Modul 12.1.4 VEKTOR Halaman 1

MODUL

MATEMATIKA SMA

vektor

( MAT 12.1.4 )

Disusun Oleh :

Drs. Pundjul Prijono Nip. 19580117.198101.1.003

PEMERINTAH KOTA MALANG

DINAS PENDIDIKAN

SMA NEGERI 6 Jalan Mayjen Sungkono No. 58 Telp. (0341) 752036 Malang

Modul 12.1.4 VEKTOR Halaman 2

Standar Kompetensi :

Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar :

Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah

tentang panjang (besar) vektor, operasi pada vektor serta rumus perbandingan

vektor.

Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dan vektor dalam

pemecahan masalah tentang hasil kali skalar dua vektor, sudut antara dua vektor,

panjang proyeksi (proyeksi skalar) serta vektor proyeksi.

BAB I. PENDAHULUAN

A. Deskripsi

Dalam modul ini anda akan mempelajari notasi vektor, panjang vektor, operasi aljabar pada

vektor, vektor posisi, vektor satuan, perbandingan vektor di bidang dan di ruang, perkalian

skalar dua vektor, sudut antara dua vektor, proyeksi skalar dan proyeksi vektor pada vektor

lain.

B. Prasyarat

Agar dapat mempelajari modul ini, anda harus mempelajari operasi bilangan real dan dasar

trigonometri, dan matriks.

C. Petunjuk Penggunaan Modul

Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan adalah sebagai berikut:

1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului

merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.

2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada.

Jika dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi

yang terkait.

3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui kesulitan d alam

mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait.

4. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan, catatlah,

Modul 12.1.4 VEKTOR Halaman 3

kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain

yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, Anda juga

akan mendapatkan pengetahuan tambahan.

D. Tujuan Akhir

Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:

1. Menjelaskan vektor sebagai besaran yang memilki besar dan arah

2. Mengenal vektor satuan

3. Menentukan operasi aljabar vektor : jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan skalar, dan

lawan suatu vektor

4. Menjelaskan sifat-sifat vektor secara aljabar dan geometri

5. Menggunakan rumus perbandingan vektor

6. Melakukan operasi aljabar atas dua matriks

7. Menentukan hasilkali skalar dua vektor di bidang dan ruang

8. Menjelaskan sifat-sifat perkalian skalar dua vektor

BAB II. PEMBELAJARAN

Penerapan Konsep Vektor untuk Menyelesaikan Masalah

Vektor sangat dikenal dalam pelajaran Fisika karena merupakan salah satu besaran selain

besaran skalar. Perbedaan keduanya adalah:

Skalar merupakan besaran yang hanya mempunyai nilai saja, yang dapat dinyatakan

dengan bilangan real tertentu. Contoh besaran ini adalah suhu, massa, dan lain-lain;

Vektor merupakan besaran yang mempunyai nilai serta memiliki arah. Contoh besaran

vektor adalah jarak, kecepatan, dan lain-lain.

Banyak manfaat yang diperoleh dari penerapan konsep vektor dalam kehidupan sehari-hari.

Vektor dapat digunakan untuk menghitung jarak, kecepatan, medan listrik dan sebagainya.

Uraian materi berikut akan memperjelas pemahaman Anda mengenai konsep vektor dan

penerapannya.

Modul 12.1.4 VEKTOR Halaman 4

u

(x1,y1)

(x2,y2)

y2 - y1

x2 - x1

A. Notasi Vektor

Secara geometris vektor dinyatakan sebagai ruas garis berarah yang panjang dan arahnya

tertentu. Suatu vektor dapat digambarkan sebagai sebuah ruas garis berarah.

Ruas garis AB menunjukkan sebuah vektor dengan A sebagai titik pangkal, B

sebagai titik ujung, arah anak menunjukkan arah vektor, dan panjang anak

panah sebagai panjang atau besar vektor. Vektor biasanya dituliskan dengan

huruf kecil tebal atau miring, misalnya u, u, atau u

.

Secara analitis vektor dinyatakan sebagai pasangan terurut bilangan real. Vektor di

bidang (R2) dinyatakan sesuai pasangan bilangan pada koordinat sumbu X dan Y, yaitu

vektor )y,x(u atau

yxu . Vektor di ruang (R3) dinyatakan menurut koordinat sumbu

X, Y, dan Z. Jadi )z,y,x(u atau

zyx

u .

Andaikan vektor u dengan titik pangkal di (x1,y1) dan titik

ujungnya pada (x2,y2) maka sesuai dengan teorema

Pythagoras panjang dari vektor u ditentukan dengan rumus:

2)12

(2)12

( yyxxu

B. Aljabar Vektor

Sebelum membahas aljabar vektor perlu dipahami ketentuan berikut:

Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya.

Suatu vektor v dikatakan invers dari vektor u jika berlaku u + v =

0. (0 adalah vektor nol dimana arahnya tak tentu). Dua vektor

dikatakan saling invers jika besarnya sama tetapi berlawanan arah.

Penjumlahan Vektor Secara geometris penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu:

a) Aturan segitiga, langkah-langkahnya:

A

B u

u v =

u v= - u

u

v

u+v

Modul 12.1.4 VEKTOR Halaman 5

Tempatkan titik pangkal vektor v sehingga berimpit dengan titik ujung

vektor u;

Vektor (u+v) diperoleh dengan cara menghubungkan titik pangkal vektor

u dengan titik ujung vektor v.

b) Aturan jajargenjang, langkah-langkahnya:

Tempatkan titik pangkal vektor v sehingga

berimpit dengan titik pangkal vektor u;

Bentuklah jajargenjang dengan sisi-sisi yang

sejajar dengan u dan v;

Vektor (u+v) adalah diagonal jajargenjang dengan titik pangkal vektor u.

Secara analitis penjumlahan vektor dilakukan dengan menjumlahkan komponen-komponen

yang seletak. Jika

b

au dan

d

cv maka

db

ca

d

c

b

avu .

Besar atau panjang vektor hasil penjumlahan: 22 )()( dbcavu

Contoh : Diketahui

6

3u , tentukan panjang vektor u.

Jawab:

5363 22 )(u

Contoh :

Jika p sebuah gaya yang besarnya 40 N dan berarah ke Timur

Dan q sebuah gaya yang besarnya 30 N dan berarah ke Utara, maka besar vektor jumlah

kedua gaya tersebut, yaitu r adalah 50 N, karena :

r2 = p2 + q2

= 1600 + 900 = 2500

r = 2500 = 50 N

Penjumlahan beberapa vektor , misalnya a + b + c + d adalah hasil jumlah keseluruhan

vektor, a , b, c, d, merupakan sebuah vektor yang menghubungkan pangkal vektor pertama

dengan ujung vektor terakhir dalam hal ini AE. Hasil ini diperoleh langsung berdasarkan

definisi kita tentang penjumlahan dua vektor.

u

v

u+v

p

r q

a

b

c

d

A

B

C

D

E

Modul 12.1.4 VEKTOR Halaman 6

Serupa dengan itu, PQ + QR + RS + ST = PT

Misalkan dalam suatu persoalan kita harus mencari jumlah vektor a, b, c, d, e. Setelah kita

gambarkan diagram vektornya, kita dapatkan bahwa diagram yang diperoleh membentuk

gambar tertutup, maka jumlah vektor a + b + c + d + e = 0.

Karena, jumlah vektor diberikan oleh sebuah vektor setara yang menghubungkan pangkal

vektor pertama dengan ujung vektor terakhir. Jika diagram vektor itu membentuk gambar

tertutup, ujung vektor terakhir berimpit dengan pangkal vektor pertama, sehingga vektor

resultannya merupakan sebuah vektor yang tidak mempunyai besar.

Contoh 1. AB + BC + CD + DE + EF = AF

Tanpa menggambarkan diagramnyapun dapat kita lihat bahwa vektor vektor tersebut telah

tersusun berantai, masing-masing vektor berpangkal di ujung vektor sebelumnya. Karena itu

jumlah vektornya langsung diberikan oleh vektor yang menghubungkan pangkal vektor yang

pertama dengan ujung vektor yang terakhir.

Dengan penalaran serupa, maka : AK + KL + LP + PQ = AQ.

Contoh 2. AB – CB + CD – ED = AE

Ingat - CB = BC, yaitu besarnya sama, arahnya sejajar tetapi berlawanan. Demikian juga

– ED = DE. Jadi AB – CB + CD – ED = AB + BC + CD + DE = AE.

Contoh 3. AB + BC – DC – AD = 0

Karena AB + BC – DC – AD = AB + BC + CD + DA = AA = 0 dan ujung penulisan

hurufnya menunjukkan bahwa ujung vektor yang terakhir berimpit dengan pangkal

vektor yang pertama. Jadi diagram vektornya membentuk gambar tertutup, karena itu

jumlah vektornya sama dengan 0.

Seperti halnya AB + BC + CD + DE dapat digantikan oleh AE, maka sembarang vektor PT

dapat digantikan dengan sejumlah vektor komponen asalkan komponen-komponen tersebut

membentuk rantai diagram vektor yang berpangkal di P dan berakhir di T, yaitu

a A B

C

D

E

b

c

d

e

Modul 12.1.4 VEKTOR Halaman 7

b c

PT = a + b + c + d

a d

P T

Contoh.

ABCD adalah sebuah segi empat. Titik G terletak di tengah-tengah AD dan titik H di

tengah-tengah BC. Tunjukkanlah bahwa AB + DC = 2 GH.

A B

G

H

D C

Vektor AB dapat diganti dengan rangkaian vektor apa saja asalkan dimulai di A dan

berakhir di B. Jadi dapat kita katakan AB = AG + GH + HB.

Serupa dengan itu, dapat kita katakan juga DC = DG + GH + HC, sehingga kita peroleh :

AB = AG + GH + HB

DC = DG + GH + HC

Jadi AB + DC = AG + GH + HB + DG + GH + HC

= 2 GH + (AG + DG) + (HB + HC)

G adalah titik tengah AD, karena itu vektor AG dan DG sama panjang, tetapi berlawanan

arah. Jadi DG = - AG. Serupa dengan itu, HC = - HB

Jadi AB + DC = 2 GH + (AG - AG) + (HB - HB) = 2 GH

Pengurangan Vektor

Secara geometris pengurangan vektor u dengan vektor v

adalah penjumlahan vektor u dengan invers vektor v, yang

dapat dilakukan dengan salah satu aturan penjmlahan

vektor di atas.

Pengurangan vektor secara analitis dilakukan dengan meng-operasikan komponen-

komponen yang letaknya sama. Jika

b

au dan

d

cv maka

db

ca

d

c

b

avuvu )( .

u

v

-v

u-v

Modul 12.1.4 VEKTOR Halaman 8

Besar atau panjang vektor hasil pengurangan: 22 )()( dbcavu

Contoh : Diketahui

8

1p dan

24q , tentukan qp dan pq .

Jawab:

63

2841 )(

qp

105

8214)(

pq

Perkalian Vektor dengan Skalar

Jika m adalah bilangan real (skalar), maka mu adalah

penggandaan atau perbanyakan vektor u sebanyak m. Arah mu

sama dengan arah vektor u dan besarnya um .

Sedangkan (-mu) merupakan vektor yang panjangnya sama dengan um tetapi

berlawanan arah dengan vektor u.

Secara analitis perkalian skalar m dengan vektor

b

au adalah

ba

bam

mm .

Contoh:

Diketahui : a =

2

4

1

2,

3

6cdanb

Tentukan:

a. 2 a - b + 3 c

b. –a + 2b - 2 c

Jawab:

a.

2

43

1

2

3

62 =

13

26

6

12

1

2

6

12

b.

2

42

1

22

3

6 =

9

18

4

8

2

4

3

6

Kerjakan soal-soal berikut supaya anda lebih memahami uraian materi kegiatan

belajar 1. Jangan membaca/melihat petunjuk mengerjakan latihan ( kunci jawaban )

sebelum anda coba mengerjakannya. Petunjuk untuk mengerjakan latihan hanya

sebagai panduan bila anda mengalami kesulitan menjawab soal berikut ini.

u

mu -mu

Modul 12.1.4 VEKTOR Halaman 9

Kegiatan 12.1.4.1 :

Carilah hasilnya :

1. PQ + QR + RS + ST = …….

2. AC + CL – ML = ………

3. GH + HJ + JK + KL + LG = …….

4. AB + BC + CD + DB = ……….

5. Dalam suatu segitiga ABC, titik L, M, N berturut-turut adalah titik tengah sisi AB, BC,

CA. Tunjukkanlah bahwa :

a. AB + BC + CA = 0

b. 2 AB + 3 BC + CA = 2 LC

c. AM + BN + CL = 0

6. Perhatikan gambar. Diantara pernyataan berikut manakah yang tidak benar.

a) CEACBEAB

b) DECDBCBE

c) DECDACAE

d) BECEAC

e) AECEBCAB

7. Dalam segi empat ABCD, P dan Q berturut-turut adalah titik tengah diagonal AC dan BD.

Tunjukkanlah bahwa AB + AD + CB + CD = 4 PQ.

8. Buktikanlah dengan cara vektor bahwa garis yang menghubungkan dua titik tengah sisi

suatu segi tiga sejajar dengan sisi ketiga dan panjangnya hanya setengahnya.

A D

C B

Q P

C

E

A

D

B

A

B

C

E

D

Modul 12.1.4 VEKTOR Halaman 10

9. Jika titik A(-3,5), B(1,-7), C(x,1) dan D(2,y). Jika vektor yang diwakili oleh AB

berlawanan dengan DC , maka nilai x + y adalah….

10. Diketahui 2 vektor p = 3i – (2x1)j dan q = 6i = 2j, jika vektor p sejajar dengan vektor q

maka panjang vektor P = …..

Jika anda sudah menyelesaikan kegiatan 1 cocokkan jawaban anda pada kunci

jawaban yang berada dibelakang modul ini. Setelah anda cocokkan berilah nilai

kegiatan anda didalam mengerjakan kegiatan 12.1.4.1

Jika nilai perolehan < 75 , artinya anda belum paham tentang aljabar vektor,

maka anda harus mengulang kembali membaca dan memahami konsep

tentang pengertian aljabar vektor.

Jika nilai perolehan maka anda boleh meneruskan pada kegiatan modul

berikut ini.

C. Vektor Basis

Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama dengan 1 satuan panjang. Vektor basis

dalam sistem koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j. Vektor i merupakan

vektor basis searah sumbu X positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu Y

positif. Sedangkan vektor basis dalam ruang dinyatakan dalam vektor i, j, dan k berturut-

turut sejajar dengan sumbu X, Y, dan Z positif.

Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam bidang (R2)

i vektor satuan searah sumbu X positif

j vektor satuan searah sumbu Y positif

Vektor i, j, dan k merupakan vektor basis dalam ruang (R3)

i vektor satuan searah sumbu X positif

j vektor satuan searah sumbu Y positif

k vektor satuan searah sumbu Z positif

Contoh : vektor 4) 3, (2,u bila dinyatakan dalam

bentuk vektor basis menjadi kjiu 432

Contoh :Diketahui koordinat ),,(P 5 3 2 dan ),,(Q 2 5 1

a) Nyatakan komponen dari PQ .

O

X

Y

Z

i

j

k

O

X

Y

i

j

Modul 12.1.4 VEKTOR Halaman 11

O

X

Y

Z

yj

R(x,y,z)

r

xi

zk

b) Nyatakan PQ sebagai kombinasi linear vektor basis.

c) Hitung panjang PQ .

Jawab:

a) OQPOPQ

pqqp

321

532

251

b) kjiPQ 32

c) 14523521 222 )()()(PQ

D. Vektor Posisi

Vektor posisi adalah vektor yang berpangkal pada titik pangkal koordinat. Komponen

sebuah vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor basis.

Pada R2 Vektor OR diwakili oleh vektor r yaitu vektor posisi

dengan titik R(x,y) atau dinyatakan dalam kombinasi linear maka

ji yxr .

Panjang dari r : 22 yxr

Dalam ruang dimensi tiga (R3) titik R(x,y,z) adalah

vektor posisi dari OR yang dinyatakan sebagai

kji zyxr .

Berlaku panjang dari r adalah: 222 zyxr

Vektor satuannya: r

re

uOU dan vOV adalah vektor-vektor posisi.

OVUOUV

OUOVUV

uvUV

R(x,y)

xi O

X

Y

r

• yj

O

X

Y

Z U(u1,u2,u3)

V(v1,v2,v3)

u

v

P(2,3,5)

O

X

Y

Z

p

q Q(1,5,2)

Modul 12.1.4 VEKTOR Halaman 12

33

22

11

3

2

1

3

2

1

uvuvuv

uuu

vvv

UV

Secara umum komponen vektor dari dua titik dalam sistem koordinat dapat ditentukan

dengan cara komponen titik ujung dikurangi komponen titik pangkal.

Contoh : Ditentukan vektor

16p dan

32q . Nyatakan vektor-vektor qp 2 dan

)qp( 21 .

Jawab :

710

6146

322

162qp

3126

32

16

21

21

21 )qp(

1

22

421

Contoh : Jika

35P dan

9

3Q tentukan komponen vektor PQ dan QP .

Jawab:

128

3953 )(

PQ

128

9335)(

QP

E. Rumus pembagian ruas garis

a. Titik P menjadi di dalam ruas garis AB

Perbandingannya = AP = PB = m : n

A P B

b. Titik P membagi di luar garis AB

AP : PB = m : - n

A B P

c. Rumus pembagian ruas garis AB

A P B

m n

m

-n

m n

O

p

b a

Modul 12.1.4 VEKTOR Halaman 13

- Jika diketahui vektor a dan b maka vektor p adalah:

nm

nbmap

- Jika diketahui koordinat titik A dan B maka koordinat titik P (xp,yp,zp) adalah:

nm

nzmzz

nm

nymyy

nm

nxmxx AB

pAB

pAB

p

;;

2. Tiga titik yang segaris (kolinier)

a. Tiga titik A, B, dan C dikatakan segaris (kolinier) jika dipenuhi:

AB = k AC atau AB = k BC atau AC = k BC dengan k bilangan real

b. Dua vektor a dan b dikatakan segaris atau sejajar jika dipenuhi

A = kb atau b = ka, elemen bilangan real

3. Tiga titik yang sebidang (koplanar)

Tiga titik A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), dan (x3, y3, z3), dikatakan sebidang atau coplanar

jika dipenuhi:

Jika dipenuhi:

333

222

111

zyx

zyx

zyx

= 0 (diterminan matrik ordo tiga)

4. Titik berat dari sebuah segitiga

Jika diketahui segitiga ABC dengan A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), dan C(x3, y3, z3) maka

koordinat titik berat segitiga tersebut adalah Z(xz, yz, zz)

)(3

1321 xxxxz

)(3

1321 yyyyz

)(3

1321 zzzz z

Kerjakan soal-soal berikut supaya anda lebih memahami uraian materi kegiatan belajar .

Jangan membaca/melihat petunjuk mengerjakan latihan ( kunci jawaban ) sebelum anda

coba mengerjakannya. Petunjuk untuk mengerjakan latihan hanya sebagai panduan bila anda

mengalami kesulitan menjawab soal berikut ini.

Kegiatan 12.1.4.2 :

1. Diketahui titik P (x+1, 1,-2), Q (2,y-2, 2) dan R (5, -3, -10)

Jika P, Q dan R kolinier tentukan nilai x + y !

Modul 12.1.4 VEKTOR Halaman 14

2. Segitiga PQR, titik P(1,2,3). Q(2,8,3) dan R (2,-1,3) jika titik A pada QR sehingga QA :

QR = 1 : 3 tentukan vektor PA.

3. Koordinat titik P (2,-3,1), vektor posisi PQ = -3i + 5j + 4k dan OR = I +4j + 4k maka

panjang vektor QR adalah….

4. Diketahui ruas garis AB dengan A(-3,1,-3) dan B(3,-2,6) jika titik c diperpanjangan AB

dan ACAB4

3 maka koordinat titik c adalah….

5. Segitiga ABC dengan A(-2,1,-3), B(x, y, z) dan C(3, 1, 3) jika titik berat ABC adalah

Z(2, -1, 2) maka nilai x + y + z = …..

6. Diketahui P(1, -2, -1), Q(6, 3, 4) dan R(a, b, 2) jika R membagi PQ di dalam dengan

perbandingan m : n, maka nilai a dan b adalah …..

7. Diketahui jajaran genjang ABCD, titik P dan DC sehingga DP = DC = 1 : 2 dan Q titik

tengah BC. Jika cba ,, dan d berturut-turut merupakan vektor posisi titik A, B, C dan

D maka tentukan:

a. Vektor AP

b. Vektor D,Q dalam cba ,, dan d

8. Segitiga PQR, koordinat titik P(-5,1), vektor PQ = 7i – 4j dan jiQR 5 tentukan:

c. Koordinat titik Q dan R

d. Vektor posisi PR

9. Koordinat titik P(5,-7), Q(-1,2) jika 3PR = 2PQ, tentukan

a. PQPR.

b. PQQR.

10. Segitiga ABC, qACPAB , , jika titik D pada BC dimana BD : DC = 3 : 2 maka

tentukan vektor AD dalam P dan q

Modul 12.1.4 VEKTOR Halaman 15

Jika anda sudah menyelesaikan kegiatan cocokkan jawaban anda pada kunci

jawaban yang berada dibelakang modul ini. Setelah anda cocokkan berilah nilai

kegiatan anda didalam mengerjakan kegiatan 12.1.4.2

Jika nilai perolehan < 75 , artinya anda belum paham tentang vektor basis,

vektor posisi dan pembagian ruas garis, maka anda harus mengulang kembali

membaca dan memahami konsep tentang konsep vektor diatas.

Jika nilai perolehan maka anda boleh meneruskan pada kegiatan modul

berikut ini.

E. Perkalian Skalar Vektor ( Perkalian Titik / Dot )

Hasil kali skalar dua vektor u dan v didefinisikan sebagai:

cosvuvu ; dengan adalah sudut yang diapit oleh vektor u dan

v.

Perkalian skalar antar vektor menghasilkan sebuah skalar.

10 ocosiiii

10 ocosjjjj

10 ocoskkkk

090 ocosjiji

090 ocoskjkj

090 ocosikik

Perkalian skalar dua vektor dalam bentuk komponen:

Misalkan vektor kujuiuu 321 dan kvjvivv 321 , maka:

)kvjviv()kujuiu(vu 321321

332211 vuvuvuvu

Sifat-sifat perkalian skalar vektor:

Sifat komutatif: uvvu

u

U

V v

cosvu

O

X

Y

Z

i

j

k

(1,0,0)

(0,1,0)

(0,0,1) karena sejajar

karena tegak lurus

Modul 12.1.4 VEKTOR Halaman 16

Sifat distributif: wuvu)wv(u

Dua vektor yang saling sejajar, sudut antara keduanya sama dengan 0o.

Jadi: vucosvuvu 0

Dua vektor yang saling tegak lurus, sudut antara keduanya sama dengan 90o.

Jadi: 090 cosvuvu

Dua vektor yang berlawanan arah, sudut antara keduanya sama dengan 180o.

Jadi: vucosvuvu 180

Tanda dari hasil kali skalar: Jika 900 maka 0vu

90 maka 0vu

18090 maka 0vu

F. Perkalian Silang Vektor (Cross Product)

Jika diketahui vektor u dan v, sudut yang dibentuk oleh keduanya sama dengan ,

maka: sinvuvxu

Perkalian silang vektor menghasilkan sebuah vektor. Arah vektor hasil perkalian silang adalah tegak lurus pada kedua vektor dan memenuhi aturan tangan kanan.

00 osiniiii

00 osinjjjj

00 osinkkkk

190 osinjiji (karena i j)

menurut aturan tangan kanan maka:

kji ikj jik

kij ijk jki

Hasil perkalian silang ini memiliki sifat urutan berputar dan dapat diingat dengan berpedoman pada gambar lingkaran di samping. Perkalian skalar dua vektor dalam bentuk komponen: Salah satu cara untuk menentukan perkalian silang vektor dalam bentuk komponen adalah dengan berpedoman pada penentuan nilai determinan

u x v

u

v

O

X

Y

Z

i

j

k

(1,0,0)

(0,1,0)

(0,0,1)

karena sejajar

i j

k

Modul 12.1.4 VEKTOR Halaman 17

matriks ordo 3 dengan cara Sarrus.

Misalkan vektor kujuiuu 321 dan

kvjvivv 321

Maka:

)kvjviv(x)kujuiu(vxu 321321

21

21

321

321

321

321 vvuuji

vvv

uuukji

vvv

uuukji

vxu

)jvuivukvu()kvujvuivu(vxu 312312211332

k)vuvu(j)vuvu(i)vuvu(vxu 122131132332

1221

3113

2332

vuvuvuvu

vuvu

vxu

Contoh : Ditentukan vektor kjia 223 dan kjib 34 . Hitunglah a x b.

Jawab:

41 2 3

3 41 22 3

3 41 22 3

jikjikjibxa

41 2 3

3 41 22 3

3 41 22 3

jikjikjibxa

)j)(i))((k)(()k))((j)(i)((bxa 334212 431232

k)(j)(ibxa 212928)-(6

kjibxa 1072

G. Sudut antara Dua Vektor di Ruang (R3)

Dari rumus: vu

vucoscosvuvu

Misalkan: sudut antara vektor satuan i dengan vektor u sudut antara vektor satuan j dengan vektor u

sudut antara vektor satuan k dengan vektor u Sudut-sudut , , disebut sudut-sudut arah vektor u dan

cosinus dari sudut-sudut tersebut dinamakan cosinus arah.

Jika kji uuuu 321 diperoleh:

u

u

iu

iucos 1

u

u

ju

jucos 2

u

u

ku

kucos 3

Vektor kji uuuu 321 dan kji vvvv 321

Sudut antara kedua vektor:

23

22

21

23

22

21

332211

vvvuuu

vuvuvu

vu

vucos

+ + + - - -

u1i

X

Y

Z

u

u2j

u3k

O

X

Y

Z

u

v

Sifat-sifat perkalian silang vektor: uxvvxu

)uxv(vxu

)kv(u)xu(kvx)ku( v

)xu()xu()wvxu w v (

w)vxu)wxvu ( (

+ + + - - -

Modul 12.1.4 VEKTOR Halaman 18

Contoh : Tentukan besar sudut antara vektor kjiu 23 dengan sumbu-sumbu koordinat.

Jawab : Misalkan: sudut antara vektor u dengan sumbu X

sudut antara vektor u dengan sumbu Y sudut antara vektor u dengan sumbu Z

14123 222 )(u

o,cosarcu

ucos 736

14

143

14

143

14

3 1

o,cosarcu

ucos 3122

14

142

14

142

14

2 2

o,cosarcu

ucos 574

14

14

14

14

14

1 3

Contoh : Diketahui vektor ),,(a 2 0 1 dan ),,(b 1 0 3 . Tentukan besar sudut antara

vektor a dan b. Jawab: Misalkan adalah sudut antara vektor a dan b

222222 103201

120031

)()(

)()()(

ba

bacos

ocosarccos 4522

1 2

2

1

25

5

105

5

Jadi besar sudut antara vektor a dan b adalah o45

Kerjakan soal-soal berikut supaya anda lebih memahami uraian materi kegiatan belajar .

Jangan membaca/melihat petunjuk mengerjakan latihan ( kunci jawaban ) sebelum anda

coba mengerjakannya. Petunjuk untuk mengerjakan latihan hanya sebagai panduan bila anda

mengalami kesulitan menjawab soal berikut ini.

Kegiatan 12.1.4.3 :

1. Diberikan vektor–vektor a = 4i – 2j + 2k dan b = i + j + 2k. Besar sudut yang dibentuk

vektor a dan b sama dengan …

2. Diketahui vektor kjia

336 , kjib

32 dan kjic

325 . Besar sudut

antara vektor a

dan cb

adalah ....

Modul 12.1.4 VEKTOR Halaman 19

3. Diketahui vektor kjia

22 dan jib

. Besar sudut antara vektor a

dan b

adalah ....

4. Diketahui balok ABCD EFGH dengan AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4 cm. Jika AC

wakil vektor u dan wakil DH adalah vektor v, maka sudut antara vektor u dan v adalah

…

5. Diketahui 2a , 9b , 5 ba . Besar sudut antara vektor a dan vektor b

adalah ….

6. Diketahui 6a , ( a – b ).( a +b ) =0, dan a . ( a –b ) = 3. Besar sudut antara vektor a

dan b adalah ….

7. Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika u mewakili

ABdan v mewakili AC , maka sudut yang dibentuk oleh vektor u dan v adalah …

8. Diketahui a = 3i – 2j + k dan b =2i – j + 4k. Jika a dan b membentuk sudut , maka nilai

sin = ....

9. Diketahui a = i + 2j – 3k dan b = 2i + 2j – k, jika a dan b membentuk sudut , maka tan

= ... .

10. Diberikan vektor a =

22

2

p dengan p Real dan vektor b =

2

1

1

. Jika a dan b

membentuk sudut 60º, maka kosinus sudut antara vektor a dan a + b adalah …

11. Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1), dan C(4, 2, –4). Tentukanlah nilai sin B.

12. Diketahui titik A(5, –1, –2), B(6, 3, 6), dan C(2, 5, 10), bila a wakil dari vektor AB dan

b wakil dari BC , tentukanlah kosinus sudut antara a dan b

Jika anda sudah menyelesaikan kegiatan cocokkan jawaban anda pada kunci

jawaban yang berada dibelakang modul ini. Setelah anda cocokkan berilah nilai

kegiatan anda didalam mengerjakan kegiatan 12.1.4.3

Jika nilai perolehan < 75 , artinya anda belum paham tentang perkalian vektor,

maka anda harus mengulang kembali membaca dan memahami konsep

tentang perkalian vektor diatas.

Jika nilai perolehan maka anda boleh meneruskan pada kegiatan modul

berikut ini.

Modul 12.1.4 VEKTOR Halaman 20

H. Vektor Proyeksi

Jika u dan v dua vektor bukan nol, maka:

1. panjang proyeksi (proyeksi skalar ortogonal) u pada v = | c | = || v

vu

2. vektor proyeksi (proyeksi vektor ortogonal) u pada v = c = vv

vu

2||

Contoh :

Tentukan proyeksi vektor ke vektor

dan panjang vektor itu

Jawab :

panjang proyeksi (proyeksi skalar ortogonal) u pada v = | c | = || v

vu

=

Kegiatan 12.1.4.4 :

Kerjakan soal-soal berikut supaya anda lebih memahami uraian materi kegiatan belajar .

Jangan membaca/melihat petunjuk mengerjakan latihan ( kunci jawaban ) sebelum anda

coba mengerjakannya. Petunjuk untuk mengerjakan latihan hanya sebagai panduan bila anda

mengalami kesulitan menjawab soal berikut ini.

1. Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal dari vektor v =

4

3

2

terhadap vektor u =

1

2

1

,

maka w = …

2. Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3) pada u = (4 2 2) adalah …

3. Diketahui vektor a = 4i – 2j + 2k dan vektor b = 2i – 6j + 4k. Proyeksi vektor

orthogonal vektor a pada vektor b adalah …

4. Diketahui vektor a = 2i – 4j – 6k dan vektor b = 2i – 2j + 4k. Proyeksi vektor orthogonal

vektor a pada vektor b adalah …

O R

P

Q

u

v

c

Modul 12.1.4 VEKTOR Halaman 21

5. Diketahui vektor kjia 2 dan vektor kjib . Proyeksi ortogonal vektor a

pada b adalah …

6. Diketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7, 8, –1), dan C(1, 0, 7). Jika AB wakil vektor u, AC

wakil vektor v, maka proyeksi u pada v adalah …

7. Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1) dan C(0,3,2). Jika AB wakil vektor u dan BC

wakil vektor v, maka proyeksi orthogonal vektor u pada v adalah …

8. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2).

Proyeksi vektor AB pada AC adalah …

9. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0). Proyeksi

vektor AB terhadap AC adalah …

10. Diketahui segitiga ABC dengan A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –3). Proyeksi

vektor AB pada AC adalah …

11. Panjang proyeksi vektor kjia 482 pada vektor kpjb 4 adalah 8. Maka nilai

p adalah ....

12. Jika vektor a = –3i – j + xk dan vektor b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a

pada b adalah 5, maka nilai x = …

13. Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan q = xi + j + 4k. Jika panjang proyeksi q pada p adalah 2,

maka x adalah …

Jika anda sudah menyelesaikan kegiatan cocokkan jawaban anda pada kunci

jawaban yang berada dibelakang modul ini. Setelah anda cocokkan berilah nilai

kegiatan anda didalam mengerjakan kegiatan 12.1.4.4

Jika nilai perolehan < 75 , artinya anda belum paham tentang proyeksi suatu

vektor, maka anda harus mengulang kembali membaca dan memahami

konsep tentang proyeksi suatu vektor diatas.

Jika nilai perolehan maka anda boleh meneruskan pada kegiatan modul

berikut ini Berupa tes akhir modul. Persiapkan diri anda

Modul 12.1.4 VEKTOR Halaman 22

Daftar Pustaka

Anton, Howard., Elementary Linear Algebra (Fourth Edition). John Wiley & Sons,

Inc., Canada, 1984.

Depdiknas., Kurikulum 2004(Standar Kompetensi Mata Pelajaran Matematika SMA

dan MA). Departeman Pendidikan Nasional, Jakarta, 2003.

(----------)., Broad Based Education(Buku II). Departemen Pendidikan Nasional,

Jakarta, 2003.

Holland, D-Treeby, T., Vektor (Pure and Applied). Edward Arnold Limited, London,

1983.

Muharti HW., Ilmu Ukur Analit Ruang, FPMIPA IKIP Yogyakarta, 1975.

Raharjo, Marsudi., Vektor R2 dan R3 (Standar Bahan Ajar Penataran Matematika

Guru SMA), PPPG Matematika, Yogyakarta, 2000.

Thomas, George B – Finley, Ross L., Calculus and Analytic Geometry. Addisson

Wesley Publishing Co, Boston, 1986