presentasi vektor
Transcript of presentasi vektor
![Page 1: presentasi vektor](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022012303/5571f3bc49795947648e8175/html5/thumbnails/1.jpg)
VEKTOR
Oleh:Didik Arwinsyah (11284)Iding Rosyidin (11080)Gani Purwiandono (11000)Nugraha Ikhsan (11162) Nur ida Fitrianto()Rudolf Surya Bonay(11322)Hermawan
![Page 2: presentasi vektor](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022012303/5571f3bc49795947648e8175/html5/thumbnails/2.jpg)
2
![Page 3: presentasi vektor](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022012303/5571f3bc49795947648e8175/html5/thumbnails/3.jpg)
3
1. Vektor di Ruang 2 dimensi Besaran Skalar dan Besaran Vektor
Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai dan tidak memiliki arah contoh: waktu, suhu, panjang, luas, volum, massa
Besaran Vektor adalah besaran memiliki nilai dan arah contoh: momentum anguler dalam atom dan struktur
molekul Notasi Vektor
Vektor dinyatakan dengan huruf ū, u, u (bold), atau u (italic).
Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka ditulis dengan lambang u = AB
Notasi u dibaca “vektor u”
![Page 4: presentasi vektor](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022012303/5571f3bc49795947648e8175/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Penyajian Vektor
Vektor sebagai pasangan bilangan u = (a,b)
a : komponen mendatar, b : komponen vertikal
Vektor sebagai kombinasi vektor satuan i dan j u = ai + bj
Panjang vektor u ditentukan oleh rumus
b
au
22|u| ba
![Page 5: presentasi vektor](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022012303/5571f3bc49795947648e8175/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Aljabar Vektor
Dua buah vektor dikatakan sama besar bila besar dan arahnya sama. Misalkan u = (a,b) dan v = (c,d) Jika u = v, maka
|u| = |v| arah u = arah v a=c dan b=d
![Page 6: presentasi vektor](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022012303/5571f3bc49795947648e8175/html5/thumbnails/6.jpg)
6
a b
Dua vektor sama, a = b
a b
Dua Vektor mempunyai besar
sama, arah berbeda
a b
Dua vektor arah sama, besaran
beda
ab
Dua Vektor besar dan arah berbeda
![Page 7: presentasi vektor](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022012303/5571f3bc49795947648e8175/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Penjumlahan Vektor
Penjumlahan vektor menurut aturan segitiga dan aturan jajaran genjang
Dalam bentuk pasangan bilangan sbb:
vu w = u + v
w = u + v
u
v
u
db
ca
d
c
b
avu
d
cvdan
b
au
![Page 8: presentasi vektor](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022012303/5571f3bc49795947648e8175/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Elemen Identitas
Vektor nol ditulis 0 Vektor nol disebut elemen identitas u + 0 = 0 + u = u Jika u adalah sebarang vektor bukan nol,
maka –u adalah invers aditif u yang didefinisikan sebagai vektor yang memiliki besar sama tetapi arah berlawanan.
u – u = u + (-u) = 0
![Page 9: presentasi vektor](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022012303/5571f3bc49795947648e8175/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Pengurangan Vektor
Selisih dua vektor u dan v ditulis u – v didefinisikan u + (-v)
Dalam bentuk pasangan bilangan
vu
w = u - v -v
u
db
ca
d
c
b
avu
d
cvdan
b
au
![Page 10: presentasi vektor](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022012303/5571f3bc49795947648e8175/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Perkalian Vektor dengan Skalar mu adalah suatu vektor
dg panjang m kali panjang vektor u dan searah dengan u jika m > 0, dan berlawanan arah jika m < 0.
u
2u
mb
ma
b
ammumaka
realbilanganmdanb
auJika
:
,
![Page 11: presentasi vektor](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022012303/5571f3bc49795947648e8175/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Sifat-Sifat Operasi Vektor
Komutatif a + b = b + a Asosiatif (a+b)+c = a+(b+c) Elemen identitas terhadap penjumlahan Sifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga
berupa vektor Ketidaksamaan segitiga |u+v| ≤ |u| + |v| 1u = u 0u = 0, m0 = 0. Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0
![Page 12: presentasi vektor](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022012303/5571f3bc49795947648e8175/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Sifat-Sifat Operasi Vektor (lanj.) (mn)u = m(nu) |mu| = |m||u| (-mu) = - (mu) = m (-u) Distributif : (m+n)u = mu + nu Distributif : m(u+v) = mu + mv u+(-1)u = u + (-u) = 0
![Page 13: presentasi vektor](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022012303/5571f3bc49795947648e8175/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan
22 )()(|| dbcavu
db
ca
d
c
b
avu
d
cvdan
b
auJika
nPenguranga
22 )()(|| dbcavu
db
ca
d
c
b
avu
d
cvdan
b
auJika
nPenjumlaha
u + v u - v
v
u u
v
![Page 14: presentasi vektor](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022012303/5571f3bc49795947648e8175/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Menghitung Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan
cos||||2|||||| 22 vuvuvu u + v
u
v
θ
cos||||2|||||| 22 vuvuvu u
vu-v
θ
Menggunakan Aturan Cosinus…
![Page 15: presentasi vektor](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022012303/5571f3bc49795947648e8175/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Menentukan Arah Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan
npenjumlaha hasilr arah vekto:
sin
||
)sin(
||
sin
||
vuvu
u + v
u
v
α
u
vu-v
α
β
npenguranga hasilr arah vekto:
sin
||
)sin(
||
sin
||
vuvu
β
![Page 16: presentasi vektor](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022012303/5571f3bc49795947648e8175/html5/thumbnails/16.jpg)
RESOLUSI VEKTOR
Vektor Dalam Ruang
Sumbu- sumbu kerangka acuan didefinisikan menurut kaidah tangan kanan OX, OY, OZ membentuk sistem koordinat kanan jika rotasi atau putaran dari OX ke OY menyebabkan sumbu sekrup kanan bergerak menuju OZ positip. Rotasi dari OY ke OZ menyebabkan sekrup kanan bergerak ke arah OX positif.
x
y
z
o
![Page 17: presentasi vektor](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022012303/5571f3bc49795947648e8175/html5/thumbnails/17.jpg)
Vektor OP didefinisikan oleh komponen
a sepanjang OX b sepanjang OY c sepanjang OZ
Misal i = vektor satuan dalam arah OX j = vektor satuan dalam arah OY k = vektor satuan dalam arah OZ
Maka vektor OP = ai + bj +ckBagaimanakah perumusan OP2…..??
Jadi jika vektor = ai + bj + ck , maka
besar r…???
Contoh : vektor PQ = 4i + 3j + 2k, maka berapakah besar PQ ?
z
o
x
y
p
ab
c
r
![Page 18: presentasi vektor](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022012303/5571f3bc49795947648e8175/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Vektor Posisi
OA = a dan OB = b adalah vektor posisi.
AB = AO + OB = OB – OA = b – a
X
Y
0
A
B
b
a
![Page 19: presentasi vektor](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022012303/5571f3bc49795947648e8175/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Dot Product (Inner Product)
Perkalian titik (dot product) a•b (dibaca a dot b) antara dua vektor a dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan cosinus sudut antara keduanya.
cos|||| baba
Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1,b1,c1] dan b = [a2,b2,c2], maka :
122121 ccbbaaba a•b > 0 jika {γ| 0 < γ < 90o} a•b = 0 jika {γ| γ = 90o} a•b < 0 jika {γ| 90o < γ< 180o}
![Page 20: presentasi vektor](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022012303/5571f3bc49795947648e8175/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Vektor Ortogonal
Teorema Hasil perkalian dot product antara dua vektor bukan-nol
adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut saling tegak lurus
Vektor a disebut ortogonal thd vektor b jika a•b = 0, dan vektor b juga ortogonal thd vektor a.
Vektor nol 0 ortogonal terhadap semua vektor. Untuk vektor bukan-nol
a•b = 0 jika dan hanya jika cos γ = 0 γ = 90o = π/2
![Page 21: presentasi vektor](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022012303/5571f3bc49795947648e8175/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Besar dan Arah dalam Perkalian Dot Product Besar Sudut γ dapat dihitung dgn:
bbaa
ba
ba
ba
||||
cos
![Page 22: presentasi vektor](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022012303/5571f3bc49795947648e8175/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Contoh Perkalian Dot Product a = [1,2,0] dan b = [3,-2,1] Hitung sudut antara dua vektor tsb
![Page 23: presentasi vektor](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022012303/5571f3bc49795947648e8175/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Applications of Vector ProductMoment of a force Find moment of force P
about the center of the wheel.
|P|=1000 lb
30o
1,5 ft
]1299,0,0[500866
5.1000
0500866
05.10
)5,1titikpadarodapusat(]0,5.1,0[
]0,500,866[
]0,30sin1000,30cos1000[
kji
kji
prm
yr
P
Vektor moment (m) tegak lurus thd bidang roda (sumbu z negatif ).
![Page 24: presentasi vektor](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022012303/5571f3bc49795947648e8175/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Scalar Triple Product
shg pertama, brsmnrt 3 orde determinan ekspansimrpk Ini
,,vac)(b a
] v, v,[v vcbandaikan c)(b a c)b(a
sebagaiandidefinisk)(ditulis
],,[],,,[,],,[
vektor tigadariproduct tripleScalar
21
213
13
132
32
321
332211
321
321321321
cc
bba
cc
bba
cc
bba
vavava
cba
ccccbbbbaaaa
321
321
321
c)(b ac)b(a
ccc
bbb
bbb
![Page 25: presentasi vektor](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022012303/5571f3bc49795947648e8175/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Scalar Triple ProductGeometric representation
a,b,c vektor β sudut antara (bxc)
dan a h tinggi parallelogram
b
||luasmempunyaicdan b sisi dgalasgenjangjajaran
cos||
cos|||||)(|
)(
cbarea
hheighta
cbacba
cbaBesar
c
b x c
a
β h
![Page 26: presentasi vektor](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022012303/5571f3bc49795947648e8175/html5/thumbnails/26.jpg)
Aplikasi dalam Kimia
1. Tentukan persamaan-persamaan fundamental termodinamika dari diagram mnemonik berikut, berdasarkan prinsip vektor.
dF
dE
dH
dG
PdV SdT
TdS VdP
P
T V
S