PERTEMUAN 13

VEKTOR

Vektor Satuan● Vektor satuan adalah vektor ruang yang telah diuraikan ke

dalam sumbu X (i),Y (j) dan Z (k) yang besarnya satu satuan. Dikatakan vektor satuan karena besar vektor = | i | = | j | = | k | = 1. Vektor satuan digunakan untuk menjelaskan arah suatu vektor di dalam suatu koordinat, baik itu koordinat dua dimensi maupun tiga dimensi.

Untuk koordinat 2 dimensi (x,y), suatu vektor misal P dapat dinyatakan dengan notasi: P = P

xi + P

yj

Besar vektor P dapat ditentukan dengan rumus atau persamaan sebagai berikut: |P| = √(P

x2 + P

y2)

Sedangkan dalam sistem koordinat tiga dimensi (x,y,z), vektor P tersebut dapat dinyatakan dengan notasi sebagai berikut:

P = Pxi + Pyj + Pzk

Untuk menghitung besar atau nilai vektor pada koordinat tiga dimensi dapat digunakan rumus atau persamaan berikut ini: |P| = √(P

x2 + P

y2 + P

z2)

Untuk menghitung besar atau nilai vektor pada koordinat tiga dimensi dapat digunakan rumus atau persamaan berikut ini: |P| = √(P

x2 + P

y2 + P

z2)

KeteranganP

x = komponen P pada sumbu x

Py = komponen P pada sumbu y

Pz = komponen P pada sumbu z

i = vektor satuan pada arah sumbu xj = vektor satuan pada arah sumbu yk = vektor satuan pada arah sumbu z

Penjumlahan & Pengurangan Vektor satuanA = Axi + Ayj + Azk

B = Bxi + Byj + Bzk

● Besar resultan penjumlahan dan pengurangan vektor tersebut dapat dinyatakan dengan aturan rumus sebagai berikut:

A + B = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j + (Az + Bz)k

A – B = (Ax - Bx)i + (Ay - By)j + (Az – Bz)k

● Contoh :

Diketahui dua buah vektor berikut:

A = 3i – 6j + 2k

B = i + 3j – 5k

Tentukan

A + B, A – B, |A + B| dan |A – B|

● Jawab

● Resultan penjumlahan A + B

A + B = (3i – 6j + 2k) + (i + 3j – 5k)

A + B = (3 + 1)i + (-6 + 3)j + (2 – 5)k

A + B = 4i – 3j – 3k

● Resultan selisih atau pengurangan

A – B

A – B = (3i – 6j + 2k) – (i + 3j – 5k)

A – B = (3 - 1)i + (-6 - 3)j + (2 + 5)k

A – B = 2i – 9j + 7k

● Besar vektor A + B|A + B| = √{42 +(-3)2 + (-3)2}|A + B| = √(16 + 9 + 9)|A + B| = √34 satuan

● Besar vektor A – B|A – B| = √{22 +(-9)2 + 72}|A – B| = √(4 + 81 + 49)|A – B| = √134 satuan

Perkalian Vektor

● Ada 2 macam operasi perkalian vektor

1. perkalian skalar dengan vektor

2. perkalian vektor dengan vektora. perkalian titik (dot product)

b. perkalian silang (cross product)

Perkalian skalar dengan vektor● Misalkan hasil kali antara skalar k dengan sebuah vektor A

menghasilkan vektor B, maka aturan perkalian tersebut dituliskan sebagai berikut:

B = k A

● Dari persamaan tersebut, maka besar vektor B besarnya adalah besar k dikalikan dengan besar A. Dan arah vektor B searah dengan vektor A jika k positif dan berlawanan arah dengan A jika k negatif.

● Perkalian Vektor Satuan dengan Skalar

● Aturan di atas juga berlaku untuk perkalian vektor satuan dengan skalar baik secara dua dimensi maupun tiga dimensi. Aturannya adalah sebagai berikut:

● Contoh :

Diketahui suatu vektor A digambarkan sebagai berikut

Gambarlah vektor B, jika:

B = 2A; B = -2A; B = ½A; B = -½A

jawab :

B = 2A, berarti panjang vektor menjadi dua kali panjang semula dan arahnya sama dengan arah vektor A

B = - 2A, berarti panjang vektor menjadi dua kali panjang semula tetapi arahnya berlawanan dengan arah vektor A

B = ½A, berarti panjang vektor menjadi setengah kali panjang semula dan arahnya sama dengan arah vektor A

B = - ½A, berarti panjang vektor menjadi setengah kali panjang semula tetapi arahnya berlawanan dengan arah vektor A

Perkalian vektor dengan vektor

1. Perkalian titik (dot product)

Untuk memahami tentang perkalian titik, perhatikan gambar di bawah ini.

Perkalian titik dua buah vektor antara A dan B atau dituliskan A . B didefinisikan sebagai perkalian antara vektor A dengan komponen vektor B yang searah vektor A.pada gambar di atas, komponen vektor B yang searah vektor A adalah B cos α.

Dari definisi tersebut, secara matematis perkalian titik antara vektor A dan B dapat dituliskan dengan rumus atau persamaan sebagai berikut:

A . B = AB cos α = |A||B| cos α

Keterangan:

α = sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B dengan 0o ≤ α ≤ 180o

A = |A| besar vektor A

B = |B| besar vektor B

Dari definisi perkalian titik tersebut dapat disimpulkan bahwa:

Hasil perkalian titik dua buah vektor adalah skalar.

Dalam perkalian titik, ada 3 poin penting yang perlu diingat, yaitu:

1. Jika kedua vektor A dan B saling tegak lurus (α = 90o) maka

A . B = 0 → cos 90o = 0

2. Jika kedua vektor A dan B searah (α = 0o) maka

A . B = AB → cos 0o = 1

3. Jika kedua vektor A dan B berlawanan arah (α = 180o) maka

A . B = - AB → cos 180o = -1

Perkalian titik pada vektor satuan

Perhatikan gambar di bawah, vektor satuan i, j, dan k merupakan vektor yang saling tegak lurus satu sama lain dengan kata lain besar α = 90o dan nilai ketiga vektor tersebut adalah 1.

Maka hasil perkalian titik pada vektor satuan tersebut adalah sebagai berikut:

i . i = j . j = k . k = 1.1 cos 0o = 1 (berhimpit)

i . j = i . k = j . k = 1.1 cos 90o = 0 (tegak lurus)

Sifat Perkalian TitikPerkalian titik memiliki sifat distributif, yaitu:A.(B + C) = A.B + A.CDan juga memiliki sifat komutatif, yaitu:A.B = B.A

● misalkan terdapat dua vektor berikut ini:

A = Axi + Ayj + Azk

B = Bxi + Byj + Bzk

● Hasil perkalian titik antara vektor A dan B adalah sebagai berikut:

A . B = (Axi + Ayj + Azk) . (Bxi + Byj + Bzk)

A . B = Axi . Bxi + Axi .Byj + Axi . Bzk + Ayj . Bxi + Ayj .Byj + Ayj . Bzk + Azk . Bxi + Azk .Byj + Azk . Bzk

→ karena i . j = i . k = j . k = 1.1 cos 90o = 0 maka

A . B = Axi . Bxi + 0 + 0 + 0 + Ayj .Byj + 0 + 0 + 0 + Azk . Bzk

A . B = Axi . Bxi + Ayj . Byj + Azk . Bzk

→ karena i . i = j . j = k . k = 1.1 cos 0o = 1 maka

A . B = AxBx + AyBy + AzBz

● Contoh :

Diketahui:

A = (2i + 3j + 5k)

B = (4i + 2j – k)

Hitung C = A . B

● Jawab :

C = A . B

C = (2i + 3j + 5k) . (4i + 2j – k)

C = (2)(4) + (3)(2) + (5)(-1)

C = 8 + 6 – 5

C = 9

Perkalian vektor dengan vektor

2. Perkalian silang (cross product)

● Untuk memahami tentang perkalian silang, perhatikan gambar di bawah ini

● perkalian silang dua buah vektor antara A dan B atau dituliskan A x B didefinisikan sebagai perkalian antara vektor A dengan komponen vektor B yang tegak lurus vektor A. pada gambar di atas, komponen vektor B yang tegak lurus vektor A adalah B sin α.

● Dari definisi tersebut, secara matematis perkalian silang antara vektor A dan B dapat dituliskan dengan rumus atau persamaan sebagai berikut:

A x B = C

|A x B| = AB sin α

Keterangan:

Α = sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B dengan 0o ≤ α ≤ 180o

C = vektor lain hasil perkalian silang antara vektor A dan B

|A x B| = besar vektor hasil perkalian silang antara vektor A dan B

Hasil perkalian silang dua buah vektor adalah sebuah vektor yang arahnya tegak lurus pada bidang yang dibentuk oleh A da B.

● Arah vektor hasil perkalian silang

Arah dari vektor C tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vektor A dan B. Untuk menunjukkan arah vektor C, kita gunakan kaidah tangan kanan dimana ujung vektor A menuju ujung vektor B searah dengan lipatan empat jari sedangkan jempol menunjukkan arah vektor C. Pada gambar di atas, vektor C hasil perkalian silang A x B arahnya menuju ke atas tidak menembus bidang.

Sama halnya dengan arah hasil perkalian silang A x B. Kita juga bisa menggunakan kaidah tangan kanan, namun bedanya genggaman tangan dibalik, dimana ujung vektor B menuju ujung vektor A searah dengan lipatan empat jari sedangkan jempol menunjukkan arah vektor C. Pada gambar di atas, vektor C hasil perkalian silang B x A arahnya menuju ke bawah menembus bidang.

A x BB x A

● Dalam perkalian silang, ada 5 poin penting yang perlu diingat, yaitu:

1. Pada perkalian silang tidak berlaku sifat komutatif sehingga

A x B ≠ B x A

2. Pada perkalian silang berlaku sifat anti komutatif yaitu

A x B = - B x A

3. Jika kedua vektor A dan B saling tegak lurus (α = 90o) maka

|A x B| = AB → sin 90o = 1

4. Jika kedua vektor A dan B searah (α = 0o) maka

|A x B| = 0 → sin 0o = 0

5. Jika kedua vektor A dan B berlawanan searah (α= 180o) maka

|A x B| = 0 → sin 180o = 0

● Perkalian silang pada vektor satuan

Hasil perkalian silang pada vektor satuan yang sama adalah sebagai berikut:

i x i = 1.1 sin 0o = 0

j x j = 1.1 sin 0o = 0

k x k = 1.1 sin 0o = 0

● Untuk hasil perkalian silang pada vektor satuan yang berbeda kita gunakan siklus berikut:

● misalkan terdapat dua vektor berikut ini:

A = Axi + Ayj + Azk

B = Bxi + Byj + Bzk

● Hasil perkalian silang antara vektor A dan B adalah sebagai berikut:

A x B = (Axi + Ayj + Azk) x (Bxi + Byj + Bzk)

A x B = Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk + Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk + Azk x Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk

● → karena i x i = j x j = j x k = 1x1 sin 0o = 0 maka

A x B = 0 + Axi x Byj + Axi x Bzk + Ayj x Bxi + 0 + Ayj x Bzk + Azk x Bxi + Azk x Byj + 0

A x B = Axi x Byj + Axi x Bzk + Ayj x Bxi + Ayj x Bzk + Azk x Bxi + Azk x Byj

● → dengan menggunakan siklus perkalian silang maka

A x B = AxByk – AxBzj – AyBxk + AyBzi + AzBxj – AzByi

A x B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - AxBz)j + (AxBy - AyBx)k

● Perkalian silang pada vektor satuan (metode determinan)

A x B = i AyBz + j AzBx + k AxBy – k AyBx – i AzBy – j AxBz

A x B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - AxBz)j + (AxBy – AyBx)k

Metode Sarrus

● Sifat Perkalian Silang● Perkalian silang memiliki sifat antikomutatif, yaitu

A × B ≠ B × A● Perkalian silang memiliki sifat asosiatif, yaitu

k(A × B) = (kA) × B = A × (kB)● Dan terakhir, perkalian silang memiliki sifat distributif, yaitu

A × (B + C) = (A × B) + (A × C)

(A + B) × C = (A × C) + (B × C)

● Contoh :

Diketahui:

A = 0,8i + 0,2j

B = i + 2j – k

● Hitung C = A x B ???

● Jawab :

C = A x B

C = (0,8i + 0,2j) x (i + 2j – k)

C = (0,8)(1)(i x i) + (0,8)(2)(i x j) + (0,8)(-1)(i x k) + (0,2)(1)(j x i) + (0,2)(2)(j x j) + (0,2)(-1)(j x k)

C = 0 + 1,6k – 0,8(-j) + 0,2(-k) + 0 – 0,2i

C = -0,2i + 0,8j + 1,4k

Coba !!!!!1. kerjakan soal disamping dengan cara determinan

2. hitung D = B x A

● Coba !!!

Tentukan hasil perkalian titik dan perkalian silang dari dua buah vektor berikut :

A = 2i – 2j + 4k

B = i – 3j + 2k