PERKALIAN VEKTOR

11

1. Perkalian Skalar dengan Vektor2. Perkalian vektor dengan Vektor

a. Perkalian Titik (Dot Product)

b. Perkalian Silang (Cross Product)

PERKALIAN SKALAR DGN VEKTOR

22

Perkalian Skalar dengan Vektor menghasilkan sebuah Vektor

v = k u k : Skalar

u : Vektor

Vektor v merupakan hasil perkalian antara skalar k dengan vektor u

Contoh :

Jika k positif (k>0) arah v searah dengan u

Jika k negatif (k<0) arah v berlawanan dengan u

k = 3,u v = 3u

k = -3,u v = -3u

PERKALIAN SKALAR DGN VEKTOR

33

kb

ka

b

akkumaka

realbilangankdanb

auJika

:

,

Contoh Soal :

Diketahui :

Hitunglah : 3u

Jawab :

3

2u

9

6

3

233u

LATIHAN SOAL 2

44

Diketahui :

Hitunglah :

1. -3u

2. 6v

3. 4u + 3v

4. 7u– 2v

2

10,

1

2vu

SIFAT OPERASI VEKTOR

55

Diketahui k dan p merupakan bilangan skalar .- Jika k = 0 maka ku = 0- k(p u) = (kp)u = u(kp)- (k+p)u = ku+pu (bersifat distributif)- k(u+v) = ku+kv (bersifat distributif)- u + (-1) v = u - v

DOT PRODUCT

66

Perkalian dot atau titik disebut juga perkalian skalar(scalar product). Hal itu dikarenakan perkaliantersebut akan menghasilkan skalar meskipun keduapengalinya merupakan vektor.

Perkalian skalar dari dua vektor A dan B dinyatakandengan A•B, karena notasi ini maka perkalian tersebutdinamakan juga sebagai perkalian titik (dot product).

DOT PRODUCT

77

Dalam bentuk komponen vektor, bila A = [a1,a2,a3] danB = [b1,b2,b3], maka :A•B = a1b1 + a2b2+ a3b3

Diketahui :A = [1,2,3]B = [4,5,6]A•B = (1x4) + (2x5)+(3x6) = 4 + 10 + 18 = 32

DOT PRODUCT

88

Secara matematis perkalian skalar dua vektor dapat

ditentukan

dengan rumus

a . b = |a|.|b| cos θ

|a| = besar vektor a

|b| = besar vektor b

θ = sudut antara vektor a dan b.

DOT PRODUCT

99

Perkalian dot product :A•B = |A||B| cos θ

Diketahui :|A|= 5|B| = 4θ = 30˚A•B = 5*4 cos 30 = 20 ( ) =3

2

1 310

Contoh

Diketahui vektor A = 2i + 5j + 4k dan B = i + 2j − 3k . Sudut antara A dan B adalah

⇒ A.B = |A|.|B| cos θ

⇒ (2i + 5j + 4k )(i + 2j − 3k ) = |A|.|B| cos θ

⇒ 2(1) + 5(2) + (4)(-3) = |A|.|B| cos θ

⇒ 2 + 10 − 12 = |A|.|B| cos θ

⇒ 0 = |A|.|B| cos θ

⇒ cos θ = 0 ⇒ θ = 90o

CROSS PRODUCT

1111

Perkalian silang (cross product) disebut juga sebagaiperkalian vektor (vektor product), karena perkalian iniakan menghasilkan vektor lain.

Perkalian vektor antara A dan B dinyatakan denganA x B.

1

2

Vektor Product (Cross Product)

Dalam bentuk komponen vektor

a

bv

],,[

],,[v

122131132332

321

babababababa

vvv

Utk mengingat rumus di atas (ingat rumus determinan matrik)

321

321

bbb

aaa

kji

ba

alikeareindicestwoanyif

ijkif

ijkifkji

ijk

ijk

ijk

k

ijk

0

213,132,3211

312,231,12313

1

21

21

321

321

bb

ba

ji

bbb

aaa

kji

ba Sehingga:v1=a2.b3 - a3.b2v2=a3.b1 – a1.b3v3=a1b2 – a2.b1

CROSS PRODUCT

1313

Diketahui :A = [1,2,3]B = [4,5,6]

AxB = 12i+12j+5k-8k-15i-6j = -3i+6j-3kAxB = [-3 6 -3]

654

321

kji

Jika dua vektor A dan B dinyatakan dengan :

A = 2i + 2j − 3k , dan B = -2i + 3j − 4k .

Buktikanlah bahwa A x B = -B x A.

A x B = -B x A

⇒ i + 14j + 10k = -(-i − 14j − 10k)

⇒ i + 14j + 10k = i + 14j + 10k (Terbukti).

CROSS PRODUCT

1515

Diketahui :A = [3,5,1]B = [2,-3,1]

Ditanya :1. A•B2. B•A3. A x B4. B x A