BAB KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR · PDF filevektor satuan, maka tentu saja besar dari...

1

http://atophysics.wordpress.com

BAB

KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR

Karakteristik gerak pada bidang melibatkan analisis vektor dua dimensi, dimana vektor posisi,

perpindahan, kecepatan, dan percepatan dinyatakan dalam suatu vektor satuan i (sumbu X) dan

vektor satuan j (sumbu Y). Misalnya vektor posisi , r, dinyatakan sebagai r = xi + yj, dengan

(x,y) menyatakan koordinat partikel pada suatu saat t.

A. Posisi Partikel pada Suatu Bidang

Menyatakan Posisi Partikel pada Suatu Bidang dengan Vektor Satuan

Kita akan menyatakan posisi partikel pada suatu bidang dengan menyatakan koordinatnya

terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, yaitu sumbu X dan sumbu Y. Vektor satuan

pada sumbu X diberi lambang i dan pada sumbu Y diberi lambang j. Karena i dan j disebut

vektor satuan, maka tentu saja besar dari vektor ini sama dengan satu.

Untuk menyatakan posisi partikel pada suatu bidang, yang kita beri lambang r. Misalkan

titik asal O ditetepkan sebagai acuan, maka posisi sebuah partikel yang bergerak pada

bidang XOY dimana pada saat t memiliki koordinat (x,y) (lihat Gambar 1.3) dapat

dinyatakan sebagai :

Posisi Partikel pada bidang r = xi + yj

Menentukan Perpindahan Partikel pada Bidang

Perpindahan pada suatu garis lurus (satu dimensi), diberi

lambang ∆ x, dinyatakan oleh :

Perpindahan pada garis lurus �x = x2 + x1

Untuk menyatakan perpindahan partikel pada suatu bidang XOY (dua dimensi), misalkan

trayektori (lintasan) yang ditempuh sebuah partikel pada suatu bidang adalah seperti

Gambar 1.4. Pada saat t = t1 , partikel berada di titik P1 (x1,y1) dengan vektor posisi r1 = x1i +

y1j. Beberapa saat kemudian, t = t2, partikel berada di titik p2 (x2,y2) dengan vektor posisi r2

= x2i + y2j.

Perpindahan didefinisikan sebagai perubahan posisi (kedudukan) suatu partikel dalam

selang waktu tertentu. Vektor perpindahan berarah dari titik awal ke titik akhir. Pada

Gambar 1.4, titik awal adalah P1 dan titik akhir adalah P2. Tentu saja vektor perpindahan �r

adalah segmen garis berarah P1P2. Pada segitiga vektor OP1P2, vektor yang menutup adalah

r2 sehingga berlaku

r2 = r1 + �r atau �r = r2 – r1

Perpindahan pada bidang

�r = (x2i + y2j) – (x1i + y1j)

= (x2 – x1)i + (y2 – y1)j

�r = �xi + �yj

Dengan

�x = x2 – x1 dan �y = y2 – y1

2


B. Kecepatan

Kecepatan rata – rata adalah hasil bagi perpindahan dengan selang waktu tempuhnya:

Kecepatan rata – rata pada garis lurus v = y

x

∆

∆ =

12

12

tt

xx

−

−

Dalam gerak pada bidang (dua dimensi) definisinya tetap, hanya �x dalam persamaan (1-7)

diganti dengan vektor posisi �r :

Kecepatan rata – rata pada bidang v = t

r

∆

∆ =

12

12

tt

rr

−

−

Dengan r2 adalah posisi t = t2 dan r1 adalah posisi pada t = t1.

Bentuk komponen dari kecepatan rata – rata v kita peroleh dengan mensubtitusikan �r

dengan �xi + �yj (lihat Persamaan (1-5)) ke dalam persamaan diatas.

v = t

yjxi

∆

∆+∆ = i

t

x

∆

∆ + j

t

y

∆

∆

v = v xi + v yj

Dengan v x = t

x

∆

∆ =

12

12

tt

xx

−

− dan v y =

12

12

tt

yy

t

y

−

−=

∆

∆

Oleh karena v = t

r

∆

∆, maka kecepatan rata – rata v searah dengan arah perpindahan �r.

Kecepatan sesaat sebagai kemiringan Grafik Komponen r terhadap t

kecepatan sesaat (sering hanya disebut dengan kecepatan) didefinisikan sebagai kecepatan

rata-rata untuk selang waktu �t yang mendekati nol. Secara matematis kita tulis

Definisi kecepatan sesaat v = 0

lim→∆t

v = 0

lim→∆t t

x

∆

∆

Kita akan menentukan tafsiran geometris dari persamaan di atas dengan meninjau grafik

x terhadap t (sebagai komponen grafik r terhadap t). Pada Gambar 1.6 ditunjukkan proses

limit pada suatu grafik posisi x terhadap t. Di sini selang waktu �t terus diperkecil dengan

mengambil t1 tetap dan t2 mendekati t1. Ketika �t mendekati nol, �x mendekati nol dan

kecepatan rata-rata

v menjadi kecepatan sesaat v, yang sejajar dengan garis singgung kurva posisi pada t = t1.

Dengan demikian dapatlah kita menyatakan tampilan geometris dari kecepatan sesaat :

Kecepatan sesaat pada t = t1 adalah kemiringan garis

singgung dari grafik posisi x – t pada saat t = t1

Kecepatan sesaat sebagai turunan fungsi posisi

Tafsiran geometrik kemiringan garis singgung dari grafik x – t adalah sama dengan turunan

pertama dari fungsi x terhadap t. Dengan demikian, dapatlah kita menyatakan tafsiran

geometris dari kecepatan sesaat :

Kecepatan sesaat adalah turunan pertama

dari fungsi posisi x terhadap waktu t

Secara matematis kita tulis

3


Kecepatan sesaat Untuk gerak lurus � dt

dxv =

Kecepatan sesaat untuk gerak pada bidang

Kecepatan sesaat untuk gerak pada bidang (dua dimensi) dapat kita nyatakan sebagai

v = 0

lim→∆t

v = 0

lim→∆t t

x

∆

∆

Kecepatan sesaat di titik mana saja pada kurva lintasan partikel

adalah sejajar dengan garis singgung lintasan pada titik tersebut.

Maka kecepatan sesaat untuk gerak pada bidang juga merupakan turunan pertama fungsi

posisi r terhadap waktu t, kita tulis

Kecepatan sesaat untuk Gerak pada bidang � dt

drv =

Bentuk komponen dari kecepatan sesaat v kita peroleh dengan mensubstitusi r = xi + yj

ke persamaan diatas:

jvivv yx += dengan dt

dxvx = dan

dt

dyv y =

Ditunjukkan bahwa jika posisi (koordinat) horizontal x dan vertikal y diberikan dalam

fungsi waktu t, maka kita dapat menentukan komponen kecepatan sesaat, vx dan vy, dengan

menggunakan turunan.

4


Menentukan posisi dari fungsi kecepatan

Jika komponen-komponen kecepatan vx dan vy sebagai fungsi waktu diketahui maka posisi

horizontal x dan posisi vertikal y dari partikel dapat ditentukan dari persamaan (1-19)

dengan pengintegralan.

�+=

t

xvxx0

0 dt �+=

t

yvyy0

0 dy

Dengan (x0, y0) adalah koordinat posisi awal partikel.

Untuk gerak suatu benda yang menempuh garis lurus dan pada suatu saat berbalik arah,

besar perpindahan titik sama dengan jaraknya.

Perhitungan Perpindahan dan Jarak dari Sketsa

Grafik v – t

Untuk sketsa grafik seperti Gambar disamping

Perpindahan = �3

1

)(

t

t

tv dt

Jarak = �2

1

)(

t

t

tv dt - �3

2

)(

t

t

tv dt

Gambar 1.10

C. Percepatan

Mendefinisikan percepatan rata-rata (lambang �) sebagai perubahan kecepatan dalam suatu

selang waktu tertentu :

Percepatan rata-rata � t

va

∆

∆= =

12

12

tt

vv

−

−

Dengan v2 adalah kecepatan pada t = t2 dan v1 adalah kecepatan pada t = t1.

Bentuk komponen dari percepatan rata-rata � kita peroleh dengan mensubstitusi �v

dengan �vxi + �vyj ke dalam Persamaan (1-25).

jt

vi

t

va

yx

∆

∆+

∆

∆= = jaia yx + dengan

t

va x

x

∆

∆= dan

t

va

yy

∆

∆=

Menentukan percepatan sesaat dari kemiringan grafik v – t

Mendefinisikan percepatan sesaat sebagai percepatan rata-rata untuk selang waktu �t

mendekati nol.

a = at 0

lim→∆

= t

v

t ∆

∆

→∆ 0lim

Percepatan sesaat pada t = t1 adalah kemiringan

garis singgung dari grafik v – t pada saat t = t1

5


Tafsiran geometris dari Persamaan (1-29) dapat kita nyatakan sebagai berikut.

Percepatan sesaat adalah turunan pertama

dari fungsi kecepatan v terhadap waktu t.

Secara sistematis kita tulis

Percepatan sesaat Untuk gerak lurus � a = dt

dv

Percepatan sesaat untuk gerak pada bidang

Percepatan sesaat untuk gerak pada bidang juga dinyatakan oleh Persamaan (1-28) :

a = t

v

t ∆

∆

→∆ 0lim

Untuk partikel yang mengalami pertambahan kelajuan (v2>v1), a memiliki komponen

yang searah dengan vaktor v (Gambar 1.15a). untuk partikel yang mengalami pengurangan

kelajuan (v2<v1), a memiliki komponen yang berlawanan arah dengan v (gambar 1.15c).

Untuk partikela yang bergerak dengan kelajuan tepat (v1 = v2), seperti gerak melingkar

beraturan, a tidak memiliki komponen yang sejajar dengan v karena a tegak lurus terhadap

v (Gambar 1.15b).

Bentuk komponen dari percepatan sesaat a kita peroleh dengan mensubstitusi v =

vxi + vyj ke dalam Persamaan (1-31)

a = axi + ayj dt

dva x

x = = 2

2

dt

xd dan

dt

dva

yy = =

2

2

dt

yd

Menentukan kecepatan dari grafik fungsi percepatan

Jika percepatan a sebagai fungsi waktu t diketahui maka kecepatan v dapat kita tentukan

dengan teknik integrasi.

v = v0 + � a dt

6


dengan vo adalah vektor kecepatan awal (kecepatan pada t = 0).

Soal menentukan kecepatan jika grafik percepatan terhadap waktu (grafik a-t) diberikan.

Pertama dengan cara menghitung luas daerah di bawah grafik a-t. Cara kedua dengan

menterjemahkan grafik a-t ke dalam fungsi percepatan terhadap waktu, kemudian

menghitung kecepatannya dengan teknik integrasi.

D. Gerak Parabola

Perpaduan kedua gerak lurus dengan arah berbeda menghasilkan gerak pada suatu bidang

datar (gerak dua dimensi)

Perpaduan Dua Gerak Lurus Beraturan

Suatu benda serentak melakukan 2 buah gerak lurus beraturan yang arahnya berbeda.

Sehingga resultan kecepatan v1 dan v2 adalah v, persamaannya dapat di atas dapat ditulis :

s = v t

Dengan v = v1 + v2

Jadi, dapat disimpulkan bahwa resultan vektor perpindahan dari dua buah gerak lurus

beraturan merupakan gerak lurus beraturan juga.

Jika sudut antara vektor kecepatan v1 dan kecepatan v2 adalah � maka besar kecepatan

resultan gerak, v, menurut rumus kosinus adalah

v = θcos2 21

2

2

2

1 vvvv ++

Untuk kasus dua buah gerak lurus beraturan yang segaris, besar resultan vektor kecepatan

dinyatakan oleh

v = v1 + v2

Catatan: Misalkan kita tetapkan arah kecepatan v1 sebagai arah positif, untuk kasus dua

gerak lurus beraturan yang arahnya berlawanan, kecepatan v2 haruslah negatif.

Untuk kasus dua buah gerak lurus beraturan yang saling tegak lurus, besar resultan vektor

kecepatan dinyatakan oleh

v = 2

2

2

1 vv +

Kecepatan relatif

Gerak bersifat relatif. Oleh karena itu, pernyataan tentang gerak suatu benda harus dengan

jelas menyatakan terhadap acuan apa benda itu bergerak. Kecepatan pun bersifat relatif,

sehingga dalam menyatakan kecepatan suatu benda, acuannya harus diketahui dengan tepat.

vA, t = +100 km/jam (indeks “A,t” berarti kecepatan mobil A terhadap acuan tanah)

vB, t = +110 km/jam (indeks “B,t” berarti kecepatan mobil B terhadap acuan tanah)

Untuk mengetahui vB,A, yaitu kecepatan mobil B terhadap mobil A

vB, A = vB, t + vt, A

Perhatikan pola indeks, indeks pertama B pada ruas kiri juga merupakan indeks pertama

pada ruas kanan. Indeks kedua A pada ruas kiri juga merupakan indeks terakhir pada ruas

kanan.

vt, A = -vA, t = -100 km/jam

maka vB, A = +100 km/jam + (-100 km/jam)

= +10 km/jam

Perpaduan GLB dan GLBB yang saling Tegak Lurus

7


Sebuah benda bergerak dengan kecepatan tetap 10 cm/s (GLB) ke arah horizontal (sumbu-

X) dan bergerak lurus dengan percepatan tetap 2 cm/s2 (GLBB) ke arah vertikal (sumbu-

Y). Koordinat x dan y benda pada selang waktu t memenuhi persamaan berikut:

x = v t dan y = voy t + ½ ay t2

Dengan memasukkan v = 10 cm/s, voy = 0, dan ay = 2 cm/s2, kita peroleh persamaan berikut:

x = 10 t cm dan y = 0 + ½ (2 cm/s2) t

2

x = 10 t cm dan y = t2 cm

Kita dapat menentukan koordinat x dan y benda untuk setiap sekon dengan memasukkan

nilai – nilai t ke dalam persamaan diatas. Tampak bahwa lintasan yang di tempuh benda

berbentuk parabola.

Galileo mengemukakan bahwa kita dapat memandang gerak parabola sebagai gerak lurus

beraturan pada sumbu horizontal (sumbu-X) dan gerak lurus berubah beraturan pada sumbu

vertikal (sumbu-Y) secara terpisah. Tiap gerak tidak saling mempengaruhi tetapi

gabungannya tetap menghasilkan gerak parabola. Ada tiga hal:

1. Percepatan jatuh bebas, g, besarnya tetap. Misalnya g = 9,8 m/s2 atau g = 10 m/s

2.

2. Pengaruh hambatan udara atau gesekan udara diabaikan.

3. Rotasi Bumi tidak mempengaruhi gerakan.

Persamaan Posisi dan Kecepatan pada Gerak Parabola

Pada sumbu-X berlaku persamaan gerak lurus beraturan:

vx = v0x

x = v0x t

Pada sumbu-Y berlaku persamaan umum gerak lurus berubah beraturan:

vy = v0y – gt

y = v0y t – ½gt2

8


Menentukan Tinggi Maksimum dan Jarak Terjauh

Tinggi Maksimum

Pada saat benda mencapai titik tertinggi H, komponen kecepatan pada sumbu-Y sama

dengan nol.

Syarat suatu benda mencapai titik tertinggi (titik H) adalah: vy = 0

Maka kecepatan pada titik tertinggi , vH, adalah

vH = vx = v0x

Dengan menggabungkan persamaan diatas, kita dapat menentukan koordinat titik tertinggi

H(xH,yH).

vy = v0y – g t0H = 0

t0H = g

v

g

v y 000 sinα=

dengan t0H adalah waktu untuk mencapai ketinggian maksimum.

Dengan mensubtitusi t0H, kita dapat menentukan koordinat x dari titik tertinggi H.

xH = v0x t0H

= (v0 cos �0) ��

��

�

g

v 00 sinα

= g

v

2

2

0(2 sin �0 cos �0)

xH = g

v

2

2

0 sin 2�0

Dengan mensubtitusikan t0H pada persamaan posisi vertikal y, maka dapat ditentukan

koordinat y dari titik tertinggi H.

yH = v0y t0H - ½gt0H2

= (v0 sin �0) ��

��

�

g

v 00 sinα -

2

00 sin

2

1��

��

�

g

vg

α

= g

v

g

v

2

sin

2

sin2 0

22

00

22

0 αα−

yH = 0

2

2

0 sin2

αg

v

Strategi Pemecahan Masalah

Langkah – langkah menyelesaikan soal – soal gerak parabola:

1. Pilih suatu sistem koordinat.

2. Uraikan vektor kecepatan awal atas komponen x dan y.

3. perlakukan gerak horizontal dan gerak vertikal secara terpisah.

4. ikuti cara menyelesaikan soal dengan kecepatan tetap (GLB) untuk

menganalisis gerak horizontal.

5. ikuti cara menyelesaikan soal dengan percepatan tetap (GLBB) untuk

menganalisis gerak vertikal.

9


Koordinat titik tertinggi

H (xH, yH) �� H ��

��

�0

2

2

0

0

2

0 sin2

,2sin2

ααg

v

g

v

Jarak Terjauh

Jika titik awal pelemparan adalah O dan titik tempat benda tiba di tanah A maka jarak

terjauh adalah OA (diberi simbol R). Syarat untuk jarak terjauh adalah:

Syarat jarak terjauh � yA = 0

Sifat Simetri Grafik Parabola

Jika gesekan angin diabaikan, grafik parabola memiliki sumbu simetri yang akan membagi

parabola menjadi dua bagian yang sama persis, sumbu simetrinya akan sejajar sumbu tegak

dan melalui titik tertinggi.

Sifat simetri grafik parabola:

1. waktu naik = waktu turun

2. besar kecepatan (kelajuan) naik = besar kecepatan (kelajuan) turun, tetapi besar

kecepatan naik tidak sama dengan kecepatan turun, sebab arahnya berbeda.

3. sudut elevasi ke bawah = negatif sudut elevasi ke atas.

4. jarak titik ke sumbu semitri sama besar.

Jadi, waktu untuk mencapai jarak terjauh (t0H) sama dengan 2 kali waktu untuk mencapai

ketinggian maksimum (t0A). � t0A = 2 t0H

Dan jarak terjauh (R) sama dengan dua kali jarak horizontal dari titik tertinggi (xH).

� R = 2 xH

Catatan:

1. Jika sin � dan cos � diketahui, ,maka sin 2� = 2 sin � cos �

2. Persamaan xH dan yH hampir mirip, jika pada rumus xH,

amgka 2 terdapat dalam sudut 2�0 maka pada rumus yH,

angka 2 tersebut lompat ke atas sinus sehingga menjadi

pangkat dari sinus.

10


Pasangan sudut elevasi yang memberikan jarak terjauh yang sama

Gambar dibawah menunjukkan lintasan parabola yang ditempuh oleh sebuah benda yang

dilempar dengan kelajuan awal v0 yang sama, tetapi dengan sudut-sudut elevasi �0 yang

berbeda. Dengan mengamati, dapat kita simpulkan:

1. pasangan sudut elevasi (�1 dan �2) akan memberikan jarak terjauh yang sama

jika jumlah kedua sudut elevasi sama dengan 90o. � �1 + �2 = 90

o

2. jarak terjauh maksimum untuk sudut elevasi awal = 45o

E. Posisi Sudut, Kecepatan Sudut, dan Percepatan Sudut

Kecepatan Sudut

Kecepatan sudut rata – rata ( )ω didefinisikan sebagai hasil bagi perpindahan sudut (��)

dengan selang waktu yang ditempuhnya (�t).

Kecepatan sudut rata – rata � 12

12

ttt −

−=

∆

∆=

θθθω

Kecepatan sudut sesaat (�) didefinisikan sebagai turunan pertama dari fungsi posisi sudut �

terhadap t.

Kecepatan sudut sesaat � dt

dθω =

Menentukan Besar Kecepatan Sudut Sesaat

dari Kemiringan Grafik � – t

Pada gerak melingkar, kecepatan sudut sesaat

� dapat ditentukan dari kemiringan grafik

fungsi posisi sudut terhadap waktu (� – t). �

� = tan �

Dengan � adalah sudut antara grafik � – t

terhadap sumbu t, dihitung dari sumbu t

dengan arah berlawanan arah jarum jam.

Kecepatan sudut yang diperoleh dari

kemiringan grafik tersebut tidak tepat seperti

kecepatan sudut yang diperoleh dari turunan

11


pertama fungsi � terhdap waktu t. ini karena kecepatan sudut yang diperoleh dari

kemiringan grafik tersebut bergantung pada ketelitian kita menggambar dan menganalisis

grafik.

Menentukan Posisi Sudut dari Fungsi Kecepatan Sudut

Dari hubungan kecepatan sudut sebagai turunan fungsi posisi, kita peroleh:

Posisi sudut dari fungsi kecepatan sudut � � = �0 + ( )�t

t0

ω

Dengan �0 adalah posisi sudut awal (� pada t = 0)

Percepatan Sudut

Menentukan Besar Percepatan Sudut dari Kemiringan Grafik � – t

Pada gerak melingkar, besar percepatan sudut sesaat � dapat ditentukan dari kemiringan

grafik fungsi kecepatan sudut terhadap waktu (grafik � – t). � � = tan �

Dengan � adalah sudut antara grafik � – t terhadap sumbu t, diukur dari sumbu t

berlawanan dengan arah jarum jam.

Percepatan Sudut sebagai Turunan dari Fungsi Kecepatan Sudut

Percepatan sudut � adalah turunan pertama dari fungsi kecepatan sudut terhadap waktu atau

turunan kedua dari fungsi posisi sudut terhadap waktu,

2

2

dt

d

dt

d θωα ==

Menentukan Kecepatan Sudut dari Fungsi Percepatan Sudut

Kita dapat menentukan kecepatan sudut � dengan mengintegrasikan fungsi percepatan

sudut �(t).

Kecepatan sudut dari fungsi percepatan sudut � ( )�+=

t

t0

0 αωω dt

Dengan �0 adalah kecepatan sudut awal (� pada t = 0).

BAB KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR · PDF filevektor satuan, maka tentu saja besar dari...

Documents

Transcript of BAB KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR · PDF filevektor satuan, maka tentu saja besar dari...