BAB 5 VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG

26
BAB 5 VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG Definisi Vektor adalah suatu kuantitas yang mempunyai besar dan arah Contoh : kecepatan, gaya, pecepatan Digambarkan sebagai panah atau ruas garis lurus v 0 x y v x 0 y z

description

BAB 5 VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG. Definisi Vektor adalah suatu kuantitas yang mempunyai besar dan arah. Digambarkan sebagai panah atau ruas garis lurus. Contoh : kecepatan, gaya, pecepatan. z. y. v. v. 0. 0. x. y. x. Notasi :. Vektor bidang : a =  a 1 , a 2 . - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of BAB 5 VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG

Page 1: BAB 5  VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG

BAB 5 VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG

Definisi

Vektor adalah suatu kuantitas yang mempunyai besar dan arah

Contoh : kecepatan, gaya, pecepatanDigambarkan sebagai panah atau ruas garis lurus

v

0 x

y v

x

0

y

z

Page 2: BAB 5  VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG

Notasi :

Vektor bidang : a = a1, a2

Vektor ruang : a = a1, a2, a3Bilangan-bilangan a1, a2, dan a3 disebut komponen-komponen a.

O x

Representasi dari vektor a = a1, a2 adalah ruas garis lurus

dari sembarang titik A(x, y) ke titik B(x + a1, y + a2). Representasi

khusus dari a adalah ruans garis lurus dari titik asal ke titik

P(a1, a2). Dalam hal ini a disebut vektor posisi dari titik P(a1, a2).

AB

OP

P(a1, a2)

B(x+a1, y+ a2)

A(x, y)

yContoh

Carilah vektor yang dinyatakan oleh ruas garis dengan titik awal A(2, -5, 0) dan titik akhir B(-3, 1, 1).

Page 3: BAB 5  VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG

Panjang vektor a = a1, a2 adalah

Panjang vektor a = a1, a2, a3

2 21 2a a a

2 2 21 2 3a a a a

Penjumlahan Vektor

Jika a = a1, a2 dan b = b1, b2, maka a + b

didefinisikan oleh

1 1 2 2,a b a b a + b

Untuk vektor ruang didefinisikan dengan cara serupa. O x

a

y

a + b b

Page 4: BAB 5  VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG

Perkalian Vektor dengan Skalar

Jika c skalar dan a = a1, a2, maka vektor ca didefinisikan oleh

1 2,c ca caa

Untuk vektor ruang didefinisikan dengan cara serupa.

Contoh

Jika a = 4, 0,3 dan b = -2, 2, 5, carilah vektor a + b, 3b, 2a+ 5b, dan .2 5a + b

Page 5: BAB 5  VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG

Sifat-Sifat VektorJika a, b, dan c adalah vektor pada ruang yang sama, dan k dan l adalah skalar, maka

1. a + b = b + a 5. k(a + b) = ka + kb

2. a + (b + c) = (a + b) + c 6. (k + l)a = ka + la

3. a + 0 = a 7. (kl)a = k(la)

4. a + (-a) = 0 8. 1a = a

Vektor Basis baku

i = 1, 0, 0 j = 0,1, 0 k= 0, 0, 1

xy

z

ijk

Page 6: BAB 5  VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG

Jika a = a1, a2, a3, maka dapat kita tuliskan

a = a1, a2, a3 = a1, 0, 0 + 0, a2, 0 + 0, 0, a3

= a1 1, 0, 0 + a2 0, 1, 0 + a3 0, 0, 1

a = a1i + a2 j + a3 k

Contoh

Jika a = i + 2j – 3k dan b = 4j + 5k, nyatakan 2a + 5b dalam i, j, dan k.

Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1. Misalnya, i, j dan k. Jika a vektor tak nol, maka vektor satuan yang searah a adalah

1 au = a =a a

Page 7: BAB 5  VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG

Contoh

Beban 100 lb digantungkan pada dua kawat seperti diperlihatkan

pada gamber berikut. Carilah tegangan (gaya) T1 dan T2 di dalam

kedua kawat itu dan besar masing-masing tegangan.

60o 45o

100

60o

60o 45o

45o

T1 T2

w

Page 8: BAB 5  VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG

Contoh

Carilah vektor satuan dalam arah vektor 2i + j – 2k.

Hasilkali Titik

Definisi

Jika dan , maka hasilkali titik dari a dan b adalah bilangan ab yang diberikan oleh

1 2 3, ,a a aa 1 2 3, ,b b bb

1 1 2 2 3 3a b a b a b a b

Page 9: BAB 5  VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG

Sifat Hasilkali TitikJika a, b, dan c adalah vektor pada ruang yang sama, dan k skalar, maka

1. a a = 4. (ka) b) = k(a b) = a (kb)

2. a b = b a 5. 0 a = 0

3. a (b + c) = a b +a c

2a

Teorema 5.1

Jika adalah sudut antara vektor a dan b, maka

atau

cos a b a b cos

a ba b

Page 10: BAB 5  VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG

Vektor a dan b ortogonal (tegak lurus) jika dan hanya jika a b = 0.

Proyeksi

a

b

v

Vektor v disebut proyeksi vektor b pada a.

Panjang vektor v disebut proyeksi skalar b pada a.

a bva

proyeksi skalar :

2

a b a a b a ba aa a a aa

proyeksi vektor

Page 11: BAB 5  VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG

F

Contoh

Carilah proyeksi skalar dan proyeksi vektor dari b = 1, 1, 2 pada a = -2, 3, 1

KerjaGaya konstan F menggerakkan benda dari P ke Q, mempunyai vektor simpangan adalah . Kerja yang dilakukan oleh gaya ini didefinisikan sebagai komponen gaya tersebut di sepanjang d dengan jarak perpindahanP Q

R

S

PQ

d

cosW F d F d

Page 12: BAB 5  VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG

Contoh

Suatu gaya F = 3i + 4j +5k menggerakkan sebuah partikel dari titik P(2,1,0) ke titik Q(4,6,2). Tentukan besar kerja yang dilakukan F.

Hasilkali Silang

Definisi

Jika dan , maka hasilkali silang dari a dan b adalah vektor

1 2 3, ,a a aa 1 2 3, ,b b bb

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1, ,a b a b a b a b a b a b a b

Page 13: BAB 5  VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG

Contoh

Jika a = 1,3,4 dan b = 2,4,-3, carilah vektor a b.

Teorema 5.2

Vektor a b adalah ortogonal baik terhadap a maupun b.

2 3 1 3 1 21 2 3

2 3 1 3 1 21 2 3

a a a a a aa a a

b b b b b bb b b

i j k

a b i j k

Notasi bantuan :

ba

b c

Page 14: BAB 5  VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG

Teorema 5.3

Jika sudut antara vektor a dan b (0 ), maka

sin a b a b

a

b sinb

Contoh

Carilah luas segitiga dengan titik sudut A(1,2,4), B(-2,6,-1), dan C(1, 0, 5).

Akibat

Dua vektor taknol a dan b sejajar jika dan hanya jika jika a b = 0.

Panjang dari hasilkali silang a b sama dengan luas dari jajaran genjang yang ditentukan oleh vektor a dan b.

Page 15: BAB 5  VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG

Teorema 5.4

Jika a, b dan c vektor dan k skalar, maka

1. a b = -b a

2. (ka) b = k(a b) = a (kb)

3. a (b + c) = a b + a c

4. (a + b) c = a c + b c

5. a (b c) = (a b)c

6. a ( b c) = (ac)b – (ab)c

Page 16: BAB 5  VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG

1 2 3

1 2 3

1 2 3

( )a a ab b bc c c

a b cHasilkali rangkap-tiga skalar :

Volume paralelepipedum yang ditentukan oleh vektor a, b dan c adalah besar dari hasilkali rangkap-tiga skalar

( )V a b c

b

ca

b c

Page 17: BAB 5  VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG

Contoh

1. Carilah volume paralelepipedum dengan rusuk berdampingan PQ, PR, dan PS dengan P(0,1,2), Q(2,4,5), R(-1,0,1), S(6,-1,4).

2. Tunjukkan bahwa vektor-vektor a = 1,4,-7, b = 2,-1,4 dan c = 0,-9,18 sebidang.

Page 18: BAB 5  VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG

Penerapan dalam Fisika

Torsi (relatif terhadap titik asal) adalah hasilkali vektor posisi dan vektor gaya

Gaya F yang bekerja pada sebuah benda pejal di titik yang diberikan oleh vektor posisi r. Misalkan, ketika kita mengencangkan baut dengan menerapkan gaya pada kunci Inggris, yang menghasilkan efek putar (torsi).

= r F

Vektor ini mengukur kecenderungan benda pejal tersebut untuk berputar mengelilingi titik asal.

Page 19: BAB 5  VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG

Contoh

Sebuah baut dikencangkan dengan cara menerapkan gaya sebesar 40N terhadap sebuah kunci Inggris sepanjang 0,25 m. Jika sudut antara F dan kunci adalah 60o, carilah besar torsi disekitar pusat sekrup.

Page 20: BAB 5  VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG

Persamaan Garis

Bagaimana menentukan persamaan garis l yang melalui titik P(x0,y0,z0)

yang sejajar suatu vektor v? Misalkan Q(x,y,z) adalah sembarang

titik pada l, misalkan r0 dan r adalah

vektor-vektor posisi dari P dan Q. Jika a adalah vektor representasi

,lihat gambar samping. Hukum penjumlahan vektor memberikan

PQ

xy

z

v

a

r0 r

P(x0,y0,z0)Q(x,y,z)

r = r0 + a

Karena a dan v sejajar, maka terdapat t sehingga a = tv, sehingga

r = r0 + tv

l

Persamaan vektor dari garis

Page 21: BAB 5  VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG

Jika v = a, b, c, r = x, y, z dan r0 = x0, y0, z0, maka persamaan di

atas memberikan

x= x0 + ta, y = y0 + tb, z = z0 + tc

yang disebut persamaan parametrik dari garis melalui titik P(x0, y0, z0)

dengan bilangan arah v = a, b, c.

Dengan menyelesaikan t dari persamaan parametrik, memberikan

0 0 0x x y y z za b c

yang disebut persamaan simetri dari garis melalui titik P(x0, y0, z0) dgn

bilangan arah v = a, b, c.

Page 22: BAB 5  VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG

Contoh

1. Carilah persamaan garis melalui titik (5, 1, 3) yang searah vektor v = 3i – 5j + 2k. Kemudian carilah dua titik lainnya pada garis tersebut.

2. Carilah persamaan garis melalui titik (2, 4, -3) dan (3, -1, 1). Dimanakah garis ini memotong bidang-xy?

3. Tunjukkan bahwa dua garis berikut bersilangan (tidak berpotongan):

x = 1 + t y = -2 +3t z = 4 – t

x = 2s y = 3 + s z = -3 + 4s

Page 23: BAB 5  VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG

Persamaan Bidang

Sebuah bidang di ruang ditentukan oleh sebauh titik P(x0, y0, z0) dan

sebuah vektor n yang tegak lurus terhadap bidang itu (vektor normal).

Misalkan Q(x,y,z) adalah sembarang

titik pada bidang, misalkan r0 dan r adalah vektor-vektor posisi dari P

dan Q. Vektor r – r0 dinyatakan oleh

. Vektor normal n tegak lurus thd setiap vektor pada bidang,

khususnya r – r0 sehingga

PQ

xy

z n

n (r – r0) = 0

P(x0,y0,z0)

Q(x,y,z)

r0

r r – r0

Persamaan vektor dari bidang

Page 24: BAB 5  VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG

Jika n = a, b, c, r = x, y, z dan r0 = x0, y0, z0, maka persamaan di

atas menjadi

a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0

Persamaan ini disebut persamaan skalar dari bidang yang melalui

titik P(x0, y0, z0) dengan vektor normal n = a, b, c.

Persamaan di atas dapat dituliskan sebagai persamaan linear

ax + by + cz + d = 0

Page 25: BAB 5  VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG

Contoh

1. Carilah persamaan bidang yang melalui titik (2,4,-1) dengan vektor normal n = 2,3,4. Kemudian tentukan titik potongnya dengan sumbu koordinat.

2. Carilah persamaan bidang yang melalui titik P(1,3,2), Q(3,-1,6), dan R(5,2,0).

3. Carilah titik potong garis x = 2 + 3t, y = -4t, z = 5 + t memotong bidang 4x + 5y – 2z = 18.

4. Carilah sudut antara bidang x + y + z = 1 dan x – 2y + 3z = 1. Kemudian carilah persamaan garis perpotongan antara kedua bidang ini.

Page 26: BAB 5  VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG

5. Carilah rumus untuk jarak dari titik Q(x1,y1,z1) ke bidang ax + by +

cz + d = 0.

6. Carilah jarak antara dua bidang sejajar 10x + 2y – 2z = 5 dan 5x + y – z =1.

7. Carilah jarak antara dua garisx = 1 + t y = -2 +3t z = 4 – tx = 2s y = 3 + s z = -3 + 4s

P(x0,y0,z0)

Q(x1,y1,z1)

bn