Ruang Vektor

1

Ruang Vektor

Definisi

Anggap V adalah sebarang himpunan tak-kosong dari objek dimana dua

operasi didefinisikan, yaitu penjumlahan dan perkalian dengan skalar.

Penjumlahan adalah suatu aturan yang menghubungkan setiap pasangan

objek u dan v dalam V dengan suatu objek u+v, yang disebut sebagai jumlah u

dan v, dan perkalian didefinisikan dengan perkalian skalar adalah suatu

aturan yang menghubungkan setiap skalar k dan setiap objek u dalam V

dengan objek ku, yang disebut perkalian skalar dari u dengan k. Jika aksioma

berikut ini dipenuhi oleh semua objek u, v, w dalam V dan semua skalar k dan

l, maka kita sebut V sebagai ruang vektor dan kita sebut objek dalam V sebagai

vektor.

(1) Jika u dan v adalah objek-objek dalam V, maka u+v berada dalam V

(2) u+ v= v+ u

(3) u + (v + w)= (u + v) + w

(4) ada suatu objek 0 dalam V, yang disebut suatu vektor nol untuk V

sedemikan sehingga 0+ u= u+ 0= u untuk semua u dalam V

(5) untuk setiap u dalam V, ada suatu objek –u dalam V, yang disebut

negatif dari u, sedemikian sehingga u+ (-u)= (-u)+ u= 0

(6) jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang objek dalam V,

maka ku ada dalam V

(7) k ( u+ v)= ku+ kv

(8) ( k+ l) u= ku+ lu

(9) k (lu)= (kl)( u)

(10) 1u= u

Ruang-ruang vektor dimana skalar tersebut merupakan bilangan-bilangan

kompleks disebut ruang vektor kompleks, dan ruang-ruang vector dimana

skalar tersebut bilangan real maka disebut ruang vektor real.

Ruang Vektor

2

Contoh-contoh Ruang Vektor

Contoh berikut akan mengilustrasikan berbagai kemungkinan ruang vektor.

Contoh 1:

Tunjukkan bahwa himpunan V dari semua matriks 2x2 dengan anggota

bilangan real merupakan suatu ruang vektor jika penjumlahan vektor

didefinisikan sebagai penjumlahan matriks dan perkalian skalar vektor

didefinisikan sebagai perkalian skalar matriks.

Penyelesaian:

Anggap

𝐮 = [𝑢11 𝑢12

𝑢21 𝑢22] dan 𝐯 = [

𝑣11 𝑣12

𝑣21 𝑣22]

Untuk membuktikan aksioma 1, kita harus menunjukkan bahwa u+v adalah

suatu objek dalam V; yaitu kita harus menunjukkan bahwa u+v adalah suatu

matriks 2x2. Tetapi hal tersebut terbukti dari definisi penjumlahan matriks

karena

𝐮 + 𝐯 = [𝑢11 𝑢12

𝑢21 𝑢22] + [

𝑣11 𝑣12

𝑣21 𝑣22] = [

𝑢11 + 𝑣11 𝑢12 + 𝑣12

𝑢21 + 𝑣21 𝑢22 + 𝑣22]

Demikian juga aksioma 6 berlaku. Karena sebarang bilangan real k kita

dapatkan

𝑘𝐮 = [𝑢11 𝑢12

𝑢21 𝑢22] = [

𝑘𝑢11 𝑘𝑢12

𝑘𝑢21 𝑘𝑢22]

Sehingga ku adalah matriks 2x2 dan oleh karena itu merupakan objek dalam

V.

Aksioma 2 terbukti karena

𝐮 + 𝐯 = [𝑢11 𝑢12

𝑢21 𝑢22] + [

𝑣11 𝑣12

𝑣21 𝑣22] = [

𝑣11 𝑣12

𝑣21 𝑣22] + [

𝑢11 𝑢12

𝑢21 𝑢22] = 𝐯 + 𝐮

Demikian juga aksioma 3 terbukti dan aksioma 7, 8, dan 9 masing-masing

terbukti berdasarkan operasi pada matriks.

Untuk membuktikan aksioma 4, kita harus mencari suatu objek 0 dalam V

sedemikian sehingga 0+u= u+ 0= u untuk semua u dalam V. Hal ini bisa

dilakukan dengan mendefinisikan 0 sebagai

𝟎 = [0 00 0

]

Ruang Vektor

3

Dengan definisi ini

𝟎 + 𝐮 = [0 00 0

] + [𝑢11 𝑢12

𝑢21 𝑢22] = [

𝑢11 𝑢12

𝑢21 𝑢22] = 𝐮

Dan deikian juga u+ 0= u. Untuk membuktikan aksioma 5 kita harus

menunjukkan bahwa setiap objek u dalam V mempunyai suatu negatif –u

sedemikian sehingga u+(-u)= 0 dan (-u)+u= 0. Ini bisa dilakukan dengan

mendefinisikan negatif dari u sebagai

−𝐮 = [−𝑢11 −𝑢12

−𝑢21 −𝑢22]

Dengan definisi ini

𝐮 + (−𝐮) = [𝑢11 𝑢12

𝑢21 𝑢22] + [

−𝑢11 −𝑢12

−𝑢21 −𝑢22] = [

0 00 0

] = 𝟎

Dan demikian juga (-u)+ u= 0. Akhirnya aksioma 10 adalah suatu perhitungan

sederhana

1𝐮 = 1 [𝑢11 𝑢12

𝑢21 𝑢22] = [

𝑢11 𝑢12

𝑢21 𝑢22] = 𝐮

Contoh 2:

Anggap 𝑉 = 𝑅𝑛 dan didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian skalar

sebagai berikut: jika 𝐮 = (𝑢1, 𝑢2) dan 𝐯 = (𝑣1, 𝑣2), maka didefinisikan

𝐮 + 𝐯 = (𝑢1 + 𝑣1, 𝑢2 + 𝑣2)

Dan jika k adalah sebarang bilangan real, maka definisikan

𝑘𝐮 = (𝑘𝑢1, 0)

Misalnya, jika 𝐮 = (2, 4), 𝐯 = (−3, 5), dan k=7, maka

𝐮 + 𝐯 = (2 + (−3), 4 + 5) = (−1, 9)

𝑘𝐮 = 7𝑢 = (7.2, 0) = (14, 0)

Operasi penjumlahan adalah operasi penjumlahan standar pada 𝑅2, tetapi

operasi perkalian skalar bukanlah perkalian skalar standar. Dapat ditunjukkan

bahwa sembilan aksioma pertama terpenuhi (bukti ditingalkan sebagai

latihan), akan tetapi, ada nilai u dimana aksioma 10 gagal terpenuhi.

Misalnya jika 𝐮 = (𝑢1, 𝑢2) sedemikan sehingga 𝑢2 ≠ 0, maka

1𝐮 = 1(𝑢1, 𝑢2) = (1. 𝑢1, 0) = (𝑢1, 0) ≠ 𝐮

Jadi, V bukanlah suatu ruang vektor dengan operasi-operasi yang dinyatakan.

Ruang Vektor

4

Contoh 3:

Anggap V terdiri dari suatu objek tunggal, yang kita nyatakan dengan 0 dan

didefinisikan:

𝟎 + 𝟎 = 𝟎

𝑘𝟎 = 𝟎

Untuk semua skalar k. kita bisa dengan mudah memeriksa nbahwa semua

aksioma ruang vektor terpenuhi. Ini kita sebut ruang vector nol.

Beberapa Sifat Vektor

Anggap V adalah satu ruang vektor, u suatu vektor dalam V dan k suatu skalar,

maka:

(a) 0u= 0

(b) k0= 0

(c) ( -1)u= -u

(d) Jika ku= 0, maka k= 0 atau u= 0

Latihan

Diberikan sebuah himpunan objek bersama dengan operasi penjumlahan dan

perkalian skalarnya. Tentukan himpunan mana yang merupakan ruang vektor

di bawah operasi-operasi yang diberikan. Untuk himpunan yang bukan

merupakan ruang vektor, sebutkan semua aksioma yang tidak terpenuhi.

1. Himpunan semua pasangan tiga bilanan real (x, y, z) dengan operasi

(𝑥, 𝑦, 𝑧) + (𝑥′, 𝑦′, 𝑧′) = (𝑥 + 𝑥′, 𝑦 + 𝑦′, 𝑧 + 𝑧′) dan 𝑘(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑘𝑥, 𝑦, 𝑧)

2. Himpunan semua pasangan tiga bilangan real (x, y, z) dengan operasi

(𝑥, 𝑦, 𝑧) + (𝑥′, 𝑦′, 𝑧′) = (𝑥 + 𝑥′, 𝑦 + 𝑦′, 𝑧 + 𝑧′) dan 𝑘(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0, 0, 0)

3. Himpunan semua pasangan bilangan real (x,y) dengan operasi

(𝑥, 𝑦) + (𝑥′, 𝑦′) = (𝑥 + 𝑥′, 𝑦 + 𝑦′) dan 𝑘(𝑥, 𝑦) = (2𝑘𝑥, 2𝑘𝑦)

Ruang Vektor

5

4. Himpunan semua pasangan bilangan real (x, y) dengan operasi

(𝑥, 𝑦) + (𝑥′, 𝑦′) = (𝑥 + 𝑥′ + 1, 𝑦 + 𝑦′ + 1) dan 𝑘(𝑥, 𝑦) = (𝑘𝑥, 𝑘𝑦)

5. Himpunan semua matriks 2x2 berbentuk

[𝑎 11 𝑏

]

Dengan penjumlahan dan perkalian skalar matriks.

6. Himpunan semua matriks 2x2 berbentuk

[𝑎 00 𝑏

]

Dengan penjumlahan dan perkalian skalar matriks.

7. Himpunan semua matriks 2x2 berbentuk

[ 𝑎 𝑎 + 𝑏𝑎 + 𝑏 𝑏

]

Dengan penjumlahan dan perkalian skalar matriks.

Ruang Vektor

6

Sub-Ruang

Definisi

Suatu himpunan bagian W dari suatu ruang vektor V disebut suatu sub-ruang

dari V jika W sendiri adalah suatu ruang vektor di bawah penjumlahan dan

perkalian skalar yang didefinisikan pada V.

Secara umum, kita harus memeriksa kesepuluh aksioma ruang vektor untuk

menunjukkan bahwa suatu himpunan W dengan penjumlahan dan perkalian

skalar membentuk suatu ruang vektor. Akan tetapi, jika W adalah bagian dari

ruang vektor V, maka aksioma-aksioma tertentu tidak perlu diperiksa untuk

W karena aksioma-aksioma tersebut “diwarisi” dari V.

Teorema

Jika W adalah suatu himpunan satu atau lebih vektor dari suatu ruang vektor

V, maka W adalah suatu sub-ruang dari V jika dan hanya jika syarat-syarat

berikut ini terpenuhi.

(a) Jika u dan v adalah vektor-vektor dalam W, maka u+ v ada dalam W.

(b) Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor dalam W, maka

ku ada dalam W.

Suatu himpunan satu atau lebih vektor W dari suatu ruang vector V disebut

tertutup terhadap penjumlahan jika syarat (a) dari teorema di atas

terpenuhi dan tertutup terhadap perkalian skalar jika syarat (b) terpenuhi.

Jadi, teorema tersebut menyatakan bahwa W adalah suatu sub-ruang dari V

jika dan hanya jika W tertutup terhadap penjumlahan dan tertutup terhadap

perkalian skalar.

Ruang Vektor

7

Contoh Sub-Ruang:

Contoh 1:

Tunjukkan bahwa garis yang melalui titik asal R3 merupakan suatu sub-ruang

dari R3.

Penyelesaian:

Anggap W adalah garis yang melalui titik asal R3. Terbukti secara geometris

bahwa jumlah dua vektor pada garis ini juga terletak pada garis tersebut dan

bahwa perkalian skalar dari suatu vektor pada garis ini juga terletak pada garis

tersebut (Gambar 1). Jadi, W tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian

skalar, sehingga W adalah sub-ruang dari R3.

Contoh 2:

Anggap W adalah himpunan semua titik (x, y) pada R2 sedemikian sehingga𝑥 ≥

0 dan 𝑦 ≥ 0. Ini adalah titik-titik di kuadran pertama. Himpunan W bukanlah

suatu sub-ruang dari R2 karena tidak tertutup terhadap perkalian skalar.

Misalnya, v=(1,1) terletak pada W, tetapi negatifnya (-1)v=-v=(-1, -1) tidak

terletak pada W (Gambar di bawah ini).

u v

u+v

W W

u

ku

W tertutup terhadap penjumlahan W tertutup terhadap perkalian skalar

Ruang Vektor

8

Setiap ruang vektor tak-nol V paling tidak mempunyai dua sub-ruang; V

sendiri adalah sub-ruang, dan himpunan {0} yang hanya terdiri dari vektor nol

dalam V adalah sub-ruang yang disebut sub-ruang nol. Kita peroleh daftar

sub-ruang dari R2 dan R3 berikut ini:

Sub-ruang dari R2

• {0}

• Garis-garis yang melalui titik awal

• R2

Sub-ruang dari R3

• {0}

• Garis-garis yang melalui titik asal

• Bidang-bidang yang melalui titik asal

• R3

y

x

W (1,1)

(-1,-1)

W tidak tertutup terhadap perkalian skalar

Ruang Vektor

9

KEBEBASAN LINEAR

Definisi

Jika 𝑆 = {𝐯1, 𝐯2, … , 𝐯𝑟} adalah suatu himpunan vector-vektor tak-kosong, maka

persamaan vector

𝑘1𝐯1 + 𝑘2𝐯2 + ⋯ + 𝑘𝑟𝐯𝑟 = 𝟎

Mempunyai paling tidak satu penyelesaian, yaitu

𝑘1 = 0, 𝑘2 = 0, … , 𝑘𝑟 = 0

Jika ini adalah satu-satunya penyelesaian, maka S disebut suatu himpunan

yang bebas secara linear. Jika ada penyelesaian-penyelesain lainnya, maka S

disebut himpunan yang tak-bebas secara linear.

Contoh 1

Jika v1=(2, -1, 0, 3), v2= (1, 2, 5, -1) dan v3=(7, -1, 5, 8), maka himpunan vector-

vektor S={v1, v2, v3) tak-bebas secara linear, karena 3v1+v2 − v3=0.

Contoh 2 Polinom

𝐩𝟏

= 1 − 𝑥, 𝐩𝟐

= 5 + 3𝑥 − 2𝑥2, dan 𝐩𝟑

= 1 + 3𝑥 − 𝑥2

Mementuk suatu himpunan yang tak-bebas secara linear dalam P2 karena

3𝐩𝟏

− 𝐩𝟐

+ 2𝐩𝟑

= 𝟎

Contoh 3

Tinjau vector i=(1, 0, 0) j=(0,1,0) dan k=(0,0,1) dalam 𝑅3. Dalam bentuk

komponen, persaman vektor

𝑘1𝐢 + 𝑘2𝐣 + 𝑘3𝐤 = 0

Menjadi

𝑘1(1,0, 0) + 𝑘2(0, 1, 0) + 𝑘3(0, 0, 1) = (0, 0, 0)

Atau secara ekivalen

(𝑘1, 𝑘2, 𝑘3) = (0, 0, 0)

Ruang Vektor

10

Ini mengimplikasikan bahwa 𝑘1 = 0, 𝑘2 = 0, dan 𝑘3 = 0, sehingga himpunan

𝑆 = {𝐢, 𝐣, 𝐤} bebas secara linear. Suatu uraian serupaserupa bisa digunakan

untuk menunjukkan bahwa vector-vektor

𝐞1 = (1, 0, 0, . . . . , 0), 𝐞2 = (0, 1, 0, . . . ,0), . . . . , 𝐞𝑛 = (0, 0, 0, . . . . 1)

Membentu suatu himpunan yang bebas secara linear dalam Rn.

Contoh 4

Tentukan apakah vektor-vektor

v1= (1, -2, 3), v2= (5, 6, -1), v3= (3, 2, 1)

Membentuk suatu himpunan yang tak-bebas secara linear atau himpunan

yang bebas secara linear.

Penyelesaian

Dalam bentuk komponen, persamaan vektor

𝑘1𝐯1 + 𝑘2𝐯2 + 𝑘3𝐯3 = 𝟎

Menjadi

𝑘1(1, −2, 3) + 𝑘2(5, 6, −1) + 𝑘3(3, 2, 1) = (0,0,0)

Atau secara ekivalen,

( 𝑘1

+ 5𝑘2 + 3𝑘3, −2𝑘1 + 6𝑘2 + 2𝑘3, 3𝑘1 − 1 + 𝑘3) = (0, 0, 0)

Dengan menyamakan komponen-komponen yang berpadanan kita akan

mendapatkan

𝑘1 + 5𝑘2 + 3𝑘3 = 0

−2𝑘1 + 6𝑘2 + 2𝑘3 = 0

3𝑘1 − 1 + 𝑘3 = 0

Jadi v1, v2, dan v3 membentuk suatu himpunan yang tak bebas secara linear

jika siste ni mempunyai suatu enyelesaian yang tak-trivial, atau suatu

himpunan yang bebas secara linear, jika system ini hanya memounyai

pnyelesaian trivial. Dengan menyelesaiakan system ini kita akan mendapatkan

𝑘1 = −1

2𝑡, 𝑘2 = −

1

2𝑡, 𝑘3 = 𝑡

Jadi, system tersebut mempunyai penyelesaian tak—trivial dan v1, v2, v3

mempunyai bentuk suatu himpunan yang tak bebas secara linear. Atau kita

bisa menunjukkan keberadaan penyelesaian tak-trivial tanpa menyelesaikan

Ruang Vektor

11

sistemnya dengan menunjukan bahwa matriks koefisiennya mempunyai

determinan nol dan akibatnya tidak dapat dibalik.

Istilah “tak-bebas secara linear” menyatakan bahwa vector-vektor tersebut

“tergantung” satu sama lain dalam suatu hal.

Teorema. Suatu himpunan S dengan dua atau lebih vektor disebut:

(a) Tak-bebas sacara linear jika dan hanya jika paling tidak salah satu vektor

dalam S dapat dinyakatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-

vektor lainnya dalam S.

(b) Bebas secara linear jika dan hanya jika tidak ada vektor dalam S yang dapat

dinyatakan sebagai satu kombinasi linear dari vektor-vektor lain dalam S.

Bukti:

(a) (→)Misalkan 𝑆 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑟} adalah suatu himpunan dengan dua

atau lebih vektor. Jika diasumsikan bahwa S tidak bebas linear maka terdapat

skalar 𝑘1, 𝑘2, … . , 𝑘𝑟 yang tidak semuanya nol, sedemikian rupa sehingga

𝑘1𝑣1 + 𝑘2𝑣2 + ⋯ + 𝑘𝑟𝑣𝑟 = 0....................(2)

Untuk lebih spesifik, misalkan 𝑘1 ≠ 0, maka (2) dapat ditulis kembali sebagai

𝑣1 = (−𝑘2

𝑘1

) 𝑣2 + ⋯ + (−𝑘𝑟

𝑘1

) 𝑣𝑟

yang menyatakan 𝑣1 sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lain pada S.

Demikian juga jika 𝑘𝑗 ≠ 0 pada (2) untuk beberapa nilai j = 2, 3, ..., r, maka 𝑣𝑗

dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor lain pada

S.

(←)Asumsikan bahwa paling tidak satu vektor pada S dapat

dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya. Untuk lebih

spesifik, misalkan

𝑣1 = 𝑐2𝑣2 + 𝑐3𝑣3 + ⋯ + 𝑐𝑟𝑣𝑟

sehingga

𝑣1 − 𝑐2𝑣2 − 𝑐3𝑣3 − ⋯ − 𝑐𝑟𝑣𝑟 = 0

Maka S tidak bebas linear karena persamaan

𝑘1𝑣1 + 𝑘2𝑣2 + ⋯ + 𝑘𝑟𝑣𝑟 = 0

Ruang Vektor

12

dipenuhi oleh

𝑘1 = 1, 𝑘2 = −𝑐2, … , 𝑘𝑟 = −𝑐𝑟

yang tidak semuanya nol.

Contoh;

Pada contoh 1 kita lihat bahwa vektor-vektor

v1=(2, -1, 0, 3), v2= (1, 2, 5, -1) dan v3=(7, -1, 5, 8)

membentuk suatu himpunan yangtak-bebas secara linear. Dari teorema di

ataskita dapatkan bahwa paling tidak salah satu dari vector-vektor ini dapat

dinyatakan sebagai kombinasi linear dari dua vector lainnya. Dalam contoh ini

setiap vektor dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari dua vektor

lainnya karena dari persamaan 3v1+v2 − v3=0 kita dapatkan bahwa

𝐯𝟏 = −1

3𝐯𝟐 +

1

3𝐯𝟑, 𝐯𝟐 = −3𝐯𝟏 + 𝐯𝟑, dan 𝐯𝟑 = 3𝐯𝟏 + 𝐯𝟐

Contoh

Pda contoh kita lihat bahwa vektor-vektor i=(1, 0, 0) j=(0,1,0) dan k=(0,0,1)

membentuk suatu himunan yang bebas secara linear. Jadi, dari teorema

didapatkan bahwa tidak satupun dari vector-vektor ini yang dapat dinyatakan

sebagai kombinasi linear dari dua vector lainnya. Angap bahwa k dapat

dinyatakan sebagai

𝐤 = 𝑘1𝐢 + 𝑘2𝐣

Maka dalam bentuk komponen-komponen

(0, 0, 1) = 𝑘1(1, 0, 0) + 𝑘2(0, 1, 0)

atau

(0, 0, 1) = (𝑘1, 𝑘2, 0)

Tetapi persamaan ini tidak dapat dipenuhi oleh setiap nilai 𝑘1 𝑑𝑎𝑛 𝑘2,

sehingga k tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari i dan j.

demikian juga i tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari j dan k,

dan j juga tidak dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari i dan k.

Ruang Vektor

13

Teorema

(a) Suatu himpunan vektor terhingga yang berisi vektor nol tak bebas linear.

(b) Suatu himpunan dengan tepat dua vektor bebas linear jika dan hanyak jika

vektor yang satu bukan merupakan penggandaan skalar dari vektor lainnya.

Bukti:

(a) Untuk vektor 𝐯1, 𝐯𝟐, … , 𝐯𝑟 sebarang, himpunan 𝑆 = {𝐯1, 𝐯𝟐, … , 𝐯𝐫, 𝟎} tidak

bebas linear karena persamaan

0𝐯1 + 0𝐯2 + ⋯ + 0𝐯𝑟 + 1(𝟎) = 𝟎

Menyatakan 0 sebgai kombinasi linear dari vektor-vektor pada S dengan

koefisien-koefisien yang tidak semuanya nol.

INTREPRETASI GEOMETRI DARI KEBEBASAN LINEAR

Kebebasan linear mempunyai suatu intrepretasi geometri yang berguna

dalam R2 dan R3

1. Dalam R2 dan R3 suatu himpunan dua vektor bebas secara linear jika

dan hanya jika vektor-vektor tersebut tidak terlatak pada garis yang

sama jika keduanya ditempatkan dengan titik-titik pangkalnya di titik

asal.

2. Dalam R3 suatu himpunan tiga vektor bebas secara linear jika dan

hanya jika vektor-vektor tersebut tidak terletak pada bidang yang

sama jika ketiganya ditempatkan dengantitik-titik pangkalnya pada

titik asal

Tak bebas secar linear

Tak bebas secar linear

Bebas secar linear

Ruang Vektor

14

Berikut adalah teorema yang menunjukkan bahwa suatu himpunan

yang bebas secara linear dalam Rn bisa mengandung banyak n vektor

Teorema : Anggap 𝑆 = {𝐯1, 𝐯2, … , 𝐯𝑟}, adalah suatu himpunan vektor-vektor

dalam Rn . jika r > n, maka S tak bebas linear.

Bukti

Anggap

v1= (v11, v12, v13, ... v1n )

v2= (v21, v22, v23, ... v2n )

⋮ ⋮

Vr= (vr1, vr2, vr3, ... vrn )

Tinjau persamaan

K1 v1 + K2 v2 + ....+ Kr vr =0

Ini adalah suatu sistem homogen n persamaan dalam r peubah k1 ......kr. karena

r > n, maka dapat disimpulkan bahwa sistem tersbut mempunyai penyelesaian

nontrivial. Dengan demikian S= {v1, v2, v3, ... vr } adalah himpunan yang tak bebas

secara linear.

Tak bebas secar linear

Tak bebas secar linear

Bebas secar linear

Ruang Vektor

15

Teorema 5.2.3. Jika 𝐯𝟏, 𝐯𝟐, … , 𝐯𝐫 adalah vektor-vektor dalam suatu ruang

vektor V, maka:

a) Himpunan W semua kombinasi linear dari 𝐯𝟏, 𝐯𝟐, … , 𝐯𝐫 merupakan suatu

sub-ruang dari V.

b) W adalah sub-ruang terkecil dari V yang berisi 𝐯𝟏, 𝐯𝟐, … , 𝐯𝐫 dalam

pengertian bahwa setiap sub-ruang lain dari V yang berisi 𝐯𝟏, 𝐯𝟐, … , 𝐯𝐫

pasti mengandung W.

Kombinasi Linear Vektor-vektor

Definisi

Suatu vector w disebut suatu kombinasi linear dari vektor-vektor v1, v2, …, vr

jika bisa dinyatakan dalam bentuk

𝒘 = 𝑘1𝐯𝟏 + 𝑘2𝐯𝟐 + ⋯ + 𝑘𝑟𝐯𝐫

Dengan 𝑘1, 𝑘2, … , 𝑘𝑟 adalah skalar.

RENTANG

Bukti a). Untuk menunjukkan bahwa W adalah suatu sub-ruang dari V, harus

dibuktikan terlebih dahulu bahwa W tertutup terhadap penjumlahan dan

perkalian skalar. Paling tidak ada satu vektor dalam W, yaitu, 0, karena 0 =

0𝐯𝟏 + 0𝐯𝟐 + ⋯ + 0𝐯𝐫. Jika u dan v adalah vektor-vektor dalam W, maka

𝐮 = 𝑐1𝐯𝟏 + 𝑐2𝐯𝟐 + ⋯ + 𝑐𝑟𝐯𝐫

dan

𝐯 = 𝑘1𝐯𝟏 + 𝑘2𝐯𝟐 + ⋯ + 𝑘𝑟𝐯𝐫

dengan 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑟, 𝑘1, 𝑘2, … , 𝑘𝑟 adalah skalar. Oleh karena itu,

𝐮 + 𝐯 = (𝑐1 + 𝑘1)𝐯𝟏 + (𝑐2 + 𝑘2)𝐯𝟐 + ⋯ + (𝑐𝑟 + 𝑘𝑟)𝐯𝐫

Dan, untuk sebarang skalar k,

𝑘𝐮 = (𝑘𝑐1)𝐯𝟏 + (𝑘𝑐2)𝐯𝟐 + ⋯ + (𝑘𝑐𝑟)𝐯𝐫

Jadi, 𝐮 + 𝐯 dan 𝑘𝐮 adalah kombinasi linier dari 𝐯𝟏, 𝐯𝟐, … , 𝐯𝐫 dan oleh karena itu

terletak dalam W. Dengan demikian, W tertutup terhadap penjumlahan dan

perkalian skalar.

Ruang Vektor

16

Definisi. Jika 𝑆 = {𝐯𝟏, 𝐯𝟐, … , 𝐯𝐫} adalah suatu himpunan vektor dalam suatu

ruang vektor 𝑉, maka sub-ruang 𝑊 dari 𝑉 yang mengandung semua

kombinasi linear dari vektor-vektor dalam 𝑆 disebut ruang terentang

oleh 𝐯𝟏, 𝐯𝟐, … , 𝐯𝐫 dan dapat dikatakan bahwa vektor-vektor 𝐯𝟏, 𝐯𝟐, … , 𝐯𝐫 adalah

rentang 𝑊. Untuk menunjukkan bahwa 𝑊 adalah ruang terentang oleh

vektor-vektor dalam himpunan 𝑆 = {𝐯𝟏, 𝐯𝟐, … , 𝐯𝐫} dapat ditulis

𝑊 = 𝑟𝑒𝑛𝑡(𝑆) atau 𝑊 = 𝑟𝑒𝑛𝑡{𝐯𝟏, 𝐯𝟐, … , 𝐯𝐫}

Bukti b). Setiap vektor 𝐯𝐢 adalah suatu kombinasi linear dari 𝐯𝟏, 𝐯𝟐, … , 𝐯𝐫

karena dapat ditulis

𝐯𝐢 = 0𝐯𝟏 + 0𝐯𝟐 + ⋯ + 1𝐯𝐢 + ⋯ + 0𝐯𝐫

Oleh karena itu, sub-ruang W mengandung masing-masing vektor 𝐯𝟏, 𝐯𝟐, … , 𝐯𝐫.

Anggap 𝑊′ adalah sebarang sub-ruang lainnya yang mengandung 𝐯𝟏, 𝐯𝟐, … , 𝐯𝐫.

Karena 𝑊′ tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar, maka 𝑊′

pasti mengandung semua kombinasi linear dari 𝐯𝟏, 𝐯𝟐, … , 𝐯𝐫. Jadi, 𝑊′

mengandung setiap vektor dari 𝑊.∎

Contoh 1

Jika 𝐱 dan 𝐲 adalah vektor-vektor tak-kolinear dalam 𝑅3 dengan titik-titik

pangkal di titik asal, maka rent{𝐱, 𝐲}, yang berisi semua kombinasi linear 𝑐1𝐱 +

𝑐2𝐲, adalah bidang yang ditentukan oleh 𝐱 dan 𝐲 (Gambar 1). Demikian juga,

jika 𝐱 adalah suatu vektor tak-nol dalam 𝑅2 atau 𝑅3, maka rent{𝐱}, yang

merupakan himpunan semua penggandaan skalar 𝑘𝐱, adalah garis yang

dibentuk oleh 𝐱 (Gambar 2).

x2

x

kx

x

x

Rent(x)

Gambar 2 Gambar 1

Ruang Vektor

17

Contoh 2

Tentukan apakah 𝐯𝟏 = (1, 1, 2), 𝐯𝟐 = (1, 0, 1), dan 𝐯𝟑 = (2, 1, 3) merentang

ruang vektor 𝑅3.

Penyelesaian.

Harus ditentukan dahulu apakah suatu vektor sebarang 𝑏 = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) dalam

𝑅3 bisa dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear

𝑏 = 𝑘1𝐯𝟏 + 𝑘2𝐯𝟐 + 𝑘3𝐯𝟑

Dari vektor-vektor 𝐯𝟏, 𝐯𝟐, 𝐯𝟑. Dengan menyatakan persamaan ini dalam bentuk

komponen-komponen akan didapatkan

𝑘1 + 𝑘2 + 2𝑘3 = 𝑏1

𝑘1 + 𝑘3 = 𝑏2

2𝑘1 + 𝑘2 + 3𝑘3 = 𝑏3

Berdasarkan Teorema 4.3.4, sistem ini konsisten untuk semua 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3 jika

dan hanya jika matriks koefisien

𝐴 = [1 1 21 0 12 1 3

]

Dapat dibalik. Tetapi det(𝐴) = 0, sehingga A tidak bisa dibalik, akibatnya

𝐯𝟏, 𝐯𝟐, 𝐯𝟑 tidak merentangkan 𝑅3.