikut :

= a1 = 6 dan a2 = 1

= =

= b1 = 3 dan b2 = 6

= = . = . . Cos

= .Cos 60= .

=

Jadi, hasil kali kedua vektor adalah .

b. Sudut antara kedua vektor tidak diketahuiDiberikan vektor =(a1, a2) dan =(b1, b2). Hasil kali kedua vektor dirumuskan sebagai berikut :

Contoh:

Diberikan vektor = dan = . Tentukan hasil kali vektor dan !

Jawab:

Diketahui = a1 = 5 dan a2 = 7 , serta

= b1 = 3 dan b2 = -2

. = a1b1 + a2b2

= 5.3 + 7(-2)= 15 + (-14)= 1

Jadi, hasil kali vektor dan adalah 1.Sementara itu, dari dua buah vektor pada sistem koordinat kartesius dapat kita cari

besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor yang dirumuskan sebagai berikut :

Latihan 1

1. Tulislah empat buah besaran skalar !

2. Tulisalah empat buah besaran vektor !

3. Nyatakan vektor ini dalam bentuk komponen !

Y A(1,3)

B(3,2)

5

. = a1b1 + a2b2

Cos =

SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

XO

4. Tentukan + dan - jika diketahui :

a) = (3, 4) dan = (2, 3) b) = (-3, ) dan = (0, -5)

5. Gambarlah vektor dan gambarkan pula masing-masing vektor : 2 , -3 , 1 !

A Vektor pada Ruang (Dimensi 3)Untuk menentukan kedudukan atau letak titik di dalam ruang (R3) dapat digunakan sistem sumbu koordinat siku-siku X, Y dan Z dengan masing-masing sumbu saling tegak lurus dan berpotongan di sebuah titik O yang disebut pusat sumbu koordinat.

Z Jarak P sampai bidang YOZ adalah X, atau PP1 = Xp.Jarak P sampai bidang XOZ adalah Y, atau PP2 = Yp.Jarak P sampai bidang XOY adalah Z, atau PP3 = Zp.

Zp P1 Dinyatakan bahwa koordinat ruang dari P ditulis P (Xp, Yp, Zp). Vektor dinyatakan dengan bentuk sebagai berikut:

P2 P

O Yp Y

Xp P3

Xa. = Xp + Yp + Zp merupakan bentuk kombinasi linear dari , , . Dengan , ,

merupakan vektor satuan dalam koordinat ruang ( = vektor satuan pada sumbu X, = vektor satuan pada sumbu Y dan = vektor satuan pada sumbu Z).

b. = merupakan bentuk kmponen vektor.

B Ruang Lingkup Vektor1. Vektor Posisi

Vektor posisi titik P adalah vektor yaitu vektor yang berpangkal di O(0,0,0) dan berujung di titik P(x,y,z). Secara aljabar vektor dapat ditulis sebagai berikut :

= atau = (x,y,z)

Vektor = (x,y,z) pada dimensi tiga dapat dinyatakan sebagaikombinasi linear dari vektor satuan , , sebagai berikut :

6

VEKTOR PADA BANGUN RUANG2

SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

= = x + y + z

Sebuah vektor dengan koordinat titik pangkal A (x1, y1, z1) dan koordinat titik ujung B (x2, y2, z2) memiliki vektor posisi sebagai berikut :

=

2. Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai panjang 1 satuan. Vektor satuan dari vektor didefinisikan vektor dibagi dengan besar vektor sendiri, yang dirumuskan dengan :

3. Modulus Vektor

Misalnya = = a1 + a2 + a3 , panjang vektor dinotasikan dengan =

.Jika diketahui vektor dengan koordinat titik A (x1, y1, z1) dan B (x2, y2, z2) maka modulus/besar/panjang vektor dapat dinyatakan sebagai jarak antara titik A dan B yaitu : =

Contoh:Tentukan modulus/besar vektor berikut :a. dengan titik A (1,4,6) dan B (3,7,9)b. = 2 + + 3Jawab:

a. Diketahui A = dan B = , maka = - =

= Jadi, modulus vektor adalah .

b. = .Jadi, modulus vektor adalah .

4. Kesamaan Vektor Dua buah vektor dan dikatakan sama apabila keduanya

mempunyai besar (panjang) dan arah yang sama.Diperoleh: =

Misal :

= atau = a1 + a2 + a3 , dan = atau = b1 + b2 + b3

= jika dan hanya jika a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3 .

7

SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

5. Vektor Negatif

Vektor negatif dari adalah vektor yang besarnya sama dengan vektor tetapi arahnya berlawanan dan ditulis .

Diperoleh: = .

Misal :

= atau = a1 + a2 + a3 , dan = atau = b1 + b2 + b3

= jika dan hanya jika a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3 .

6. Vektor Nol

Vektor nol adalah vektor yang besar / panjangnya nol satuan dan arahnya tak tentu (berupa titi).

Vektor nol pada dimensi 3 dilambangkan dengan = (0,0,0) atau = .

C Operasi Hitung Vektor di R3

1. Penjumlahan Vektor dalam Ruang

a. Jika dua vektor = dan vektor = adalah vektor-vektor tidak nol di R3 maka

operasi penjumlahannya didefinisikan sebagai berikut :

+ = + =

b. Jika vektor = a1 + a2 + a3 dan vektor = b1 + b2 + b3 maka operasi penjumlahannya didefinisikan sebagai berikut :

+ = (a1 + b1) + (a2 + b2) + (a3 + b3)

Contoh:Hitunglah jumlah dari dua buah vektor berikut !

a. = dan =

b. = 2 + - 4 dan = 3 + 5 +

Jawab:

a. + = + =

8

SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

b. + = (2 + 3) + (1 + 5) + (-4 + 1) = 5 + 6 - 3

2. Selisih Dua Vektor pada R3

a. Jika dua vektor = dan vektor = maka operasi pengurangan kedua vektor

didefinisikan sebagai berikut :

= =

b. Jika vektor = a1 + a2 + a3 dan vektor = b1 + b2 + b3 maka operasi pengurangan kedua vektor didefinisikan sebagai berikut :

= (a1 b1) + (a2 b2) + (a3 b3)

Contoh:Hitunglah jika :

a. = dan =

b. = 8 + 6 + 9 dan = 3 + 5 + 2

Jawab:

a. = - =

b. = (8 - 3) + (6 - 5) + (9 - 2) = 5 + + 7

3. Perkalian Skalar dengan Vektor

a. Hasil kali vektor = dengan suatu skalar c didefinisikan sebagai berikut :

c. =

b. Hasil kali vektor = a1 + a2 + a3 dengan skalar c didefinisikan sebagai berikut :c. = c.a1 + c.a2 + c.a3

Contoh:

1. Diberikan vektor = , maka 3. =

2. Diberikan vektor = 2 + - 3 , maka 4. = 4.2 + 4. - 4.3 = 8 + 4 - 12

4. Perkalian Skalar Dari Dua Vektor / Perkalian Titik (Dot Product)

Perkalian skalar dari dua vektor dan didefinisikan dengan rumus :

9

SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

Apabila = 0 maka . = . Apabila = 90 maka . = 0Apabila = 180 maka . = .

Apabila vektor dinyatakan dalam bentuk komponen :

= dan =

Diperoleh :

Contoh:1. Hitunglah perkalian skalar antara = 2 + 3 + 5 dan = 2 + + 3

Jawab:. = a1b1 + a2b2 + a3b3

= 2.2 + 3.1 + 5.3 = 4 + 3 + 15 = 22

2. Jika = dan = , hitunglah . !

Jawab:. = 1 . 2 + 3 . 1 + 5 . 6

= 2 + 3 + 30 = 35

3. Hitunglah . jika diketahui = 3, = 4 dan sudut antara dan adalah 60 !Jawab:

. = . . Cos 60 = 3 . 4 . = 6

5. Sudut Antara Dua Vektor

Dari definisi : . = . . Cos . = a1b1 + a2b2 + a3b3

Diperoleh :

Contoh:Hitunglah besar sudut di antara = + 2 + 2 dan = 2 + 3 - 6 !

Jawab:

Cos =

=

=

Dari daftar diperoleh = 180 - 79 = 101

10

. = . . Cos

. = a1b1 + a2b2 + a3b3

Cos =

SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

6. Perkalian Vektor Dari Dua Vektor / Perkalian Silang ( Cross Product)Apabila vektor disajikan dalam bentuk = a1 + a2 + a3 dan = b1 + b2 + b3 maka:

Persamaan di atas dapat diselesaikan dengan aturan Sarrus atau Cramer

Contoh:Diketahui vektor = 2 + 3 + 2 dan vektor = 3 + 2 - 3 . Tentukan x !

Jawab:

x =

= i - j + k

= (-9 – 4)i – (-6 – 6)j + (4 – 9)k= -13i + 12j – 5k

Latihan 2

1. Tentukan komponen vektor jika A (2, -3, 4) dan B (3, 2, -1) !

2. Jika = ; = maka hitunglah 2 - 3 !

3. Diketahui titik P (3, -2, 4). Hitunglah besar !

4. Diketahui : = 3 - 2 + = + 3 - 2

Hitunglah perkalian vektor dan !

5. Diketahui : = ; = . Hitunglah :

a. .b. Besar sudut antara dan

6. Diketahui : = 2 - 3 + p = 6 + 2 - 4 . = 10

Hitunglah nilai p !

11

x =

SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

12