RUANG VEKTOR (Kajian pada Ruang-n Euclidis dan Ruang ... · PDF fileOutline RUANG VEKTOR...

Outline

RUANG VEKTOR(Kajian pada Ruang-n Euclidis dan Ruang

Vektor Umum)

Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc

PS. Pendidikan MatematikaPS. Sistem Informasi

University of JemberIndonesia

Jember, 2009

Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR

Outline

1 Ruang VektorRuang-n EuclidisRuang Vektor Umum

2 Basis dan DimensiKebebasan LinierKonsep Basis dan Dimensi

3 Ruang Vektor KhususRuang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis

Outline

Ruang VektorBasis dan Dimensi

Ruang Vektor Khusus

Ruang-n EuclidisRuang Vektor Umum

Definisi-definisi

tupel-n-terorde

adalah sebuah urutan n bilangan riil (a1, a2, ..., an). Himpunansemua tupel-n-terorde dinamakan ruang-n dan dinyatakandengan Rn

Dua vektor u = (u1, u2, ..., un) dan v = (v1, v2, ..., vn) pada Rn

u = v jika u1 = v1, u2 = v2, ..., un = vn

u + v = (u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn)

jika k skalar, maka ku = (ku1, ku2, ..., kun)

Ruang Vektor Khusus

Definisi-definisi

tupel-n-terorde

u = v jika u1 = v1, u2 = v2, ..., un = vn

u + v = (u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn)

Ruang Vektor Khusus

Definisi-definisi

tupel-n-terorde

u = v jika u1 = v1, u2 = v2, ..., un = vn

u + v = (u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn)

Ruang Vektor Khusus

Definisi-definisi

tupel-n-terorde

u = v jika u1 = v1, u2 = v2, ..., un = vn

u + v = (u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn)

Ruang Vektor Khusus

Definisi-definisi

tupel-n-terorde

u = v jika u1 = v1, u2 = v2, ..., un = vn

u + v = (u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn)

Ruang Vektor Khusus

Sifat Ilmu Hitung dalam Rn

Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada Rn dan k serta l adalahskalar, maka

1 u + v = v + u2 u + (v + w) = (u + v) + w3 u + 0 = 0 + u = u4 u + (−u) = 0, yakni u − u = 05 k(lu) = (kl)u6 k(u + v) = ku + kv7 (k + l)u = ku + lu8 1u = u

Ruang Vektor Khusus

Ruang Hasil Kali Dalam Euclidis

Definisi

Jika u = (u1, u2, ..., un) dan v = (v1, v2, ..., vn) adalah sebarangvektor pada Rn, maka hasilkali dalam Eucidis u · v didefinisikandengan

u · v = u1v1 + u2v2 + ... + unvn

Sifat ilmu hitung dalam h.k.d. Euclidis

Jika u, v , w adalah vektor-vektor pada Rn dan k adalah skalar,maka:

u · v = v · u(u + v) · w = u · w + v · w(ku) · v = k(u · v)

v · v ≥ 0. Selanjutnya v · v = 0 ⇐⇒ v = 0Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR

Ruang Vektor Khusus

Definisi

u · v = u1v1 + u2v2 + ... + unvn

Ruang Vektor Khusus

Definisi

u · v = u1v1 + u2v2 + ... + unvn

Ruang Vektor Khusus

Definisi

u · v = u1v1 + u2v2 + ... + unvn

Ruang Vektor Khusus

Definisi

u · v = u1v1 + u2v2 + ... + unvn

Ruang Vektor Khusus

Definisi

u · v = u1v1 + u2v2 + ... + unvn

Ruang Vektor Khusus

Norm dan Jarak Euclidis

Analog dengan norm pada R2 dan R3

Norm (atau panjang) Euclidis vektor u = (u1, u2, ..., un) pada Rn

adalah||u|| = (u · u)

1 + u22 + ... + u2

Analog dengan jarak pada R2 dan R3

Jarak Euclidis antara titik u = (u1, u2, ..., un) danv = (v1, v2, ..., vn) pada Rn dinotasikan d(u, v) dan samadengan

||u − v || =√

(u1 − v1)2 + (u2 − v2)2 + ... + (un − vn)2

Ruang Vektor Khusus

Norm dan Jarak Euclidis

Analog dengan norm pada R2 dan R3

Norm (atau panjang) Euclidis vektor u = (u1, u2, ..., un) pada Rn

adalah||u|| = (u · u)

1 + u22 + ... + u2

Analog dengan jarak pada R2 dan R3

Jarak Euclidis antara titik u = (u1, u2, ..., un) danv = (v1, v2, ..., vn) pada Rn dinotasikan d(u, v) dan samadengan

||u − v || =√

(u1 − v1)2 + (u2 − v2)2 + ... + (un − vn)2

Ruang Vektor Khusus

Ruang Vektor

V disebut ruang vektor jika

1 ∀u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V2 u + v = v + u3 u + (v + w) = (u + v) + w4 ∃0 ∈ V ,∀u ∈ V , 0 + u = u + 0 = u5 ∀u ∈ V ,∃ − u ∈ V , u + (−u) = −u + u = 06 ∀u ∈ V dan k skalar, ku ∈ V7 k(lu) = (kl)u8 k(u + v) = ku + kv9 (k + l)u = ku + lu

10 1u = u

Ruang Vektor Khusus

Ruang Vektor

10 1u = u

Ruang Vektor Khusus

Ruang Vektor

10 1u = u

Ruang Vektor Khusus

Ruang Vektor

10 1u = u

Ruang Vektor Khusus

Ruang Vektor

10 1u = u

Ruang Vektor Khusus

Ruang Vektor

10 1u = u

Ruang Vektor Khusus

Ruang Vektor

10 1u = u

Ruang Vektor Khusus

Ruang Vektor

10 1u = u

Ruang Vektor Khusus

Ruang Vektor

10 1u = u

Ruang Vektor Khusus

Ruang Vektor

10 1u = u

Ruang Vektor Khusus

Ruang Vektor

10 1u = u

Ruang Vektor Khusus

Sifat Dasar Ruang Vektor

Jika V ruang vektor

maka ∀u ∈ V , u disebut vektor

Jika V ruang vektor, u ∈ V , dan k skalar

0u = 0

k0 = 0

(−1)u = −u

ku = 0 =⇒ k = 0 ∨ u = 0

Ruang Vektor Khusus

Jika V ruang vektor

0u = 0

k0 = 0

(−1)u = −u

ku = 0 =⇒ k = 0 ∨ u = 0

Ruang Vektor Khusus

Jika V ruang vektor

0u = 0

k0 = 0

(−1)u = −u

ku = 0 =⇒ k = 0 ∨ u = 0

Ruang Vektor Khusus

Jika V ruang vektor

0u = 0

k0 = 0

(−1)u = −u

ku = 0 =⇒ k = 0 ∨ u = 0

Ruang Vektor Khusus

Jika V ruang vektor

0u = 0

k0 = 0

(−1)u = −u

ku = 0 =⇒ k = 0 ∨ u = 0

Ruang Vektor Khusus

Jika V ruang vektor

0u = 0

k0 = 0

(−1)u = −u

ku = 0 =⇒ k = 0 ∨ u = 0

Ruang Vektor Khusus

Subruang

Subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V disebut subruang

jika W merupakan ruang ruang vektor di bawah penjumlahanvektor dan perkalian skalar yang didefinisikan dalam V

Teorema Subruang

Misal V ruang vektor. W ⊂ V . W 6= φ. W merupakan subruangdari V ⇐⇒

1 Jika u, v ∈ W =⇒ u + v ∈ W2 Jika k skalar dan u ∈ W =⇒ ku ∈ W

Ruang Vektor Khusus

Subruang

Teorema Subruang

Ruang Vektor Khusus

Subruang

Teorema Subruang

Ruang Vektor Khusus

Subruang

Teorema Subruang

Ruang Vektor Khusus

Kombinasi Linier dan Merentang

Kombinasi Linier

Sebuah vektor w disebut kombinasi linier dari vektor-vektorv1, v2, ..., vn jika vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai

w = k1v1 + k2v2 + ... + knvn

dengan k1, k2, ..., kn adalah skalar-skalar.

Merentang

Jika v1, v2, ..., vr ∈ V dan ∀u ∈ V , u merupakan kombinasi linierdari v1, v2, ..., vr maka vektor-vektor v1, v2, ..., vr dikatakanmerentang V . Dinotasikan:

V = lin{v1, v2, ..., vr}Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR

Ruang Vektor Khusus

Kombinasi Linier dan Merentang

Kombinasi Linier

Sebuah vektor w disebut kombinasi linier dari vektor-vektorv1, v2, ..., vn jika vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai

w = k1v1 + k2v2 + ... + knvn

dengan k1, k2, ..., kn adalah skalar-skalar.

Merentang

Jika v1, v2, ..., vr ∈ V dan ∀u ∈ V , u merupakan kombinasi linierdari v1, v2, ..., vr maka vektor-vektor v1, v2, ..., vr dikatakanmerentang V . Dinotasikan:

V = lin{v1, v2, ..., vr}Antonius Cahya Prihandoko RUANG VEKTOR

Ruang Vektor Khusus

Himpunan Kombinasi Linier

Teorema

Jika v1, v2, ..., vr ∈ V dan W = {k1v1 + k2v2 + ... + kr vr}, maka

W subruang V .

W subruang terkecil yang memuat v1, v2, ..., vr

Ruang Vektor Khusus

Teorema

W subruang V .

Ruang Vektor Khusus

Teorema

W subruang V .

Ruang Vektor Khusus

Kebebasan LinierKonsep Basis dan Dimensi

Kebebasan Linier

Definisi

Jika S = {v1, v2, ..., vr} adalah himpunan vektor-vektor dansatu-satunya solusi untuk sistem homogen

k1v1 + k2v2 + ... + kr vr = 0

adalah penyelesaian trivial, maka S disebut himpunan bebaslinier , dan v1, v2, ..., vr disebut vektor-vektor bebas linier

Akibatnya: Himpunan S dengan dua vektor atau lebih adalah

tak bebas linier ⇐⇒ ada vektor dalam S yang merupakankombinasi linier vektor-vektor selebihnya.

bebas linier ⇐⇒ yang terjadi negasinya

Ruang Vektor Khusus

Kebebasan Linier

Definisi

k1v1 + k2v2 + ... + kr vr = 0

Ruang Vektor Khusus

Kebebasan Linier

Definisi

k1v1 + k2v2 + ... + kr vr = 0

Ruang Vektor Khusus

Kebebasan Linier

Definisi

k1v1 + k2v2 + ... + kr vr = 0

Ruang Vektor Khusus

Teorema Kebebasan Linier

sebuah himpunan memuat vektor nol maka himpunan tersebuttak bebas linier

Sebuah himpunan

mempunyai tepat dua vektor tak bebas linier jika dan hanya jikasalah satu vektor merupakan kelipatan vektor yang lain

Misalkan

S = {v1, v2, ..., vr} adalah himpunan vektor-vektor dalam Rn.Jika r > n maka S tak bebas linier

Ruang Vektor Khusus

Sebuah himpunan

Misalkan

Ruang Vektor Khusus

Sebuah himpunan

Misalkan

Ruang Vektor Khusus

Basis dan Dimensi

Definisi

Misalkan V ruang vektor dan S = {v1, v2, ..., vr} ⊂ V . S disebutbasis untuk V jika

S bebas linier

S merentang V

1 Jika S = {v1, v2, ..., vn} basis untuk ruang vektor V makatiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak bebaslinier

2 Sebarang dua basis mempunyai banyak vektor yang sama3 Bilangan kardinal dari himpunan basis S disebut dimensi

Ruang Vektor Khusus

Basis dan Dimensi

Definisi

S bebas linier

S merentang V

Ruang Vektor Khusus

Basis dan Dimensi

Definisi

S bebas linier

S merentang V

Ruang Vektor Khusus

Basis dan Dimensi

Definisi

S bebas linier

S merentang V

Ruang Vektor Khusus

Basis dan Dimensi

Definisi

S bebas linier

S merentang V

Ruang Vektor Khusus

Basis dan Dimensi

Definisi

S bebas linier

S merentang V

Ruang Vektor Khusus

Basis dan Dimensi

Definisi

S bebas linier

S merentang V

Ruang Vektor Khusus

Teorema Basis

Teorema a

Jika S = {v1, v2, ..., vn} adalah himpunan n vektor bebas linierpada ruang V berdimensi n, maka S adalah basis

Teorema b

Jika S = {v1, v2, ..., vn} adalah himpunan n vektor yangmerentang ruang V berdimensi n, maka S adalah basis

Teorema c

Jika S = {v1, v2, ..., vr} adalah himpunan r vektor bebas linierpada ruang V berdimensi n dan r < n, maka S dapatdiperbesar untuk menjadi basis V

Ruang Vektor Khusus

Teorema Basis

Teorema a

Teorema b

Teorema c

Ruang Vektor Khusus

Teorema Basis

Teorema a

Teorema b

Teorema c

Ruang Vektor Khusus

Ruang Baris dan Ruang KolomRuang Hasilkali DalamBasis OrtonormalKoordinat - Perubahan Basis

Ruang Baris dan Ruang Kolom

Tinjaulah matriks m × n

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n...

... ......

am1 am2 ... amn

Subruang Rn

yang direntang oleh vektor-vektor baris A disebut ruang barisA

Subruang Rm

yang direntang oleh vektor-vektor kolom A disebut ruangkolom A

Ruang Vektor Khusus

Ruang Baris dan Ruang Kolom

Tinjaulah matriks m × n

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n...

... ......

am1 am2 ... amn

Subruang Rn

yang direntang oleh vektor-vektor baris A disebut ruang barisA

Subruang Rm

yang direntang oleh vektor-vektor kolom A disebut ruangkolom A

Ruang Vektor Khusus

Teorema Ruang Baris (Kolom)

Operasi Baris Elementer

tidak mengubah ruang baris sebuah matriks

Vektor-vektor baris taknol

pada bentuk eselon baris dari matriks A membentuk basisuntuk ruang baris A

Ruang baris dan ruang kolom

suatu matriks memiliki dimensi yang sama

Dimensi

ruang baris dan ruang kolom matriks A dinamakan rank A dandinyatakan dengan rank(A)

Ruang Vektor Khusus

Dimensi

Ruang Vektor Khusus

Dimensi

Ruang Vektor Khusus

Dimensi

Ruang Vektor Khusus

Pernyataan-pernyataan Ekivalen

Jika A matriks n × n, maka pernyataan-pernyataan berikutekivalen:

1 A invertibel2 Ax = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial3 A ekivalen baris terhadap In4 Ax = b selalu konsisten5 det(A) 6= 06 rank(A) = n7 Vektor-vektor baris A bebas linier8 Vektor-vektor kolom A bebas linier

Ruang Vektor Khusus

Beberapa Teorema Lanjutan

Sebuah sistem linier Ax = b

adalah konsisten jika dan hanya jika b berada dalam ruangkolom matriks A

akan konsisten jika dan hanya jika rank(A) = rank(A|b)

Jika Ax = b sistem konsisten

yang memuat m persamaan dan n variabel, dan jikarank(A) = r , maka pemecahan sistem tersebut memuat n − rparameter

Ruang Vektor Khusus

Hasilkali Dalam

Sebuah hasilkali dalam pada ruang vektor riil V adalah fungsiyang mengasosiasikan bilangan riil < u, v > dengan pasanganvektor (u, v)dan memenuhi aksioma:

1 < u, v >=< v , u >

2 =< u, w > + < v , w >

3 < ku, v >= k < u, v >

4 < v , v >≥ 0; dan < v , v >= 0 ⇐⇒ v = 0

untuk u, v , w ∈ V dan k skalar

Sebuah ruang vektor riil

dengan sebuah hasilkali dalam disebut ruang hasilkali dalam

Ruang Vektor Khusus

Hasilkali Dalam

1 < u, v >=< v , u >

2 =< u, w > + < v , w >

3 < ku, v >= k < u, v >

4 < v , v >≥ 0; dan < v , v >= 0 ⇐⇒ v = 0

Ruang Vektor Khusus

Hasilkali Dalam

1 < u, v >=< v , u >

2 =< u, w > + < v , w >

3 < ku, v >= k < u, v >

4 < v , v >≥ 0; dan < v , v >= 0 ⇐⇒ v = 0

Ruang Vektor Khusus

Hasilkali Dalam

1 < u, v >=< v , u >

2 =< u, w > + < v , w >

3 < ku, v >= k < u, v >

4 < v , v >≥ 0; dan < v , v >= 0 ⇐⇒ v = 0

Ruang Vektor Khusus

Hasilkali Dalam

1 < u, v >=< v , u >

2 =< u, w > + < v , w >

3 < ku, v >= k < u, v >

4 < v , v >≥ 0; dan < v , v >= 0 ⇐⇒ v = 0

Ruang Vektor Khusus

Hasilkali Dalam

1 < u, v >=< v , u >

2 =< u, w > + < v , w >

3 < ku, v >= k < u, v >

4 < v , v >≥ 0; dan < v , v >= 0 ⇐⇒ v = 0

Ruang Vektor Khusus

Sifat-sifat Hasilkali Dalam

Jika u, v , w vektor-vektor dalam ruang hasilkali dalam dan kskalar

< 0, v >=< v , 0 >= 0

< u, v + w >=< u, v > + < u, w >

< u, kv >= k < u, v >

Ruang Vektor Khusus

< 0, v >=< v , 0 >= 0

< u, v + w >=< u, v > + < u, w >

< u, kv >= k < u, v >

Ruang Vektor Khusus

< 0, v >=< v , 0 >= 0

< u, v + w >=< u, v > + < u, w >

< u, kv >= k < u, v >

Ruang Vektor Khusus

< 0, v >=< v , 0 >= 0

< u, v + w >=< u, v > + < u, w >

< u, kv >= k < u, v >

Ruang Vektor Khusus

Panjang dan Sudut di Ruang Hasilkali Dalam

Analog dengan ruang Euclidis

Jika V sebuah ruang hasilkali dalam, maka

norm vektor u = ||u|| =< u, u >12

jarak antara titik u dan v adalah

d(u, v) = ||u − v ||

Ketaksamaan Cauchy-Schwartz

Jika u dan v adalah vektor pada ruang hasilkali dalam, maka

< u, v >2≤< u, u >< v , v >

Ruang Vektor Khusus

d(u, v) = ||u − v ||

< u, v >2≤< u, u >< v , v >

Ruang Vektor Khusus

d(u, v) = ||u − v ||

< u, v >2≤< u, u >< v , v >

Ruang Vektor Khusus

d(u, v) = ||u − v ||

< u, v >2≤< u, u >< v , v >

Ruang Vektor Khusus

Sifat Dasar Norm dan Jarak

Norm Jarak‖u‖ ≥ 0 d(u, v) ≥ 0‖u‖ = 0 ⇐⇒ u = 0 d(u, v) = 0 ⇐⇒ u = v‖ku‖ = |k |‖u‖ d(u, v) = d(v , u)‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w , v)

Jika V ruang hasilkali dalam

maka norm dan jarak yang didefinisikan memenuhi semua sifatyang didaftar dalam tabel di atas

Ruang Vektor Khusus

Ortogonalitas

Dalam ruang hasilkali dalam

vektor u dan v dikatakan ortogonal jika < u, v >= 0.Selanjutnya jika u ortogonal terhadap setiap vektor padahimpunan W , maka dikatakan u ortogonal terhadap W

Teorema Pythagoras yang digeneralisasi

Jika u dan v adalah vektor-vektor ortogonal pada ruanghasilkali dalam, maka

‖u + v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2

Ruang Vektor Khusus

Ortogonalitas

Dalam ruang hasilkali dalam

vektor u dan v dikatakan ortogonal jika < u, v >= 0.Selanjutnya jika u ortogonal terhadap setiap vektor padahimpunan W , maka dikatakan u ortogonal terhadap W

Teorema Pythagoras yang digeneralisasi

Jika u dan v adalah vektor-vektor ortogonal pada ruanghasilkali dalam, maka

‖u + v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2

Ruang Vektor Khusus

Basis Ortonormal

Sebuah himpunan vektor dalam ruang hasilkali dalam disebutortonormal jika

tiap pasang vektor yang berbeda adalah ortogonal

semua vektor memiliki norm 1

Jika S = {v1, v2, ..., vn} adalah basis ortonormal pada ruanghasilkali dalam V dan u sebarang vektor dalam V , maka

u =< u, v1 > v1+ < u, v2 > v2 + ...+ < u, vn > vn

Jika S = {v1, v2, ..., vn} himpunan ortogonal dari vektor-vektortaknol dalam ruang hasilkali dalam, maka S bebas linier

Ruang Vektor Khusus

Basis Ortonormal

u =< u, v1 > v1+ < u, v2 > v2 + ...+ < u, vn > vn

Ruang Vektor Khusus

Basis Ortonormal

u =< u, v1 > v1+ < u, v2 > v2 + ...+ < u, vn > vn

Ruang Vektor Khusus

Basis Ortonormal

u =< u, v1 > v1+ < u, v2 > v2 + ...+ < u, vn > vn

Ruang Vektor Khusus

Basis Ortonormal

u =< u, v1 > v1+ < u, v2 > v2 + ...+ < u, vn > vn

Ruang Vektor Khusus

Proyeksi Ortogonal

Misalkan V adalah ruang hasilkali dalam

dan {v1, v2, ..., vr} adalah himpunan ortonormal darivektor-vektor V . Jika W menyatakan ruang yang direntangoleh v1, v2, ..., vr maka tiap vektor u dalam V dapat dinyatakandalam bentuk

u = w1 + w2

dengan w1 terletak pada W

w1 =< u, v1 > v1+ < u, v2 > v2 + ...+ < u, vr > vr = proyW u

dan w2 ortogonal terhadap W

w2 = u− < u, v1 > v1+ < u, v2 > v2 + ...+ < u, vn > vn

Ruang Vektor Khusus

Proses Gram-Schmidt

Teorema

Setiap ruang hasilkali dalam berdimensi hingga taknolmempunyai sebuah basis ortonormal

Teorema tersebut dapat dibuktikan dengan mengkonstruksisebuah basis ortonormal {v1, v2, ..., vn} dari sebarang basisS = {u1, u2, ..., un} dengan menggunakan prosesGram-Schmidt

Step 1

v1 = u1‖u1‖

Ruang Vektor Khusus

Proses Gram-Schmidt

Teorema

Step 1

v1 = u1‖u1‖

Ruang Vektor Khusus

Proses Gram-Schmidt

Teorema

Step 1

v1 = u1‖u1‖

Ruang Vektor Khusus

Proses Gram-Schmidt

Step 2

v2 =u2−proyW1

‖u2−proyW1u2‖ = u2−<u2,v1>v1

‖u2−<u2,v1>v1‖

Step 3

v3 =u3−proyW2

‖u3−proyW2u3‖ = u3−<u3,v1>v1−<u3,v2>v2

‖u3−<u3,v1>v1−<u3,v2>v2‖

Step 4

v4 =u4−proyW3

‖u4−proyW3u4‖ = u4−<u4,v1>v1−<u4,v2>v2−<u4,v3>v3

‖u4−<u4,v1>v1−<u4,v2>v2−<u4,v3>v3‖

Sampai step ke 4 didapatkan bahwa {v1, v2, v3, v4} merupakanhimpunan ortonormal. Secara analog proses ini terus berlanjuthingga mendapat basis ortonormal {v1, v2, ..., vn}

Ruang Vektor Khusus

Proses Gram-Schmidt

Step 2

v2 =u2−proyW1

‖u2−proyW1u2‖ = u2−<u2,v1>v1

‖u2−<u2,v1>v1‖

Step 3

v3 =u3−proyW2

‖u3−proyW2u3‖ = u3−<u3,v1>v1−<u3,v2>v2

‖u3−<u3,v1>v1−<u3,v2>v2‖

Step 4

v4 =u4−proyW3

‖u4−<u4,v1>v1−<u4,v2>v2−<u4,v3>v3‖

Ruang Vektor Khusus

Proses Gram-Schmidt

Step 2

v2 =u2−proyW1

‖u2−proyW1u2‖ = u2−<u2,v1>v1

‖u2−<u2,v1>v1‖

Step 3

v3 =u3−proyW2

‖u3−proyW2u3‖ = u3−<u3,v1>v1−<u3,v2>v2

‖u3−<u3,v1>v1−<u3,v2>v2‖

Step 4

v4 =u4−proyW3

‖u4−<u4,v1>v1−<u4,v2>v2−<u4,v3>v3‖

Ruang Vektor Khusus

Proses Gram-Schmidt

Step 2

v2 =u2−proyW1

‖u2−proyW1u2‖ = u2−<u2,v1>v1

‖u2−<u2,v1>v1‖

Step 3

v3 =u3−proyW2

‖u3−proyW2u3‖ = u3−<u3,v1>v1−<u3,v2>v2

‖u3−<u3,v1>v1−<u3,v2>v2‖

Step 4

v4 =u4−proyW3

‖u4−<u4,v1>v1−<u4,v2>v2−<u4,v3>v3‖

Ruang Vektor Khusus

Koordinat

Jika S = {v1, v2, ..., vn} adalah basis

untuk ruang vektor V , maka setiap vektor v ∈ V dapatdinyatakan dalam bentuk v = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn dengantepat satu cara

Skalar c1, c2, ..., cn disebut koordinat v relatif terhadap basis S

Ruang Vektor Khusus

Koordinat

Jika S = {v1, v2, ..., vn} adalah basis

untuk ruang vektor V , maka setiap vektor v ∈ V dapatdinyatakan dalam bentuk v = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn dengantepat satu cara

Skalar c1, c2, ..., cn disebut koordinat v relatif terhadap basis S

Ruang Vektor Khusus

Vektor dan Matriks Koordinat

Vektor Koordinat

dari v relatif terhadap basis S dinyatakan oleh

(v)S = {c1, c2, ..., cn}

Matriks Koordinat

[v ]S =

Ruang Vektor Khusus

Vektor dan Matriks Koordinat

Vektor Koordinat

(v)S = {c1, c2, ..., cn}

Matriks Koordinat

[v ]S =

Ruang Vektor Khusus

Kontribusi Basis Ortonormal

Jika S adalah basis ortonormal

untuk ruang hasilkali dalam berdimensi n dan jika

(u)S = (u1, u2, ..., un)

dan(v)S = (v1, v2, ..., vn)

‖u‖ =√

u21 + u2

2 + ... + u2n

d(u, v) =√

(u1 − v1)2 + (u2 − v2)2 + ... + (un − vn)2

< u, v >= u1v1 + u2v2 + ... + unvn

Ruang Vektor Khusus

(u)S = (u1, u2, ..., un)

dan(v)S = (v1, v2, ..., vn)

‖u‖ =√

u21 + u2

2 + ... + u2n

d(u, v) =√

(u1 − v1)2 + (u2 − v2)2 + ... + (un − vn)2

< u, v >= u1v1 + u2v2 + ... + unvn

Ruang Vektor Khusus

(u)S = (u1, u2, ..., un)

dan(v)S = (v1, v2, ..., vn)

‖u‖ =√

u21 + u2

2 + ... + u2n

d(u, v) =√

(u1 − v1)2 + (u2 − v2)2 + ... + (un − vn)2

< u, v >= u1v1 + u2v2 + ... + unvn

Ruang Vektor Khusus

(u)S = (u1, u2, ..., un)

dan(v)S = (v1, v2, ..., vn)

‖u‖ =√

u21 + u2

2 + ... + u2n

d(u, v) =√

(u1 − v1)2 + (u2 − v2)2 + ... + (un − vn)2

< u, v >= u1v1 + u2v2 + ... + unvn

Ruang Vektor Khusus

Masalah Perubahan Basis

Masalah

Jika basis untuk suatu ruang vektor diubah dari basis lama, B,ke basis baru B′, bagaimanakah matriks (vektor) koordinat vterhadap basis lama, [v ]B, bila dihubungkan dengan matriks(vektor) koordinatnya terhadap basis baru, [v ]B′ ?

Ruang Vektor Khusus

Ilustrasi

B = {u1, u2} dan B′ = {u′1, u′

2}(u′)1 = (a, b) dan (u′)2 = (c, d)

(v)B′ = (k1, k2)

Tentukan (v)B !

Solusi

[v ]B =

[a cb d

][v ]B′

Ruang Vektor Khusus

Ilustrasi

B = {u1, u2} dan B′ = {u′1, u′

2}(u′)1 = (a, b) dan (u′)2 = (c, d)

(v)B′ = (k1, k2)

Tentukan (v)B !

Solusi

[v ]B =

[a cb d

][v ]B′

Ruang Vektor Khusus

Ilustrasi

B = {u1, u2} dan B′ = {u′1, u′

2}(u′)1 = (a, b) dan (u′)2 = (c, d)

(v)B′ = (k1, k2)

Tentukan (v)B !

Solusi

[v ]B =

[a cb d

][v ]B′

Ruang Vektor Khusus

Ilustrasi

B = {u1, u2} dan B′ = {u′1, u′

2}(u′)1 = (a, b) dan (u′)2 = (c, d)

(v)B′ = (k1, k2)

Tentukan (v)B !

Solusi

[v ]B =

[a cb d

][v ]B′

Ruang Vektor Khusus

Ilustrasi

B = {u1, u2} dan B′ = {u′1, u′

2}(u′)1 = (a, b) dan (u′)2 = (c, d)

(v)B′ = (k1, k2)

Tentukan (v)B !

Solusi

[v ]B =

[a cb d

][v ]B′

Ruang Vektor Khusus

Ilustrasi

B = {u1, u2} dan B′ = {u′1, u′

2}(u′)1 = (a, b) dan (u′)2 = (c, d)

(v)B′ = (k1, k2)

Tentukan (v)B !

Solusi

[v ]B =

[a cb d

][v ]B′

Ruang Vektor Khusus

Masalah Secara Umum

Jika basis untuk suatu ruang vektor diubah dari basis lama,B = {u1, u2, ..., un}, ke basis baru B′ = {u′

1, u′2, ..., u′

n},bagaimanakah matriks (vektor) koordinat v terhadap basislama, [v ]B, bila dihubungkan dengan matriks (vektor)koordinatnya terhadap basis baru, [v ]B′ ?

Solusi

[v ]B = P [v ]B′

denganP =

[[u′

]B , ...,

]Matriks P disebut matriks transisi dari basis B’ ke B

Ruang Vektor Khusus

Masalah Secara Umum

Jika basis untuk suatu ruang vektor diubah dari basis lama,B = {u1, u2, ..., un}, ke basis baru B′ = {u′

1, u′2, ..., u′

n},bagaimanakah matriks (vektor) koordinat v terhadap basislama, [v ]B, bila dihubungkan dengan matriks (vektor)koordinatnya terhadap basis baru, [v ]B′ ?

Solusi

[v ]B = P [v ]B′

denganP =

[[u′

]B , ...,

]Matriks P disebut matriks transisi dari basis B’ ke B

Ruang Vektor Khusus

Matriks Transisi

Jika P matriks transisi dari basis B′ ke basis B, maka

P invertibel

P−1 adalah matriks transisi dari B ke B′

Jika P adalah matriks transisi

dari suatu basis ortonormal ke basis ortonormal yang lainuntuk suatu ruang hasilkali dalam, maka

P−1 = P t

Ruang Vektor Khusus

Matriks Transisi

P invertibel

P−1 = P t

Ruang Vektor Khusus

Matriks Transisi

P invertibel

P−1 = P t

Ruang Vektor Khusus

Matriks Transisi

P invertibel

P−1 = P t

Ruang Vektor Khusus

Matriks Ortogonal

adalah matriks persegi yang inversnya sama dengantransposnya.

A−1 = At

Pernyataan berikut ekivalen

1 A matriks ortogonal2 Vektor-vektor baris dari A membentuk himpunan

ortonormal dengan hasilkali dalam Euclidis3 Vektor-vektor kolom dari A membentuk himpunan

ortonormal dengan hasilkali dalam Euclidis

Ruang Vektor Khusus

Matriks Ortogonal

A−1 = At

Ruang Vektor Khusus

Matriks Ortogonal

A−1 = At

Ruang Vektor Khusus

Matriks Ortogonal

A−1 = At

Ruang Vektor Khusus

Matriks Ortogonal

A−1 = At

RUANG VEKTOR (Kajian pada Ruang-n Euclidis dan Ruang ... · PDF fileOutline RUANG VEKTOR...

Documents

Transcript of RUANG VEKTOR (Kajian pada Ruang-n Euclidis dan Ruang ... · PDF fileOutline RUANG VEKTOR...