I. PILIHAN GANDA

1. Suatu objek disebut vektor bila mengandung unsur ... a. Panjang dan besar d. Panjang dan jarak b. Besar dan arah e. Jarak dan besar c. Panjang dan arah

Jawaban : c

2. Bila V adalah ruang vektor taknol, dan S adalah himpunan vektor 3 V yang merupakan basis V, maka V dikatakan sebagai ruang vektor dengan dimensi yang terhingga jika S terdiri dari vektor-vektor yang terhingga jumlahnya S = {v1, v2, . . ., vn}. Hal ini merupakan definisi ... a. Basis d. Kombinasi linier b. Dimensi e. Ruang vektor c. Bebas linier Jawaban : b

3. Di bawah ini yang tidak termasuk 10 aksioma ruang vektor adalah a) Bila u, v � V, maka u + v berada di V (tertutup terhadap penjumlahan).

b) Bila u � V, c bilangan skalar, hasil perkalian cu berada di V (tertutup terhadap perkalian skalar).

c) Terdapat vektor nol di V sedemikian rupa sehingga untuk setiap u � V berlaku u + 0 = 0 + u = u

d) Terdapat vektor negatif –u � V, sehingga u – u = u + (- u) = 0.

e) terdapat vektor a � V dan b � W, sehingga a + b adalah � V dan � W.

Jawaban : e

4. Ruang vektor memiliki sifat, kecuali a. komutatif b. asosiatif c. kontradiktif d. tertutup terhadap penjumlahan e. tertutup terhadap perkalian skalar jawaban : c

5. S = {v1, v2,.....,vn} adalah himpunan vektor di V, S dapat disebut sebagai basis dari ruang vektor V, jika a. S, tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar b. S, bersifat komutatif dan distributif c. S, bersifat asosiatif dan komutatif d. S, merupakan kombinasi linier dari V

e. S, bebas linier dan membangun V Jawaban : e

6. Diantara 5 pilihan berikut, mana yang bukan aksioma ruang vektor

(A) u + ( v + w) = ( u + v ) + w

(B) c ( ku ) = ( cu ) k

(C) c ( u + v ) = cu + cv

(D) –u berada di V, maka u + (-u) = u – u = 0

(E) u berada di V, dengan c bilangan skalar, maka hasil perkalian c dan u berada di V

JAWAB : (B)

7. Ruang vektor nol didefinisikan berdimensi…

(A) 0 (C) tak ada (E) tidak didefinisikan

(B) tak hingga (D) 1

JAWAB : (A)

8. Terdapat U = (2,-3,1) dan V = (1,4,-2), serta W = (-2,25,-11) yang merupakan kombinasi linier dari u dan v. Tentukan penyelesaiannya!

(A) k1 = 2 dan k2 = 2

(B) k1 = -3 dan k2 = 5

(C) k1 = -5 dan k2 = 4

(D) k1 = -3 dan k2 = 4

(E) k1 = 1 dan k2 = 1

JAWAB : (D)

9. Terdapat U = (5,3,2) dan V = (4,-5,-3), serta W = (18,4,-2) yang merupakan kombinasi linier dari u dan v. Tentukan penyelesaiannya!

(A) k1 = 2 dan k2 = 2

(B) k1 = -3 dan k2 = 5

(C) k1 = -5 dan k2 = 4

(D) k1 = -3 dan k2 = 4

(E) k1 = 1 dan k2 = 1

JAWAB : (A)

10

11

12

-(u) = -u

Untuk soal nomor 10,11,12 Pilih :

A. Jika pernyataan (1),(2),(3) benar

B. Jika pernyataan (1),(3) benar

C. Jika pernyataan (2),(4) benar

D. Jika pernyataan (4) benar

E. Jika semua pernyataan benar

15. Misalkan f= cos2 (x)  dan g = sin2 (x) . manakah dari fungsi di bawah yang dibangun 

dari f dan g a) cos 2x b) 3+ x2 c) 1 d) a dan c benar e) tak ada jawaban  jawab :D cos 2x = cos 2‐sin2x 1= cos 2+sin2x  16. Manakah dari gambar berikut yang bebas linear?

a) b) c)

13

14

d) e) jawab: A karena pilihan (b)&(e) K1v1+K2v2≠0. Pilihan (c) mempunyai jawaban tidak tunggal. Pilihan (d) k1≠k2 pilihan memenuhi syarat k1v1+k2v2+....+knvn=0 17. k1v1+k2v2+....+knvn=W merupakan syarat dari a) kombinasi linear d) subruang b) bebas linear e) basis c) dimensi jawab : A

II. BENAR SALAH

1. { (x,y) | x >= 0 , y >= 0 } = Z ; Z merupakan ruang bagian R2

Salah, pembuktiannya: Misal, {(x,y) | x ≥ 0 , y ≥ 0} = z 1. (x1,y1) + (x2,y2) ≥ 0

Benar untuk syarat tertutup terhadap penjumlahan 2. C (x1,y1) ; C є R , pilih C < 0

C(x1,y1) < 0 є z � z bukan ruang bagian R2

2. Diberikan himpunan vektor-vektor v1 = (x1,y1,z1), v2 = (x2, y2, z2), v3 = (x3, y3, z3).

Untuk membuktikan bahwa vektor-vektor ini bebas linier dan membangun/basis di R3 cukup ditunjukkan bahwa koefisien dari matriksnya mengandung determinan ≠ 0

Benar,dengan memanfaatkan sifat ekuivalen matriks

3. semua ruang vektor harus bebas linier salah

4. syarat himpunan (a) dari ruang vektor B, adalah suatu ruang bagian dari

ruang vektor B adalah harus bebas linier dan membangun ruang vektor B salah

7

6 5

8

11. V1 = (1,2,3), V2 = (5,6,1) ,V3=(3,2,1) Bukan basis di R3  ? Jwb salah 

= -56

Karena determinanya tidak sama dengan 0 maka merupakan basis di R3  12. X1‐3X2+X3=0 

2X1‐6X2+2X3=0 3X1‐9X2+3X3=0 

 Apakah ruang solusi sistem tersebut berdimensi 3 ? Jwb  Benar , karena terdapat 3 vektor 

III. ISIAN

1. S = {v1,v2,...,vn} adalah himpunan vektor di V, S dinamakan basis dari ruang vektor V jika ...

2. Suatu subhimpunan W dari ruang vektor V, dinamai subruang dari ruang vektor V jika dan hanya jika ... Kunci Jawaban: 1. a) S bebas linier b) S membangun V 2. a) Untuk setiap u dan v vektor-vektor di W, maka u+v berada di W

9

10

b) Untuk setiap k bilangan skalar dan u vektor-vektor di W, maka ku berada di W

3. Suatu subhimpunan W dari ruang vektor V, dinamai subruang dari ruang vektor V

jika dan hanya jika

jawab:W harus tertutup pada penjumlahan dan perkalian skalar

4. S = {v1, v2,.....,vn} � V, diakatakan bebas linier jika

Jawab : Sistem persamaan linier homogen berikut k1v1 + k2v2 +.....+knvn = 0 Mempunyai jawaban tungal k1 = k2 = ... = kn = 0

5. Jika paling sedikit satu aksioma tidak terpenuhi, berarti…

JAWAB : V bukan merupakan ruang vektor.

6. S = {v1, v2, v3,…,vn} adalah himpunan vektor di V. S dinamakan basis dari ruang vektor V jika…

JAWAB : S bebas linier dan S membangun V

7

8

11. Terdapat Y =(2,1,3) dan A = (3,2,1) . apakah W= (14,8,14) adalah kombinasi

linier dari Y&A? Jwb: akan dicari k1 dan k2 sehingga W = k1Y+ k2A 2k1+3k2= 14 K1+2k2 = 8 3k1+k2= 14 Dari sini didapat K1=4 dan K2=2 Maka W adalh kombinasi linear dari Y dan A

12. Buktikan bahwa himpunan V1 = (2,3,1), V2 = (0,-1,-1) ,V3=(3,0,0) merupakan basis di R3 ?

Jawab:

= -9

Karena determinanya tidak sama dengan 0 maka merupakan basis di R3  

9

10

IV. ESSAY

1. Tentukan apakah vektor-vektor berikut merupakan suatu basis bagi R3 ? (1,-1,1) , (0,1,2) , (3,0,-1) Kunci jawaban: v1 = (1,-1,1) , v2 = (0,1,2) , v3 = (3,0,-1) vektor umum u = (u1,u2,u3) dari R3 dapat diungkapkan sebagai kombinasi linear dari 3 vektor ini, c1 (1,-1,1) + c2 (0,1,2) + c3 (3,0,-1) = (u1,u2,u3) bentuk matriksnya:

=

Harus ditunjukkan bahwa vektor-vektor tersebut merupakan bebas linier ↔

=

Harus ditunjukkan bahwa determinan matrisk tersebut = 0 untuk memastikan bahwa vektor-vektor tersebut merupakan basis dari R3 Determinannya:

A = → det (A) = -10 ≠ 0

Dapat disimpulkan bahwa vektor-vektor tersebut merupakan basis dari R3

2. Tentukan apakah vektor-vektor di bawah ini termasuk bebas linier atau linier tidak bebas v1 = (3,-1) dan v2 = (-2,2) Kunci Jawaban:

Persamaannya

Untuk menentukan apakah vektor-vektor ini merupakan bebas linier atau tidak bebas linier maka masing-masing komponen di-set = 0

↔

Dari persamaan di atas diperoleh: c1 = 0 dan c2 = 0 karena solusi yang diperoleh merupakan solusi trivial maka dapat disimpulkan bahwa kedua vektor di atas merupakan bebas linier.

3. M02X2 apakah termasuk ruang bagian ?

Jawab: Jika kita kalihkan dengan kontanta C dengan C Є R makahasilnya adalah

Dan 2c,-5c,-2c Є R berarti memenuhi sifat Tertutup terhadap operasi perkalian dengan skalar

ditambahkan dengan matriks lain yang juga M02X2 contohnya adalah

Hasilnya adalah yang merupakan Є R memenuhi syarat Tertutup

terhadap operasi penjumlahan

4

5

1 4 6 0 1 28/13 0 0 118/13

6

7

8

9

10

11