RUANG VEKTOR

1

Nurdinintya Athari(NDT)

RUANG VEKTOR

Sub Pokok Bahasan• Ruang Vektor Umum• Subruang• Basis dan Dimensi• Basis Subruang

Beberapa Aplikasi Ruang Vektor• Beberapa metode optimasi • Sistem kontrol• Operation Research• dan lain-lain

Ruang Vektor Umum

Misalkan dan k, l RiilV dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma :1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan.

Untuk setiap2.3.4. Terdapat sehingga untuk setiap

berlaku5. Untuk setiap terdapat sehingga

Vwvu ,,

VvuVvu maka,uvvu

wvuwvu

uuu 00V0 Vu

Vu u 0 uuuu

6. V tertutup thd operasi perkalian dengan skalar.

Untuk setiap dan k Riil maka

7.

8.

9.

10.

Vu Vuk

vkukvuk

ulukulk

ukluklulk

uu .1

Contoh :1. Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar (operasi

penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar). Notasi : Rn (Ruang Euclides orde n)• R : Bilangan real• R2 : Vektor di bidang• R3 : Vektor di ruang tiga dimensi

2. Himpunan matriks berukuran m x n dengan operasistandar (penjumlahan matriks dan perkalian matriks denganskalar),

Notasi : Mmxn (Ruang Matriks mxn)3. Himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar.

Notasi : Pn (Ruang Polinom orde n)

Ruang Euclides orde nOperasi-Operasi pada ruang vektor Euclides:• Penjumlahan

• Perkalian dengan skalar Riil sebarang (k)

• Perkalian Titik (Euclidean inner product)

• Panjang vektor didefinisikan oleh :

• Jarak antara dua vektor didefinisikan oleh :

nn vuvuvuvu ...,,, 2211

nkukukuuk ,...,, 21

nnvuvuvuvu ...2211

21

uuu

vuvud , 2222

211 ... nn vuvuvu

222

21 ... nuuu

Contoh :Diketahui danTentukan panjang vektor dan jarak antara kedua vektor tersebut

Jawab:Panjang vektor :

Jarak kedua vektor

3,2,1,1u 1,1,2,2v

vuvud ,

21

uuu 153211 2222

101122 2222 v

2222 13122121

7

2111 2222

Misalkan W merupakan subhimpunan dari sebuah ruang vektor V.

W dinamakan subruang (subspace) V jika W juga merupakan ruangvektor yang tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkaliandengan skalar.

Syarat W disebut subruang dari V adalah :1. W { }

2. W V

3. Jika maka

4. Jika dan k Riil maka

Wvu , Wvu Wu Wuk

Contoh 1:Tunjukan bahwa himpunan W yang berisi semua matriks orde2x2 dimana setiap unsur diagonalnya adalah nol merupakansubruang dari ruang vektor matriks 2x2

Jawab :

2. Jelas bahwa W M2x2

3. Ambil sembarang matriks A, B W

Tulis dan

maka0000

1. WO

W

00

2

1a

aA

00

2

1b

bB

Perhatikan bahwa :

Ini menunjukan bahwa

4. Ambil sembarang matriks A W dan k Riil, maka

Ini menunjukan bahwa

Jadi, W merupakan Subruang dari M2x2.

00

00

00

22

11

2

1

2

1

baba

bb

aa

BA

WBA

Wka

kakA

00

2

1

WkA

Contoh 2

Apakah W sub ruang dari ruang vektor R3 jika W didefinisikansebagai {(a,b,c) dimana a.b.c = 0}JawabW = {(a,b,c) dimana a.b.c = 0, a,b,c R}

Vektor (0,0,0) W W ≠ { } dan W R3

Misalkan a = (0,1,2), b = (2,1,0) adalah vector di W

c = a + b = (2,2,2) c bukan vector di W karena 2.2.2 = 8 ≠ 0

W bukan sub ruang di R3

* Jika c di W, kita tidak dapat membuat kesimpulan bahwaW sub ruang dari R3

Contoh 3:Periksa apakah himpunan W yang berisi semua matriks orde2x2 yang determinannya nol merupakan subruang dari ruang vektor M2x2

Jawab :

2 2

0 01. , maka W

0 02. Jelas bahwa

W

W M

W= det 0, , , , a b a b

a b c d Rc d c d

BA

abba

3. Misalkan ambil sembarang matriks A, B W. Pilih a ≠ b :

=

Jadi W bukan merupakan subruangkarena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan

Karena a ≠ b

Maka det (A + B ) = a2 – b2 ≠ 0

00ba

A

abB

00

, jelas bahwa det (A) = 0

, jelas bahwa det (B) = 0

Contoh 4

Tunjukkan bahwa W : garis yang berasal dari titik pusat di bidangadalah sub ruang dari ruang vektor R2

JawabW = {(x,y) | ax + by = 0, a,b R}

1. Garis x + y = 0 dan x – y = 0 W W ≠ { }2. Misalkan Garis1: a1x + b1y = 0 dan Garis2 : a2x + b2y = 0

adalah garis di W3. Garis3 = Garis1+Garis2 = (a1+a2)x + (b1+b2)y = 0 ada di W4. k Garis1= ka1x + kb1y = 0 ada di W

Maka, W sub ruang di R2

W R2

u

1v 2v nv

nnvkvkvku ...2211

Sebuah vektor dinamakan kombinasi linear dari vektor-vektor

, , … ,

jika vektor-vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :

dimana k1, k2, …, kn adalah skalar riil.

Contoh

3) 1,– (1, 0) 4, (2, vu

0) 0, (0, .6) 5, (1, .6) 2, (4, .

ccbbaa

Misal dan adalah vektor-vektor di R3.Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear darivektor-vektor di atas

6 2 4

3 1- 1

0 4 2

21 kk

6 2 4

3 0 1- 4 1 2

2

1

k

k

a. Tulisakan diperiksa apakah ada k1, k2, sehingga kesamaan tersebut dipenuhi.

Ini dapat ditulis menjadi:

Jawab :avkuk 21

0 0 0 2 1 0 1 0 1

~0 0 0 2 1 0 2 1

~6 3 0 2 1- 4 4 1 2 2

1

a u

vua 2

dengan OBE, diperoleh:

Dengan demikian, k1 = 1 dan k2 = 2

merupakan kombinasi linear dari vektor dan

atau

v

bvkuk

21

6 5 1

3 1- 1

0 4 2

21 kk

6 5 1

3 0 1- 4

1 2

2

1

kk

b. Tulis :

ini dapat ditulis menjadi:

1 1 12 2 2 2 1 1 1 0 1 1

4 -1 5 ~ 0 -3 3 ~ 0 1 2 ~ 0 3 6 0 3 6 0 0 3

-12 0

0 1 20 0 3

dengan OBE dapat kita peroleh :

Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwa SPL tersebutadalah tidak konsisten (tidak mempunyai solusi).Jadi, tidak ada nilai k1 dan k2 yang memenuhi b tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari u dan v

c. Dengan memilih k1 = 0 dan k2 = 0, maka dapat ditulis

cvkuk 21

artinya vektor nol merupakan kombinasi lineardari vektor apapun.

LATIHAN

u v

a

b

Misalkan = (1, 2, -1) dan

Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear darivektor-vektor di atas

= (9, 2, 7)

adalah vektor di R3.

= (6, 4, 2)

b. = (4, -1, 8)

a.

cc. = (2, 6, 10)

1v

2v

3v

Himpunan vektor

dikatakan membangun suatu ruang vektor Vjika setiap vektor pada V selalu dapat dinyatakansebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di S.

= (1, 1, 2),

= (1, 0, 1), dan

= (2, 1, 3)

Definisi membangun dan bebas linear

nvvvS ,...,, 21

Contoh :Tentukan apakah

membangun V???

3

2

1

3

2

1

312101211

uuu

kkk

Jawab :

misalkan

.

Tulis :

.

Sehingga dapat ditulis dalam bentuk :

Ambil sembarang vektor di R2

332211 vkvkvku

3

2

1

uuu

u

Syarat agar dapat dikatakan kombinasi linearSPL tersebut harus mempunyai solusi (konsisten)

Dengan OBE diperoleh :

Agar SPL itu konsisten haruslah u3 – u2 – u1 = 0

Ini kontradiksi dengan pengambilan vektor sembarang(unsur-unsurnya bebas, tak bersyarat)

Dengan demikian, vektor-vektor tersebut tidak membangun R3

nuuuS ,...,, 21Misalkan

1 1 2 2 ... 0n nk u k u k u

0,...,0,0 21 nkkk

S dikatakan bebas linear (linearly independent)

hanya mempunyai satu solusi (tunggal), yakni

adalah himpunan vektor diruang vektor V

JIKA SPL homogen :

Jika solusinya tidak tunggal,

(Bergantung linear / linearly dependent)

maka S kita namakan himpunan tak bebas linear

2,3,1u 1,1,1 a

021

akuk

000

121311-

2

1

kk

Diketahui dan

Apakah saling bebas linear di R3

Tulis

atau

Contoh :

Jawab :

~000

121311-

~

000

104011

000

001001

dengan OBE dapat diperoleh :

dengan demikian diperoleh solusi tunggal yaitu :

k1 = 0, dan k2 = 0.

Ini berarti ū dan ā adalah saling bebas linear.

231

a

111

b

46

2c

ckbkak 3210

000

412613

211

3

2

1

kkk

,

,

Jawab :

atau

Tulis :

Apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear R3

Contoh :Misalkan

~010040211

000010211

cba ,,

dengan OBE diperoleh :

Ini menunjukan bahwak1, k2, k3 merupakan solusi tak hingga banyak

adalah vektor-vektor yang bergantung linear.

Jadi

1 00 10 0

000     

1 00 10 0 0

     

1 00 10 0 0

     

1 00 10 0

               0

1 00 10 0

              0

Basis dan Dimensi

Jika V adalah sembarang ruang vektor dan S = { ū1, ū2, … , ūn }

merupakan himpunan berhingga dari vektor-vektor di V, maka

S dinamakan basis bagi V jika kedua syarat berikut dipenuhi :

• S membangun V

• S bebas linear

2101

,41280

,0110

,63

63M

dc

bakkkk

2101

41280

0110

6363

4321

Contoh :Tunjukan bahwa himpunan matriks berikut :

merupakan basis bagi matriks berukuran 2 x 2Jawab :Tulis kombinasi linear :

atau

dcba

kkkkkkkkkkkk

4314321

32141

246123863

dcba

kkkk

4

3

2

1

240611213

08161003

dengan menyamakan setiap unsur pada kedua matriks, diperoleh SPL :

Determinan matriks koefisiennya (MK) = 48

• det(MK) 0 SPL memiliki solusi untuk setiap a,b,c,dJadi, M membangun M2 x 2

• Ketika a = 0, b = 0, c = 0, d = 0,det(MK) 0 SPL homogen punya solusi tunggal.

Jadi, M bebas linear.

Karena M bebas linear dan membangun M2 x 2

maka M merupakan basis bagi M2 x 2.Ingat…Basis untuk setiap ruang vektor adalah tidak tunggal.

Contoh :Untuk ruang vektor dari M2 x 2, himpunan matriks :

1000

,0100

,0010

,1001

juga merupakan basisnya.

12211321

1121A Vektor baris

Vektor kolom

Misalkan matriks :

dengan melakukan OBE diperoleh :

Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE

matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu :

231

,111

basis ruang baris diperoleh dengan cara, mentransposkanterlebih dahulu matriks A, lakukan OBE pada At, sehingga diperoleh :

Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memilikisatu utama berseseuaian dengan matriks asal (A).Ini berarti, matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris :

1321

,

1121

Dimensi basis ruang baris = ruang kolom dinamakan rank.Jadi rank dari matriks A adalah 2.

Contoh :Diberikan SPL homogen :

2p + q – 2r – 2s = 0p – q + 2r – s = 0–p + 2q – 4r + s = 0 3p – 3s = 0

Tentukan basis ruang solusi dari SPL diatasJawab :SPL dapat ditulis dalam bentuk :

03003014210121102212

00000000000021001001

ba

srqp

0120

1001

dengan melakukan OBE diperoleh :

Solusi SPL homogen tersebut adalah :

dimana a, b merupakan parameter.

Jadi, basis ruang solusi dari SPL diatas adalah :

0120

,

1001

Dimensi dari basis ruang solusi dinamakan nulitas.Dengan demikian, nulitas dari SPL diatas adalah 2.

8036

31

21

4210

2024

Latihan Bab 51.Nyatakanlah matriks

sebagai kombinasi linear dari matriks berikut :

dan

2. Periksa, apakah himpunan berikut bebas linear !a. {6 – x2 , 6 + x + 4x2 }b. {1 + 3x + 3x2, x + 4x2, 5 + 6x + 3x2, 7 + 2x – x2}

, ,

3. Periksa, apakah himpunan A = {6 – x2 , 6 + x + 4x2 } membangun polinom orde 2 !

2222 cbacxbxaJ

4. Periksa, apakah himpunan berikut merupakanbasis bagi polinom orde 2 (P2)a. {4 + 6x + x2, – 1 + 4x + 2x2, 5 + 2x – x2}b. {– 4 + x + 3x2, 6 + 5x + 2x2, 8 + 4x + x2}

Periksa apakah J merupakan sub ruangdari ruang vektor Polinom orde duaJika ya, tentukan basisnya

5. Misalkan

merupakan himpunan bagian dari ruang vektorPolinom orde dua.

6. Diberikan SPL homogen :p + 2q + 3 r = 0p + 2q – 3 r = 0p + 2q + 3 r = 0,

Tentukan basis ruang solusi (buktikan)dan tentukan dimensinya.

12211321

1121

7. Tentukan rank dari matriks :