BAB KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR · PDF filevektor satuan, maka tentu saja besar dari...

of 11/11
1 http://atophysics.wordpress.com BAB KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR Karakteristik gerak pada bidang melibatkan analisis vektor dua dimensi, dimana vektor posisi, perpindahan, kecepatan, dan percepatan dinyatakan dalam suatu vektor satuan i (sumbu X) dan vektor satuan j (sumbu Y). Misalnya vektor posisi , r, dinyatakan sebagai r = xi + yj, dengan (x,y) menyatakan koordinat partikel pada suatu saat t. A. Posisi Partikel pada Suatu Bidang Menyatakan Posisi Partikel pada Suatu Bidang dengan Vektor Satuan Kita akan menyatakan posisi partikel pada suatu bidang dengan menyatakan koordinatnya terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, yaitu sumbu X dan sumbu Y. Vektor satuan pada sumbu X diberi lambang i dan pada sumbu Y diberi lambang j. Karena i dan j disebut vektor satuan, maka tentu saja besar dari vektor ini sama dengan satu. Untuk menyatakan posisi partikel pada suatu bidang, yang kita beri lambang r. Misalkan titik asal O ditetepkan sebagai acuan, maka posisi sebuah partikel yang bergerak pada bidang XOY dimana pada saat t memiliki koordinat (x,y) (lihat Gambar 1.3) dapat dinyatakan sebagai : Posisi Partikel pada bidang r = xi + yj Menentukan Perpindahan Partikel pada Bidang Perpindahan pada suatu garis lurus (satu dimensi), diberi lambang Δ x, dinyatakan oleh : Perpindahan pada garis lurus x = x 2 + x 1 Untuk menyatakan perpindahan partikel pada suatu bidang XOY (dua dimensi), misalkan trayektori (lintasan) yang ditempuh sebuah partikel pada suatu bidang adalah seperti Gambar 1.4. Pada saat t = t 1 , partikel berada di titik P 1 (x 1 ,y 1 ) dengan vektor posisi r 1 = x 1 i + y 1 j. Beberapa saat kemudian, t = t 2 , partikel berada di titik p 2 (x 2 ,y 2 ) dengan vektor posisi r 2 = x 2 i + y 2 j. Perpindahan didefinisikan sebagai perubahan posisi (kedudukan) suatu partikel dalam selang waktu tertentu. Vektor perpindahan berarah dari titik awal ke titik akhir. Pada Gambar 1.4, titik awal adalah P 1 dan titik akhir adalah P 2 . Tentu saja vektor perpindahan r adalah segmen garis berarah P 1 P 2 . Pada segitiga vektor OP 1 P 2 , vektor yang menutup adalah r 2 sehingga berlaku r 2 = r 1 + r atau r = r 2 r 1 Perpindahan pada bidang r = (x 2 i + y 2 j) – (x 1 i + y 1 j) = (x 2 – x 1 )i + (y 2 – y 1 )j r = xi + yj Dengan x = x 2 – x 1 dan y = y 2 – y 1
  • date post

    06-Feb-2018
  • Category

    Documents

  • view

    223
  • download

    2

Embed Size (px)

Transcript of BAB KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR · PDF filevektor satuan, maka tentu saja besar dari...

  • 1

    http://atophysics.wordpress.com

    BAB

    KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR

    Karakteristik gerak pada bidang melibatkan analisis vektor dua dimensi, dimana vektor posisi,

    perpindahan, kecepatan, dan percepatan dinyatakan dalam suatu vektor satuan i (sumbu X) dan

    vektor satuan j (sumbu Y). Misalnya vektor posisi , r, dinyatakan sebagai r = xi + yj, dengan

    (x,y) menyatakan koordinat partikel pada suatu saat t.

    A. Posisi Partikel pada Suatu Bidang

    Menyatakan Posisi Partikel pada Suatu Bidang dengan Vektor Satuan

    Kita akan menyatakan posisi partikel pada suatu bidang dengan menyatakan koordinatnya

    terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, yaitu sumbu X dan sumbu Y. Vektor satuan

    pada sumbu X diberi lambang i dan pada sumbu Y diberi lambang j. Karena i dan j disebut

    vektor satuan, maka tentu saja besar dari vektor ini sama dengan satu.

    Untuk menyatakan posisi partikel pada suatu bidang, yang kita beri lambang r. Misalkan

    titik asal O ditetepkan sebagai acuan, maka posisi sebuah partikel yang bergerak pada

    bidang XOY dimana pada saat t memiliki koordinat (x,y) (lihat Gambar 1.3) dapat

    dinyatakan sebagai :

    Posisi Partikel pada bidang r = xi + yj

    Menentukan Perpindahan Partikel pada Bidang

    Perpindahan pada suatu garis lurus (satu dimensi), diberi

    lambang x, dinyatakan oleh :

    Perpindahan pada garis lurus x = x2 + x1

    Untuk menyatakan perpindahan partikel pada suatu bidang XOY (dua dimensi), misalkan

    trayektori (lintasan) yang ditempuh sebuah partikel pada suatu bidang adalah seperti

    Gambar 1.4. Pada saat t = t1 , partikel berada di titik P1 (x1,y1) dengan vektor posisi r1 = x1i +

    y1j. Beberapa saat kemudian, t = t2, partikel berada di titik p2 (x2,y2) dengan vektor posisi r2

    = x2i + y2j.

    Perpindahan didefinisikan sebagai perubahan posisi (kedudukan) suatu partikel dalam

    selang waktu tertentu. Vektor perpindahan berarah dari titik awal ke titik akhir. Pada

    Gambar 1.4, titik awal adalah P1 dan titik akhir adalah P2. Tentu saja vektor perpindahan r

    adalah segmen garis berarah P1P2. Pada segitiga vektor OP1P2, vektor yang menutup adalah

    r2 sehingga berlaku

    r2 = r1 + r atau r = r2 r1

    Perpindahan pada bidang

    r = (x2i + y2j) (x1i + y1j)

    = (x2 x1)i + (y2 y1)j

    r = xi + yj

    Dengan

    x = x2 x1 dan y = y2 y1

  • 2

    http://atophysics.wordpress.com

    B. Kecepatan

    Kecepatan rata rata adalah hasil bagi perpindahan dengan selang waktu tempuhnya:

    Kecepatan rata rata pada garis lurus v = y

    x

    =

    12

    12

    tt

    xx

    Dalam gerak pada bidang (dua dimensi) definisinya tetap, hanya x dalam persamaan (1-7)

    diganti dengan vektor posisi r :

    Kecepatan rata rata pada bidang v = t

    r

    =

    12

    12

    tt

    rr

    Dengan r2 adalah posisi t = t2 dan r1 adalah posisi pada t = t1.

    Bentuk komponen dari kecepatan rata rata v kita peroleh dengan mensubtitusikan r dengan xi + yj (lihat Persamaan (1-5)) ke dalam persamaan diatas.

    v = t

    yjxi

    + = i

    t

    x

    + j

    t

    y

    v = v xi + v yj

    Dengan v x = t

    x

    =

    12

    12

    tt

    xx

    dan v y =

    12

    12

    tt

    yy

    t

    y

    =

    Oleh karena v = t

    r

    , maka kecepatan rata rata v searah dengan arah perpindahan r.

    Kecepatan sesaat sebagai kemiringan Grafik Komponen r terhadap t

    kecepatan sesaat (sering hanya disebut dengan kecepatan) didefinisikan sebagai kecepatan

    rata-rata untuk selang waktu t yang mendekati nol. Secara matematis kita tulis

    Definisi kecepatan sesaat v = 0

    limt

    v = 0

    limt t

    x

    Kita akan menentukan tafsiran geometris dari persamaan di atas dengan meninjau grafik

    x terhadap t (sebagai komponen grafik r terhadap t). Pada Gambar 1.6 ditunjukkan proses

    limit pada suatu grafik posisi x terhadap t. Di sini selang waktu t terus diperkecil dengan

    mengambil t1 tetap dan t2 mendekati t1. Ketika t mendekati nol, x mendekati nol dan

    kecepatan rata-rata

    v menjadi kecepatan sesaat v, yang sejajar dengan garis singgung kurva posisi pada t = t1. Dengan demikian dapatlah kita menyatakan tampilan geometris dari kecepatan sesaat :

    Kecepatan sesaat pada t = t1 adalah kemiringan garis

    singgung dari grafik posisi x t pada saat t = t1

    Kecepatan sesaat sebagai turunan fungsi posisi

    Tafsiran geometrik kemiringan garis singgung dari grafik x t adalah sama dengan turunan

    pertama dari fungsi x terhadap t. Dengan demikian, dapatlah kita menyatakan tafsiran

    geometris dari kecepatan sesaat :

    Kecepatan sesaat adalah turunan pertama

    dari fungsi posisi x terhadap waktu t

    Secara matematis kita tulis

  • 3

    http://atophysics.wordpress.com

    Kecepatan sesaat Untuk gerak lurus dt

    dxv =

    Kecepatan sesaat untuk gerak pada bidang

    Kecepatan sesaat untuk gerak pada bidang (dua dimensi) dapat kita nyatakan sebagai

    v = 0

    limt

    v = 0

    limt t

    x

    Kecepatan sesaat di titik mana saja pada kurva lintasan partikel

    adalah sejajar dengan garis singgung lintasan pada titik tersebut.

    Maka kecepatan sesaat untuk gerak pada bidang juga merupakan turunan pertama fungsi

    posisi r terhadap waktu t, kita tulis

    Kecepatan sesaat untuk Gerak pada bidang dt

    drv =

    Bentuk komponen dari kecepatan sesaat v kita peroleh dengan mensubstitusi r = xi + yj

    ke persamaan diatas:

    jvivv yx += dengan dt

    dxvx = dan

    dt

    dyv y =

    Ditunjukkan bahwa jika posisi (koordinat) horizontal x dan vertikal y diberikan dalam

    fungsi waktu t, maka kita dapat menentukan komponen kecepatan sesaat, vx dan vy, dengan

    menggunakan turunan.

  • 4

    http://atophysics.wordpress.com

    Menentukan posisi dari fungsi kecepatan

    Jika komponen-komponen kecepatan vx dan vy sebagai fungsi waktu diketahui maka posisi

    horizontal x dan posisi vertikal y dari partikel dapat ditentukan dari persamaan (1-19)

    dengan pengintegralan.

    +=t

    xvxx0

    0 dt +=t

    yvyy0

    0 dy

    Dengan (x0, y0) adalah koordinat posisi awal partikel.

    Untuk gerak suatu benda yang menempuh garis lurus dan pada suatu saat berbalik arah,

    besar perpindahan titik sama dengan jaraknya.

    Perhitungan Perpindahan dan Jarak dari Sketsa

    Grafik v t

    Untuk sketsa grafik seperti Gambar disamping

    Perpindahan = 3

    1

    )(

    t

    t

    tv dt

    Jarak = 2

    1

    )(

    t

    t

    tv dt - 3

    2

    )(

    t

    t

    tv dt

    Gambar 1.10

    C. Percepatan

    Mendefinisikan percepatan rata-rata (lambang ) sebagai perubahan kecepatan dalam suatu

    selang waktu tertentu :

    Percepatan rata-rata t

    va

    = =

    12

    12

    tt

    vv

    Dengan v2 adalah kecepatan pada t = t2 dan v1 adalah kecepatan pada t = t1.

    Bentuk komponen dari percepatan rata-rata kita peroleh dengan mensubstitusi v

    dengan vxi + vyj ke dalam Persamaan (1-25).

    jt

    vi

    t

    va

    yx

    +

    = = jaia yx + dengan

    t

    va xx

    = dan

    t

    va

    yy

    =

    Menentukan percepatan sesaat dari kemiringan grafik v t

    Mendefinisikan percepatan sesaat sebagai percepatan rata-rata untuk selang waktu t

    mendekati nol.

    a = at 0

    lim

    = t

    v

    t

    0lim

    Percepatan sesaat pada t = t1 adalah kemiringan

    garis singgung dari grafik v t pada saat t = t1

  • 5

    http://atophysics.wordpress.com

    Tafsiran geometris dari Persamaan (1-29) dapat kita nyatakan sebagai berikut.

    Percepatan sesaat adalah turunan pertama

    dari fungsi kecepatan v terhadap waktu t.

    Secara sistematis kita tulis

    Percepatan sesaat Untuk gerak lurus a = dt

    dv

    Percepatan sesaat untuk gerak pada bidang

    Percepatan sesaat untuk gerak pada bidang juga dinyatakan oleh Persamaan (1-28) :

    a = t

    v

    t

    0lim

    Untuk partikel yang mengalami pertambahan kelajuan (v2>v1), a memiliki komponen

    yang searah dengan vaktor v (Gambar 1.15a). untuk partikel yang mengalami pengurangan

    kelajuan (v2

  • 6

    http://atophysics.wordpress.com

    dengan vo adalah vektor kecepatan awal (kecepatan pada t = 0).

    Soal menentukan kecepatan jika grafik percepatan terhadap waktu (grafik a-t) diberikan.

    Pertama dengan cara menghitung luas daerah di bawah grafik a-t. Cara kedua dengan

    menterjemahkan grafik a-t ke dalam fungsi percepatan terhadap waktu, kemudian

    menghitung kecepatannya dengan teknik integrasi.

    D. Gerak Parabola

    Perpaduan kedua gerak lurus dengan arah berbeda menghasilkan gerak pada suatu bidang

    datar (gerak dua dimensi)

    Perpaduan Dua Gerak Lurus Beraturan

    Suatu benda serentak melakukan 2 buah gerak lurus beraturan yang arahnya berbeda.

    Sehingga resultan kecepatan v1 dan v2 adalah v, persamaannya dapat di atas dapat ditulis :

    s = v t

    Dengan v = v1 + v2

    Jadi, dapat disimpulkan bahwa resultan vektor perpindahan dari dua buah gerak lurus

    beraturan merupakan gerak lurus beraturan juga.

    Jika sudut antara vektor kecepatan v1 dan kecepatan v2 adalah maka besar kecepatan

    resultan gerak, v, menurut rumus kosinus adalah

    v =