Pika Merliza Mempersembahkan

3

Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif maka n-pasangan terurut adalah (a₁, a₂, ..., a ) dimana ai, i = 1, ..., n adalahbilangan real.

Himpunan semua n-pasangan terurut ini dinamakan ruang berdimensi-n dan dinyatakan dengan Rⁿ

Definisi 1:

n

Dua vektor u = (u₁, u₂...,u ) dan v = (v₁, v₂, ..., v ) pada RⁿDua vektor dinyatakan sama bila u₁ = v₁, u₂ = v₂, ..., u = v

° Penjumlahan u + v = (u ₁ + v ₁ , u ₂ + v ₂ , …, u + v )

° Jika terdapat k ∈ R , k ≠ 0 maka perkalian skalarku = (ku₁ , ku₂, …, ku )

° Vektor Nol : 0 = (0, 0, …, 0)

° Invers aditif (negatif) : -u = (-u₁,-u₂,..., -u )

° Selisih: u + (-v) = u – v = (u₁-v₁, u₂-v₂, …, u – v )

Definisi 2 :

n n

nn

n

nn

n

n

n

5

Diketahui vektor- vektor u = (-3, 2, 1, 0), v = (4, 7, -3, 2) dan w = (5, -2, 8, 1).Carilah 2u + 7w!

Jawab :

2u + 7w = 2 (-3, 2, 1, 0) + 7 (5, -2, 8, 1) = (2.-3 + 2.2 + 2.1) + ( 7.5 + 7.-2 + 7.8

+ 7.1) = 84

Contoh 1 :

6

Sifat-Sifat Operasi Vektor dalam Ruang Berdimensi-n

7

Jika vektor u, v, w ∈ Rⁿ serta k,l ∈ Rⁿ maka :(a) u+v = v+u(b) u+(v+w) = (u+v)+w(c) Jika 0 ∈ V sehingga 0 + u = u + 0, ∀ u ∈ V(d) ∀ u ∈ V , ∃ - u ∈ V (negatif u). sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0(e) k (u + v) = ku + k v (f) (k+l) u = k u + l u (g) k(l u) =(kl) u (h) 1 u = u

Teorema 1

8

( u + v ) + w = u + ( v + w) ( u + v ) + w = {(u₁, u₂, u₃, u₄) + (v₁, v₂, v₃ , v₄)}

+ (w₁, w₂, w₃, w₄)

= (u₁ + v₁)+w₁, (u₂ + v₂) + w₂, (u₃ + v₃ ) + w₃, (u₄ + v₄) + w₄

= (u₁, u₂, u₃, u₄) + (v₁ +w₁, v₂+w₂, v₃+w₃, v₄+w ₄)= u + ( v + w )

Pembuktian Teorema (b) :

9

Jika u = (u₁ , u₂, …, u ) dan v = ( ν₁ , v₂, …, v ) adalah sebarang vektor dalam Rⁿ, maka hasil kali dalam Euclidean u ∙ v didefinisikan sebagai

u ∙ v = u₁ ∙ ν₁ + u₂∙ v₂+ … + u ∙ v

Contoh

Diketahui u = (2, -2, 2) dan v = (0, 1, 3) maka u ∙ v !

u ∙ v = (2 ∙ 0 + -2 ∙ 1 + 2 ∙ 3) = 4

Definisi 3 :

n

n

n

n

10

Jika u, v, dan w adalah vektor pada Rⁿ dan k adalah sebarang skalar, maka :

(a) u ∙ v = v ∙ u (b) ( u+ v ) ∙ w = u ∙ w + v ∙ w (c) (ku) ∙ v = k (u ∙ v)

Teorema 3

11

(ku) ∙ v = (ku₁ , ku₂, ku₃) ∙ (v₁, v₂, v₃)

= k (u₁ , u₂, u₃) ∙ (v₁, v₂, v₃)

= k ( u ∙ v) (Terbukti)

Pembuktian (b)

12

Norma Euclidean ( Panjang Euclidean ) dari suatu vektor ruang u = (u₁ , u₂, …, u ) dalam Rⁿ sebagai

|| u || =

Jarak Euclidean antara titik-titik u = (u₁ , u₂, …, u ) dan v = ( v, v , …, v ) dalam Rⁿ sebagai

d(u,v) = || u-v || =

Norma dan Jarakdalam ruang berdimensi-n

222

21 ... nuuu

2222

211 )(...)()( nn vuvuvu

n

n

n1 2

13

Jika u = (3, -3, -2, 0, -3) dan v = (-4, 1, -1, 5, 0) dalam ruang R

maka :

II u II = =

d(u, v) = II u-v II =

=

Contoh Soal :

5

14

Definisi. Dua vektor u dan v dalam R disebut ortogonal ( Tegak lurus ) jika u ∙ v = 0

Contoh :Jika diketahui u = (2, 1, 3) dan v = (1, 7, k ).Untuk

nilai kberapakah u dan v ortogonal!

Jawab :Syarat u ∙ v = 0(2∙ 1 + 1 ∙ 7+ 3 ∙ k) = 0 9 + 3k = 0 k = -3

Keortogonalan

Rumus Matriks vektor bernotasi Vertikal untuk hasil kali dalam Euclidis

v u = u ∙ v

Contoh Soal

u = dan v =

maka u ∙ v = v ∙ u = [ 5 -4 7 0 ] = [ 18 ] = 18

Rumus Matriks Untuk Hasil Kali dalam Euclidis.

t

16

1. Anggap u = ( -3, 2, 1, 0), v = (4, 7, -3, 2), dan w = (5, -2, 8, 1).Cari 6(u-3v) !

2. Hitunglah norma dari vektor u = (3, 4, 0, -12)!

3. Hitunglah jika diketahui vektor w = (3, 1, 2, 2)

4. Jika u =(-2, 3, 1, 4) dan v=(1, 2, 0, -1).Buktikan apakah vektor u dan v ortogonal!

5. Anggap v = (-2, 3, 0, 6).Cari semua skalar k sedemikian sehingga ||ku || = 5!

Contoh-Contoh Soal!

ww

1

17

6 (u-3v) = 6 {(-3, 2, 1, 0)-3(4, 7, -3, 2)} = 6 {(-3, 2, 1, 0)- (12, 21, -9, 6)} = 6 (-15, 19, 10, -6 )

= (90, -114, 60, -36)

Penyelesaian no 2 :

II u II = = =13

Penyelesaian no 1:

18

u.v = (-2)(1)+(3)(2)+(1)(0)+(4)(-1) = 0

terbukti u.v ortogonal.

Penyelesaian no.3

Penyelesaian No.4

)2,2,1,3(14

1

2213

112222

ww

14

2

14

2

14

1

14

3

19

Penyelesaian no 5 ||kv || = k ||v|| maka, k = 5 k = 5 k 7 = 5

k =

Anton, Howard.2000.Dasar-Dasar Aljabar Dasar.Jakarta : Interaksa

Http//www.google.com//Ruang vektor –n Euclidis

Daftar Pustaka

Terima Kasih