VEKTOR - · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang...

of 48 /48
3/8/2007 Fisika I 1 Keep running VEKTOR

Transcript of VEKTOR - · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang...

Page 1: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 1

Keep running

VEKTOR

Page 2: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 2

Keep running BAB I : VEKTOR

Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitubesar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalahperpindahan.

ArSebuah besaran vektor dapat dinyatakan oleh huruf di cetak tebal

(misal A) atau diberi tanda panah diatas huruf (misal ). Dalamhandout ini sebuah besaran vektor dinyatakan oleh huruf yang dicetak tebal.

a

b

R

Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor R

Page 3: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 3

Keep running

PENJUMLAHAN VEKTOR

Penjumlahan vektor R yang menyatakan perpindahan a ke b danvektor S yang menyatakan perpindahan b ke c menghasilkanvektor T yang menyatakan perpindahan a ke c.Cara menjumlahkan dua buah vektor dengan mempertemukanujung vektor pertama, vektor R, dengan pangkal vektor kedua, vektor S. Maka resultan vektornya, vektor T, adalahmenghubungkan pangkal vektor pertama dan ujung vektor kedua.

b

ca

RS

T

T = R + S

Page 4: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 4

Keep running BESAR VEKTOR RESULTAN

Jika besar vektor R dinyatakan oleh R dan besar vektor Sdinyatakan oleh S, maka besar vektor T sama dengan :

(1.1)θcos2RSSRT 22 −+=

RS

T

T = R + S

θ

Sudut θ menyatakan sudut yang dibentuk antara vektor R danvektor S

Page 5: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 5

Keep running PENGURANGAN VEKTOR

Untuk pengurangan vektor, misal A – B dapat dinyatakan sebagaipenjumlahan dari A + (-B). Vektor -B atau negatif dari vektor Badalah sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor B tetapiarahnya berlawanan.

AB

-B

D D = A – B

Page 6: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 6

Keep running CONTOH

Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 km, kemudianbergerak ke Barat sejauh 40 km dan bergerak ke Selatan sejauh10 km. Tentukan jarak perpindahan mobil itu !

40 km

S

10 km

20 km

U

B

Page 7: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 7

Keep running

CONTOH40 km

Jawab :

10 km

20 km

10 km

40 km

A

B

C

D = A + B + C

Jika perpindahan pertama dinyatakan vektor A, perpindahankedua dinyatakan vektor B, dan perpindahan ketiga dinyatakanvektor C, maka perpindahan total dinyatakan vektor D.

Dari gambar di atas dapat diketahui panjang vektor D adalah :

m17101040 22 =+

Page 8: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 8

Keep running

VEKTOR SATUAN

RRr =Vektor satuan didefenisikan sebagai : (1.2)

Vektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan besarnya adalahsatu satuan. Dari persamaan di atas, sebuah besaran vektordapat dinyatakan sebagai besar vektor tersebut dikali vektorsatuan. Vektor satuan r menyatakan arah dari vektor R.Terdapat vektor satuan standar dalam koordinat Kartesian dimana arah-arah dari masing-masing sumbu dinyatakan dalamvektor satuan.•Vektor satuan i menyatakan arah sumbu X positif•Vektor satuan j menyatakan arah sumbu Y positif•Vektor satuan k menyatakan arah sumbu Z positif

Page 9: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 9

Keep running

PENULISAN VEKTOR SECARA ANALITIS

2z

2y

2x RRRR ++=

Vektor R dinyatakan oleh : R = Rxi + Ryj + Rzk

Besar vektor R adalah :

R

Ry

Rz

Rx

Vektor dalam 2 Dimensi

Vektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakandalam bentuk penjumlahan dari vektor komponen masing-masingsumbu koordinat.

Page 10: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 10

Keep running

CONTOH

Sebuah vektor perpindahan dari titik (2,2) ke titik (-2,5). Tentukan :a. Vektor perpindahan dinyatakan secara analitisb. Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X c. Panjang vektor

Jawab :

(2,2)

(-2,5)

x

y

Vektor perpindahan :R = (xujung – xpangkal)i + (yujung – ypangkal)jR = (-2 – 2)i + (5 – 2)j = -4i + 3j

pangkal

ujung

θ

Rx

Ry

a.

Page 11: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 11

Keep running

CONTOH

(2,2)

(-2,5)

x

y

pangkal

ujung

θ

Rx

Ry

b. Sudut yang dibentuk :

o1

x

y1 3743tan

RR

tan =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==θ −−

Besar vektor R = 543RR 222y

2x =+=+ satuanc.

Page 12: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 12

Keep running

PENJUMLAHAN VEKTOR CARA ANALITIS

Jika diketahui sebuah vektor A = xAi + yAj dan vektor B = xBi + yBj, maka penjumlahan vektor A + B = (xA + xB)i + (yA + yB)j. Atau secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku :

R = (x0 + …+xi + …+xn)i + (y0 + …+yi + …+yn)j (1.3)

xAxB

yA

yB

A

B

xA + xB

A +B

A

B

yA + yB

Page 13: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 13

Keep running

CONTOH

Diketahui dua buah vektor. A = 3i + 2jB = 2i − 4j Tentukan :

a. A + B dan ⏐A + B⏐b. A − B dan ⏐A − B⏐

Jawab :a. A + B = 3i + 2j + 2i − 4j

= 5i − 2j

⏐A + B⏐ = 29)2(5 22 =−+

b. A − B = 3i + 2j − (2i − 4j) = i + 6j

⏐A − B⏐ = 3761 22 =+

AB

A + B

-BA − B

Page 14: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 14

Keep running

SOAL

1. Nyatakan sebuah vektor yang mempunyai besar 4 satuan danarahnya 60o dari sumbu X positif secara analitis dan tentukanvektor satuannya!

2. Sebuah benda bergerak dari titik (1,2)m ke titik (5,0)m. Tentukan :a. Vektor perpindahan benda tersebutb. Jarak perpindahanc. Arah dari vektor perpindahan benda tersebut dinyatakan oleh

vektor satuannya

3. Diketahui A = 3i + 4j. Tentukan konstanta skalar c sehinggaberlaku cA = 10 satuan !

4. Diketahui A = 2i + 4j, B = -7i, dan C = 8j. Tentukan :a. A + B - Cb. ⏐A + B + C⏐

Page 15: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 15

Keep running SOLUSI

R = Rxi + RyjDiketahui :

Rx = R cos θ = 4 cos 60o = 2 satuanRy = R sin θ = 4 sin 60o = 2 satuan

Dengan demikian R = 2i + 2 j satuanVektor satuan :

r = cos 60o + sin 60o = ½ i + ½ j

60o

X

Y

R

θ

3

3

1.

3

Page 16: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 16

Keep running

SOLUSI

m5224RR 222y

2x =+=+

jiRr55

552

R−==

X

Y

R

1 5

2

a. R = (x2 – x1) i + (y2 – y1) j. Titik awal (x1,y1) = (1,2) dantitik akhir (x2,y2) = (5,0). Dengan demikian vektor R = 4 i – 2 j.

b. R =

c.

2.

Page 17: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 17

Keep running

SOLUSI

3. Besar vektor A = = 5 satuan

Dengan demikian nilai c = 2 satuan

22 43 +

a. A + B – C = 2i + 4j - 7i - 8j = -5i - 4j

b. ⏐A + B + C⏐ = ⏐2i + 4j - 7i + 8j⏐ = ⏐-5i + 12j⏐

⏐-5i + 12j⏐ = = 13 satuan

4.

22 125 +

Page 18: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 18

Keep running

PERKALIAN SKALAR

Perkalian skalar atau juga sering disebut perkalian titik dari duabuah vektor menghasilkan besaran skalar di mana berlaku :

A . B = AB cos θ (1.4)

Jika diketahui A = ax i + ay j + az k dan B = bx i + by j + bz k, maka :

A . B = axbx + ayby + azbz (1.5)

Sebagai hasil perkalian skalar adalah usaha, tenaga potensial, fluks magnet, dan lain-lain.

A

Page 19: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 19

Keep running

PERKALIAN SKALAR

Perhatikan animasi disamping ini !

Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah :i . i = j . j = k . k = 1 i . j = j . k = k . i = 0

Page 20: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 20

Keep running CONTOH

ABcos B.A

Diketahui dua buah vektor, A = 3i + 4j dan B = 4i − 2j. Tentukansudut antara vektor A dan B !Jawab :

A

B

θ

Untuk menentukan sudut antaravektor A dan B dapat menggunakanpersamaan (1.4).

A . B = (3i + 4j) . (4i − 2j) = 3.4 + 4.(-2) = 4Besar vektor A = 543 22 =+Besar vektor B = 20)2(4 22 =−+

1252

ABcos ==θ

B.A

AB

Dengan demikian θ = 79,7o

Page 21: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 21

Keep running

PERKALIAN VEKTOR

Perkalian vektor atau perkalian silang dari dua buah vektormenghasilkan besaran vektor lain di mana berlaku :

A × B = C (1.6)Besar vektor C adalah :

C = AB sin θ (1.7)Arah vektor C selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentukoleh vektor A dan vektor B. Untuk menentukan arah vektor Cdapat diperhatikan gambar di bawah ini. Diketahui bahwa hasil A × B tidak sama dengan B × A. Walaupun besar vektor hasilperkalian silang itu sama, tetapi arahnya saling berlawanan.

B

B

A

A

C = A × B

C’ = B × A

θ

θ

C = -C’

Page 22: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 22

Keep running PERKALIAN VEKTOR

Perhatikan animasi disamping ini !

Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah : i × i = j × j = k × k = 0i × j = k ; j × k = i; k × i = jj × i = -k ; k × j = -i; i × k = -j

Page 23: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 23

Keep running

PERKALIAN VEKTOR

Untuk menentukan arah dari hasil perkalian silang dari dua buahvektor dapat menggunakan aturan tangan kanan. Jika urutanperkalian dari dua vektor (misal A × B), maka empat jarimenyatakan arah putaran sudut terkecil dari vektor A ke vektor B. Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor tersebut.

Untuk memahami aturan ini perhatikan animasi di bawah ini :

Page 24: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 24

Keep running CONTOH

Diketahui dua buah vektor. A = 3i + 4j B = 4i − 2j + kTentukan : a. A × B

b. Buktikan A × B = -B × AJawab :

A × B = (3i + 4j) × (4i − 2j + k) = 3.4(i×i) + 3.(-2)(i×j) + 3.1(i×k) + 4.4(j×i) + 4.(-2)(j×j) + 4.1(j×k) = 12.0 – 6k + 3(-j) + 16(-k) – 8.0 + 4i = 4i – 3j – 22k

a.

b. B × A = (4i − 2j + k) × (3i + 4j) = 4.3(i×i) + 4.4(i×j) +(-2).3(j×i) + (-2).4(j×j) + 1.3(k×i) + 1.3(k×j) = 12.0 + 16k – 6(-k) – 8.0 + 3j + 4(-i) = -4i + 3j + 22k = - A × B

terbukti

Page 25: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 25

Keep running SOAL

1. Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor A = i + 2 j – k danvektor B = 3 i – 4 k !

2. Tentukan panjang proyeksi dari vektor A = 4 i + 2 j – k terhadaparah vektor B = i + 3 j – 4 k !

3. Diberikan tiga buah vektor :A = 1 i + 2 j – kB = 4 i + 2 j + 3 kC = 2 j – 3 k Tentukan :a. A . (B × C)b. A . (B + C)c. A × (B + C)

4. Buktikan vektor R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k adalahtegak lurus !

Page 26: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 26

Keep running

SOLUSI1.

61)(21A 222 =−++=

Menurut persamaan (1.5) A . B = 1.3 + 2.0 + (-1).(-4) = 7. Besarvektor A :

54)(3B 22 =−+=

Nilai sudut antara A dan B ditentukan oleh :65

7AB

cos ==θB.A

Dengan demikian θ = 55,1o

Besar vektor B :

A

BAB

θ

Panjang AB menyatakan panjang proyeksi A terhadap B yang besarnya :

2614

)4(31)4).(1(3.21.4

B cosAA

222B =−++

−−++==θ=

A.B

2.

Page 27: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 27

Keep running SOLUSI

B × C = (4i + 2j + 3k) × (2j – 3k) = 8(i × j) – 12(i × k) – 6(j ×k) + 6(k × j) = 8k + 12j − 12iA . (B × C) = (i + 2j – k).(-12i + 12j + 8k) = -12 + 24 – 8 = 4

3. a.

B + C = 4i + 4j. Nilai A . (B + C) = (i + 2j – k).(4i + 4j) = 12b.c. A × (B + C) = (i + 2j – k) × (4i + 4j) = i – 4j – 4kDua buah vektor tegak lurus jika membentuk sudut 90o. Menurut persamaan (1.4) dan (1.5) diperoleh :R . S = RS cos 90o = RS . 0 = 0R . S = RxSx + RySy + RzSz

Jika diketahui R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k, maka :R . S = 3.2 + 2.1 + (-4).2 = 0

4.

Page 28: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 28

Keep running BESARAN FISIS

Setiap keadaan fisis dari materi selalu dinyatakan sebagai fungsimatematis dari besaran lain yang mempengaruhinya.

S = f(x1, x2, . . . , xn) (1.8)

S menyatakan besaran yang diukur, sedangkan xi menyatakanvariabel yang menentukan besaran S. Sebagai contoh gayainteraksi antar dua partikel bermuatan F ditentukan oleh besarmuatan pertama q1, besar muatan kedua q2, jarak antar partikel r12, dan medium di mana kedua partikel tersebut berada.

Namun untuk menggambarkan sebuah besaran yang merupakanfungsi dari beberapa variabel cukup sulit. Pada pembahasanmateri di sini, ditinjau besaran yang hanya bergantung pada satuvariabel saja.

Page 29: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 29

Keep running

BESARAN FISIS

Tinjau sebuah fungsi y = f(x) di bawah ini di mana nilai y hanyaditentukan oleh satu variabel, yaitu x.

yDari grafik di sampingdiketahui y1 = f(x1), y2 = f(x2), y3 = f(x3), dan y4 = y1. y1

x1 x2 x3 x4

y2

y3

x

Setiap besaran fisis yang bergantung pada satu variabel dapatdigambarkan dalam bentuk grafik seperti di atas.

Page 30: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 30

Keep running BESARAN FISIS

Di bawah ini contoh besaran fisika, yaitu posisi x sebagai fungsiwaktu. Posisi sebuah partikel dalam arah x sebagai fungsi waktu.

t (detik) x (meter)

0 9

1 4

2 1

3 0

4 1

5 4

6 9

7 16

8 25

9 360 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

t

x(t)

x(t) = (t – 3)2

Page 31: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 31

Keep running BESARAN FISIS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

r

E(r)

Medan listrik sebagai fungsi jarak. Diketahui besar q = 1 nC.

2rqE k=

r (m) E (N/C)

1 9

2 2,25

3 1

4 0,5625

5 0,36

6 0,25

7 0.1837

8 0,1406

9 0,1111

10 0,09

Page 32: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 32

Keep running CONTOH

1. Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gayapegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstantapegas dan x adalah jarak. Gambarkan grafik F sebagai fungsijarak x !

x

F

F =kx

Page 33: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 33

Keep running CONTOH

2. Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumbertegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan olehfungsi :

Q(t) = q(1 – e-At)dengan q dan A adalah konstanta. Gambarkan grafik Q terhadap t !

t

Q = q(1 – e-At)

Q

q

Page 34: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 34

Keep running DIFERENSIAL

Diferensial atau turunan pertama kali dibahas untuk menentukangaris singgung dari suatu kurva. Masalah ini sudah dibahas sejakjaman Archimedes sekitar abad ke 3 SM.

Dalam fisika, turunan pertama kali digunakan untuk menentukanbesar kecepatan sesaat pada t tertentu dari persamaan posisiterhadap waktu.

f(x)

xc c+h

f(c+h)

f(c)Garis singgung

Lihat gambar di samping. Gradien dari garis singgungpada titik P dapat ditentukanoleh persamaan :

Ph

)c(f)hc(flim m

0h

−+=

(1.9)

Page 35: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 35

Keep running DIFERENSIAL

Jika x = c dan x’ = c + h, maka persamaan (1.9) menjadi :

x)x(f

limx'x)x(f)'x(f

lim mx'xx'x ∆∆

=−−

=→→

(1.10)

Penulisan turunan dari suatu fungsi y = f(x) terhadap x dinyatakanoleh :

f’(x) Dxydxdy

Berlaku untuk turunan :1. Dx(cf(x)) = c Dxf(x) c : konstanta (1.11a)2. Dx(f(x) + g(x)) = Dxf(x) + Dxg(x) (1.11b)3. Dx(f(x)g(x)) = (Dxf(x))g(x) + f(x)(Dxg(x)) (1.11c)4. Dx(f(g(x))) = Dg(x)f(g(x)).Dxg(x) (1.11d)5. Dx(xn) = nXn-1 (1.11e)

Page 36: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 36

Keep running

DIFERENSIAL

dCdBA =

Dalam fisika, suatu besaran A yang dinyatakan sebagaiperbandingan besaran B terhadap besaran C selalu dinyatakandalam bentuk :

Hal ini berlaku karena pada umumnya besaran B merupakanfungsi dari besaran C. Sebagai contoh :

waktuJaraktanKecepa = dt

dxv =

waktuUsahaDaya =

dtdWP =

waktutanMuaArus = dt

dqI =

Page 37: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 37

Keep running CONTOH

Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber teganganDC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi :

Q(t) = q(1 – e-At)dengan q dan A adalah konstanta. Tentukan :a. Fungsi arus sebagai waktub. Besar arus saat t = 0c. Gambarkan grafik I(t)

Jawab :a.

( ) AtAt qAe)e1(qdtd

dtdQI −− =−==

Besar arus I :

Pada saat t = 0 harga I adalah :

I = qAe-A.0 = qA

qAI(t)

t

c.

b.

Page 38: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 38

Keep running INTEGRAL

Integral digunakan untuk menentukan luas daerah di antara kurvafungsi f(x) dan sumbu x.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

x

y

x0

∆x

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

Sebagai contoh diketahui y = f(x) = (x – 3)2 + 5 danluas yang ditentukan padabatas dari x = 1 sampaidengan x = 8.

Page 39: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 39

Keep running INTEGRAL

Dari gambar diketahui luas yang dicari dapat didekati dengan :

A(n = 7) = f(1)∆x + f(2)∆x + f(3)∆x + f(4)∆x + f(5)∆x + f(6)∆x + f(7)∆x

∑=

∆==7

0ii x)x(f)7n(A

Nilai ∆x = 1 ditentukan dengan membagi selang 1 < x < 8 dibagidengan n = 7. Nilai A(n = 7) = 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 14 + 21 = 70 satuan persegi.Jika nilai n diperbesar, maka luas mendekati luas sebenarnya. Nilai A sebenarnya diperoleh pada nilai n endekati tak hingga.

∑ ∫=

∞→∞→=∆==

n

0i

8

1inn

dx)x(fx)x(flim)n(AlimA

Page 40: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 40

Keep running INTEGRAL

∫= dTSR

Dalam fisika, integral digunakan untuk suatu besaran yang merupakan hasil kali dari besaran-besaran lain dengan syaratmasing-masing besaran tersebut tidak saling bebas satu samalain.

Tinjau suatu besaran R = ST. Jika besaran S fungsi dari T, maka besaran R harus dinyatakan dalam bentuk :

Sebagai contoh :

Usaha = Gaya × jarak ∫= dsFW

∫=Φ dAEFluks = Medan × luas

Page 41: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 41

Keep running CONTOH

Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gayapegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstantapegas dan x adalah jarak. Tentukan :a. Besar usaha yang dilakukan oleh gaya pegasb. Gambarkan grafik usaha sebagai fungsi waktuJawab :

∫∫ === 221 kxdxkxdxFWa. Usaha yang dilakukan :

W =½kx2

W

x

b.

Page 42: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 42

Keep running SOAL

Sebuah partikel bergerak akibat gaya yang dinyatakan olehpersamaan F(x) = Ax − Bx2. Jika diketahui nilai A = 103 N/m danB = 5.103 N/m2. Tentukan :a. Grafik F terhadap xb. Perubahan Gaya F terhadap jarakc. Usaha yang dilakukan gaya dari x = 3 cm sampai x = 9 cm

1.

Di bawah ini grafik dari potensial listrik terhadap jarak.2.

x (m)10

8

4

V (volt) Tentukan :a. Fungsi potensial V sebagai fungsi xb. Jika diketahui medan listrik E adalah

turunan pertama dari potensial listrikV, tentukan fungsi E(x)

c. Gambarkan grafik E terhadap x

Page 43: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 43

Keep running SOAL

3. Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan v(t) = 10t – 2t2 m/sbergerak dengan posisi awal di x = 1 m. Tentukan :

a. Gambarkan grafik v(t)

b. Kecepatan saat t = 1 detik dan t = 3 detik

c. Fungsi a(t) sebagai turunan pertama dari v(t)

d. Gambarkan grafik a(t)

e. Fungsi posisi x(t) terhadap waktu

f. Posisi saat kecepatan v = 0

Page 44: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 44

Keep running SOLUSI

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

x (cm)

F (N)1. a.

Perubahan gaya terhadap jarak dinyatakan oleh

dxdF

1. b.

= A – 2Bx = 103 – 104x

Page 45: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 45

Keep running

SOLUSI

Usaha yang dilakukan :

( ) ( ) 2

2

2

2

10.9

10.33

312

21

10.9

10.3

2 xBxAdxBxAxdxFW−

−=−== ∫∫

W = 36.10-4A – 234.10-6B = 2,43 Joule

1. c.

2. a. Dari grafik diketahui V(x) adalah fungsilinier yang menghubungkan titik (0,4) dan titik (10,8). Dengan menggunakanpersamaan garis V = ax + b.

Untuk titik (0,4) 0.a + b = 4

Untuk titik (10,8) 10.a + b = 810

8

4

V (volt)

x (m)

Dengan metoda eliminasi diperoleh b = 4 dan a = 2,5. Dengan demikian fungsi V(x) = 2,5x + 4

Page 46: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 46

Keep running SOLUSI

Medan listrik E(x) =dx

)x(dV

Dengan demikian nilai E(x) konstan.

2. b. = 2,5

x (m)

E (V/m)

2,5

2. c.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0-2 0

-1 5

-1 0

-5

0

5

1 0

1 5

2 0

x (m)

v (m/s)

3. a.

Page 47: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 47

Keep running

SOLUSI

3. b. Kecepatan saat t = 1 detik adalah v(1) = 10.1 – 2.12 = 6 m/s. Sedangkan kecepatan saat t = 3 detik adalah v(1) = 10.3 – 2.32

= 12 m/s.

Percepatan a(t) =dt

)t(dv= 10 – 4t3. c.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-20

-15

-10

-5

0

5

10

x (m)

a (m/s2)3. d.

Page 48: VEKTOR -   · PDF filePenjumlahan vektor R yang menyatakanperpindahana keb dan vektor S yang ... Perkalian skalar atau ... Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor

3/8/2007 Fisika I 48

Keep running

SOLUSI

Fungsi posisi x(t) = 33222 tt5dtt2t10dt)t(v −=−=∫ ∫3. e.

Saat v = 10t – 2t2 = 0 terjadi saat t = 0 dan t = 5 detik. Padasaat t = 0 posisi x(0) = 0. Sedangkan pada saat t = 5 detikposisi x di :

3. f.

323

322 41

312555.5 ==−

Dengan demikian kecepatan v = 0 di posisi x = 0 dan x = 41,67 m

x(5) =