BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Mata kuliah Al-Jabar Linier sangat bermanfaat bagi kita dalam ketika mempelajari

matematika lanjutan dan penerapannya dalan sains dan teknologi. Pada makalah kita

kali ini kita akan membahas materi lanjutan dari mata kuliah Al-Jabar Linier yaitu nilai

eigen (eigen value), vektor eigen (eigen vector) dan diagonalisasi sebuah matriks,

termasuk diagonalisasi ortogonal dan matriks simetris.

Bahasan ini secara khusus merupakan bahasan tentang konsep vektor baik di Ruang

2 maupun di ruang tiga (R3) dan ruang (Rn). Sebagai tujuan instruksional umum setelah

mempelajari materi dalam makalah ini diharapkan dapat memahami nilai eigen, vektor

eigen dan permasalahan diagonalisasi dari sebuah matriks. Sedangkan sebagai tujuan

instruksional khususnya, diharapkan dapat:

menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks/ transformasi linear

menentukan hasil diagonalisasi sebuah matriks.

2.3 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang diatas maka dapat diambil rumusan masalah sebagai

berikut:

1. Apa itu Nilai Eigen dan Vektor Eigen.

2. Apa itu Diagonalisasi.

3. Apa itu Diagonalisasi Ortogonal dan Matriks Simetris.

1

2.4 Tujuan

Adapaun tujuan makalah ini adalah:

1. Untuk mengetahui definisi Nilai Eigen dan Vektor Eigen.

2. Untuk mengetahui definisi Diagonalisasi

3. Untuk mengetahui definisi Diagonalisasi Ortogonal dan Matriks Simetris

2

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Kata vektor eigen adalah rumusan bahasa jerman dan inggris. Dalam bahasa jerman

eigen dapat diterjemahkan sebagai sebenarnya atau karakteristik, oleh karena itu, nilai

eigen dapat juga kita namakan nilai sebenarnya atau nilai karakteristik. Dalam literatur

lama kadang-kadang dinamakan akar-akar latent.

Nilai eigen dan vektor eigen mempunyai tafsiran geometrik yang bermanfaat dalam

R2 dan R3. Jika λ adalah nilai eigen dari A yang bersesuaian dengan x, maka Ax = λx,

sehingga perkalian oleh A akan memperbesar x, atau membalik arah x, yang bergantung

pada nilai λ.

λx = Ax

x

x λx = Ax

λx = Ax

(a) (b) (c)

(a) Dilatasi (pembesaran) λ > 1. (b) Kontraksi 0 < λ < 1. (c) Pembalikan arah λ < 0

Jika A adalah matriks n x n, maka vektor tak nol x di dalam Rn dinamakan vektor

eigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x; yaitu Ax = λx untuk

suatu skalar λ. Skalar λ dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A dan x dikatakan

vektor eigen yang bersesuaian dengan λ.

3

Definisi 2.1.1 Jika A adalah sebuah matriks nxn maka sebuah vektor tak nol x di dalam

Rn dinamakan vektor eigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x:

Ax =λx

dimana λ adalah suatu skalar dan x adalah vektor yang tidak nol. Skalar λ dinamakan

nilai Eigen dari matriks A.

Nilai eigen adalah nilai karakteristik dari suatu matriks bujur sangkar. Vektor x

dalam persamaan di atas adalah suatu vektor yang tidak nol yang memenuhi persamaan

di atas untuk nilai eigen yang sesuai dan disebut dengan vektor eigen. Jadi vektor x

mempunyai nilai tertentu untuk nilai eigen tertentu.

Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran n x n, maka kita perlu

memperhatikan kembali definisi nilai eigen dan vektor eigen, yaitu Ax =λx. Bentuk ini

dapat kita tulis sebagai berikut:

Ax = λx

λx - Ax = 0

λIx - Ax = 0

(λI - A) x = 0

Supaya λ menjadi nilai eigen, maka harus ada penyelesaian yang tidak nol dari sistem

persamaan (λI-A) x = 0. Memiliki solusi nontrivial jika dan hanya jika det (λI– A) = 0.

Ini dsebut persamaan karateristik dari A.

Definisi 2.1.2 Persamaan det (λI-A) = 0 dengan λ sebagai variabel disebut persamaan

karakteristik dari matriks A. Akar-akar atau skalar-skalar yang memenuhi persamaan ini

adalah nilai-nilai eigen (nilai-nilai karakteristik) dari matriks A. Det (λI-A) ≡ f(λ) yaitu

berupa polinom dalam λ yang dinamakan polinom karakteristik.

Teorema berikut ini adalah hasil-hasil yang telah kita peroleh dari penjelasan

diatas.

4

Teorema 2.1.1 Jika A adalah sebuah matriks nxn, maka pernyataan-pernyataan yang

berikut ekivalen satu sam lain.

λ adalah nilai eigen dari A

sistem persamaan (λI-A) x = 0 mempunyai penyelesaian yang tak trivial

ada sebuah vektor tak nol x di dalam Rn sehingga Ax = λx

λ adalah pemecahan real dari persamaan karateristik det (λI-A) = 0

Setelah kita memahami bagaimana mencari nilai-nilai eigen hubungannya

dengan persamaan karakteristik, maka sekarang akan beralih ke masalah untuk mencari

vektor eigen. Menurut definisi terdahulu bahwa vektor eigen dari matriks A yang

bersesuaian dengan nilai eigen λ adalah vektor x yang tidak nol dan haruslah memenuhi

Ax = λx. Dengan kata lain, secara ekuivalen tentunya vektor eigen yang bersesuaian

dengan nilai eigen λ adalah vektor yang tak nol dalam ruang penyelesaian (λ I – A) x =

0. Ruang penyelesaian ini kita namakan sebagai ruang eigen (eigen space) dari matriks

A yang bersesuaian dengan nilai eigen λ.

Definisi 2.1.3 Ruang penyelesaian dari sistem persamaan linear:

(λ I – A) x = 0 atau (A - λ I) x = 0

dinamakan ruang eigen dari matriks A yang berukuran n x n.

Kita tinjau sebuah matriks bujur sangkar orde 2 x 2 berikut:

A = [a11 a12

a21 a22]

Persamaan AX=λX dapat dituliskan:

[a11 a12

a21 a22] [ x1

x2]=λ [x1

x2]

Persamaan dikalikan dengan identitas didapatkan:

5

[1 00 1 ]

[a11 a12

a21 a22] [ x1

x2]

= λ [1 0

0 1 ] [ x1

x2]

[a11 a12

a21 a22] [ x1

x2] =[ λ 00 λ ]

[ x1

x2]

[a11−λ a12

a21 a22−λ ] [ x1

x2] = 0

Persamaan dalam bentuk sistem persamaan linier dituliskan:

(a11−λ ) x1+a12 x2=0

a21 x1+(a22−λ ) x2=0

Persamaan di atas adalah sistem persamaan linier homogen, vektor dalam ruang Rn

yang tidak nol didapatkan jika dan hanya jika persamaan tersebut mempunyai solusi non

trivial untuk nilai eigen yang sesuai.

2.2 DIAGONALISASI

Terdapat masalah diagonalisasi seperti berikut: “ Diberikan sebuah operator

linear T: V V pada sebuah ruang vektor berdimensi berhingga, apakah terdapat

sebuah baris untuk V terhadap matriks T diagonal ? ” Jika A adalah matriks untuk T :

V V yang bertalian dengan beberapa baris sebarang, maka hal ini ekivalen dengan

masalah diatas yaitu terdapat perubahan basis yang menghasilkan matriks baru untuk T

yang sama dengan P-1AP dimana P adalah matriks transisi yang sesuai. Bentuk Matriks

dari Masalah diagonalisasi : “Diketahui matriks kuadrat A, apakah terdapat matriks P

yang dapat dibalik sehingga P-1AP diagonal?”

6

Definisi 2.2.1 : Matriks kuadrat A dinamakan dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks

P yang dapat dibalik sehingga P-1AP diagonal ; matriks P dikatakan mendiagonalisasi A.

Teorema 2.2.1: Jika A adalah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut

ekivalen satu sama lain.

a). A dapat didiagonalisasi

b). A mempunyai n vektor eigen bebas linear.

Bukti a) b).

Karena A dianggap dapat didiagonalisasi, maka terdapat matriks yang dapat dibalik

yaitu :

P ¿ [P11 P12⋯P1 n

P21 P22⋯P2 n

⋮ ⋮ ⋮Pn 1 Pn 2⋯ Pnn

]Sehingga P-1AP diagonal, anggaplah D = P-1AP dimana

D ¿ [ λ1 0⋯ 00 λ2⋯ 0⋮ ⋮ ⋮00⋯ λn

]Jadi dapat diperoleh AP = PD yaitu :

AP = [P11 P12⋯P1 n

P21 P22⋯P2 n

⋮ ⋮ ⋮Pn 1 Pn 2⋯ Pnn

][ λ10⋯ 00 λ2⋯ 0⋮ ⋮ ⋮0 0⋯ λn

] =[ λ1 P11 λ2 P12⋯ λn P1n

λ1 P21 λ2 P22⋯ λn P2 n

⋮ ⋮ ⋮λ1 Pn1 λ2 Pn 2⋯ λn Pnn

] Dari pembuktian diatas dimisalkan P1, P2, ...., Pn menyatakan vektor-vektor kolom P, maka

bentuk kolom-kolom AP yang berurutan adalah λ1P1, λ2P2, ...., λnPn, akan tetapi kolom-

kolom AP yang berurutan adalah AP1, AP2, ...., APn. Jadi kita harus memperoleh

7

AP1= λ1P1, AP2=λ2P2, ....,APn= λnPn

Karena P dapat dibalik, maka vektor-vektor kolomnya tak nol ; jadi nilai-nilai eigen A

adalah λ1, λ2, ...., λn, dan P1, P2, ...., Pn adalah vektor-vektor eigen yang bersesuaian. Karena P

dapat dibalik maka P1, P2, ...., Pn bebas linear, jadi A mempunyai n vektor eigen bebas

linear.

Bukti b) a)

A dianggap mempunyai n vektor eigen bebas linear, maka P1, P2, ...., Pn dengan nilai eigen

yang bersesuaian λ1, λ2, ...., λn , dan misalkan

P ¿ [P11 P12⋯P1 n

P21 P22⋯P2 n

⋮ ⋮ ⋮Pn 1 Pn 2⋯ Pnn

]Merupakan matriks yang vektor-vektor kolomnya adalah P1, P2, ...., Pn. Kolom-kolom dari

hasil kali AP adalah AP1, AP2, ...., APn tetapi AP1= λ1P1, AP2=λ2P2, ....,APn= λnPn sehingga

AP =[ λ1 P11 λ2 P12⋯ λn P1n

λ1 P21 λ2 P22⋯ λn P2 n

⋮ ⋮ ⋮λ1 Pn1 λ2 Pn 2⋯ λn Pnn

]=¿ [P11 P12⋯P1 n

P21 P22⋯P2 n

⋮ ⋮ ⋮Pn 1 Pn 2⋯ Pnn

][ λ10⋯ 00 λ2⋯ 0⋮ ⋮ ⋮0 0⋯ λn

] = PD

Dimana D adalah matriks diagonal yang mempunyai nilai-nilai eigen λ1, λ2, ...., λn pada

diagonal utama. Karena vektor-vektor kolom dari P bbas linier, maka

P dapat dibalik; jadi dapat dituliskan kembali sebagai P-1AP = D; yaitu A

terdiagonalisasi.

Prosedur untuk mendiagonalkan matriks A yang berukuran n x n dapat didiagonalisasi

Langkah 1 :

Carilah n vektor eigen bebas linier A, P1, P2, ...., Pn

8

Langkah 2 :

Bentuklah matriks P yang mempunyai P1, P2, ...., Pn sebagai vektor-vektor kolomnya

Langkah 3 :

Matriks P-1AP akan diagonal dengan λ1, λ2, ...., λn sebagai entri-entri diagonalnya yang

berurutan, dimana λi adalah nilai eigen yang bersesuaian dengan Pi, i = 1,2,....,n.

Teorema 2.2.2 . Jika v1, v2, …., vk adalah vektor-vektor eigen A yang bersesuaian

dengan nilai-nilai eigen yang berbeda λ1, λ2, …., λk, maka { v1, v2, …., vk} adalah

himpunan bebas linier.

Misalkan λ1, λ2, …., λk adalah nilai-nilai eigen yang berbeda dan kita pilih himpunan

bebas linier pada masing-masing ruang eigen yang bersesuaian. Jika kita gabungkan

semua vektor ini ke dalam himpunan tunggal, maka hasil tersebut masih merupakan

himpunan bebas linier. Misalnya, jika kita memilih tiga vektor bebas linier dari sebuah

ruang eigen dan dua vektor eigen bebas linier dari ruang eigen lainnya, maka kelima

vektor tersebut bersama-sama membentuk sebuah himpunan bebas linier. Kita

mengabaikan buktinya. Sebagai konsekuensi teorema ini, kita dapatkan hasil yang

berguna berikut.

Teorema2.2.3 . Jika matriks A yang berukuran n x n mempunyai n nilai eigen yang

berbeda, maka A dapat didiagonalisasi.

Bukti. Jika v1, v2, …., vn adalah vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai-nilai

eigen yang berbeda λ1, λ2, …., λn, maka menurut teorema 3, v1, v2, …., vn bebas linier.

Jadi, A dapat didiagonalisasi, oleh teorema 2.2.1.

Jika A adalah matriks n x n dengan nilai eigen yang lebih kecil dari n, maka kita

memperoleh teorema-teorema yang akan kita telaah dalam pelajaran lebih lanjut yang

dapat digunakan untuk menentukan apakah A dapat didiagonalisasi. Akan tetapi,

teorema ini tidak dapat memberikan prosedur perhitungan yang sederhana untuk

9

membuat determinasi ini; sesungguhnya kita dapat melakukan perhitungan apabila

diperlukan untuk melihat apakah A mempunyai n nilai eigen yang bebas linier.

2.3 DIAGONALISASI ORTOGONAL; MATRIK SIMETRIS

Kita mempunyai dua pertanyaan yang akan ditinjau yang pertama matriks-matriks

manakah yang dapat didiagonalisasi secara ortogonal dan yang kedua bagaimana kita

mencari matriks ortogonal untuk melaksanakan diagonalisasi.

Definisi 2.3.1. Matriks A kuadrat dinamakan dapat didiagonalisasi secara ortogonal jika

terdapat matriks P yang ortogonal sehingga P−1 AP (¿ Pt AP ) diagonal; matriks P

dikatakan mendiagonalisasi A secara ortogonal.

Untuk membantu kita menjawab pertanyaan pertama kita akan memerlukan definisi

berikut :

Definisi 2.3.2. Matriks A kuadrat kita namakan simetris jika A = At

Contoh :

Jika A = [1 4 54 −3 05 0 7] maka At = [1 4 5

4 −3 05 0 7]=A dengan demikian A simetris.

Adalah mudah mengakui matriks simetris dengan pemeriksaan: entri-entri pada

diagonal utama adalah sebarang, namun bayangan cermin dari entri yang melintasi

diagonal utama adalah sama

Teorema selanjutnya merupakan alat utama untuk menentukan apakah sebuah

matriks dapat didiagonalisasi secara ortogonal. Dalam teorema ini dan untuk teorema

selebihnya dari bagian ini, ortogonal akan berarti ortogonal yang bertalian dengan hasil

kali dalam Euclidis pada Rn.

10

Teorema 2.3.1. Jika A adalah matriks n x n, maka pernyataan berikut ekuivalen satu

sama lain.

a) A dapat didioagonalisasi secara ortogonal

b) A mempunyai himpunan ortonormal dari n vektor eigen

c) A adalah simetris

Bukti (a) (b). Karena A dapat didiagonalisasi secara ortogonal, maka terdapat

matriks P yang ortogonal sehingga P−1 AP diagonal. Seperti yang diperlihatkan dalam

bukti Teorema 2.2.1, maka vektor kolom ke n dari P adalah vektor eigen A. Karena P

ortogonal, maka vektor-vektor kolom ini ortonormal sehingga A mempunyai n vektor

eigen ortonormal.

(a) (b), anggaplah bahwa A mempunyai himpunan ortonormal dari n vektor eigen

{P1 , P2 ,⋯ , Pn }. Seperti yang diperlihatkan dalam bukti Teorema 2, maka matriks P dengan

vektor-vektor eigen ini sebagai kolom-kolom akan mendiagonalisasi A. Karena vektor-

vektor eigen ini ortonormal, maka P ortogonal sehingga akan mendiagonalisasi A secara

ortogonal.

(a) (c). Dalam bukti (a) (b) kita menunjukan bahwa matriks A yang berukuran

nxn dapat didiagonalisasi oleh matriks P yang berukuran n x n secara ortogonal yang

kolom-kolomnya membentuk himpunan ortonormal dari vektor-vektor eigen yang

berukuran A. misalkan D adalah matriks diagonal. D = P−1 AP, jadi A=PDP−1 atau,

karena P ortogonal, maka A=PDPt, sehingga A=(PD P t)t=P Dt Pt=PDPt=A

Teorema 2.3.2. Jika A adalah matriks simetris, maka vektor-vektor eigen dari ruang

eigen yang berbeda akan ortogonal.

Bukti.

misalkan λ1 dan λ2 adalah dua nilai eigen yang berbeda dari matriks A simetrik yang

berukuran m x n dan misalkan

11

v1[ v1

v2

⋮vn

]dan v2=[v '1

v '2

⋮v ' n

]adalah vektor-vektor eigen yang berssuaian. diperlihatkan bahwa

(v1 . v2) = v1 . v’1 + v2 . v’2 + . . . + vn . v’n

karena v1 tv2 adalah matriks 1x1 yang mempunyai v1 . v2 sebagai satu-satunya entrinya,

maka dapat melengkapi bukti tersebut dengan memperlihatkan bahwa v1tv2 = 0. Karena

v1 dan v2 merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ1 dan λ2, kita

mempunyai :

Av1 = λ1 v1

Av2 = λ2 v2

(Av1)t = (λ1 v1 ¿t

atau

v1tAt = λ1 v1

t

juga, karena A adalah simetris

v1t A = λ1 v1

t

dengan mengalikan kedua ruas dari persamaan ini pada bagian kanan

menggunkan v2 akan menghasilkan

v1t Av2 = λ1 v1

t v2

dan dengan mengalikan kedua ruas pada bagian kiri menggunakan v1t

menghasilkan

12

v1t Av2 = λ2 v1 .t v2.

Jadi

λ1 v1 .t v2=λ2 v1 .t v2

atau

(λ1−λ2 ¿v1 .t v2=0

namun demikian λ1≠ λ2, sehingga v1 .t v2=0 yang manakah yang kita cari untuk

membuktikannya.

Sebagai konsekuensi dari teorema ini maka kita dapatkan prosedur berikut untuk

mendiagonalisasi matriks secara ortogonal.

Langkah 1 Carilah basis untuk masing-masing ruang eigen dari A.

Langkah 2 : Terapkanlah proses Gram-Schmidt ke masing-masing basis ini

untuk mendapatkan basis ortonormal untuk setiap ruang eigen.

Langkah 3 Bentuklah matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor

Basis yang dibangun dalam langkah 2; matriks ini akan

mendiagonalisasi A secara ortogonal.

Pembetulan prosedur ini sudah seharusnya jelas. Teorema 2.3.1 menjamin bahwa

vektor-vektor eigen dari ruang-ruang eigen yang berbeda akan ortogonal, sedangkan

penerapan proses Gram-Schmidt menjamin bahwa vektor-vektor eigen yang didapatkan

dalam ruang eigen yang sama akan ortonormal. Jadi, keseluruhan himpunan vektor

eigen yang didapatkan dengan prosedur ini akan ortonormal.

Kita simpulkan bagian ini dengan menyatakan dua sifat penting matrik simetris

Teorema 2.3.3.

persamaan karakteristik matriks A simetrik hanya mempunyai akar-akar riil.

13

jika nilai eigen λdari matriks simetrik A diulangi k kali sebagai akar persamaan

karakteristik tersebut, maka ruang eigen yag bersesuaian dengan λ adalah ruang

berdimensi k.

14

BAB III

HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Contoh soal nilai eigen dan vektor eigen

1) Carilah nilai eigen yang bersesuaian dengan vektor x = [12] adalah vektor eigen

dari A = [3 08 −1]

Jawab :

Menurut definisi bahwa Ax = λx

Ax = [3 08 −1][12]= [36]=3[12]

λx = 3[12] = 3x

λ= 3

2) Carilah nilai eigen yang bersesuaian dengan x = [123] adalah vektor eigen dari A =

[2 0 02 1 00 0 2 ]

Jawab:

Menurut definisi bahwa Ax = λx

Ax = [2 0 02 1 00 0 2 ][123]= [246 ]=2[123]

λx = 2[123]=2x

λ =2

15

3) Carilah nilai-nilai eigen dari matriks A= [ 3 2−1 0 ]

Jawab :

Karena λI−A=λ [1 00 1 ]−[ 3 2

−1 0]=[ λ−3 −21 λ ]

Maka polinomial karakteristik dari A adalah

Det (λI−A ¿=det [ λ−3 −21 λ ]=λ2−3 λ+2

Dan persamaan karakteristik dari A adalah

λ2−3 λ+2=0

(λ−1¿ ( λ−2 )=0

λ=1 dan λ=2

4) Carilah basis-basis untuk ruang eigen dari sistem linier x1+3x2 = λ x1 dan 4x1+2x2

= λ x2

Jawab:

Menurut definisi Ax = λx

[1 34 2] [x1

x2] = [ x1

x2] λ

[ x1

x2] λ−[1 3

4 2][ x1

x2] = 0

[ x1

x2](λ[1 00 1]−[ 1 3

4 2])= 0

[ x1

x2]([ λ 00 λ]−[1 3

4 2]) = 0

[ x1

x2] [ λ−1 −3

−4 λ−2]= 0

det [ λ−1 −3−4 λ−2]=0

λ2+2 λ−λ+2−12=0

16

λ2+3 λ−10=0

(λ−5¿ ( λ+2 )=0

λ=5 dan λ=−2

Jika λ=5

[ x1

x2] [ λ−1 −3

−4 λ−2]= 0→[ x1

x2] [ 4 −3−4 3 ]= 0

( 4 −3 0−4 3 0) E21(1) (4 −3 0

0 0 0)4x1-3x2=0, mis x2=t maka

4x1-3t=0

x1=34

t

( 34

t

t )untuk λ=−2

[ x1

x2] [ λ−1 −3

−4 λ−2]= 0→[ x1

x2] [−3 −3−4 −4]= 0

(−3 −3 0−4 −4 0) E21(-

43 ) (−3 −3 0

0 0 0)−¿3x1-3x2=0, mis x2=t

−¿3x1-3t=0

x1= -t

(−tt )

3.2 Contoh soal Diagonalisasi

17

1) Diketahui matriks A = [1 06 −1]

Carilah : a) matriks P yang mendiagonalisasi A

b) matriks diagonal D = P-1AP

Jawab : det (λI-A) = 0

det[ λ−1 0−6 λ+1] = 0

(λ−1) (λ+1) = 0

λ1=1dan λ2 = -1(nilai-nilai eigen A)

untuk λ1=1

(λI-A) x = 0

[ 0 0−6 2] [ x1

x2] = [00]

-6x1 + 2x2 = 0

x1 = 13

x2

{ x1=13

t

x2=t∈R

x = [ 13

t

1 t ]=[ 131 ]t

Jadi, basis ruang eigen yang bersesuaian λ1=1 adalah P1 = [ 131 ]

Dengan demikian didapatkan bahwa (P1,P2) adalah bebas linear, sehingga

P = [ 130

01] akan mendiagonalkan matriks A.

18

D = P-1AP = 3 [ 1 0

−113 ][1 0

6 −1][ 13

0

1 1] = [ 3 0

−3 1][1 06 −1][ 1

30

1 1] = [3 0

3 −1] [ 13

0

1 1 ] = [ 1 0

−1 −1]2) Persamaan karakteristik dari matriks A = [−3 2

−2 1] adalah

det (λI-A) = det [ λ+3 −22 λ−1] = (λ+1)2 = 0

jadi λ = -1 adalah satu-satunya nilai eigen dari A; vektor-vektor eigen yang

bersesuaian dengan λ = -1 adalah pemecahan-pemecahan dari (I - A)x = 0; yakni,

dari 2x1 – 2x2 = 0

2x1 – 2x2 = 0

Pemecahan sistem ini adalah (2 −2 02 −2 0)E21 (−1 )(2 −2 0

0 0 0) .

Misalkan X2 = t => 2x1 – 2 x2 = 0

2x1- 2(t) = 0

2x1 = 2t

x1 = t

Maka ruang eigen tersebut terdiri dari semua vektor yang berbentuk :

[ tt ]=t [11]Karena ruang ini berdimensi 1, maka A tidak mempunyai dua vektor eigen yang

bebas linier, sehingga tidak dapat didiagonalisir.

3.3 Contoh soal Diagonalisasi Ortogonal; Matriks Simetrik

19

1. Carilah matriks ortogonal P yang mendiagonalisasi A = [4 2 22 4 22 2 4 ]

Pemecahan : persamaan karakteristik A adalah :

det (λI−A ¿=det [ λ−4 −2 −2−2 λ−4 −2−2 −2 λ−4]= (λ−2¿¿2 ( λ−8 )=0

Jadi, nilai-nilai eigen A adalah λ=2 dan λ=8. Menurut metode yang digunakan

pada contoh soal diagonalisasi nomor 2, maka dapat diperlihatkan bahwa

u1=[−110 ] dan u2=[−1

01 ] membentuk basis untuk ruang eigen yang bersesuaian

dengan λ=2.

Dengan menerapkan proses Gram-Schmid t terhadap {u1 , u2 } akan menhasilkan

vektor-vektor eigen ortonormal.

v1=[−1

√21√20

] dan v2=[−1

√6−1√62

√6] ruang-ruang eigen yang bersesuaian dengan λ=8

mempunyai u3=[111] sebagai basis. Dengan menerapkan proses Gram-Schmidt

terhadap {u3 }, maka akan menghasilkan v3=[−1

√31√31

√3].

20

Akhirnya dengan menggunakan v1 , v2 , v3 sebagai vektor-vektor kolom maka kita

dapatkan P=[−1

√2−1

√6−1

√31√2

−1√6

1√3

02

√61

√3]

BAB III

KESIMPULAN

1. Definisi Vektor Eigen:

Jika A adalah sebuah matriks nxn maka sebuah vektor tak nol x di dalam Rn

dinamakan vektor eigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar

dari x: Ax =λx

2. Definisi persamaan karakteristik:

21

Persamaan det (λI-A) = 0 dengan λ sebagai variabel disebut persamaan

karakteristik dari matriks A. Akar-akar atau skalar-skalar yang memenuhi

persamaan ini adalah nilai-nilai eigen (nilai-nilai karakteristik) dari matriks A.

Det (λI-A) ≡ f(λ) yaitu berupa polinom dalam λ yang dinamakan polinom

karakteristik.

3. Teorema 2.1.1 Jika A adalah sebuah matriks nxn, maka pernyataan-pernyataan

yang berikut ekivalen satu sam lain.

λ adalah nilai eigen dari A

sistem persamaan (λI-A) x = 0 mempunyai penyelesaian yang tak trivial

ada sebuah vektor tak nol x di dalam Rn sehingga Ax = λx

λ adalah pemecahan real dari persamaan karateristik det (λI-A) = 0

4. Definisi 2.2.1 : Matriks kuadrat A dinamakan dapat didiagonalisasi jika

terdapat matriks P yang dapat dibalik sehingga P-1AP diagonal ; matriks P

dikatakan mendiagonalisasi A.

5. Teorema 2.2.1: Jika A adalah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan

berikut ekivalen satu sama lain.

A dapat didiagonalisasi

A mempunyai n vektor eigen bebas linear.

Prosedur untuk mendiagonalkan matriks A yang berukuran n x n dapat

didiagonalisasi

6. Prosedur untuk mendiagonalkan matriks A yang berukuran n x n dapat

didiagonalisasi

Langkah 1 :

carilah n vektor eigen bebas linier A, P1, P2, ...., Pn

Langkah 2 :

bentuklah matriks P yang mempunyai P1, P2, ...., Pn sebagai vektor-vektor

kolomnya

Langkah 3 :

22

Matriks P-1AP akan diagonal dengan λ1, λ2, ...., λn sebagai entri-entri

diagonalnya yang berurutan, dimana λi adalah nilai eigen yang

bersesuaian dengan Pi, i = 1,2,....,n.

7. Definisi 2.3.1. Matriks A kuadrat dinamakan dapat didiagonalisasi secara

ortogonal jika terdapat matriks P yang ortogonal sehingga P−1 AP (¿ Pt AP )

diagonal; matriks P dikatakan mendiagonalisasi A secara ortogonal.

8. Teorema 2.3.1. Jika A adalah matriks n x n, maka pernyataan berikut ekuivalen

satu sama lain.

a) A dapat didioagonalisasi secara ortogonal

b) A mempunyai himpunan ortonormal dari n vektor eigen

c) A adalah simetrik

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard. 1991. Aljabar Linier Elementer edisi 3.terj:Pantur Silaban, Jakarta:

Erlangga

23