Vektor dan Skalar - · PDF filevektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah, sedangkan...

Buku

Kerja 1 Vektor dan Skalar

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

Created by: Rahima & Anny

1

VEKTOR DAN SKALAR

Masih ingatkah Anda tentang vektor? Apa beda vektor dengan skalar? Ya,

vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah, sedangkan skalar adalah

besaran yang memiliki nilai tetapi tidak memiliki arah.

Coba sebutkan apa saja yang termasuk vektor dan apa saja yang termasuk

skalar? Ya, panjang, waktu, volume, serta usaha termasuk skalar, sedangkan

yang termasuk vektor adalah kecepatan, gaya, perpindahan, dan percepatan.

Selain contoh di atas, coba Anda sebutkan contoh vektor dan skalar yang

lainnya!

Perpindahan merupakan salah satu contoh vektor. Apa itu perpindahan?

Bagaimana menghitung besar perpindahan?

Sebelumnya, coba Anda perhatikan gambar berikut!

A : titik awal

C : titik akhir

Apakah yang dapat Anda lihat dari gambar di atas?

Dari gambar di atas, seorang anak berlari dengan lintasan dari titik A ke titik

B, dan berakhir di titik C. Anak tersebut mengalami perpindahan, karena

terjadi perubahan posisi dari titik A ke titik C. Jadi, perpindahan adalah

perubahan posisi yang terjadi dalam selang waktu tertentu. Kemudian,

bagaimanakah kita mengukur perpindahannya? Jika kita mengukur besar

perpindahan, maka kita mengukur panjang dari titik awal ke titik akhir

lintasan. Sehingga besar perpindahan yang dilakukan anak tersebut adalah

Materi pokok pertemuan ke I: 1. Vektor dan skalar 2. Komponen vektor 3. Operasi dasar aljabar vektor

URAIAN MATERI

C

B

A A : titik awal

C : titik akhir

Buku




2

panjang lintasan dari titik A ke titik C, sedangkan arah perpindahannya

adalah dari titik A ke titik C.

Berikut ini definisi vektor secara lengkap.

Secara grafik

Coba lihat gambar di bawah ini!

Apa yang Anda lihat pada gambar di atas? Ada sebuah anak panah yang

berawal di titik O dan berujung di titik P. Gambar tersebut merupakan

sebuah vektor, dimana titik O adalah titik pangkal (titik awal) vektor dan titik

P adalah titik akhir (titik ujung) vektor. Titik ujung vektor menunjukkan arah

yang dituju.

Secara analisis

Vektor dilambangkan oleh sebuah huruf. Anak panah diletakkan di atas huruf

atau dengan menebalkan huruf tersebut, yang menandakan bahwa vektor

memiliki arah. Jadi, vektor OP dilambangkan dengan . Besar

dinyatakan dengan .

Setelah Anda mengetahui definisi vektor secara grafik dan aljabar, maka

selanjutnya akan dijelaskan mengenai aljabar vektor.

Aljabar Vektor

Vektor juga memiliki operasi-operasi penjumlahan, pengurangan, dan

perkalian. Penjelasannya sebagai berikut.

1. Dua buah vektor dan dikatakan sama jika vektor-vektor tersebut

memiliki besar/panjang dan arah yang sama tanpa memandang titik-titik

awalnya. Jadi seperti pada gambar dibawah ini.

O

P

pada gambar disamping, terlihat bahwa dan memiliki besar/panjang yang sama dan arah yang dituju pun sama. Oleh karena itu, , walaupun titik awal/pangkalnya berbeda.

Buku




3

2. Sebuah vektor yang arahnya berlawanan dengan vektor , tetapi

memiliki besar/panjang yang sama dinyatakan oleh , dinyatakan

dalam gambar berikut.

3. Jumlah atau resultan dari vektor-vektor dan ditulis dengan ,

adalah sebuah vektor yang dibentuk dengan menempatkan titik pangkal

vektor pada titik ujung vektor , dan kemudian menghubungkan titik

pangkal vektor dengan titik ujung vektor .

Perhatikanlah contoh berikut.

Misalkan dan seperti gambar berikut.

Untuk mencari resultan, maka letakkan titik pangkal pada titik

ujung , sehingga diperoleh gambar berikut.

Resultan yang diperoleh adalah dengan membuat garis yang

menghubungkan titik pangkal dengan titik ujung . Jadi, resultan

yang dihasilkan merupakan vektor dimana titik pangkalnya

berada pada titik pangkal dan titik ujungnya berada pada titik ujung

.

pada gambar disamping, terlihat bahwa dan memiliki besar/panjang yang sama namun arah yang dituju berbeda 1800 (berlawanan).

Buku




4

4. Selisih dari vektor-vektor dan ditulis dengan , dapat

didefinisikan dengan resultan .

Perhatikan contoh berikut.

Untuk mencari sama juga artinya dengan mencari ,

maka Anda perlu mencari terlebih dulu. Berikut ini akan

diperlihatkan .

Setelah itu, dapat dicari resultan dengan menggunakan cara

no.3 di atas. Buat garis yang menghubungkan titik pangkal dengan

titik ujung vektor , maka merupakan vektor dimana titik

pangkalnya berada pada titik pangkal dan titik ujungnya berada

pada titik ujung . Sehingga, dapat kita lihat pada gambar di

bawah ini.

5. Hasil kali sebuah vektor dengan sebuah skalar adalah sebuah vektor

yang besarnya kali besarnya . Arah vektor ini memiliki arah

Buku




5

yang sama atau berlawanan dengan , bergantung pada apakah positif

atau negatif. Jika , maka adalah sebuah vektor nol.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.

Misalkan vektor , yaitu dengan

Karena skalar , maka adalah

dan panjang adalah cm cm

Berikut sifat-sifat aljabar vektor.

6.

Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini

Contoh 1

Jika A dan B seperti terlihat pada gambar di bawah ini. Gambarkanlah A – 2B

CONTOH SOAL

2cm

Sifat-sifat Aljabar Vektor

Jika , dan adalah vektor-vektor dan serta adalah skalar-skalar,

maka

1. Hukum Komutatif Penjumlahan

2. Hukum Asosiatif Penjumlahan

3. Hukum Komutatif Perkalian

4. Hukum Asosiatif Perkalian

5. Hukum Distributif

6. Hukum Distributif

4 cm

Buku




6

Penyelesaian

Langkah-langkahnya sebagai berikut.

a. Buat vektor -2B, di mana panjangnya 2 |B| dan arahnya berlawanan

dengan arah B

b. Pindahkan -2B dengan meletakkan titik pangkalnya pada titik ujung A

c. Hubungkan titik pangkal A dengan titik ujung -2B yang baru

dipindahkan, maka didapat A – 2B

Contoh 2

Sebuah bus bergerak sejauh 50 km menuju arah timur, kemudian dilanjutkan

sejauh 25 km menuju timur laut.

a. Gambarkanlah dengan grafik perpindahan yang dilakukan bus

tersebut. Gunakan skala 1 cm mewakili 10 km.

b. Jika R adalah resultan dari perpindahan yang dilakukan bus tersebut,

hitung panjang dan arah dari R dengan menggunakan grafik dan

secara analitik.

Penyelesaian

a. Untuk menggambar grafik perpindahan yang dilakukan bus, pertama-

tama buat sumbu koordinat dan namai masing-masing sesuai dengan

arah mata angin. Gunakan skala 1:100.000, artinya untuk 1 cm

mewakili 1 km. Kemudian, gambar perpindahan sejauh 50 km ke arah

timur dengan membuat garis (OA) sepanjang 5 cm ke arah timur.

Perpindahan 25 km kerah timur laut digambar dengan membuat garis

(AB) sepanjang 2,5 cm ke arah timur laut. Lalu, hubungkan titik awal

ke titik akhir setelah perpindahan, garis ini dinamakan resultan

perpindahan (BO = R). Sehingga diperoleh gambar berikut ini.

A

B

A -2B

-2B

A

Buku




7

Ѳ

Gambar 3

b. Secara grafik:

Besar resultan perpindahan dapat ditentukan dengan mengukur

panjang R, panjang R setelah diukur ternyata 7 cm. Ini berarti |R| = 7 x

10 km = 70 km. Arah R ditentukan dengan menggunakan busur

derajat, setelah diukur diperoleh arah R = ke sebelah utara dari

timur.

Secara analitik:

Untuk menghitung panjang R secara analitik gunakan rumus

menghitung panjang sisi sebuah segitiga berkenaan dengan dalil

kosinus, yaitu:

|R|2 = |OA|2 + |AB|2 – 2|OA| |AB| cos

= 2500 + 625 – 2500 cos

= 4892,7670

|R| = 69,9483

Selanjutnya menghitung arah R, gunakan dalil sinus. Misalkan

∠ yang merupakan arah R

Akibatnya , dengan arah ke sebelah utara dari timur.

Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong

Utara

Timur O

B

A

R

LATIHAN TERBIMBING

Buku




8

Latihan 1

Jika vektor-vektor A, B, dan C seperti terlihat pada gambar di bawah ini.

Gambarkan R = A – 2B – C

Penyelesaian

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

a. Buat vektor -2B dimana panjangnya …… dan arahnya …………… dengan

arah B

b. Pindahkan …… dengan meletakkan ……………… di ……………..A

c. Buat vektor ........ dimana panjangnya …… dan arahnya ……………..

dengan ……

d. Pindahkan C dengan meletakkan …………….. di ujung ……

e. Hubungkan titik pangkal …… dengan titik …….……… …… sehingga

diperoleh A – 2B – C

Sehingga diperoleh gambar A + 2B – C berikut ini.

Latihan 2

Sederhanakanlah

A

B C

Buku




9

Penyelesaian

Latihan 3

Misalkan titik-titik P(1, -2), Q(-3, 4), dan R(2, -3). Dapatkanlah (a) PQ, (b) QR,

(c) PQ – QR, (d) -3RP

Penyelesaian

(a) PQ = (-3 - ..., ... + ... ) = (-4, ...)

(b) QR = ( ... + ..., ... – 4) = (... , ... )

(c) PQ – QR = (-4, ...) – ( ... , ... )

= (-4 - ... , ... + ... )

= ( ... , 13)

(d) -3RP = -3( ... – 2 , ... + ...) = -3( ..., ...) = ( ... , ... )

Latihan 3

Sebuah pesawat terbang menempuh jarak 200 km ke arah barat dan

kemudian 150 km ke arah ke sebelah utara dari barat. Tentukan

pergeseran resultan a. secara grafis, b. secara analitis.

Penyelesaian

a. Secara grafis

Gambar vektor perpindahan resultan

Skala ……

Misalkan vektor perpindahan ke arah barat adalah A dan di

sebelah utara dari barat sebagai B, resultan perpindahan R. Dengan

menggunakan penggaris diperoleh resultan perpindahan R …… dan

U

B T

O

Buku




10

dengan menggunakan busur derajat diperoleh sudut ….. Maka R

besarnya …… dengan arah …… ke sebelah utara dari ……

b. Secara analitis

|R2| = |A2| + |B2| - 2|A||B cos ∠…… …… …… - … … cos ……

Jadi R ……

Dari hukum sinus

maka

Sin ∠ …..

…..

∠…. …..

jadi C besarnya …… km dan arahnya ....... ke ..………… dari ………..

Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia

Latihan 1

Dua buah sisi sebuah segitiga dibentuk oleh vektor-vektor V = 3i + 4j dan W

= 5i +2j. Hitunglah panjang sisi-sisi segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor

tersebut.

Penyelesaian

Latihan 2

Diketahui vektor-vektor A, B, C dan D.

LATIHAN MANDIRI

Buku




11

Bentuklah

a. 3A – 2B – (C – D)

b.

C +

(A – B + 2D)

Penyelesaian

Latihan 3

Sebuah mobil bergerak sejauh 100 km menuju ke arah barat, kemudian

dilanjutkan sejauh 60 km menuju barat laut, dan 80 km menuju timur.

A

B

C D

Buku




12

a. Gambarkan dengan grafik perpindahan yang dilakukan bus tersebut.

Untuk itu gunakan skala 1 cm untuk mewakili 20 km

b. Jika R adalah perpindahan yang dilakukan oleh bus tersebut, hitunglah

panjang dan arah R dengan menggunakan grafik dan secara analitik

Penyelesaian

Buku




13

Kunci Jawaban

Latihan 1 : 5, , 10

Latihan 3 : b. besarnya 80 km, arahnya ke sebelah utara dari barat

Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan

dari materi ini pada tempat kosong di bawah

Buku




14

Vektor satuan

Vektor satuan adalah suatu vektor yang besarnya satu satuan. Jika sebuah

vektor yang diketahui dan adalah sebuah vektor satuan, maka vektor

satuannya dapat dituliskan dengan

dimana .

Vektor Basis Satuan

Vektor basis satuan dalam

Perhatikan suatu sistem koordinat XOY dalam . Pilih dua vektor satuan

dan sebagai basis yang masing-masing sejajar dan searah dengan sumbu x

dan y positif dan berpangkal di O.

Vektor dan disebut dengan vektor-vektor basis di .

Vektor basis satuan dalam

Pada sistem koordinat dalam , terdapat tiga vektor satuan, yaitu vektor

satuan , , dan yang masing-masing sejajar dan searah dengan sumbu x, y,

dan z positif dan berpangkal di O.

Materi pokok pertemuan ke 2: 4. Vektor satuan 5. Komponen vektor dan vektor komponen 6. Himpunan vektor kolinear dan takkolinear

URAIAN MATERI

O

Buku




15

Vektor Posisi

Vektor posisi dalam

Jika dan adalah vektor-vektor basis di yaitu vektor satuan yang masing-

masing sejajar dan searah dengan sumbu x dan sumbu y dan berpangkal di

titik O dalam , maka sebarang vektor dari titik O ke titik P(x,y) dalam

bidang XOY selalu bisa dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor basis

dan .

Sehingga, vektor posisi titik P diberikan oleh

dimana ; disebut vektor-vektor komponen.

adalah komponen vektor pada sumbu x

adalah komponen vektor pada sumbu y

Vektor disebut vektor posisi titik P, karena komponen-

komponennya merupakan koordinat yang menunjukkan posisi titik P.

Panjang/besar dari dinyatakan oleh , dimana .

Vektor posisi dalam

Vektor-vektor basis dalam adalah vektor-vektor satuan , , dan yang

masing-masing berimpit dan searah dengan sumbu-sumbu x, y, dan z positif

dan berpangkal di titik O.

O

Buku




16

Vektor posisi titik P(x,y,z) diberikan oleh

Panjang/besar dari dinyatakan oleh , dimana

Secara umum untuk sebarang vektor pada yang mempunyai komponen-

komponen vektor , , dan dapat dituliskan dalam bentuk

, , dan disebut vektor-vektor komponen dari pada sistem

koordinat tegak lurus X, Y, dan Z.

Panjang vektor diberikan oleh

... 1.1

y

z

x

Buku




17

Kemudian jika vektor satuan dari , maka

... 1.2

Berikut sifat-sifat aljabar vektor.

Himpunan vektor yang bergantung linear dan bebas linear

Himpunan vektor disebut bergantung linear jika dan hanya jika ada

himpunan skalar yang tidak semuanya nol, sehingga

.

Jika himpunan skalar semuanya nol, maka himpunan vektor

tersebut dikatakan bebas linear.

Beberapa sifat dari himpunan vektor yang bergantung linear:

1. Jika dan adalah dua vektor kolinear/sejajar, maka kedua vektor

tersebut bergantung linear.

2. Jika , , dan adalah tiga buah vektor yang terletak pada sebuah bidang,

maka ketiga vektor tersebut bergantung linear.

Sifat-sifat aljabar vektor:

Misalkan , dan adalah vektor-vektor, dan adalah skalar,

maka berlaku sifat-sifat:

a. (komutatif pada penjumlahan)

b. (asosiatif pada penjumlahan)

c. (identitas pada penjumlahan)

d. (identitas pada perkalian)

e. (distributif perkalian skalar terhadap

vektor)

f. (distributif)

g. jika dan hanya jika

h.

i.

Buku




18

3. Jika , , , dan adalah empat buah vektor yang terletak dalam ruang

dimensi tiga, maka keempat vektor tersebut bergantung linear.

Contoh 1

Jika A = 3i + 2j + 4k, B = i + 3j - 2k, dan C = 2i – j. Carilah a. A + 2B – C ,

b. |A + 2B – C|, c. vektor satuan dari A + 2B – C.

Penyelesaian

a. A + 2B + C = (3i + 2j + 4k) + 2(i + 3j - 2k) - (2i – j)

= (3i + 2i - 2i) + (2j + 6j + j) + (4k – 4k)

= 3i + 9j

b. |A + 2B + C| = =

c. Misalkan u adalah vektor satuan dari A + 2B – C, maka

u =

Contoh 2

Apakah A = 3i + j dan B = -i + 3j bergantung linear?

Penyelesaian

Jika A dan B bergantung linear, maka skalar a dan b tidak keduanya nol

sehingga aA + bB =0

a(3i + j) + b(-i + 3j) = 0

karena i dan j takkolinear, maka

(3a – b)i + (a + 3b)j = 0

sehingga

3a – b = 0 (1)

a + 3b = 0 (2)

dari (1) dan (2) diperoleh a = 0 dan b = 0.

Jadi, karena semua skalarnya 0 sehingga aA + bB = 0. Maka vektor A dan B

tidak bergantung linear (bebas linear).

CONTOH SOAL

Buku




19

Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong

Latihan 1

Jika A = 3i – j – 4k, B = -2i + 4j – 3k, dan C = i + 2j – k. Carilah a. 2A – B + 3C,

b. |A + B + C|, c. |3A – 2B + 4C|, dan d. vektor satuan yang sejajar dengan

3A – 2B + 4C

Penyelesaian

a. 2A – B + 3C = 2 (....... - …… - …... – ….. .…. - …..) …… …… …… - ...…

= (…… …… …… (…… - …… …… …… …… - ……

…… i …… j …… k

b. A + B + C = …… –…… – …… …… …… – …… + …… …… – ……

…… …… ……

|A + B + C| = … … … …..

c. 3A – 2B + 4C … ..… –…… – ….. - … …… …… – …… +… ….. .….. – .…)

…… –…… – …… …… …… – …… + …… …… – ……

= ....... …… ……

|3A – 2B + 4C| = … … … …..

d. Vektor satuan yang sejajar dengan 3A – 2B + 4C

= –

– …. …. ….

……

Latihan 2

Misalkan A = i – j + 2k, B = 2i + 2j + k, dan C = 3i + j + 2k. Selidiki apakah A, B,

dan C bergantung linear?.

Penyelesaian

Jika A, B, dan C bergantung linear, maka skalar a, b dan c tidak semuanya nol

sehingga aA + bB + cC =0

a(i – …… …… b …… …… …… c …… …… …… = 0

Karena i, j, dan k takkolinear, maka

(a + …… ……)i + (…… + 2b ……)j …… …… …… k = 0

LATIHAN TERBIMBING

Buku




20

sehingga

…… + 2b …… = 0 (1)

…… ….. …… (2)

…… ….. …… (3)

Eliminasi persamaan (1) dan (2) diperoleh

4b …… ……

….. …… …… (4)


…… …… …… (5)


b ……

Substitusi b …… ke persamaan diperoleh

c ……

Substitusi b …… dan c …… ke persamaan (1) sehingga diperoleh

a ……

Jadi, karena terdapat skalar a, b, c yang ……………… sehingga aA + bB + cC = 0.

Maka A, B, dan C …………….. linear.

Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia

Latihan 1

Carilah vektor satuan yang sejajar dengan resultan dari vektor-vektor

r1 = -5i + 4j + 2k dan r2 = 3i + 2j + k.

Penyelesaian

LATIHAN MANDIRI

Buku




21

Latihan 2

Dalam tiap-tiap kasus berikut apakah vektor-vektornya bebas linear atau

bergantung linear:

a. A = 2i + j – 3k, B = i – 4k, C = 4i + 3j – k

b. A = i – 3j + 2k, B = 2i – 4j – k, C = 3i + 2j – k

Penyelesaian

Buku




22

Latihan 3

Jika a dan b adalah vektor-vektor takkolinear dan A = (x + 4y)a +

(2x + y + 1)b dan B = (y – 2x + 2)a + (2x – 3y – 1)b, maka carilah x dan y

sehingga 3A = 2B.

Penyelesaian

Buku




23

Kunci Jawaban

Latihan 1 :

Latihan 2 : a. bebas linear, b. bergantung linear

Latihan 3 : x = 2 dan y = -1

Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan

dari materi ini di tempat kosong di bawah

Vektor dan Skalar - · PDF filevektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah, sedangkan...

Documents

Transcript of Vektor dan Skalar - · PDF filevektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah, sedangkan...