Bab v Ruang Vektor

07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 1

Aljabar Linear ElementerMA1223 3 SKS

Silabus :Bab I Matriks dan OperasinyaBab II Determinan MatriksBab III Sistem Persamaan LinearBab IV Vektor di Bidang dan di RuangBab V Ruang VektorBab VI Ruang Hasil Kali DalamBab VII Transformasi LinearBab VIII Ruang Eigen


RUANG VEKTOR

Sub Pokok Bahasan– Ruang Vektor Umum– Subruang– Basis dan Dimensi– Basis Subruang

Beberapa Aplikasi Ruang VektorBeberapa metode optimasi Sistem KontrolOperation Researchdan lain-lain


Ruang Vektor Umum

Misalkan dan k, l ∈ RiilV dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma :

1. V tertutup terhadap operasi penjumlahanUntuk setiap

2.

3.

4. Terdapat sehingga untuk setiapberlaku

5. Untuk setiap terdapat sehingga

Vwvu ∈,,

Vvu ∈+maka, Vvu ∈

=+ vu uv +

( ) ( ) wvuwvu ++=++

uuu =+=+ 00V∈0 Vu ∈

Vu ∈ ( )u−

( ) ( ) 0=+−=−+ uuuu


6. V tertutup thd operasi perkalian dengan skalar.

Untuk setiap dan k ∈ Riil maka

7.

8.

9.

10.

Vu ∈ Vuk ∈

( ) vkukvuk +=+

( ) ulukulk +=+

( ) ( ) ( ) ukluklulk ==

uu =.1


Contoh :1. Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar

(operasi penjumlahan dan operasi perkalian denganskalar). Notasi : Rn (Ruang Euclides orde n)

2. Himpunan matriks berukuran m x ndengan operasi standar (penjumlahan matriksdan perkalian matriks dengan skalar), Notasi : Mmxn (Ruang Matriks mxn)

3. Himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar.Notasi : Pn (Ruang Polinom orde n)


Ruang Euclides orde nOperasi-Operasi pada ruang vektor Euclides:• Penjumlahan

• Perkalian dengan skalar Riil sebarang (k)

• Perkalian Titik (Euclidean inner product)

• Panjang vektor didefinisikan oleh :

• Jarak antara dua vektor didefinisikan oleh :

( )nn vuvuvuvu +++=+ ...,,, 2211

( )nkukukuuk ,...,, 21=

nnvuvuvuvu +++=• ...2211

( ) 21

uuu •=

( ) vuvud −=, ( ) ( ) ( )2222

211 ... nn vuvuvu −++−+−=

222

21 ... nuuu +++=


Contoh :

Diketahui danTentukan panjang vektor dan jarak antara keduavektor tersebut

Jawab:Panjang vektor :

Jarak kedua vektor

( )3,2,1,1=u ( )1,1,2,2=v

( ) vuvud −=,

( ) 21

uuu •= 153211 2222 =+++=

101122 2222 =+++=v

( ) ( ) ( ) ( )2222 13122121 −+−+−+−=

( ) ( )7

2111 2222

=

++−+−=


Misalkan W merupakan subhimpunan dari sebuahruang vektor V

W dinamakan subruang (subspace) Vjika W juga merupakan ruang vektoryang tertutup terhadap operasi penjumlahan danperkalian dengan skalar.

Syarat W disebut subruang dari V adalah :1. W ≠ { }2. W ⊆ V3. Jika maka4. Jika dan k ∈ Riil maka

Wvu ∈, Wvu ∈+Wu ∈ Wuk ∈


Contoh :Tunjukan bahwa himpunan W yang berisi semuamatriks orde 2x2 dimana setiap unsur diagonalnyaadalah nol merupakan subruang dari ruang vektormatriks 2x2

Jawab :

2. Jelas bahwa W ⊂ M2x23. Ambil sembarang matriks A, B ∈ W

Tulisdan

maka0000

1. WO ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= { }≠W

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

00

2

1a

aA ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

00

2

1b

bB


Perhatikan bahwa :

Ini menunjukan bahwa

4. Ambil sembarang matriks A ∈ W dan k ∈ Riilmaka

Ini menunjukan bahwa

Jadi, W merupakan Subruang dari M2x2.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

00

00

00

22

11

2

1

2

1

baba

bb

aa

BA

WBA ∈+

Wka

kakA ∈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

00

2

1

WkA∈


Contoh :Periksa apakah himpunan D yang berisi semuamatriks orde 2x2 yang determinannya nol merupakan subruang dari ruang vektor M2x2

Jawab :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

00ba

A

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

abB

00

Ambil sembarang matriks A, B ∈ WPilih a ≠ b :

, jelas bahwa det (A) = 0

, jelas bahwa det (A) = 0


BA + ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛abba

Perhatikan bahwa :

=

Jadi D bukan merupakan subruangkarena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan

Karena a ≠ b

Maka det (A + B ) = a2 – b2 ≠ 0


u

1v 2v nv

nnvkvkvku +++= ...2211

Sebuah vektordinamakan kombinasi linear dari vektor – vektor

, , … ,

jika vektor – vektor tersebutdapat dinyatakan dalam bentuk :

dimana k1, k2, …, kn adalah skalar Riil.


Contohu v

a

b

c

Misal = (2, 4, 0), dan

Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari vektor – vektor di atas

= (4, 2, 6)

c. = (0, 0, 0)

adalah vektor-vektor di R3.

= (1, –1, 3)

b. = (1, 5, 6)

a.


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

6 2 4

3 1- 1

0 4 2

21 kk

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

6 2 4

3 0 1- 4 1 2

2

1

k

k

a. Tulisakan diperiksa apakah ada k1, k2, sehingga kesamaan tersebut dipenuhi.

Ini dapat ditulis menjadi:

Jawab :avkuk =+ 21


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

0 0 0 2 1 0 2 1

~6 3 0 6- 3- 1 2 1 2

12

1

a u

vua rrr 2+=

dengan OBE, diperoleh:

Dengan demikian,

merupakan kombinasi linear dari vektor dan

atau

v


bvkukvrr

=+ 21

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

6 5 1

3 1- 1

0 4 2

21 kk

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

6 5 1

3 0 1- 4 1 2

2

1

kk

b. Tulis :

ini dapat ditulis menjadi:


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3 0 0 2 1 0

1 ~

6 3 0 3 3- 0 0 1

~ 6 3 0

5 1- 4 1 1 2 2

12

12

1

dengan OBE dapat kita peroleh :

Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwaSPL tersebut adalah tidak konsisten(tidak mempunyaisolusi).

Jadi, tidak ada nilai k1 dan k2 yang memenuhib tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear

dari u dan v


c. Dengan memilih k1 = 0 dan k2 = 0, maka dapat ditulis

cvkuk rrr=+ 21

artinya vektor nol merupakan kombinasi linear dari vektor apapun.


1v

2v

3v

Himpunan vektor

dikatakan membangun suatu ruang vektor Vjika setiap vektor pada V selalu dapat dinyatakansebagai kombinasi linear dari vektor – vektor di S.

= (1, 1, 2),

= (1, 0, 1), dan

= (2, 1, 3)

Definisi membangun dan bebas linear

{ }nvvvS ,...,, 21=

Contoh :Tentukan apakah

membangun V???


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

3

2

1

312101211

uuu

kkk

Jawab :

misalkan

.

Tulis :

.

Sehingga dapat ditulis dalam bentuk :

Ambil sembarang vektor di R2

332211 vkvkvku ++=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

3

2

1

uuu

u


Syarat agar dapat dikatakan kombinasi linear

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 1 2 u10 -1 -1 − u2 u10 0 0 − − u3 u1 u2

SPL tersebut harus mempunyai solusi (konsisten)

Dengan OBE diperoleh :

haruslah u3 – u2 – u1 = 0Agar SPL itu konsisten

Ini kontradiksi dengan pengambilan vektor sembarang(unsur – unsurnya bebas, tak bersyarat)

Dengan demikian vektor – vektor tersebuttidak membangun R3


{ }nuuuS ,...,, 21=Misalkan

0...1211 =+++ nnukukuk

01 =k 02 =k 0=nk

S dikatakan bebas linear (linearly independent)

hanya mempunyai satu solusi (tunggal), yakni

,...,

adalah himpunan vektor diruang vektor V

JIKA SPL homogen :

,

Jika solusinya tidak tunggal

(Bergantung linear / linearly dependent)

maka S kita namakan himpunan tak bebas linear


( )2,3,1−=u ( )1,1,1 −=a

021

rrr=+ akuk

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

− 000

121311-

2

1

kk

Diketahui dan

Apakah saling bebas linear di R3

Tulis

atau

Contoh :

Jawab :


~000

121311-

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−~

000

104011

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

000

001001

dengan OBE dapat diperoleh :

dengan demikian diperoleh solusi tunggal yaitu :

k1 = 0, dan k2 = 0.

Ini berarti ū dan ā adalah saling bebas linear.


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

231

a⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

111

b⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

46

2c

ckbkak 3210 ++=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−

412613

211

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

321

kkk

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

000

,

,

Jawab :

atau

=

Tulis :

Apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear R3

Contoh :Misalkan


~010040211

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−

000010211

cba ,,

dengan OBE diperoleh :

Ini menunjukan bahwak1, k2, k3 mrp solusi tak hingga banyak

adalah vektor-vektor yang bergantung linear.

Jadi


Basis dan DimensiJika V adalah sembarang ruang vektor

dan S = { ū1, ū2, … , ūn } merupakan

himpunan berhingga dari vektor – vektor di V,

maka S dinamakan basis bagi V

Jika kedua syarat berikut dipenuhi :

• S membangun V

• S bebas linear


⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=2101

,41280

,0110

,63

63M

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡− dc

bakkkk

2101

41280

0110

6363

4321

Contoh :Tunjukan bahwa himpunan matriks berikut :

merupakan basis bagi matriks berukuran 2 x 2 Jawab :

Tulis kombinasi linear :

atau

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−−−−

−−+dcba

kkkkkkkkkkkk

4314321

32141

246123863


⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−−

dcba

kkkk

4

3

2

1

240611213

08161003

dengan menyamakan setiap unsurpada kedua matriks, diperoleh SPL :

Determinan matriks koefisiennya (MK) = 48 • det(MK) ≠ 0 SPL memiliki solusi

untuk setiap a,b,c,dJadi, M membangun M2 x 2

• Ketika a = 0, b = 0, c = 0, d = 0, det(MK) ≠ 0 SPL homogen punya solusi tunggal. Jadi, M bebas linear.


Karena M bebas linear dan membangun M2 x 2

maka M merupakan basis bagi M2 x 2. Ingat…Basis untuk setiap ruang vektor adalah tidak tunggal.

Contoh :Untuk ruang vektor dari M2 x 2, himpunan matriks :

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1000

,0100

,0010

,1001

juga merupakan basisnya.


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−−=

12211321

1121A Vektor baris

Vektor kolom

Misalkan matriks :

dengan melakukan OBE diperoleh :

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 2 0 -10 0 1 00 0 0 0

Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE


matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu :

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

231

,111

basis ruang baris diperoleh dengan cara, Mentransposkan terlebih dahulu matriks A, lakukan OBE pada At, sehingga diperoleh :

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

1 0-12

0 112

0 0 00 0 0


Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memilikisatu utama berseseuaian dengan matriks asal (A). Ini berarti, matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris :

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

1321

,

1121

Dimensi basis ruang baris = ruang kolomdinamakan rank. Jadi rank dari matriks A adalah 2.


Contoh :Diberikan SPL homogen :

2p + q – 2r – 2s = 0p – q + 2r – s = 0–p + 2q – 4r + s = 0 3p – 3s = 0

Tentukan basis ruang solusi dari SPL diatasJawab :

SPL dapat ditulis dalam bentuk :

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−−−−

03003014210121102212


⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−

00000000000021001001

ba

srqp

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

0120

1001

dengan melakukan OBE diperoleh :

Solusi SPL homogen tersebut adalah :

dimana a, b merupakan parameter.


Jadi, basis ruang solusi dari SPL diatas adalah :

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

0120

,

1001

Dimensi dari basis ruang solusi dinamakan nulitas. Dengan demikian, nulitas dari SPL diatas adalah 2.


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡8036

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 31

21⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡4210

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

2024

Latihan Bab 51.Nyatakanlah matriks

sebagai kombinasi linear dari matriks berikut :

dan

2. Periksa, apakah himpunan berikut bebas linear !a.{6 – x2 , 6 + x + 4x2 }b.{1 + 3x + 3x2, x + 4x2, 5 + 6x + 3x2, 7 + 2x – x2}

, ,

3. Periksa, apakah himpunan A = {6 – x2 , 6 + x + 4x2 } membangun polinom orde 2 !


⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +=++= 2222 cbacxbxaJ

4. Periksa, apakah himpunan berikut merupakanbasis bagi polinom orde 2 (P2)a.{4 + 6x + x2, – 1 + 4x + 2x2, 5 + 2x – x2}b.{– 4 + x + 3x2, 6 + 5x + 2x2, 8 + 4x + x2}

Periksa apakah J merupakan subruang

dari ruang vektor Polinom orde duaJika ya, tentukan basisnya

5. Misalkan

merupakan himpunan bagian dari ruang vektorPolinom orde dua.


6. Diberikan SPL homogen :p + 2q + 3 r = 0p + 2q – 3 r = 0p + 2q + 3 r = 0,

Tentukan basis ruang solusi (buktikan) dan tentukan dimensinya.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−

12211321

1121

7. Tentukan rank dari matriks :

Bab v Ruang Vektor

Documents

Transcript of Bab v Ruang Vektor