ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan...

118
i ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE BUS TRANSJOGJA SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Matematika Program Studi Matematika Disusun Oleh: Johny Decky Sasambe 113114005 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2015 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Transcript of ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan...

Page 1: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

i

ALJABAR MAX-PLUS DAN

APLIKASINYA PADA SUATU RUTE BUS TRANSJOGJA

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika

Program Studi Matematika

Disusun Oleh:

Johny Decky Sasambe

113114005

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2015

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 2: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

ii

MAX-PLUS ALGEBRA AND

ITS APPLICATION ON A TRANSJOGJA BUS ROUTE

PAPER

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements

to Obtain the Degree of Sarjana Matematika

in Mathematics Study Program

By:

Johny Decky Sasambe

113114005

MATEMATICS STUDY PROGRAM

DEPARTEMEN OF MATEMATICS

FACULTY OF SAINS AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2015

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 3: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

iii

SKRIPSI

ALJABAR MAX-PLUS DAN

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 4: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

iv

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 5: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Non Scholae Sed Vitae Discimus

Tugas Akhir ini kupersembahkan untuk:

Tarekat MSC Provinsi Indonesia,

Ibu dan kakak-kakakku yang tercinta,

Para seminaris di SMA Seminari Xaverius Kakaskasen Tomohon,

Rekan-rekan mahasiswa Matematika Universitas Sanata Dharma,

Para pecinta Matematika.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 6: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

vi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 7: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

vii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 8: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

viii

ABSTRAK

Aljabar max-plus adalah semilapangan idempoten. Aljabar max-plus,

dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya

mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor eigen. Beberapa

topik yang dapat disebutkan adalah konsep matriks iredusibel, graf preseden,

nilai eigen dan vektor eigen dari matriks persegi yang iredusibel. Suatu matriks

persegi disebut iredusibel jika graf presedennya terhubung kuat. Oleh karena itu

jika diberikan suatu graf maka dapat dibentuk suatu matriks persegi, dan dapat

ditentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tersebut.

Dalam aplikasinya pada suatu rute bus Transjogja, teori nilai eigen dan

vektor eigen matriks persegi yang iredusibel di aljabar max-plus digunakan

sebagai alat untuk menganalisa apakah dapat disusun jadwal keberangkatan bus

yang periodik pada rute pilihan. Artinya, jika dipilih suatu rute, dibuat graf

preseden dari rute pilihan dan disusun sinkronisasi berdasarkan data di lapangan,

dapat dibangun suatu model matematika yang menghasilkan suatu matriks serta

nilai eigen dan vektor eigennya. Dengan mengintepretasikan nilai eigen sebagai

periodisasi keberangkatan setiap bus dan vektor eigen sebagai waktu awal

keberangkatan bus pada setiap halte, dapat disusun suatu jadwal bus yang

periodik pada rute pilihan tersebut.

Hasil pemodelan menunjukkan bahwa belum dapat disusun suatu jadwal

periodik untuk rute pilihan. Hal ini sebabkan karena matriks yang dihasilkan

adalah matriks tak iredusibel. Akibatnya dari matriks tersebut, diperoleh vektor

eigen yang memuat elemen tak real. Konsekuensinya adalah waktu awal

keberangkatan bus tidak bisa ditentukan dan hal ini berpengaruh juga pada

penentuan waktu keberangkatan sesudahnya. Akibatnya jadwal periodik untuk

rute pilihan belum bisa dibuat.

Kata Kunci: nilai eigen, vektor eigen, graf preseden, matriks irudisibel.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 9: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

ix

ABSTRACT

Max-plus algebra is an idempotent semilfield. Max-plus algebra, with

maximum and addition operation on real numbers as its basic operations,

explores matrices, graphs, eigenvalues and eigenvectors. Some of the topics that

may be mentioned are the concept of irreducible matrices, precedence graph,

eigenvalues and eigenvectors of a irreducible square matrix. A square matrix is

called irreducible if its precedence graph is strongly connected. Therefore, if

given a graph, a square matrix can be formed and eigenvalues and eigenvectors of

the matrix can be determined.

In its application on one bus route Transjogja, the theory of eigenvalues

and eigenvectors of a irreducible square matrix in max-plus algebra is used as a

tool to analyze whether periodic bus departure timetable on a selected route can

be made. That is, if a route is selected, precedence graphs of the selected route,

and synchronization according to the data obtained are made, it can be

constructed a mathematical model that results in a matrix and its eigenvalues and

eigenvectors. By interpreting eigenvalues as departure periodization of each bus

and eigenvectors as first time of departure of buses at every bus stop, it can be

constructed a periodic bus schedule on the selected route.

Modelling results show that a periodic schedule for the selected route still

can not be made. This is because the resulting matrix is not a irreducible matrix.

As a result, the eigenvector of the matrix contains elements which are not real

numbers. Thus first time of departure of buses can not be determined and this

influences the determination of the else following departure time. Consequently,

periodic schedule for the selected route still can not be made.

Keywords: eigenvalues, eigenvectors, precedence graph, irreducible matrix.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 10: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

x

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Tuhan yang telah memberikan rahmat dan

berkatNya kepada penulis, sehingga tugas akhir ini dapat diselesaikan dengan

baik. Banyak pergumulan dan tantangan yang dialami selama proses

penyelesaian tugas akhir ini, namun berkat bantuan dan dukungan dari berbagai

pihak, akhirnya tugas akhir ini dapat diselesaikan dengan baik. Oleh karena itu,

pada kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih banyak atas

dukungan dan bimbingannya kepada:

1. Bapak Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd. selaku dosen pembimbing Tugas

Akhir.

2. Bapak Y.G. Hartono, Ph.D. selaku Ketua Program Studi Matematika

Universitas Sanata Dharma.

3. Ibu Paulina Heruningsih Prima Rosa, S.Si., M.Sc. selaku Dekan Fakultas

Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma.

4. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma.

5. Tarekat MSC Propinsi Indonesia dan para konfraterku yang tercinta.

6. Teman-teman sekomunitas GRIYA CHEVALIER Palagan – Yogyakarta.

7. Keluargaku: ibu yang tercinta dan kakak-kakakku yang selalu mendoakan dan

mendukung saya.

8. Teman-teman matematika 2011 Universitas Sanata Dharma, Bayu, Herry,

Ensi dan Indra.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 11: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

xi

9. Kakak-kakak angkatan 2008, 2009, 2010 dan adik-adik angkatan 2012, 2013

dan 2014 yang pernah menjadi teman selama masa-masa perkuliahan.

10. Semua pihak yang tak dapat disebutkan satu persatu, atas segala bantuan dan

dukungannya.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam tugas akhir

ini. Oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang dapat

membangun dan menyempurnakan tugas akhir ini. Akhirnya, penulis berharap

agar tugas akhir ini dapat memberikan wawasan dan pengetahuan baru bagi para

pembaca.

Yogyakarta 26 Juni 2015

Penulis

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 12: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INDONESIA ....................................... i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ............................................ ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING…………………………………iii

HALAMAN PENGESAHAN……………………………………………………iv

HALAMAN PERSEMBAHAN…………………………………………………..v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA…………………………………………vi

LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH………………….vii

ABSTRAK .......................................................................................................... viii

ABSTRACT .......................................................................................................... ix

KATA PENGANTAR ............................................................................................ x

DAFTAR ISI ........................................................................................................ xii

BAB I PENDAHULUAN ...................................................................................... 1

A. Latar Belakang ............................................................................................ 1

B. Perumusan Masalah .................................................................................... 5

C. Pembatasan Masalah .................................................................................. 5

D. Tujuan Penulisan ........................................................................................ 6

E. Manfaat Penulisan ...................................................................................... 6

F. Metode Penulisan ....................................................................................... 7

G. Sistematika Penulisan ................................................................................. 7

BAB II. LANDASAN TEORI ............................................................................... 9

A. Himpunan dan Operasi Biner ..................................................................... 9

1. Himpunan ............................................................................................... 9

2. Operasi Biner ........................................................................................ 11

B. Grupoid, Semigrup dan Monoid ............................................................... 16

C. Semigelanggang ....................................................................................... 19

D. Semilapangan ........................................................................................... 25

E. Vektor dan Matriks Pada Himpunan Bilangan Real ................................ 26

BAB III ALJABAR MAX-PLUS ........................................................................ 30

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 13: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

xiii

A. Definisi Aljabar Max-Plus ........................................................................ 30

B. Notasi di ℝ𝑚𝑎𝑥 ........................................................................................ 35

C. Sifat Operasi di ℝ𝑚𝑎𝑥 ............................................................................. 38

D. Vektor dan Matriks di ℝ𝑚𝑎𝑥 ................................................................... 40

1. Vektor di ℝ𝑚𝑎𝑥 ................................................................................... 40

2. Matriks di ℝ𝑚𝑎𝑥 .................................................................................. 41

E. Matriks dan Graf di ℝ𝑚𝑎𝑥 ....................................................................... 52

1. Konsep Dasar Graf ............................................................................... 52

2. Matriks dan Graf di ℝ𝑚𝑎𝑥 ................................................................... 62

F. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks di ℝ𝑚𝑎𝑥 ..................................... 70

BAB IV APLIKASI ALJABAR MAX-PLUS

PADA SUATU RUTE BUS TRANSJOGJA ........................................................ 78

A. Gambaran Singkat Rute Bus Transjogja .................................................. 78

B. Rute Pilihan .............................................................................................. 83

C. Graf Rute Pilihan ...................................................................................... 84

D. Sinkronisasi .............................................................................................. 90

E. Model Matematika dari Rute Pilihan ....................................................... 93

F. Menghitung Nilai Eigen dan Vektor Eigen .............................................. 96

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ............................................................... 99

A. Kesimpulan ............................................................................................... 99

B. Saran ....................................................................................................... 100

DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 101

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 14: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

1

BAB I

PENDAHULUAN

Pada bab ini dijelaskan tentang latar belakang penulisan, perumusan

masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode

penulisan dan sistimatika penulisan.

A. Latar Belakang

Struktur aljabar adalah suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi

dengan satu atau lebih operasi biner. Struktur aljabar ini secara berurutan

dinotasikan dengan ,*S atau ,,S . Contoh struktur aljabar adalah grup,

gelanggang dan lapangan. Akan tetapi selain grup, gelanggang dan lapangan

yang telah dijelaskan pada saat perkuliahan, terdapat struktur aljabar yang lebih

sederhana yaitu, grupoid, semigrup, monoid, semigelanggang dan semilapangan.

Grupoid merupakan struktur aljabar yang paling sederhana. Grupoid

adalah himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan satu operasi biner.

Semigrup adalah grupoid yang memenuhi sifat asosiatif terhadap operasi biner

yang terdefinisi pada himpunan yang dimaksud. Dalam semigrup jika operasi

binernya bersifat komutatif, semigrup dikatakan semigrup komutatif. Sedangkan

Monoid adalah semigrup yang memiliki elemen identitas.

Semigelanggang dan semilapangan mempunyai struktur yang berbeda

dengan grupoid, semigrup dan monoid. Semigelanggang adalah struktur aljabar

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 15: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

2

yang dilengkapi dengan dua operasi biner yaitu + dan dan memenuhi syarat-

syarat berikut: terhadap operasi pertama, semigrupnya adalah semigrup komutatif

dan memiliki elemen identitas; terhadap operasi kedua, semigrupnya adalah

monoid dan mempunyai elemen penyerap; dan operasi kedua bersifat distributif

kiri dan distributif kanan terhadap operasi pertama. Dalam semigelanggang sifat

operasi biner menentukan sifat semigelanggangnya. Oleh karena itu jika suatu

semigelanggang (𝑆, +, ) terhadap operasi biner berlaku ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆, 𝑎𝑏 =

𝑏𝑎 maka semigelanggangnya disebut semigelanggang komutatif. Sedangkan,

jika suatu semigelanggang (𝑆, +, ) terhadap operasi pertamanya berlaku ∀𝑎 ∈ 𝑆

maka 𝑎 + 𝑎 = 𝑎, semigelanggangnya disebut semigelanggang idempoten.

Konsep tentang semigelanggang di atas menjadi dasar penjelasan bagi

struktur aljabar lain, yaitu semilapangan. Suatu semigelanggang disebut

semilapangan jika semigelanggang tersebut adalah semigelanggang komutatif

dengan setiap elemen yang bukan elemen identitas terhadap operasi pertama

mempunyai invers terhadap operasi kedua; atau dengan kata lain suatu

semigelanggang komutatif (𝑆, +, ) adalah semilapangan jika ∀𝑥 ∈ 𝑆\{0}

mempunyai invers terhadap operasi yaitu (∀𝑥 ∈ 𝑆\{0} )(∃𝑥−1 ∈ 𝑆), 𝑥 𝑥−1 =

𝑥−1 𝑥. Dengan demikian semilapangan adalah semigelanggang komutatif yang

mendapat syarat tambahan, yaitu invers terhadap operasi kedua untuk setiap

elemen yang bukan elemen identitas terhadap operasi pertama. Suatu

semilapangan adalah semilapangan idempoten jika operasi biner pertama bersifat

idempoten.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 16: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

3

Salah satu contoh semilapangan adalah aljabar max-plus. Aljabar max-

plus adalah salah satu contoh semilapangan idempoten. Aljabar max-plus, dengan

operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari

tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor eigen dan lain sebagainya.

Istilah aljabar max-plus diambil dari nama operasinya, yaitu operasi penjumlahan

yang dinotasikan dengan ⊕ dan operasi perkalian yang dinotasikan dengan ⊗.

Dalam aljabar max-plus operasi ⊕ didefinisikan sebagai maksimum, dan operasi

⊗ didefinisikan sebagai operasi penjumlahan biasa untuk bilangan real.

Munculnya teori aljabar max-plus dilatarbelakangi oleh berkembangnya

bidang riset operasi pada tahun 1950 yang menekankan pencarian solusi optimal.

Oleh karena itu, aljabar max-plus dengan operasi maximum, membawa harapan

baru dalam dunia riset operasi untuk mencapai solusi optimal (Andersen, 2002).

Dalam perkembangannya aljabar max-plus sebagai sarana riset operasi untuk

mencapai solusi yang optimal telah digunakan dengan baik untuk memodelkan

dan menganalisis secara aljabar masalah-masalah jaringan, misalnya jaringan

transportasi, sistem manufaktur, dan lain sebagainya. Contoh penggunaan model

max-plus dalam masalah jaringan dapat dilihat pada Modeling Bus Bounching

with Petri Nets and Max-Plus Algebra (Newcomb, 2014), Penentuan Waktu

Produksi Tercepat pada Mesin Produksi Jamu (Kharisma, 2013), Optimisasi

Jadwal Pemesanan Bakpia Patok Jaya “25” (Arifin, 2012) dan lain sebagainya.

Dalam karya tulis ini, aljabar max-plus digunakan untuk memodelkan

suatu rute transportasi bus Transjogja. Salah satu masalah yang ditemukan adalah

keluhan para pengguna mengenai ketidakpastian kedatangan bus di setiap halte,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 17: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

4

terkadang cepat, terkadang cukup lama bahkan saat tiba di halte, bus telah penuh

dengan penumpang. Dengan sistem yang ada saat ini, para pengguna jasa bus

Transjogja seringkali harus menunggu bus dengan ketidakpastian.

Berdasarkan informasi tersebut, pada bagian akhir karya tulis ini akan

dikaji model aljabar max-plus untuk mendesain jadwal bus Transjogja yang

periodik sebagai solusi atas masalah yang dihadapi masyarakat. Proses

pemodelan ini dimulai dengan mengambil sampel sederhana yaitu memodelkan

salah satu rute bus Transjogja. Pemilihan rute ini dilakukan secara acak, yaitu

dengan menentukan empat halte utama yang menjadi halte awal dan halte akhir

dari suatu rute. Selanjutnya berdasarkan data lapangan akan dibangun lintasan-

lintasan yang menghubungkan keempat halte utama dan membentuk sebuah graf

dari rute pilihan. Berdasarkan graf dari rute pilihan, selanjutnya dibuat

sinkronisasi yang menjadi landasan untuk menyusun model matematika. Dari

model matematika tersebut dapat dibentuk suatu matriks yang merupakan

representasi dari graf rute pilihan. Matriks yang diperoleh akan dianalisa dengan

menggunakan nilai eigen dan vektor eigen. Nilai eigen dan vektor eigen yang

diperoleh adalah output yang diharapkan.

Berdasarkan uraian di atas, yang diharapkan dari karya tulis ini adalah

penguasaan konsep aljabar max-plus dan aplikasinya untuk membuat model

matematika bagi masalah yang ditemukan dalam rute pilihan. Pemodelan

matematika tersebut diarahkan untuk menghasilkan suatu analisa pada suatu rute

bus Transjogja dan mengambil kesimpulan berdasarkan hasil analisa yaitu

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 18: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

5

apakah dimungkinkan dibuat suatu jadwal bus Transjogja yang periodik untuk

rute pilihan.

B. Perumusan Masalah

Dalam karya tulis ini, penulis akan memfokuskan perhatian pada konsep

dasar aljabar max-plus, sifat-sifatnya dan aplikasinya. Inti tulisan tersebut dapat

dituangkan dalam empat pertanyaan berikut:

1. Apa itu aljabar max-plus?

2. Apa yang dimaksud dengan nilai eigen dan vektor eigen dari suatu

matriks iredusibel dalam aljabar max-plus?

3. Bagaimana membuat model matematika untuk suatu rute pilihan bus

Transjogja berdasarkan teori aljabar max-plus?

C. Pembatasan Masalah

Berdasarkan rumusan masalah di atas, fokus utama karya tulis ini adalah

penjelasan tentang konsep dasar aljabar max-plus dan aplikasinya pada suatu rute

bus Transjogja. Oleh karena itu, pertama-tama akan diuraikan secara teoretis

landasan-landasan teori yang menjadi dasar pembahasan tentang aljabar max-

plus. Teori-teori tersebut mencakup konsep tentang himpunan, operasi biner dan

sifat-sifatnya, semigrup, semigelanggang, semilapangan serta konsep dasar

tentang vektor dan matriks pada himpunan semua bilangan real. Selanjutnya akan

dijelaskan konsep aljabar max-plus dan sifat-sifatnya yang mencakup definisi

aljabar max-plus, operasi dan sifat operasi aljabar max-plus, matriks dalam

aljabar max-plus, graf dalam aljabar max-plus, nilai eigen dan vektor eigen dalam

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 19: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

6

aljabar max-plus. Pada bagian akhir akan diperkenalkan aplikasi aljabar max-plus

pada suatu rute bus Transjogja.

D. Tujuan Penulisan

Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan dari karya tulis ini adalah

pertama, mempelajari, mendalami dan menuliskan kembali konsep tentang

aljabar max-plus; kedua menyusun model matematika untuk suatu rute bus

Transjogja berdasarkan teori aljabar max-plus.

E. Manfaat Penulisan

Hasil karya tulis diharapkan dapat bermanfaat bagi:

1. Penulis

Menambah dan memperdalam konsep pengetahuan dan keilmuan tentang

aljabar max-plus dan aplikasinya.

2. Lembaga

Sebagai tambahan pustaka untuk rujukan penelitian dan bahan perkuliahan

tentang aljabar max-plus.

3. Pembaca/Masyarakat

a. Sebagai bahan pembelajaran dan pengetahuan mengenai aljabar max-plus,

dan diharapkan dapat menjadi rujukan untuk penelitian yang akan datang.

b. Diperoleh analisis suatu rute bus Transjogja dengan tujuan peningkatan

kualitas pelayanan pada masyarakat.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 20: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

7

F. Metode Penulisan

Dalam proses penyelesaian karya tulis ini, penulis menggunakan dua

metode penulisan, yaitu studi literatur dan penelitian lapangan. Studi literatur

digunakan untuk menjelaskan landasan teori pada Bab II, konsep tentang aljabar

max-plus pada Bab III dan penyusunan model matematika pada Bab IV.

Sedangkan penelitian lapangan digunakan untuk mengumpulkan data yang

digunakan ketika menyusun model matematika pada Bab IV.

G. Sistematika Penulisan

Secara garis besar, karya tulis ini terdiri atas lima bagian, yaitu:

1. Bab I Pendahuluan

Pada bagian ini diuraikan tentang latar belakang, perumusan masalah,

pembatasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan dan

sistimatika penulisan.

2. Bab II Landasan Teori

Pada bagian ini dijelaskan teori-teori yang digunakan sebagai dasar

penjelasan aljabar max-plus. Teori-teori tersebut mencakup himpunan, operasi

biner dan sifat-sifatnya, semigrup, semigelanggang, semilapangan serta konsep

tentang vektor dan matriks pada himpunan semua bilangan real.

3. Bab III Pembahasan

Pada bagian ini dijelaskan konsep dasar aljabar max-plus yang mencakup

definisi aljabar max-plus, operasi dan sifat operasi aljabar maxplus, vektor dan

matriks dalam aljabar max-plus, graf dalam aljabar max-plus serta konsep nilai

eigen dan vektor eigen suatu matriks dalam aljabar max-plus.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 21: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

8

4. Bab IV Aplikasi

Pada bagian ini dijelaskan tentang aplikasi aljabar max-plus pada suatu

rute bus Transjogja. Oleh karena itu, pada bagian ini dibuat model matematika

untuk suatu rute bus Transjogja berdasarkan teori aljabar max-plus. Pemodelan

matematika tersebut mencakup penentuan rute pilihan, pembuatan graf rute

pilihan, penyusunan sikronisasi berdasarkan graf rute pilihan, penyusunan model

matematika berdasarkan sinkronisasi yang buat, penentuan matriks yang

direpresentasikan oleh graf rute pilihan berdasarkan model matematika yang

diperoleh; penghitungan nilai eigen dan vektor eigen serta penarikan kesimpulan

berdasarkan nilai eigen dan vektor eigen yang diperoleh.

5. Bab V Penutup

Bagian ini berisi kesimpulan karya tulis ini serta saran untuk penulisan

lebih lanjut.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 22: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

9

BAB II

LANDASAN TEORI

Pada bab ini dijelaskan teori-teori yang digunakan sebagai dasar untuk

menjelaskan teori aljabar max-plus pada Bab III. Penjelasan pada bab ini

mencakup gambaran singkat tentang himpunan, definisi dan sifat-sifat operasi

biner, definisi elemen identitas dan elemen invers himpunan, grupoid, semigrup,

monoid, semigelanggang dan semilapangan. Pada bagian akhir akan dijelaskan

secara singkat juga vektor dan matriks serta nilai eigen dan vektor eigen pada

himpunan semua bilangan real.

A. Himpunan dan Operasi Biner

Pada bagian ini dijelaskan tentang himpunan dan operasi biner.

Penjelasan tentang himpunan mencakup definisi himpunan, keanggotaan

himpunan serta definisi dan contoh operasi gabungan dua himpunan. Sedangkan

penjelasan tentang operasi biner mencakup definisi operasi biner dan sifat-

sifatnya. Penjelasan tentang himpunan dan operasi biner dirangkum dari Fraleigh

(2003); Durbin (2009), Whitelaw (1995), dan Hungerford (2002).

1. Himpunan

Himpunan adalah sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan

jelas. Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari himpunan itu.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 23: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

10

Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan ini sangat

penting agar himpunan tersebut terdefinisi dengan baik (well-defined set).

Berikut ini diberikan beberapa contoh himpunan.

Contoh 2.1

1. Himpunan semua mahasiswa program studi matematika angkatan 2011.

2. Himpunan lima huruf pertama dalam abjad

3. Himpunan empat bilangan asli yang pertama.

Nama suatu himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar 𝐴, 𝐵, 𝐶

dan sebagainya. Sedangkan untuk melambangkan anggota himpunan digunakan

huruf kecil 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥 dan sebagainya. Untuk menyatakan himpunan digunakan

simbol "{… }". Dengan demikian himpunan pada Contoh 2.1 di atas dapat ditulis

sebagai berikut:

Contoh 2.2

1. 𝐴 = {𝐼𝑛𝑑𝑟𝑎, 𝐽𝑜ℎ𝑛𝑦, 𝐵𝑎𝑦𝑢, 𝐸𝑛𝑠𝑖}

2. 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}

3. 𝐶 = {1, 2, 3, 4}

Selanjutnya, notasi untuk keanggotaan suatu himpunan dapat dinyatakan

sebagai berikut:

Misalkan 𝐴, adalah suatu himpunan.

a. Jika 𝑎 adalah objek pada himpunan 𝐴 maka 𝑎 dikatakan sebagai anggota 𝐴

dan ditulis 𝑎 ∈ 𝐴.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 24: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

11

b. Jika 𝐴 tidak mempunyai anggota maka 𝐴 disebut himpunan kosong, dan

dinotasikan dengan 𝐴 = { }

c. Jika 𝐴 mempunyai sekurang-kurangnya satu anggota maka 𝐴 disebut

himpunan tak kosong.

Selanjutnya, akan dijelaskan operasi gabungan dua himpunan. Gabungan

himpunan 𝐴 dan 𝐵 adalah himpunan yang memuat himpunan 𝐴 atau 𝐵 yang

dinotasikan 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑎|𝑎 ∈ 𝐴 ⋁ 𝑎 ∈ 𝐵}. Berikut ini diberikan contoh operasi

gabungan dua himpunan.

Contoh 2.3 Misalkan terdapat 𝐴 = {2, 4, 6, 8, 10} dan 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5} maka

𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5, 8, 10}.

2. Operasi Biner

Pada bagian ini dijelaskan operasi biner dan sifat-sifatnya. Penjelasan

pada bagian ini mencakup definisi operasi biner dan sifat-sifatnya, yakni sifat

tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, idempoten – definisi elemen identitas

dan elemen invers.

Penjelasan pada bagian ini dimulai dengan memberikan definisi hasil kali

silang.

Definisi 2.1 Misalkan 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 adalah himpunan tak kosong. Himpunan

semua 𝑛 tupel terurut pada himpunan 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 disebut hasil kali silang dan

dinotasikan dengan 𝐴1 × 𝐴2 × … × 𝐴𝑛 = {(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛)|𝑎𝑖 ∈ 𝐴𝑖, 𝑖 = 1,… , 𝑛}.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 25: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

12

Setelah didefinisikan hasil kali silang, selanjutnya akan didefinisikan

operasi biner.

Definisi 2.2 Misalkan 𝑆 adalah himpunan tidak kosong. Operasi biner ∗ pada

himpunan 𝑆 adalah pemetaan 𝑆 × 𝑆 pada 𝑆.

Menurut Definisi 2.2 terdapat dua sifat dasar operasi biner; pertama

terdefinisi dengan baik (well-defined) yaitu untuk setiap pasangan terurut

(𝑎, 𝑏) ∈ 𝑆 × 𝑆 dipasangkan tepat satu dengan elemen di 𝑆. Kedua, sifat tertutup

yaitu untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆, (𝑎 ∗ 𝑏) ∈ 𝑆. Berikut ini diberikan contoh sifat operasi

biner pada suatu himpunan.

Contoh 2.4 Misalkan ℤ adalah himpunan semua bilangan bulat yang dilengkapi

dengan operasi penjumlahan dan perkalian.

Akan ditunjukkan bahwa operasi penjumlahan dan perkalian adalah operasi biner

di ℤ. Berdasarkan Definisi 2.2 maka ∀(𝑎, 𝑏) ∈ ℤ, (𝑎 + 𝑏) dapat dipasangkan

tepat satu anggota ℤ . Selanjutnya ∀(𝑎, 𝑏) ∈ ℤ, 𝑎 + 𝑏 ∈ ℤ. Jadi ℤ tertutup

terhadap operasi penjumlahan. Selanjutnya ba, ℤ, ba juga well-difined

dan ba, ℤ , ba ℤ. Jadi ℤ tertutup terhadap operasi perkalian. Jadi,

operasi penjumlahan dan perkalian adalah operasi biner di ℤ.

Contoh 2.5 Misalkan ℕ adalah himpunan semua bilangan bulat positif. Pada ℕ

didefinisikan operasi ∗ dengan ketentuan 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 − 𝑏. Karena 3 dan 5 ada di

ℕ dan 3 − 5 = −2 ∈ ℕ maka ℕ tidak tertutup terhadap operasi biner ∗ . Jadi

operasi ∗ bukan operasi biner pada ℕ

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 26: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

13

Selanjutnya akan dijelaskan dan diberikan contoh sifat-sifat operasi biner

pada suatu himpunan.

Definisi 2.3 (Sifat Komutatif Operasi Biner)

Operasi biner ∗ pada suatu himpunan tak kosong S bersifat komutatif, jika dan

hanya jika (∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆), 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎.

Contoh 2.6 Misalkan ℝ adalah himpunan semua bilangan real. Akan

ditunjukkan bahwa operasi penjumlahan dan perkalian pada ℝ adalah komutatif.

Berdasarkan sifat operasi penjumlahan bilangan real jika diambil sebarang

𝑎, 𝑏 ∈ ℝ , berlaku 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎.

Selanjutnya berdasarkan sifat operasi perkalian bilangan real jika diambil

sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ , maka 𝑎 × 𝑏 = 𝑏 × 𝑎.

Jadi berdasarkan Definisi 2.3 operasi penjumlahan dan perkalian di ℝ komutatif.

Definisi 2.4 (Sifat Asosiatif Operasi Biner)

Suatu operasi biner ∗ pada suatu himpunan tak kosong S bersifat asosiatif jika

dan hanya jika (∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑆), (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑏 ∗ (𝑎 ∗ 𝑐).

Contoh 2.7 Misalkan ℝ adalah himpunan semua bilangan real. Akan

ditunjukkan bahwa operasi penjumlahan dan perkalian di ℝ asosiatif.

Berdasarkan sifat operasi penjumlahan bilangan real jika diambil sebarang

𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, berlaku (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑏 + (𝑎 + 𝑐).

Selanjutnya berdasarkan sifat operasi perkalian bilangan real jika diambil

sebarang 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, berlaku (𝑎 × 𝑏) × 𝑐 = 𝑏 × (𝑎 × 𝑐).

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 27: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

14

Jadi berdasarkan Definisi 2.4 operasi penjumlahan dan perkalian pada ℝ bersifat

asosiatif.

Definisi 2.5 (Sifat Distributif Operasi Biner)

Misalkan operasi biner dan ∗ terdefinisi pada himpunan S .

1. Jika (∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑆), 𝑎 ∘ (𝑏 ∗ 𝑐) = (𝑎 ∘ 𝑏) ∗ (𝑎 ∘ 𝑐), maka di 𝑆 berlaku sifat

distributif kiri operasi ∘ terhadap operasi ∗

2. Jika (∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑆), (𝑎 ∗ 𝑏) ∘ 𝑐 = (𝑎 ∘ 𝑐) ∗ (𝑏 ∘ 𝑐), maka di 𝑆 berlaku sifat

distributif kanan operasi ∘ terhadap operasi ∗.

Contoh 2.8 Misalkan ℝ adalah himpunan semua bilangan real.

Berdasarkan sifat operasi pada bilangan real jika diambil sebarang 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ,

berlaku 𝑎 × (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 × 𝑏) + (𝑎 × 𝑐) dan (𝑎 + 𝑏) × 𝑐 = (𝑎 × 𝑐) + (𝑏 × 𝑐).

Jadi berdasarkan Definisi 2.5 operasi perkalian terhadap penjumlahan di ℝ

bersifat distributif kiri dan distributif kanan.

Definisi 2.6 (Sifat Idempoten Operasi Biner)

Suatu operasi biner ∗ pada himpunan 𝑆 bersifat idempotent jika dan hanya jika

(∀𝑎 ∈ 𝑆), 𝑎 ∗ 𝑎 = 𝑎.

Contoh 2.9 Misalkan ℕ adalah himpunan semua bilangan asli. Untuk setiap

𝑎 ∈ ℕ didefinisikan operasi biner ∗ sehingga 𝑎 ∗ 𝑏 = elemen yang lebih kecil

atau sama dengan 𝑎 atau 𝑏, berlaku 𝑎 ∗ 𝑎 = 𝑎 dan 𝑏 ∗ 𝑏 = 𝑏. Jadi berdasarkan

Definisi 2.6 ℕ idempoten.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 28: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

15

Setelah didefinisikan operasi biner dan sifat-sifatnya, selanjutnya akan

didefinisikan elemen identitas dan elemen invers pada suatu himpunan tak

kosong .S

Definisi 2.7 Suatu himpunan tak kosong 𝑆 dikatakan mempunyai elemen

identitas terhadap operasi biner ∗ jika ada elemen 𝑒 ∈ 𝑆 sedemikian sehingga

(∀𝑎 ∈ 𝑆), 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎.

Contoh 2.10 Misalkan ℝ adalah himpunan semua bilangan real. Akan

ditunjukkan bahwa ℝ mempunyai elemen identitas terhadap operasi penjumlahan

dan perkalian.

Ambil sebarang 𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 + 𝑒 = 𝑎 ⟺ 𝑎 + 𝑒 − 𝑎 = 𝑎 − 𝑎 ⟺ 𝑒 = 0 ∈ ℝ

Ambil sebarang (𝑎 ∈ ℝ), (𝑎 ≠ 0) maka berlaku

𝑎 × 𝑒 = 𝑎 ⇔ 𝑎 × 𝑒 ×1

𝑎= 𝑎 ×

1

𝑎⇔ 𝑒 = 1 ∈ ℝ.

Untuk 𝑎 = 0, ∃1 ∈ ℝ maka berlaku 𝑎 × 1 = 0 × 1 = 1 × 0 = 0.

Jadi berdasarkan Definisi 2.7 dapat disimpulkan bahwa 0 adalah elemen identitas

terhadap operasi penjumlahan di ℝ; dan 1 adalah elemen identitas terhadap

operasi perkalian di ℝ.

Definisi 2.8 Misalkan himpunan tak kosong 𝑆 terhadap operasi biner ∗

mempunyai elemen identitas, yaitu 𝑒. Suatu elemen 𝑏 ∈ 𝑆 dikatakan invers dari

𝑎 ∈ 𝑆 terhadap operasi biner ∗ jika dan hanya jika 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 = 𝑒

Contoh 2.11 Misalkan ℝ adalah himpunan semua bilangan real. Akan

ditunjukkan bahwa ℝ mempunyai elemen invers terhadap operasi penjumlahan

dan ℝ\{0} mempunyai elemen invers terhadap operasi perkalian.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 29: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

16

Ambil sebarang 𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 + (−𝑎) = 0. Jadi −𝑎 adalah elemen invers terhadap

operasi penjumlahan di ℝ.

Ambil sebarang 𝑏 ∈ ℝ\{0}, 𝑏 ≠ 0 sehingga berlaku bahwa 𝑏 × 1

𝑏= 1 ∈ ℝ\{0}.

Jadi 1

𝑏 adalah elemen invers terhadap operasi perkalian di ℝ\{0}.

Setelah dijelaskan konsep himpunan dan operasi biner, selanjutnya

dijelaskan tentang struktur aljabar sebagai suatu himpunan yang tak kosong yang

dilengkapi satu atau dua operasi biner.

B. Grupoid, Semigrup dan Monoid

Struktur aljabar adalah suatu himpunan tak kosong S yang dilengkapi

dengan satu atau lebih operasi biner. Struktur aljabar di atas berturut-turut

dinotasikan dengan (𝑆,∗) dan (𝑆, +, ). Struktur aljabar yang paling sederhana

adalah grupoid, semigrup, dan monoid. Grupoid adalah himpunan tak kosong

yang dilengkapi dengan satu operasi biner. Semigrup adalah himpunan tak

kosong yang dilengkapi dengan satu operasi biner dan operasi binernya bersifat

asosiatif. Monoid adalah semigrup yang mempunyai elemen identitas. Berikut ini

diberikan contoh struktur aljabar grupoid, semigrup dan monoid.

Contoh 2.12 Misalkan ℕ adalah himpunan semua bilangan asli terhadap operasi

penjumlahan. Berdasarkan sifat operasi penjumlahan bilangan asli diketahui

bahwa ℕ tertutup dan well-defined terhadap operasi penjumlahan. Jadi ℕ adalah

grupoid terhadap operasi penjumlahan.

Contoh 2.13 Akan ditunjukkan bahwa (ℕ,+) adalah semigrup. Pada Contoh

2.12 telah ditunjukkan bahwa (ℕ,+) well-defined dan tertutup. Hal ini berarti

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 30: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

17

cukup diselidiki apakah operasi penjumlahan di ℕ asosiatif; dan diketahui bahwa

operasi penjumlahan bilangan asli bersifat asosiatif.

Jadi (ℕ,+) adalah semigrup.

Contoh 2.14 Misalkan ℤ adalah himpunan semua bilangan bulat. Akan

ditunjukkan bahwa (ℤ,+) adalah monoid.

Untuk menunjukkan (ℤ,+) adalah monoid harus ditunjukkan bahwa (ℤ,+)

adalah semigrup dan (ℤ,+) mempunyai elemen identitas terhadap operasi

penjumlahan. Diketahui bahwa di ℤ operasi penjumlahan bersifat tertutup dan

asosiatif. Jadi ℤ adalah semigrup. Sekarang akan ditunjukkan bahwa ℤ punya

elemen identitas terhadap operasi penjumlahan.

Ambil sebarang 𝑎 ∈ ℤ, berdasarkan Definisi 2.7 bahwa 𝑎 + 𝑒 = 𝑎 ⟺ 𝑎 + 𝑒 −

𝑎 = 𝑎 − 𝑎 ⟺ 𝑒 = 0. Jadi terbukti bahwa ℤ mempunyai elemen identitas

terhadap operasi penjumlahan, yaitu 0. Jadi (ℤ,+) adalah monoid.

Selanjutnya penjelasan dilanjutkan dengan memberi fokus pada semigrup.

Penjelasan dimulai dengan mendefinisikan suatu grupoid sebagai semigrup.

Definisi 2.9 Suatu grupoid S adalah semigrup jika operasi binernya bersifat

asosiatif .

Definisi 2.9 menjelaskan bahwa tidak semua grupoid adalah semigrup.

Pada Contoh 2.13 di atas telah ditunjukkan bahwa suatu grupoid (ℕ,+) adalah

semigrup. Berikut ini akan diberikan contoh yang menjelaskan bahwa tidak

semua grupoid adalah semigrup.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 31: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

18

Contoh 2.15 Misalkan (𝐺,∗) adalah grupoid. Operasi biner dari himpunan 𝐺

terdefinisi seperti dalam tabel berikut:

Tebel 2.1 Tabel Operasi Biner Himpunan 𝐺

(𝐺,∗) a B C d

A b C D a

B d A B c

C a B C d

D c D A b

Akan ditunjukkan bahwa (𝐺,∗) bukan semigrup. Hal itu berarti bahwa terdapat

elemen di 𝐺 jika dioperasikan dengan operasi yang terdefinisi pada 𝐺 tidak

asosiatif. Ambil sebarang 𝑎, 𝑎, 𝑎 ∈ 𝐺 maka

(𝑎 ∗ 𝑎) ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ (𝑎 ∗ 𝑎).

𝑏 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑏

𝑑 ≠ 𝑐

Berdasarkan hasil operasi di atas, G bukan semigrup.

Selanjutnya akan dijelaskan dan diberikan contoh semigrup komutatif.

Definisi 2.10 Semigrup (𝑆,∗) adalah semigrup komutatif jika operasi biner ∗

bersifat komutatif.

Contoh 2.16 Misalkan ℕ adalah himpunan semua bilangan asli. Pada Contoh

2.13 telah dibuktikan bahwa (ℕ,+) adalah semigrup terhadap operasi

penjumlahan. Sekarang akan ditunjukkan bahwa (ℕ,+) adalah semigrup

komutatif. Diketahui bahwa operasi penjumlahan pada bilangan asli komutatif.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 32: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

19

Maka berdasarkan Definisi 2.10 dapat disimpulkan bahwa (ℕ,+) adalah

semigrup komutatif.

Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa semigrup adalah

himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan satu operasi biner yang bersifat

tertutup, terdefinisi dengan baik dan bersifat asosiatif. Suatu semigrup adalah

komutatif jika operasinya komutatif.

Penjelasan tentang semigrup dirangkum dari Howie (1995), Harju (1996)

dan Kandasamy (2002).

C. Semigelanggang

Pada Bagian B telah dijelaskan struktur aljabar dengan satu operasi biner.

Pada bagian ini akan dijelaskan struktur aljabar dengan dua operasi biner yang

dinotasikan dengan (𝑆, +, ) . Salah satu contoh struktur aljabar dengan dua

operasi biner adalah semigelanggang. Penjelasan selanjutnya tentang

semigelanggang dirangkum dari Howie (1995), Harju (1996), dan Heidergott,

dkk (2005).

Penjelasan pada bagian ini dimulai dengan menjelaskan elemen penyerap

pada grupoid dan definisi semigelanggang.

Definisi 2.11. Suatu elemen 𝑎 dalam suatu grupoid (𝑆,∗) disebut elemen

penyerap terhadap operasi biner ∗ jika ∀𝑥 ∈ 𝑆 berlaku 𝑎 ∗ 𝑥 = 𝑥 ∗ 𝑎 = 𝑎.

Definisi 2.12 Suatu semigelanggang adalah suatu himpunan tak kosong 𝑆

yang dilengkapi dengan dua operasi biner, yaitu + dan yang memenuhi

aksioma-aksioma berikut:

,,S

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 33: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

20

1. (𝑆, +) adalah monoid komutatif dengan elemen identitasnya θ

2. (𝑆, ) adalah monoid dengan elemen identitasnya 𝑒

3. Elemen identitas 𝜃 adalah elemen penyerap terhadap operasi biner .

4. Operasi biner bersifat distributif kiri dan distributif kanan terhadap operasi

biner +.

Selanjutnya akan dijelaskan contoh himpunan tak kosong dengan dua

operasi dan merupakan semigelanggang.

Contoh 2.17 Misalkan ℝ adalah himpunan semua bilangan real yang dilengkapi

dengan operasi penjumlahan dan perkalian. Akan ditunjukkan bahwa (ℝ,+,×)

adalah semigelanggang.

Berdasarkan Definisi 2.12 akan ditunjukkan bahwa:

1. (ℝ,+) adalah monoid komutatif

Diketahui ℝ adalah himpunan bilangan real. Ada empat sifat yang harus

diselidiki untuk menunjukkan bahwa (ℝ,+) adalah monoid komutatif yaitu

sifat tertutup, sifat asosiatif, sifat komutatif dan keberadaan elemen identitas.

Ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, maka berlaku bahwa 𝑎 + 𝑏 ∈ ℝ . Jadi ℝ tertutup

terhadap operasi biner +. Selanjutnya pada Contoh 2.7 telah ditunjukkan

bahwa operasi penjumlahan di ℝ asosiatif. Selanjutnya pada Contoh 2.6 telah

ditunjukkan juga bahwa operasi penjumlahan di ℝ komutatif. Akhirnya pada

Contoh 2.10 telah ditunjukkan bahwa ℝ terhadap operasi penjumlahan

mempunyai elemen identitas, yaitu 0. Jadi (ℝ,+) adalah semigrup komutatif

dengan elemen identitasnya 0.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 34: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

21

2. (ℝ,×) adalah monoid

Diketahui ℝ adalah himpunan bilangan real. Ada tiga sifat yang harus

ditunjukkan untuk membuktikan bahwa (ℝ,×) adalah monoid yaitu sifat

tertutup, sifat asosiatif, dan keberadaan elemen identitas. Ambil sebarang

∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, berlaku bahwa 𝑎 × 𝑏 ∈ ℝ . Jadi ℝ tertutup terhadap operasi

perkalian. Selanjutnya pada Contoh 2.7 telah ditunjukkan bahwa operasi

perkalian di ℝ asosiatif. Akhirnya pada Contoh 2.10 telah ditunjukkan bahwa

ℝ terhadap operasi perkalian mempunyai elemen identitas, yaitu 1. Jadi

terbukti (ℝ,×) adalah monoid.

3. Akan ditunjukkan bahwa elemen 0 adalah elemen penyerap terhadap operasi

perkalian. Diketahui bahwa 0 ∈ ℝ dan 0 adalah elemen identitas terhadap

operasi + di ℝ. Ambil sebarang a ℝ maka 0 × 𝑎 = 𝑎 × 0 = 0 . Jadi 0

adalah elemen penyerap terhadap operasi × di ℝ.

4. Akan ditunjukkan operasi perkalian di (ℝ,+,×) bersifat distributif kiri dan

distirbutif kanan terhadap operasi penjumlahan. Pada Contoh 2.8 telah

ditunjukkan bahwa operasi perkalian di (ℝ,+,×) bersifat distributif kiri dan

distirbutif kanan terhadap operasi penjumlahan.

Jadi berdasarkan 1, 2, 3 dan 4 (ℝ, , ) adalah semigelanggang.

Selanjutnya dijelaskan dua semigelanggang yang memiliki sifat khusus,

yaitu semigelanggang komutatif dan semigelanggang idempoten.

Definisi 2.13 Suatu semigelanggang (𝑆, +, ) adalah semigelanggang komutatif

jika operasi biner bersifat komutatif.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 35: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

22

Contoh 2.18 Akan ditunjukkan bahwa (ℝ, , ) adalah semigelanggang

komutatif. Pada Contoh 2.17 telah ditunjukkan bahwa (ℝ, , ) adalah

semigelanggang. Jadi cukup ditunjukkan bahwa di ℝ berlaku sifat komutatif

terhadap operasi perkalian. Pada Contoh 2.6 telah ditunjukkan bahwa operasi

perkalian di ℝ komutatif. Karena (ℝ, , ) adalah semigelanggang dan terhadap

operasi perkalian ℝ komutatif maka (ℝ, , ) adalah semigelanggang komutatif.

Definisi 2.14 Suatu semigelanggang (𝑆, +, ) disebut semigelanggang idempoten

jika operasi biner + bersifat idempoten.

Contoh 2.19 Misalkan ℝ+ adalah himpunan semua bilangan real tak negatif.

Pada ℝ+didefinisikan operasi minimum yang dinotasikan dengan ⊖ dan operasi

perkalian bilangan real yang dinotasikan dengan ⊙, sehingga ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ+

berlaku 𝑎 ⊖ 𝑏 = min(𝑎, 𝑏) dan 𝑎 ⊙ 𝑏 = 𝑎 × 𝑏. Akan ditunjukkan bahwa

(ℝ+,⊖,⨀) adalah semigelanggang idempoten. Pertama harus ditunjukkan bahwa

(ℝ+,⊖,⨀) adalah semigelanggang. Untuk menunjukkan bahwa (ℝ+,⊖,⨀)

adalah semigelanggang, harus ditunjukkan bahwa:

1. (ℝ+,⊖) adalah monoid komutatif.

Ambil sebarang 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ+ maka berlaku

a. 𝑎 ⊝ 𝑏 = min(𝑎, 𝑏) ∈ℝ+. Jadi ℝ+ tertutup.

b. (𝑎 ⊖ 𝑏)⊝ 𝑐 = min(min(𝑎, 𝑏), 𝑐) = min(𝑎, 𝑏, 𝑐)

= min(𝑎,min(𝑏, 𝑐)) = 𝑎 ⊝ (𝑏 ⊝ 𝑐)

Jadi ℝ+ asosiatif terhadap operasi ⊝.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 36: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

23

c. 𝑎 ⊖ 𝑏 = min(𝑎, 𝑏) = min(𝑏, 𝑎) = 𝑏 ⊝ 𝑎 . Jadi ℝ+ bersifat komutatif

terhadap operasi ⊝.

d. Misalkan (ℝ+,⊖) mempunyai elemen identitas, yaitu 𝑒. Berdasarkan

Definisi 2.7 maka

(𝑎 ⊖ 𝑏) + 𝑒 = 𝑎 ⊖ 𝑏

min(𝑎, 𝑏) + 𝑒 = min(𝑎, 𝑏)

min(𝑎, 𝑏) + 𝑒 −min(𝑎, 𝑏) = min(𝑎, 𝑏) − min(𝑎, 𝑏)

00 e

.0e Jadi 0 adalah elemen identitas di (ℝ+,⊖)

Jadi berdasarkan a, b, c dan d terbukti bahwa (ℝ+,⊖) adalah monoid

komutatif dengan elemen identitas 0.

2. (ℝ+, ⨀) adalah monoid.

Ambil sebarang 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ+ maka berlaku

a. 𝑎 ⊙ 𝑏 = 𝑎 × 𝑏 ∈ ℝ+. Jadi ℝ+ tertutup terhadap operasi ⊙.

b. (𝑎 ⊙ 𝑏)⨀𝑐 = (𝑎 × 𝑏) × 𝑐 = 𝑎 × 𝑏 × 𝑐

= 𝑎 × (𝑏 × 𝑐) = 𝑎 ⊙ (𝑏 ⊙ 𝑐)

Jadi ℝ+ asosiatif terhadap operasi ⊙.

c. Ambil sebarang a adalah elemen identitas di (ℝ+, ⨀).

Berdasarkan Definisi 2.7 maka untuk 𝑎 ≠ 0 berlaku

𝑎 ⊙ 𝑒 = 𝑎 ⟺ 𝑎 × 𝑒 = 𝑎 ⟺ 𝑎 × 𝑒 × 1

𝑎= 𝑎 × 1

𝑎⟺ 𝑒 = 1

Untuk 𝑎 = 0. Diketahui 1 ∈ ℝ+, maka 0 × 1 = 1 × 0 = 0.

Jadi 1 adalah identitas di (ℝ+, ⨀).

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 37: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

24

Berdasarkan a, b dan c, dapat disimpulkan bahwa (ℝ+, ⨀) adalah

monoid dengan elemen identitas adalah 1.

3. Diketahui bahwa 0 ∈ ℝ+ dan 0 adalah elemen identitas terhadap operasi ⊖ di

ℝ+. Ambil sebarang a ℝ+, maka berlaku 0⊙ 𝑎 = 𝑎⊙ 0 = 0 . Jadi 0

adalah elemen penyerap terhadap operasi ⊙ di ℝ+.

4. Operasi biner ⨀ di (ℝ+,⊖,⨀) bersifat distributif kiri dan distributif kanan

terhadap operasi biner ⊖. Ambil sebarang 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ+ maka berlaku:

1) (𝑎 ⊖ 𝑏)⊙ 𝑐 = min(𝑎, 𝑏) × 𝑐 = min(𝑎 × 𝑐, 𝑏 × 𝑐)

= (𝑎 ⊙ 𝑐)⊖ (𝑏 ⊙ 𝑐)

2) 𝑎 ⊙ (𝑏 ⊝ 𝑐) = 𝑎 × min(𝑏, 𝑐) = min(𝑎 × 𝑏, 𝑎 × 𝑐)

= (𝑎 ⊙ 𝑏)⊝ (𝑎 ⊙ 𝑐)

Berdasarkan a, b maka disimpulkan bahwa operasi ⨀ bersifat distributif

kiri dan distributif kanan terhadap ⊖ di (ℝ+,⊖,⨀).

Berdasarkan 1, 2, 3 dan 4 terbukti bahwa (ℝ+,⊖,⨀) adalah semigelanggang.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa operasi ⊖ idempoten. Ambil sebarang

𝑎 ∈ ℝ+ maka berlaku 𝑎 ⊖ 𝑎 = 𝑚𝑖𝑛(𝑎, 𝑎) = 𝑎.

Jadi operasi ⊖ idempoten. Karena (ℝ+,⊖,⨀) adalah semigelanggang dan

operasi ⊖ idempoten, (ℝ+,⊖,⨀) adalah semigelanggang idempoten.

Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa semigelanggang adalah

struktur aljabar yang dilengkapi dengan dua operasi biner dan memenuhi

aksioma: terhadap operasi pertama membentuk monoid komutatif; terhadap

operasi kedua membentuk monoid; elemen identitas terhadap operasi pertama

merupakan elemen penyerap terhadap operasi kedua dan operasi kedua bersifat

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 38: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

25

distributif kiri dan distributif kanan terhadap operasi pertama. Suatu

semigelanggang adalah komutatif, jika operasi keduanya komutatif; dan

semigelanggang adalah idempoten jika operasi pertama idempoten.

D. Semilapangan

Struktur aljabar terakhir yang akan dijelaskan adalah semilapangan.

Semilapangan adalah semigelanggang komutatif yang mendapat tambahan sifat

khusus, yaitu untuk setiap elemen yang bukan elemen identitas terhadap operasi

pertama mempunyai elemen invers terhadap operasi kedua. Definisi formal

semilapangan dijelaskan oleh dua definisi berikut:

Definisi 2.15 Suatu semigelanggang komutatif (𝑆, +, ) disebut semilapangan

jika setiap elemen di 𝑆 yang bukan elemen identitas 𝜃 mempunyai invers

terhadap operasi biner yaitu ∀𝑎 ∈ 𝑆\{𝜃}, ∃𝑎−1 sehingga 𝑎 𝑎−1 = 𝑒, dengan 𝑒

adalah elemen identitas terhadap operasi .

Definisi 2.16 Suatu semilapangan (𝑆, +, ) adalah semilapangan idempoten jika

operasi bersifat idempoten.

Selanjutnya diberikan contoh semigelanggang komutatif yang merupakan

semilapangan idempoten.

Contoh 2.20 Misalkan Himpunan ℝ ∪ 𝜀 dengan ℝ adalah himpunan semua

bilangan real; Misalkan juga di ℝ ∪ 𝜀 didefinisikan 𝑒 = 0 dan 𝜀 = −∞ serta dua

operasi biner yang belaku di himpunan ℝ ∪ 𝜀, operasi dan dan operasi yang

didefinisikan sebagai berikut:

∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ∪ 𝜀, 𝑎 ⊕ 𝑏 = max(𝑎, 𝑏) dan 𝑎 ⊗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 39: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

26

Himpunan ℝ ∪ 𝜀 yang dilengkapi dengan operasi biner dan adalah

semilapangan idempotent. Himpunan ini kemudian dikenal dengan sebutan

aljabar max-plus. Bukti lengkap Contoh 2.20 ini akan dijelaskan pada Bab III.

E. Vektor dan Matriks Pada Himpunan Bilangan Real

Pada bagian ini dijelaskan definisi tentang vektor dan matriks pada

himpunan bilangan real serta nilai eigen dan vektor eigen dari matriks real.

Pembahasan dimulai dengan memberikan definisi tentang lapangan dan ruang

vektor.

Definisi 2.17 Lapangan adalah semilapangan yang mempunyai elemen invers

terhadap operasi pertama.

Definisi 2.18 Misalkan 𝐹 adalah lapangan. Himpunan 𝐹 adalah ruang vektor jika

untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐹 dan sebarang skalar 𝑘 ∈ ℝ berlaku 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝐹 dan hasil kali

𝑘𝑎 ∈ 𝐹.

Salah satu contoh lapangan adalah himpunan bilangan real ℝ dengan

operasi penjumlahan dan operasi perkalian dan disebut lapangan real ℝ .

Menurut Definisi 2.17 dan Definisi 2.18 jika

ℝ𝑛 = ℝ × ℝ× …×ℝ = {𝒂 = (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛)|𝑎𝑖 ∈ ℝ, 𝑖 = 1,… , 𝑛}

dan pada ℝ𝑛 didefinisikan operasi:

Penjumlahan: 𝒂 + 𝒃 = (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) + (𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛)

= (𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2, … , 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛)

Perkalian dengan skalar 𝛼 di ℝ

𝛼 × 𝒂 = 𝛼 × (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎3)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 40: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

27

= (𝛼 × 𝑎1, 𝛼 × 𝑎2, … , 𝛼 × 𝑎3)

maka ℝ𝑛 merupakan ruang vektor atas lapangan real ℝ , 𝒂 = (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛)

disebut vektor real (Anton, 2005).

Setelah dijelaskan vektor real di ℝ𝑛, selanjutnya akan dijelaskan konsep

matriks pada himpunan bilangan real, nilai eigen dan vektor eigen pada matriks

real. Penjelasan dimulai dengan memberikan definisi tentang matriks.

Definisi 2.19 Matriks adalah susunan bilangan berbentuk segiempat. Bilangan-

bilangan dalam susunan itu disebut elemen-elemen dari matriks tersebut (Anton,

2005).

Definisi 2.20 Ordo atau ukuran matriks adalah banyaknya baris 𝑖 banyaknya

kolom 𝑗 dalam matriks itu (Kolman, 2001).

Selanjutnya jika 𝐴 adalah matriks berukuran 𝑚× 𝑛 maka elemen yang

terletak pada baris ke- 𝑖 dalam kolom ke- 𝑗 matriks 𝐴 dinotasikan dengan 𝑎𝑖𝑗 atau

[𝐴]𝑖𝑗 dengan 𝑖 = 1,… ,𝑚 dan 𝑗 = 1,… , 𝑛. Bentuk umum matriks 𝐴 berukuran

𝑚 × 𝑛 dituliskan sebagai berikut:

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22212

11211

Untuk penjelasan selanjutnya matriks yang dijelaskan adalah matriks

yang elemen-elemennya adalah himpunan semua bilangan real. Himpunan

matriks real berukuran 𝑚 × 𝑛 dinotasikan dengan ℝ𝑚𝑥𝑛. Berikut ini beberapa

tipe matriks, yaitu:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 41: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

28

1. Jika semua elemen matriks 𝐴 bernilai nol maka matriks 𝐴 disebut matriks nol.

2. Matriks dengan banyaknya baris dan banyaknya kolom sama disebut matriks

persegi. Matriks persegi dengan baris dan kolom sebanyak 𝑛 disebut matriks

persegi berukuran 𝑛 × 𝑛. Jika matriks 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] adalah matriks persegi

berukuran 𝑛 × 𝑛 maka elemen-elemen 𝑎11, 𝑎22,… , 𝑎𝑛𝑛 disebut elemen

diagonal utama matriks 𝐴.

3. Suatu matriks persegi berukuran 𝑛 × 𝑛 disebut matriks identitas jika elemen

diagonal utamanya 1 dan elemen lainnya 0. Matriks identitas berukuran

𝑛 × 𝑛 dinotasikan dengan 𝐼𝑛.

Setelah dijelaskan konsep tentang matriks, selanjutnya akan dijelaskan

definisi operasi-operasi pada matriks.

Definisi 2.21

1. Untuk 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ𝑚𝑥𝑛 maka 𝐴 + 𝐵 = [𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗], dengan 𝐴 + 𝐵 ∈ ℝ𝑚𝑥𝑛.

2. Untuk 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑥𝑝 dan 𝐵 ∈ ℝ𝑝𝑥𝑛 maka 𝐴 × 𝐵 = 𝐶 dengan 𝐶 ∈ ℝ𝑚𝑥𝑛 dan

p

k kjikij bac1

untuk 𝑖 = 1,… ,𝑚 dan 𝑗 = 1,… , 𝑛.

3. Untuk sebarang matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑥𝑛 dan sebarang skalar 𝑠 ∈ ℝ maka

𝑠 × 𝐴 = [𝑠 × 𝑎𝑖𝑗] dengan 𝑠 × 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑥𝑛.

Setelah didefinisikan tiga operasi pada matriks di atas, berikut ini akan

didefinisikan operasi pangkat pada matriks.

Definisi 2.22 Misalkan A adalah matriks persegi berordo 𝑛 dan 𝑝 adalah bilangan

bulat positif maka operasi pangkat pada matriks didefinisikan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 42: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

29

𝐴𝑝 = 𝐴 × 𝐴 ×…× 𝐴⏟ 𝑝

Berdasarkan Definisi 2.21, 𝐴𝑝dapat ditulis juga sebagai berikut

𝐴𝑝 = 𝐴 × 𝐴 × 𝐴 × …× 𝐴⏟ 𝑝−1

= 𝐴 × 𝐴𝑝−1

Untuk 0p maka .0

nIA

Selanjutnya akan dijelaskan definisi nilai eigen dam vektor eigen matriks.

Definisi 2.23 Misalkan 𝐴 adalah suatu matriks berordo 𝑛 × 𝑛, suatu vektor 𝒙 ≠ 𝟎

di ℝ𝑛 disebut vektor eigen dari matriks 𝐴 jika 𝐴𝒙 = 𝜆𝒙 untuk suatu skalar 𝜆.

Skalar 𝜆 disebut nilai eigen (Anton, 2005).

Setelah menjelaskan konsep himpunan, operasi biner, semigrup,

semigelanggang, semilapangan, vektor dan matriks pada himpunan bilangan real,

selanjutnya konsep-konsep tersebut akan digunakan sebagai landasan untuk

menjelaskan teori aljabar max-plus yang akan dijelaskan pada bab selanjutnya.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 43: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

30

BAB III

ALJABAR MAX-PLUS

Pada bab ini dijelaskan tentang konsep dasar aljabar max-plus yang

mencakup definisi aljabar max-plus, operasi dalam aljabar max-plus dan sifat-

sifatnya, vektor dan matriks dalam aljabar max-plus, graf dalam aljabar max-plus,

nilai eigen dan vektor eigen dalam aljabar max-plus. Penjelasan tentang topik-

topik di atas dijelaskan dalam definisi-definisi dan teorema serta dilengkapi

dengan contoh-contoh penjelas tentang topik-topik yang bersangkutan.

A. Definisi Aljabar Max-Plus

Secara singkat aljabar max-plus dapat didefinisikan sebagai himpunan

ℝ ∪ {𝜀} dengan ℝ adalah himpunan semua bilangan real yang dilengkapi dengan

operasi maksimum dan operasi penjumlahan dan membentuk semilapangan.

Secara matematika, definisi tentang aljabar max-plus dijelaskan lebih lanjut

dalam definisi dan teorema-teorema berikut ini.

Definisi 3.1 Notasi ℝℰ menunjuk pada himpunan ℝ ∪ {𝜀} dengan ℝ adalah

himpunan semua bilangan real (Bacelli, 2001).

Definisi 3.2 Didefinisikan 𝜀 = −∞ dan 𝑒 = 0 maka ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝℰ , operasi ⊕ dan

operasi ⊗ didefinisikan sebagai berikut:

𝑎 ⊕ 𝑏 = max(𝑎, 𝑏) dan 𝑎 ⊗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 44: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

31

Didefinisikan juga bahwa max(𝑎, 𝜀) = max(𝜀, 𝑎) = 𝑎 dan 𝑎 + 𝜀 = 𝜀 + 𝑎 = 𝜀

sehingga untuk setiap 𝑎 ∈ ℝℰ , dapat dituliskan

𝑎 ⊕ 𝜀 = 𝜀 ⊕ 𝑎 = 𝑎 dan 𝑎 ⊗ 𝜀 = 𝜀 ⊗ 𝑎 = 𝜀.

Dalam Heidergott, cs, 2006 himpunan ℝℰ yang dilengkapi operasi ⊕ dan

⊗ disebut aljabar max-plus dan dinotasikan dengan ℝ𝑚𝑎𝑥 = (ℝ𝜀 ,⊕,⊗). Pada

penjelasan selanjutnya sebutan dan notasi ini digunakan dalam karya tulis ini

untuk menyederhanakan penyebutan aljabar max-plus.

Selanjutnya akan diberikan beberapa contoh penggunaan operasi ⊕ dan

⊗ dalam perhitungan .

Contoh 3.1 Perhatikan contoh operasi ⊕ dan ⊗ yang digunakan pada masalah

berikut:

5⊕ 2 = max(5,2) = 5

5⊕ 𝜀 = max(5, 𝜀) = 5

5⊗ 𝜀 = 5 + (−∞) = −∞

𝑒 ⊕ 2 = max(0,2) = 2

3⊗ 𝑒 = 3 + 0 = 3

4⊗ 8 = 4 + 8 = 12

Setelah dijelaskan definisi tentang ℝ𝑚𝑎𝑥, berikut ini akan dijelaskan dua

teorema yang menjelaskan sifat dasar ℝ𝑚𝑎𝑥 .

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 45: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

32

Teorema 3.3 ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah semigelanggang komutatif dan idempoten (Bacelli,

2001).

Bukti

Akan dibuktikan bahwa ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah semigelanggang komutatif dan idempoten.

Untuk membuktikan ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah semigelanggang komutatif dan idempoten

maka dibuktikan bahwa

1. ℝmax adalah semigelanggang.

Untuk membuktikan bahwa (ℝ𝑚𝑎𝑥,⊕,⊗) adalah semigelanggang ditempuh

langkah-langkah berikut:

a. Akan dibuktikan (ℝ𝑚𝑎𝑥,⊕) adalah monoid komutatif. Oleh karena itu

∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 berlaku:

i. Operasi ⊕ di ℝ𝑚𝑎𝑥 asosiatif, yaitu:

(𝑎 ⊕ 𝑏)⊕ 𝑐 = max(max(𝑎, 𝑏), 𝑐) = max(𝑎, 𝑏, 𝑐)

= max(𝑎,max(𝑏, 𝑐)) = 𝑎 ⊕ (𝑏⊕ 𝑐)

ii. Operasi ⊕ di ℝ𝑚𝑎𝑥 komutatif, yaitu:

𝑎 ⊕ 𝑏 = max(𝑎, 𝑏) = max(𝑏, 𝑎) = 𝑏 ⊕ 𝑎

iii. Terdapat elemen 𝜀 = −∞ ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 , sedemikian hingga

𝑎 ⊕ 𝜀 = max(𝑎,−∞) = max(−∞, 𝑎) = 𝑎.

Jadi berdasarkan Definisi 2.7 terbukti bahwa 𝜀 = −∞ adalah elemen

identitas dari (ℝ𝑚𝑎𝑥 ,⊕).

Berdasarkan i, ii, dan iii terbukti bahwa (ℝ𝑚𝑎𝑥 ,⊕) adalah monoid komutatif

dengan elemen identitas, yaitu 𝜀 = −∞

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 46: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

33

b. Akan dibuktikan bahwa (ℝ𝑚𝑎𝑥 ,⊗) adalah monoid.

Oleh karena itu ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 , berlaku:

i. Operasi ⊗ di ℝ𝑚𝑎𝑥 asosiatif, yaitu:

(𝑎 ⊗ 𝑏)⊗ 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 ⊗ (𝑏 ⊗ 𝑐)

ii. Terdapat elemen 0e di ℝ𝑚𝑎𝑥 sehingga

𝑎 ⊗ 𝑒 = 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎. Jadi berdasarkan Definisi 2.7 terbukti

bahwa 0e adalah elemen identitas dari (ℝ𝑚𝑎𝑥,⊗).

Jadi, berdasarkan i dan ii terbukti bahwa (ℝ𝑚𝑎𝑥,⊗) adalah monoid

dengan elemen identitas .0e

c. Akan dibuktikan di ℝ𝑚𝑎𝑥 terdapat elemen penyerap terhadap operasi ⊗

Diketahui bahwa −∞ ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 dan −∞ adalah elemen identitas terhadap

operasi ⊕ di ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥. Ambil sebarang 𝑎 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 , berdasarkan Definisi 2.11

berlaku 𝑎 ⊗ −∞ = −∞⊗ 𝑎 = −∞ . Jadi adalah elemen penyerap

terhadap operasi ⊗ di ℝ𝑚𝑎𝑥 .

d. Operasi ⊗ bersifat distributif terhadap ⊕, cba ,, ℝ𝑚𝑎𝑥 berlaku:

i. Sifat distributif kanan, yaitu:

(𝑎 ⊕ 𝑏) ⊗ 𝑐 = max(𝑎, 𝑏) + 𝑐 = max(𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑐)

= (𝑎 ⊗ 𝑐) ⊕ (𝑏 ⊗ 𝑐)

ii. Sifat distributif kiri, yaitu:

𝑎 ⊗ (𝑏 ⊕ 𝑐) = 𝑎 +𝑚𝑎𝑥 (𝑏, 𝑐) = 𝑚𝑎𝑥 (𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 𝑐)

= (𝑎 ⊗ 𝑏) ⊕ (𝑎 ⊗ 𝑐)

Kesimpulan: berdasarkan a, b, c dan d terbukti bahwa ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah

semigelanggang.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 47: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

34

2. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah semigelanggang

komutatif.

Berdasarkan Definisi 2.13 untuk membuktikan ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah semigelanggang

komutatif harus ditunjukkan bahwa ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah semigelanggang dan operasi

kedua pada ℝ𝑚𝑎𝑥 komutatif. Pada bagian (1) telah ditunjukkan bahwa ℝ𝑚𝑎𝑥

adalah semigelanggang. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa operasi kedua di

ℝ𝑚𝑎𝑥 komutatif.

Ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 , 𝑎 ⊗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 = 𝑏 ⊗ 𝑎. Jadi, untuk

sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 operasi ⊗ komutatif.

Berdasarkan bagian (1) dan (2) terbukti bahwa ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah semigelanggang

komutatif.

3. Yang terakhir akan dibuktikan bahwa ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah semigelanggang

idempoten.

Berdasarkan Definisi 2.14 untuk membuktikan ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah semigelanggang

idempoten, harus ditunjukkan ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah semigelanggang dan operasi pertama

pada ℝ𝑚𝑎𝑥 idempoten. Pada bagian (1) telah ditunjukkan bahwa ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah

semigelanggang. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa operasi ⊕ pada ℝ𝑚𝑎𝑥

idempoten. Ambil sebarang 𝑎 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 , 𝑎 ⊕ 𝑎 = max(𝑎, 𝑎) = 𝑎.

Jadi untuk sebarang 𝑎 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 , operasi ⊕ idempoten. Terbukti bahwa ℝ𝑚𝑎𝑥

adalah semigelanggang idempoten.

Kesimpulan: Berdasarkan 1, 2, dan 3 terbukti bahwa ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah

semigelanggang komutatif dan idempoten. ∎

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 48: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

35

Selanjutnya akan dijelaskan juga teorema yang menjelaskan bahwa ℝ𝑚𝑎𝑥

adalah suatu semilapangan.

Teorema 3.4 ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah suatu semilapangan (Bacelli, 2001).

Bukti

Akan ditunjukkan bahwa ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah suatu semilapangan.

Berdasarkan Teorema 3.3 telah dibuktikan bahwa ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah suatu

semigelanggang komutatif. Oleh karena itu, untuk membuktikan ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah

semilapangan, cukup dibuktikan bahwa di ℝ𝑚𝑎𝑥 untuk setiap elemen yang bukan

elemen identitas −∞ mempunyai invers terhadap operasi ⊗.

Ambil sebarang 𝑎 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥\{−∞}, ∃𝑎−1 = −𝑎 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥

maka berlaku 𝑎 ⊗ 𝑎−1 = 𝑒 atau 𝑎 + (−𝑎) = 0. Jadi terbukti bahwa ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah

semilapangan. ∎

Berdasarkan Teorema 3.3 dan Teorema 3.4 dapat disimpulkan bahwa ℝ𝑚𝑎𝑥

adalah himpunan ℝ𝜀 yang dilengkapi dengan operasi ⊕ dan ⊗ serta membentuk

semilapangan idempoten.

B. Notasi di ℝ𝒎𝒂𝒙

Dalam rangka memahami operasi biner dalam ℝ𝑚𝑎𝑥 maka perlu

diperkenalkan notasi yang berlaku dalam ℝ𝑚𝑎𝑥 . Pada Definisi 3.2 di atas, telah

diperkenalkan dua operasi yang dinotasikan dengan ⊕ dan ⊗. Dalam Definisi

3.2 juga telah dijelaskan bahwa operasi ⊕ dan ⊗ dalam aljabar biasa

didefinisikan sebagai operasi maksimum untuk operasi ⊕; dan penjumlahan

untuk operasi ⊗. Dengan demikian cara sederhana untuk memahami sifat-sifat

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 49: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

36

operasi dalam ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah menganalogikannya dengan operasi yang berlaku

dalam aljabar biasa. Misalkan, dalam ℝ𝑚𝑎𝑥 terdapat operasi biner “ ” (baca: O

bagi) sebagai invers dari operasi ⊗. Dengan menganalogikannya pada aljabar

biasa, operasi biner sebagai invers dari operasi ⊗ dapat dianalogikan dengan

invers dari operasi penjumlahan dalam aljabar biasa, yaitu pengurangan. Oleh

karena itu operasi 𝑎 𝑏 dalam ℝ𝑚𝑎𝑥 dapat diselesaikan dengan menggunakan

aljabar biasa, yaitu 𝑎 − 𝑏. Notasi untuk operasi lainnya di ℝ𝑚𝑎𝑥 diberikan dalam

tabel analogi notasi operasi berikut:

Tabel. 3.1 Analogi Notasi ℝ𝑚𝑎𝑥

Notasi ℝ𝒎𝒂𝒙 Notasi Aljabar Biasa

⊕ max( )

⊗ +

√ /

𝑒 0

𝜀 −∞

Selanjutnya pada tabel berikut diberikan beberapa contoh penggunaan

notasi dalam ℝ𝑚𝑎𝑥 dan cara pengoperasiaannya.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 50: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

37

Tabel 3.2 Contoh Penggunaan Notasi Operasi dalam ℝ𝑚𝑎𝑥

ℝ𝒎𝒂𝒙 Aljabar Biasa =

4⊕ 7 max(4,7) 7

1⊕ 2⊕ 3⊕ 4⊕ 5 max(1, 2, 3, 4, 5) 5

4⊗ 5 4 + 5 9

4⊕ 𝜀 max(4, 𝜀) 4

𝜀 ⊗ 4 𝜀 + 4

−5⊗ 2 −5 + 2 −3

𝑒 ⊗ 5 50 5

3⊗2 = 3⊗ 3 3+3 6

𝑒⊗2 = 2⊗0 2 × 0 = 0 × 2 0

(4 ⊗ 7) (4⊕ 7) 4 + 7 −max(4,7) 4

(2⊕ 3)⊗3 = 2⊗3⊕3⊗3

3 ×max(2,3) atau

max(3 × 2, 3 × 3) 9

8 𝑒 8 − 0 8

𝑒 5 0 − 5 −5

√142

14

2⁄ 7

√255

25

5⁄ 5

Pembahasan pada Bagian B di atas dirangkum dari Bacelli (2001) dan

Heidergott, dkk (2006).

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 51: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

38

C. Sifat Operasi di ℝ𝒎𝒂𝒙

Definisi 3.2, Teorema 3.3 dan Teorema 3.4 telah menjelaskan sifat-sifat

operasi biner dalam ℝ𝑚𝑎𝑥. Kemudian pada Bagian B juga telah dijelaskan notasi

operasi dalam ℝ𝑚𝑎𝑥 dan cara pengoperasiannya. Oleh karena itu, pada bagian ini

akan dijelaskan sifat-sifat operasi yang belum dijelaskan pada Bagian A dan

Bagian B.

Contoh 3.2 Perhatikan masalah dalam contoh berikut 4⊗−7⊕ 5⊗ 2.

Sebelum menyelesaikannya, masalah pada Contoh 3.2 di atas harus dipahami

sebagai (4⊗ −7)⊕ (5⊗ 2).Oleh karena itu, solusi yang tepat untuk masalah

ini adalah (4⊗−7)⊕ (5⊗ 2) = max(4 + (−7), 5 + 2) = 7.

Dalam Contoh 3.2 diperlihatkan bahwa terdapat analogi antara sifat

operasi ⊕ dan operasi ⊗ dalam ℝ𝑚𝑎𝑥 dengan sifat operasi + dan operasi −

dalam aljabar biasa, yaitu dalam hal urutan pengoperasiaan, jika tidak ada tanda

kurung operasi ⊗ mempunyai prioritas (atau lebih kuat) daripada operasi ⊕

(Heidergott dkk, 2006).

Pangkat 𝑛 ∈ ℕ ∪ {0} dengan ℕ adalah himpunan semua bilangan asli,

dari elemen 𝑎 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 dinotasikan dengan 𝑎⊗𝑛. Notasi 𝑎⊗𝑛 didefinisikan

sebagai berikut: 𝑎⊗0; = 0 dan 𝑎⊗𝑛 ≔ 𝑎⊗ 𝑎𝑛−1, untuk 𝑛 = 1, 2, …

Didefinisikan juga 𝜀⊗0 ≔ 0 dan 𝜀⊗𝑛: = 𝜀, untuk 𝑛 = 1, 2, …

Diperhatikan bahwa ,...... naaaaaaaaaann

n

dengan 𝑛𝑎 adalah operasi perkalian pada bilangan real. Sifat pangkat dalam

ℝ𝑚𝑎𝑥 mempunyai prioritas tertinggi dibandingkan dengan operasi ⊕ dan ⊗.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 52: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

39

Berdasarkan operasi pangkat ℝ𝑚𝑎𝑥 dan sifat operasi akar pada aljabar

biasa, maka dapat dijelaskan cara menghitung operasi √𝑎𝑏 di ℝ𝑚𝑎𝑥 . Dalam

ℝ𝑚𝑎𝑥 operasi √𝑎𝑏 didefinisikan dengan menggunakan definisi akar pada aljabar

biasa dan kemudian menganalogikan operasi pangkat biasa dengan operasi

pangkat dalam ℝ𝑚𝑎𝑥. Maka dapat dijelaskan

√𝑎𝑏

= 𝑥 ⟺ 𝑎 = 𝑥𝑏

Dengan menganalogikan 𝑥𝑏 ke bentuk pangkat di ℝ𝑚𝑎𝑥, maka

𝑎 = 𝑥⊗𝑏 ⟺ 𝑎 = 𝑏𝑥 ⟺ 𝑥 =𝑎

𝑏

Penjelasan lebih lanjut mengenai pangkat dalam ℝ𝑚𝑎𝑥 dapat dilihat dalam

teorema berikut.

Teorema 3.5 (Farlow, 2009)

Untuk setiap 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ; dengan ℕ adalah himpunan semua bilangan asli dan

untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥, berlaku

1. 𝑎⊗𝑚⊗𝑎⊗𝑛 = 𝑎⊗(𝑚⊗𝑛)

2. (𝑎⊗𝑚)⊗𝑛

= 𝑎⊗(𝑚⊗𝑛)

3. 𝑎⊗1 = 𝑎

4. 𝑎⊗𝑚⊗𝑏⊗𝑚 = (𝑎 ⊗ 𝑏)⊗𝑚

Bukti

Ambil sebarang 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ dan 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 , sedemikian sehingga

1. 𝑎⊗𝑚⊗𝑎⊗𝑛 = 𝑚𝑎 + 𝑛𝑎 = (𝑚 + 𝑛)𝑎 = 𝑎⊗(𝑚⊗𝑛)

2. (𝑎⊗𝑚)⊗𝑛

= (𝑚𝑎)⊗𝑛 = 𝑛(𝑚𝑎) = (𝑛𝑚)𝑎 = 𝑎⊗(𝑚⊗𝑛)

3. 𝑎⊗1 = 1𝑎 = 𝑎

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 53: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

40

4. 𝑎⊗𝑚⊗𝑏⊗𝑚 = 𝑚𝑎 +𝑚𝑏 = 𝑚(𝑎 + 𝑏) = (𝑎 ⊗ 𝑏)⊗𝑚 ∎

Contoh 3.3 Hitunglah operasi ℝ𝑚𝑎𝑥 berikut ini

1. 5⊗3 = 3 × 5 = 15

2. 8⊗12 =

1

2× 8 = 4

3. 2⊗3⊗2⊗2 = (3 × 2) + (2 × 2) = 6 + 4 = 10

4. (3⊗2)⊗3= 3 × 2 × 3 = 18

D. Vektor dan Matriks di ℝ𝒎𝒂𝒙

Pada bagian ini akan dijelaskan vektor dan matriks pada ℝ𝑚𝑎𝑥 yang

mencakup definisi vektor di ℝ𝑚𝑎𝑥, definisi matriks di ℝ𝑚𝑎𝑥 dan operasi matriks

di ℝ𝑚𝑎𝑥 serta sifat-sifatnya. Penjelasan pada bagian ini dirangkum dari Farlow

(2009), Bacelli (2001), Heidergott, dkk (2006), Rudhito (2003), Andersen

(2002).

1. Vektor di ℝ𝒎𝒂𝒙

Berikut ini akan didefinisikan ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛 berdasarkan ℝ𝑚𝑎𝑥 sebagai

ℝ𝜀𝑛 = ℝ𝜀 × …× ℝ𝜀 = {𝒂 = (𝑎1, … , 𝑎𝑛)|𝑎𝑖 ∈ ℝ𝜀 , 𝑖 = 1,… , 𝑛} dan pada ℝ𝜀

𝑛

didefinisikan:

a. Operasi ⊕:𝒂⊕ 𝒃 = (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) ⊕ (𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛)

= (𝑎1⊕𝑏1, 𝑎2⊕𝑏2, … , 𝑎𝑛⊕𝑏𝑛)

b. Operasi ⊗ dengan skalar 𝛼 di ℝ𝜀

𝛼 ⊗ 𝒂 = 𝛼 ⊗ (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛)

= (𝛼 ⊗ 𝑎1, 𝛼 ⊗ 𝑎2, … , 𝛼 ⊗ 𝑎𝑛)

𝒂 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛 disebut vektor pada ℝ𝑚𝑎𝑥.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 54: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

41

Definisi 3.6 Dua vektor 𝒂 dan 𝒃 di ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛 dikatakan sama jika elemen-elemen

yang bersesuaian sama.

Selanjutnya vektor 𝒂 di ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛 ditulis sebagai vektor kolom, yaitu suatu

vektor yang dihasilkan dengan mentranspose vektor 𝒂.

2. Matriks di ℝ𝒎𝒂𝒙

Dalam aljabar linear, untuk ℝ adalah himpunan semua bilangan real,

dapat dibentuk suatu matriks 𝐴 berukuran 𝑚 × 𝑛 yang entri-entrinya adalah

elemen-elemen di ℝ. Demikian juga dalam ℝ𝑚𝑎𝑥 dapat dibentuk suatu matriks 𝐴

berukuran 𝑚 × 𝑛 dengan entri-entrinya adalah elemen di ℝ𝑚𝑎𝑥 . Selanjutnya

matriks yang dijelaskan adalah matriks di ℝ𝑚𝑎𝑥 .

Himpunan matriks 𝑚 × 𝑛 untuk 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ dengan ℕ adalah himpunan

semua bilangan asli dinotasikan dengan ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑛. Sedangkan untuk 𝑚 = 𝑛 matriks

A di atas didefinisikan sebagai matriks persegi. Himpunan matriks 𝑛 × 𝑛 untuk

n ℕ dengan ℕ adalah himpunan semua bilangan asli dinotasikan dengan ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 .

Selanjutnya akan dijelaskan tentang operasi matriks. Pada Bagian A dan

Bagian B telah dijelaskan tentang operasi ⊕ dan ⊗ pada ℝ𝑚𝑎𝑥 . Kedua operasi

tersebut dapat diperluas untuk operasi matriks. Seperti pada matriks real, operasi

matriks atas ℝ𝑚𝑎𝑥 juga memiliki tiga operasi dasar. Dalam definisi berikut

dijelaskan tiga operasi matriks di ℝ𝑚𝑎𝑥.

Definisi 3.7 Diberikan ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑛 ≔ {𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]|𝑎𝑖𝑗 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥}, untuk 𝑖 = 1,… ,𝑚 dan

untuk 𝑗 = 1,… , 𝑛. Diketahui 𝛼 ∈ ℝ dan 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑛.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 55: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

42

Secara berturut-turut didefinisikan 𝛼 ⊗ 𝐴 dan 𝐴⊕ 𝐵 adalah matriks yang unsur

ke-𝑖𝑗-nya adalah

(𝛼 ⊗ 𝐴)𝑖𝑗 = 𝛼⊗ 𝑎𝑖𝑗 dan (𝐴⊕ 𝐵)𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗⊕𝑏𝑖𝑗

untuk 𝑖 = 1,… ,𝑚 dan untuk 𝑗 = 1,… , 𝑛.

Diketahui matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑝

dan 𝐵 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑝×𝑛

.

Didefinisikan 𝐴⊗ 𝐵 adalah matriks yang unsur ke-𝑖𝑗-nya adalah

(𝐴⊗ 𝐵 )𝑖𝑗 = ⊕𝑘=1𝑝 𝑎𝑖𝑘⊗𝑏𝑘𝑗

untuk 𝑖 = 1,… ,𝑚 dan untuk 𝑗 = 1,… , 𝑛.

Setelah definisi operasi matriks di atas, selanjutnya diberikan contoh cara

mengoperasikan matriks.

Contoh 3.4. Perhatikan operasi matriks berikut

4⊗ [1 𝜀2 −20.5 3

] = [4⊗ 1 4⊗ 𝜀4⊗ 2 4⊗−24⊗ 0.5 4⊗ 3

] = [4 + 1 4 + 𝜀4 + 2 4 + −24 + 0.5 4 + 3

] = [5 𝜀6 24.5 7

]

[2 0 54 1 36 𝜀 8

] ⊕ [6 3 𝜀2 0 74 7 5

] = [2⊕ 6 0⊕ 3 5⊕ 𝜀4⊕ 2 1⊕ 0 3⊕ 76⊕ 4 𝜀 ⊕ 7 8⊕ 5

]

=[max(2,6) max(0,3) max(5, 𝜀)

max(4,2) max(1,0) max(3,7)

max(6,4) max(𝜀, 7) max(8,5)]

= [6 3 54 1 76 7 8

]

[2 3 21 0 4

]⊗ [2 31 11 2

] = [2⊗ 2⊕ 3⊗ 1⊕ 2⊗ 1 2⊗ 3⊕ 3⊗ 1⊕ 2⊗ 21⊗ 2⊕ 0⊗ 1⊕ 4⊗ 1 1⊗ 3⊕ 0⊗ 1⊕ 4⊗ 2

]

= [4⊕ 4⊕ 3 5⊕ 4⊕ 43⊕ 1⊕ 5 4⊕ 1⊕ 6

]

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 56: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

43

= [max(4,4,3) max(5,4,4)

max(3,1,5) max(4,1,6)]

= [4 55 6

]

Berdasarkan definisi operasi matriks di atas, selanjutnya akan dijelaskan

sifat-sifat operasi matriks.

Teorema 3.8 Pernyataan-pernyataan berikut berlaku untuk sebarang skalar

𝛼, 𝛽 ∈ ℝ, dengan ℝ adalah himpunan semua bilangan real dan sebarang matriks

𝐴, 𝐵, 𝐶 asalkan operasi yang dimaksud terdefinisi.

1. (𝐴⊕ 𝐵)⊕ 𝐶 = 𝐴⊕ (𝐵⊕ 𝐶)

2. 𝐴⊕𝐵 = 𝐵⊕ 𝐴

3. (𝐴⊗ 𝐵)⊗ 𝐶 = 𝐴⊗ (𝐵⊗ 𝐶)

4. 𝐴⊗ (𝐵⊕ 𝐶) = (𝐴⊗ 𝐵)⊕ (𝐴⊗ 𝐶)

5. (𝐴⊕ 𝐵)⊗ 𝐶 = (𝐴⊗ 𝐶)⊕ (𝐵 ⊗ 𝐶)

6. 𝛼 ⊗ 𝐴 = 𝐴⊗ 𝛼

7. 𝛼 ⊗ (𝛽 ⊗ 𝐴) = (𝛼 ⊗ 𝛽)⊗ 𝐴

8. 𝛼 ⊗ (𝐴⊗ 𝐵) = (𝛼 ⊗ 𝐴)⊗ 𝐵 = 𝐴⊗ (𝛼 ⊗𝐵)

9. (𝛼 ⊕ 𝛽)⊗ 𝐴 = (𝛼 ⊗ 𝐴)⊕ (𝛽 ⊗ 𝐴)

10. 𝛼 ⊗ (𝐴⊕ 𝐵) = (𝛼 ⊗ 𝐴)⊕ (𝛼 ⊗𝐵)

11. 𝐴⊕ 𝐴 = 𝐴

Bukti

Akan dibuktikan bahwa:

1. (𝐴⊕ 𝐵)⊕ 𝐶 = 𝐴⊕ (𝐵⊕ 𝐶)

Ambil sebarang matriks 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑛.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 57: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

44

Untuk setiap elemen baris ke-𝑖 dan kolom ke- 𝑗 matriks (𝐴⊕ 𝐵)⊕ 𝐶 berlaku

((𝐴⊕ 𝐵)⊕ 𝐶)𝑖𝑗= (𝑎𝑖𝑗⊕𝑏𝑖𝑗) ⊕ 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗⊕𝑏𝑖𝑗⊕ 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗⊕ (𝑏𝑖𝑗⊕ 𝑐𝑖𝑗)

= (𝐴⊕ (𝐵⊕ 𝐶))𝑖𝑗; untuk 𝑖 ∈ 𝑚 dan 𝑗 ∈ 𝑛

Jadi terbukti bahwa (𝐴⊕ 𝐵)⊕ 𝐶 = 𝐴⊕ (𝐵⊕ 𝐶)

2. 𝐴⊕𝐵 = 𝐵⊕ 𝐴

Ambil sebarang matriks 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑛.

Untuk setiap elemen baris ke- 𝑖 dan kolom ke- 𝑗 matriks 𝐴⊕𝐵 berlaku

( 𝐴 ⊕ 𝐵)𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗⊕𝑏𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗⊕𝑎𝑖𝑗 = (𝐵 ⊕ 𝐴)𝑖𝑗; untuk 𝑖 ∈ 𝑚 dan 𝑗 ∈ 𝑛

Jadi terbukti bahwa 𝐴⊕𝐵 = 𝐵⊕ 𝐴

3. (𝐴⊗ 𝐵)⊗ 𝐶 = 𝐴⊗ (𝐵⊗ 𝐶)

Ambil sebarang matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑝

, 𝐵 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑝×𝑟

dan 𝐶 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑟×𝑛 .

Untuk setiap elemen baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 matriks (𝐴⊗ 𝐵)⊗ 𝐶 berlaku

((𝐴⊗ 𝐵)⊗ 𝐶)𝑖𝑗= ⊕𝑘=1

𝑞 (⊕𝑙=1𝑝 𝑎𝑖𝑙⊗𝑏𝑙𝑘) ⊗ 𝑐𝑘𝑗

= ⊕𝑘=1𝑞 ⊕𝑙=1

𝑝 𝑎𝑖𝑙⊗𝑏𝑙𝑘⊗ 𝑐𝑘𝑗

= ⊕𝑙=1𝑞 𝑎𝑖𝑙⊗ (⊕𝑘=1

𝑝 ⊗𝑏𝑙𝑘⊗ 𝑐𝑘𝑗)

= (𝐴⊗ (𝐵 ⊗ 𝐶))𝑖𝑗; untuk 𝑖 ∈ 𝑚 dan 𝑗 ∈ 𝑛

Jadi terbukti bahwa (𝐴⊗ 𝐵)⊗ 𝐶 = 𝐴⊗ (𝐵⊗ 𝐶).

4. 𝐴⊗ (𝐵⊕ 𝐶) = (𝐴⊗ 𝐵)⊕ (𝐴⊗ 𝐶)

Ambil sebarang matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑝

dan 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑝×𝑛

.

Untuk setiap elemen baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 matriks 𝐴⊗ (𝐵 ⊕ 𝐶) berlaku

(𝐴⊗ (𝐵 ⊕ 𝐶))𝑖𝑗= ⊕𝑘=1

𝑝 𝑎𝑖𝑘⊗(𝑏𝑘𝑗⊕ 𝑐𝑘𝑗)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 58: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

45

= ⊕𝑘=1𝑝 (𝑎𝑖𝑘⊗𝑏𝑘𝑗⊕𝑎𝑖𝑘⊗𝑐𝑘𝑗)

= ( ⊕𝑘=1𝑝 𝑎𝑖𝑘⊗𝑏𝑘𝑗) ⊕ ( ⊕𝑘=1

𝑝 𝑎𝑖𝑘⊗𝑐𝑘𝑗)

= (𝐴⊗𝐵)𝑖𝑗⊕ (𝐴⊗ 𝐶)𝑖𝑗; untuk 𝑖 ∈ 𝑚 dan 𝑗 ∈ 𝑛

Jadi terbukti bahwa 𝐴⊗ (𝐵⊕ 𝐶) = (𝐴⊗ 𝐵)⊕ (𝐴⊗ 𝐶)

5. (𝐴⊕ 𝐵)⊗ 𝐶 = (𝐴⊗ 𝐶)⊕ (𝐵 ⊗ 𝐶)

Ambil sebarang matriks 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑝

, 𝐶 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑝×𝑛

.

Untuk setiap elemen baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 matriks (𝐴⊕ 𝐵)⊗ 𝐶 berlaku

((𝐴⊕ 𝐵)⊗ 𝐶)𝑖𝑗=⊕𝑘=1

𝑝 (𝑎𝑖𝑘⊕𝑏𝑖𝑘) ⊗ 𝑐𝑘𝑗 =⊕𝑘=1𝑝 (𝑎𝑖𝑘⊗ 𝑐𝑘𝑗⊕𝑏𝑖𝑘⊗𝑐𝑘𝑗)

= ( ⊕𝑘=1𝑝 𝑎𝑖𝑘⊗𝑐𝑘𝑗) ⊕ ( ⊕𝑘=1

𝑝 𝑏𝑖𝑘⊗ 𝑐𝑘𝑗)

= (𝐴⊗ 𝐶)𝑖𝑗⊕ (𝐵⊗ 𝐶)𝑖𝑗; untuk 𝑖 ∈ 𝑚 dan 𝑗 ∈ 𝑛

Jadi terbukti bahwa (𝐴⊕ 𝐵)⊗ 𝐶 = (𝐴⊗ 𝐶)⊕ (𝐵 ⊗ 𝐶)

6. 𝛼 ⊗ 𝐴 = 𝐴⊗ 𝛼

Ambil sebarang skalar 𝛼 ∈ ℝ dan ambil sebarang matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑛.

Untuk setiap elemen baris ke- 𝑖 dan kolom ke-𝑗 matriks 𝛼 ⊗ 𝐴 berlaku

(𝛼 ⊗ 𝐴)𝑖𝑗 = 𝛼⊗ 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗⊗𝛼 = (𝐴⊗ 𝛼)𝑖𝑗; untuk 𝑖 ∈ 𝑚 dan 𝑗 ∈ 𝑛.

Jadi terbukti bahwa 𝛼 ⊗ 𝐴 = 𝐴⊗ 𝛼

7. 𝛼 ⊗ (𝛽 ⊗ 𝐴) = (𝛼 ⊗ 𝛽)⊗ 𝐴

Ambil sebarang skalar 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ dan ambil sebarang matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑛.

Untuk setiap elemen baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 matriks 𝛽 ⊗ 𝐴

berlaku (𝛽 ⊗ 𝐴)𝑖𝑗 = 𝛽⊗ 𝑎𝑖𝑗 maka

𝛼 ⊗ (𝛽 ⊗ 𝐴)𝑖𝑗 = 𝛼⊗ 𝛽⊗ 𝑎𝑖𝑗 = (𝛼 ⊗ 𝛽)⊗ 𝑎𝑖𝑗 = (𝛼 ⊗ 𝛽)⊗ 𝐴; untuk 𝑖 ∈ 𝑚

dan 𝑗 ∈ 𝑛. Jadi terbukti bahwa .AA

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 59: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

46

8. 𝛼 ⊗ (𝐴⊗ 𝐵) = (𝛼 ⊗ 𝐴)⊗ 𝐵 = 𝐴⊗ (𝛼 ⊗𝐵)

Ambil sebarang skalar 𝛼 ∈ ℝ dan ambil sebarang matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑝

dan matriks

𝐵 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑝×𝑛

. Untuk setiap elemen baris ke- 𝑖 dan kolom ke- 𝑗 matriks 𝐴⊗𝐵

berlaku (𝐴⊗ 𝐵 )𝑖𝑗 = ⊕𝑘=1𝑝 𝑎𝑖𝑘⊗𝑏𝑘𝑗 maka

𝛼 ⊗ (𝐴⊗ 𝐵 )𝑖𝑗 = 𝛼 ⊗ (⊕𝑘=1𝑝 𝑎𝑖𝑘⊗𝑏𝑘𝑗) = ⊕𝑘=1

𝑝 (𝛼 ⊗ 𝑎𝑖𝑘⊗𝑏𝑘𝑗)

= ⊕𝑘=1𝑝 (𝛼 ⊗ 𝑎𝑖𝑘) ⊗ 𝑏𝑘𝑗 = ⊕𝑘=1

𝑝 (𝑎𝑖𝑘⊗𝛼)⊗ 𝑏𝑘𝑗

= ⊕𝑘=1𝑝 𝑎𝑖𝑘⊗(𝛼 ⊕ 𝑏𝑘𝑗); untuk 𝑖 ∈ 𝑚 dan 𝑗 ∈ 𝑛.

Jadi terbukti bahwa 𝛼 ⊗ (𝐴⊗ 𝐵) = (𝛼 ⊗ 𝐴)⊗ 𝐵 = 𝐴⊗ (𝛼 ⊗𝐵)

9. (𝛼 ⊕ 𝛽)⊗ 𝐴 = (𝛼 ⊗ 𝐴)⊕ (𝛽 ⊗ 𝐴)

Ambil sebarang skalar , ℝ dan ambil sebarang matriks A ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑛.

Misalkan 𝛼 ⊕ 𝛽 = 𝜃, untuk setiap elemen baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 matriks

𝜃 ⊗ 𝐴 berlaku

(𝜃 ⊗ 𝐴)𝑖𝑗 = 𝜃 ⊗ 𝑎𝑖𝑗 = (𝛼 ⊕ 𝛽)⊗ 𝑎𝑖𝑗

= (𝛼 ⊗ 𝑎𝑖𝑗) ⊕ (𝛽 ⊗ 𝑎𝑖𝑗) = (𝛼 ⊗ 𝐴)𝑖𝑗⊕ (𝛽⊗ 𝐴)𝑖𝑗;

untuk 𝑖 ∈ 𝑚 dan 𝑗 ∈ 𝑛. Jadi terbukti bahwa AAA

10. 𝛼 ⊗ (𝐴⊕ 𝐵) = (𝛼 ⊗ 𝐴)⊕ (𝛼 ⊗𝐵)

Ambil sebarang skalar 𝛼 ∈ ℝ dan matriks 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑛. Untuk setiap elemen

baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 matriks BA berlaku (𝐴⊕ 𝐵)𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗⊕𝑏𝑖𝑗 maka

𝛼 ⊗ (𝐴⊕ 𝐵)𝑖𝑗 = 𝛼 ⊗ (𝑎𝑖𝑗⊕𝑏𝑖𝑗) = (𝛼 ⊗ 𝑎𝑖𝑗) ⊕ 𝛼 ⊗ 𝑏𝑖𝑗

= (𝛼 ⊗ 𝐴)𝑖𝑗⊕ (𝛼 ⊗𝐵)𝑖𝑗; untuk 𝑖 ∈ 𝑚 dan 𝑗 ∈ 𝑛.

Jadi terbukti bahwa 𝛼 ⊗ (𝐴⊕ 𝐵) = (𝛼 ⊗ 𝐴)⊕ (𝛼 ⊗ 𝐵)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 60: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

47

11. 𝐴⊕𝐴 = 𝐴

Ambil sebarang matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑛.

Untuk setiap elemen baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 matriks 𝐴⊕𝐴 berlaku

(𝐴⊕ 𝐴)𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗⊕𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 = 𝐴; untuk 𝑖 ∈ 𝑚 dan 𝑗 ∈ 𝑛.

Jadi terbukti bahwa 𝐴⊕𝐴 = 𝐴 ∎

Berdasarkan Teorema 3.8 dapat disimpulkan bahwa sifat komutatif

operasi matriks hanya berlaku untuk operasi ⊕ tetapi tidak berlaku untuk operasi

⊗. Berikut ini diberikan contoh yang menyatakan sifat komutatif dalam operasi

matriks di ℝ𝑚𝑎𝑥 .

Contoh 3.5 Diketahui matriks 𝐴 = [2 3𝑒 4

] dan matriks 𝐵 = [3 5−1 4

]

𝐴⊕𝐵 = [2 3𝑒 4

] ⊕ [3 5−1 4

] = [max(2, 3) max(3, 5)

max(𝑒, −1) max(4,4)] = [

3 5𝑒 4

]

𝐵 ⊕𝐴 = [3 5−1 4

] ⊕ [2 3𝑒 4

] = [max(3,2 ) max(5,3) max(−1, 𝑒) max(4,4)

] = [3 5𝑒 4

]

Jadi 𝐴⊕𝐵 = 𝐵⊕ 𝐴.

𝐴⊗𝐵 = [2 3𝑒 4

] ⊗ [3 5−1 4

] = [2⊗ 3⊕ 3⊗ (−1) 2⊗ 5⊕ 3⊗ 4𝑒 ⊗ 3⊕ 4⊗ (−1) 𝑒 ⊗ 5⊕ 4⊗ 4

]

= [max(5,2) max(7,7)

max(3,3) max(5,8)] = [

5 73 8

]

𝐵 ⊗𝐴 = [3 5−1 4

] ⊗ [2 3𝑒 4

] = [3⊗ 2⊕ 5⊗ 𝑒 3⊗ 3⊕ 5⊗ 4−1⊗ 2⊕ 4⊗ 𝑒 −1⊗ 3⊕ 4⊗ 4

]

= [max(5,5) max(6,9)

max(1,4) max(2,8)] = [

5 94 8

]

Jadi terbukti bahwa 𝐴⊗𝐵 ≠ 𝐵⊗ 𝐴.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 61: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

48

Selanjutnya akan dijelaskan tentang transpose matriks dan beberapa tipe

matriks.

Definisi 3.9

1. Transpose dari matriks dinotasikan dengan 𝐴𝑇 . Dalam ℝ𝑚𝑎𝑥 𝐴𝑇 didefinisikan

sama dengan matriks transpose dalam aljabar biasa, yaitu [𝐴𝑇]𝑖𝑗 = [𝐴]𝑗𝑖

2. Matriks identitas 𝑛 × 𝑛, 𝐸𝑛 didefinisikan [𝐸𝑛]𝑖𝑗 = {0 jika 𝑖 = 𝑗𝜀 jika 𝑖 ≠ 𝑗

3. Matriks 𝜀 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑛 didefinisikan [𝜀]𝑖𝑗 = 𝜀 untuk setiap baris ke-𝑖 dan kolom

ke-𝑗.

Setelah dijelaskan tiga operasi dalam matriks dan sifat-sifat operasinya,

selanjutnya akan dijelaskan operasi pangkat matriks.

Definisi 3.10 Untuk matriks persegi berukuran nn dan untuk k sebarang

bilangan bulat positif, pangkat ke-𝑘 dari matriks 𝐴 didefinisikan

𝐴⊗𝑘 = 𝐴⊗𝐴⊗𝑘−1 dan untuk 𝑘 = 0, 𝐴⊗0 = 𝐸𝑛 .

Berdasarkan Definisi 3.10 di atas maka unsur ke-𝑠𝑡 matriks berpangkat

dapat dijelaskan sebagai berikut:

Unsur ke-𝑠𝑡 matriks 𝐴⊗2 adalah

(𝐴⊗2)𝑠𝑡= (𝐴⊗𝐴)𝑠𝑡 = (𝑎𝑠1⊗𝑎1𝑡) ⊕ (𝑎𝑠2⊗𝑎2𝑡) ⊕ …⊕ (𝑎𝑠𝑛⊗𝑎𝑛𝑡)

=⊕𝑖1=1𝑛

(𝑎𝑠,𝑖1⊗𝑎𝑖1,𝑡) = max1≤i1≤n(𝑎𝑠,𝑖1 + 𝑎𝑖1,𝑡)

Unsur ke-𝑠𝑡 matriks 𝐴⊗3 adalah

(𝐴⊗3)𝑠𝑡= (𝐴⊗ 𝐴⊗2)

𝑠𝑡= ⊕𝑖2=1

𝑛 (𝑎𝑠,𝑖2 (⊕𝑖1=1𝑛 (𝑎𝑖2,𝑖1⊗𝑎𝑖1,𝑡)))

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 62: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

49

= ⊕𝑖2=1𝑛

(⊕𝑖1=1𝑛

(𝑎𝑠,𝑖2⊗𝑎𝑖2,𝑖1⊗𝑎𝑖1,𝑡))

= max1≤𝑖1,𝑖2≤𝑛(𝑎𝑠,𝑖2 + 𝑎𝑖2𝑖1 + 𝑎𝑖1,𝑡)

Secara umum, unsur ke-𝑠𝑡 matriks 𝐴⊗𝑘 adalah

(𝐴⊗𝑘)𝑠𝑡= ⊕𝑖𝑘−1=1

𝑛 (𝑎𝑠,𝑖𝑘−1 …(⊕𝑖1=1𝑛 (𝑎𝑖2,𝑖1⊗𝑎𝑖1,𝑡)))

= ⊕𝑖2=1𝑛 …(⊕𝑖1=1

𝑛 (𝑎𝑠,𝑖𝑘−1 ⊗…⊗𝑎𝑖2,𝑖1⊗𝑎𝑖1,𝑡))

= max1≤i1,i2,…,ik−1≤n (𝑎𝑠,𝑖𝑘−1 +⋯+ 𝑎𝑖2,𝑖1 + 𝑎𝑖1,𝑡)

Berdasarkan persamaan terakhir, untuk sebarang skalar 𝛼 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 dan 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛

unsur ke-𝑠𝑡 matriks (𝛼 ⊕ 𝐴)⊗𝑘 adalah

((𝛼 ⊕ 𝐴)⊗𝑘)𝑠𝑡= max1≤i1,i2,…,ik−1≤n (𝛼 + 𝑎𝑠,𝑖𝑘−1 +⋯+ (𝛼 + 𝑎𝑖2𝑖1) + (𝛼 + 𝑎𝑖1,𝑡))

k

... + max1≤i1,i2,…,ik−1≤n (𝑎𝑠,𝑖𝑘−1 +⋯+ 𝑎𝑖2𝑖1 + 𝑎𝑖1,𝑡)

= 𝛼⊗𝑘⊗ (𝐴⊗𝑘)𝑠𝑡

; untuk 𝑘 = 1, 2, …. .

Oleh karena itu untuk sebarang 𝛼 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 dan 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 berlaku bahwa

(𝛼 ⊕ 𝐴)⊗𝑘 = 𝛼⊗𝑘⊗ 𝐴⊗𝑘; untuk 𝑘 = 1, 2, ….

Untuk sebarang 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 didefinisikan trace 𝐴 ≔⊕𝑖=1

𝑛 𝑎𝑖𝑖.

Contoh 3.6 Misalkan 𝐴 = [1 3 −2𝜀 2 4𝜀 0 𝜀

]

𝐴⊗2 = 𝐴⊗𝐴 = [1 3 −2𝜀 2 4𝜀 0 𝜀

] ⊗ [1 3 −2𝜀 2 4𝜀 0 𝜀

] = [2 5 7𝜀 4 6𝜀 2 4

]

𝐴⊗3 = 𝐴⊗2⊗𝐴 = [2 5 7𝜀 4 6𝜀 2 4

] ⊗ [1 3 −2𝜀 2 4𝜀 0 𝜀

] = [3 7 9𝜀 6 8𝜀 4 6

]

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 63: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

50

trace 𝐴 = max(1,2, 𝜀) = 2; trace 𝐴⊗2 = max(2,4,4) = 4 dan

trace 𝐴⊗3 = max(3,6,6) = 6

Selanjutnya akan dijelaskan konsep urutan parsial dan urutan total dalam

ℝ𝑚𝑎𝑥

Definisi 3.11 Relasi ≼ pada suatu himpunan 𝑃 disebut urutan parsial pada 𝑃 jika

∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑃 memenuhi

1. 𝑎 ≼ 𝑎 (sifat refleksif).

2. Jika 𝑎 ≼ 𝑏 dan 𝑏 ≼ 𝑎 maka 𝑎 = 𝑏 (sifat antisimetri).

3. Jika 𝑎 ≼ 𝑏 dan 𝑏 ≼ 𝑐 maka 𝑎 ≼ 𝑐 (sifat transitif).

Selanjutnya bila berlaku 𝑎 ≼ 𝑏 atau 𝑏 ≼ 𝑎 maka 𝑎 dan 𝑏 dikatakan

comparable. Bila setiap dua elemen dari 𝑃 dapat dibandingkan maka urutan

parsial ≼ disebut urutan total. Berikut ini diberikan teorema yang berkaitan

dengan pengertian urutan parsial pada suatu semigrup komutatif idempoten.

Teorema 3.12 Diberikan suatu semigrup komutatif idempoten (𝑆, +). Bila pada

𝑆 didefinisikan suatu relasi ≼ oleh 𝑎 ≼ 𝑏 ⟺ 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 maka relasi ≼ adalah

urutan parsial pada .S

Bukti

Diambil sebarang 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑆 maka

1. Karena S idempoten maka 𝑎 + 𝑎 = 𝑎 ⟺ 𝑎 ≤ 𝑎

2. Jika 𝑎 ≼ 𝑏 dan 𝑏 ≼ 𝑎 maka 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 dan 𝑏 + 𝑎 = 𝑎. Karena S komutatif

maka 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 = 𝑎. Jadi 𝑎 = 𝑏

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 64: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

51

3. Jika 𝑎 ≼ 𝑏 dan 𝑏 ≼ 𝑐 maka 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 dan 𝑏 + 𝑐 = 𝑐. Karena 𝑆 mempunyai

sifat assosiatif maka 𝑎 + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐 = 𝑐. Jadi

𝑎 ≤ 𝑐 ∎

Contoh 3.7 Dalam ℝ𝑚𝑎𝑥 relasi ≼𝑚𝑎𝑥 yang didefinisikan sebagai

𝑎 ≼𝑚𝑎𝑥 𝑏 ⟺ 𝑎⊕ 𝑏 = 𝑏

adalah urutan parsial sebab (ℝ𝒎𝒂𝒙,⊕) adalah semigrup komutatif idempoten

disertai dengan relasi 𝑎 ≼𝑚𝑎𝑥 𝑏 ⟺ 𝑎⊕ 𝑏 = 𝑏. Selanjutnya ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ𝒎𝒂𝒙

berlaku

𝑎 ⊕ 𝑏 = max(𝑎, 𝑏) = 𝑏 ⟺ 𝑎 ≼𝑚𝑎𝑥 𝑏 atau

𝑎 ⊕ 𝑏 = max(𝑎, 𝑏) = 𝑎 ⟺ 𝑏 ≼𝑚𝑎𝑥 𝑎

Jadi relasi ≼𝑚𝑎𝑥 terurut total.

Contoh 3.8 Dalam ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑛 relasi ≼𝑚𝑎𝑥 yang didefinisikan sebagai

𝐴 ≼𝑚𝑎𝑥 𝐵 ⟺ 𝐴⊕𝐵 ⟺ 𝑎𝑖𝑗⊕𝑏𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 ⟺ 𝑎𝑖𝑗 ≼𝑚𝑎𝑥 𝑏𝑖𝑗, ∀𝑖 ∈ 𝑚, ∀𝑗 ∈ 𝑛.

adalah urutan parsial sebab (ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑛,⊕) adalah semigrup komutatif idempoten

disertai dengan relasi ≼𝑚𝑎𝑥 di atas; dan berdasarkan Teorema 3.12 maka relasi

≼𝑚𝑎𝑥 pada ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑛 adalah urutan parsial. Urutan parsial ini bukan urutan total,

karena untuk dua matriks 𝐴 dan matriks 𝐵 masing-masing berukuran 22 seperti

dibawah ini 𝐴 = [1 23 4

] , 𝐵 = [0 34 1

]

𝐴 ⊕ 𝐵 = [1 23 4

] ⊕ [0 34 1

] = [1 34 4

] terlihat bahwa 𝐴⊕ 𝐵 ≠ 𝐵 dan

𝐵 ⊕𝐴 ≠ 𝐴.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 65: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

52

Teorema 3.13 Misalkan matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑛 . Bila vektor 𝒙, 𝒚ℝ𝑚𝑎𝑥

𝑛 dengan

𝒙 ≼𝑚𝑎𝑥 𝒚 maka 𝐴⊗ 𝒙 ≼𝑚𝑎𝑥 𝐴⊗ 𝒚.

Bukti

Untuk sebarang elemen 𝒙, 𝒚ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛 dengan 𝒙 ≼𝑚𝑎𝑥 𝒚 berlaku, maka

𝒙⊕ 𝒚𝒚 ⟺ 𝐴⊗ (𝒙⊕ 𝒚) = 𝐴⊗ 𝒚

⟺ (𝐴⊗ 𝒙)⊕ (𝑨⊗ 𝒚) = 𝐴⊗ 𝒚

⟺ 𝐴⊗𝒙 ≼𝑚𝑎𝑥 𝐴⊗ 𝒚. ∎

Contoh 3.9 Diberikan matriks 𝐴 = [1 23 4

]dan vektor 𝒙 = [56] , 𝒚 = [

78]. Jelas

bahwa 𝒙 ≼𝑚𝑎𝑥 𝒚 dan 𝐴⊗ 𝒙 = [1 23 4

]⊗ [56] = [

810]

𝐴⊗ 𝒚 = [1 23 4

] ⊗ [78] = [

1012].

Terlihat bahwa 𝑨⊗ 𝒙 ≼𝒎𝒂𝒙 𝑨⊗ 𝒚.

E. Matriks dan Graf di ℝ𝒎𝒂𝒙

Pada bagian ini dijelaskan tentang hubungan matriks dan graf dalam

ℝ𝑚𝑎𝑥. Namun sebelumnya akan dijelaskan secara singkat konsep dasar mengenai

teori graf. Penjelasan pada bagian ini dirangkum dari Bacelli (2001), Heidergott,

dkk (2006), West (2001), Farlow (2009), Andersen (2002).

1. Konsep Dasar Graf

Pada bagian ini akan dijelaskan konsep graf secara umum yang mencakup

definisi graf, graf berarah dan graf berbobot serta graf berarah berbobot, lintasan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 66: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

53

dan sirkuit dalam graf dan graf yang terhubung kuat. Penjelasan dimulai dengan

mendefinisikan graf secara umum.

Definisi 3.14 Suatu graf 𝒢 didefinisikan sebagai pasangan himpunan (𝒩,𝒟)

dengan 𝒩 adalah himpunan berhingga tak kosong yang anggota-anggotanya

disebut simpul (atau titik) dan 𝒟 adalah himpunan pasangan (tak terurut) titik-

titik yang anggota-anggotanya disebut busur (atau rusuk).

Contoh 3.10 Perhatikan graf 𝒢1 di bawah ini

Gambar 3.1 Graf secara umum

Graf pada Gambar 3.1 adalah graf 𝒢1=(𝒩1, 𝐷1) dengan himpunan simpul adalah

𝒩1 = {1, 2, 3} dan himpunan busurnya adalah 𝒟1 yaitu (1,2), (1,3), (2,3).

Setelah didefinisikan graf secara umum, selanjutnya akan didefinisikan

graf berarah dan graf berbobot.

Definisi 3.15 Suatu graf berarah 𝒢 adalah pasangan (𝒩,𝒟), dengan 𝒩 adalah

himpunan simpul (atau titik) dan 𝒟 adalah himpunan pasangan terurut dari

simpul-simpul. Anggota himpunan 𝒟 disebut busur; dan untuk busur (𝑖, 𝑗) ∈ 𝒟, 𝑖

disebut titik awal busur dan 𝑗 disebut titik akhir busur. Suatu loop adalah busur

(𝑖, 𝑖) ∈ 𝒟.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 67: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

54

Definisi 3.15 menjelaskan bahwa graf berarah 𝒢 adalah graf yang setiap

busurnya mempunyai arah. Dengan demikian kata terurut dalam Definisi 3.15

mengandung arti bahwa busur 𝑖, 𝑗 dan busur 𝑗, 𝑖

merupakan dua busur yang

berbeda. Jika (𝑖, 𝑗) ∈ 𝒟 maka dikatakan bahwa 𝒢 memuat satu busur dari 𝑖 ke 𝑗,

sehingga busur (𝑖, 𝑗) dikatakan mempunyai satu busur masuk ke 𝑗 dan satu busur

keluar dari 𝑖. Oleh karena itu, busur (𝑖, 𝑗) ∈ 𝒟 secara geometri dinyatakan dengan

suatu anak panah yang arahnya dari 𝑖 ke 𝑗 . Berikut ini diberikan contoh graf

berarah.

Contoh 3.11 Perhatikan graf 𝒢2 berikut

Gambar 3.2 Graf berarah

Graf pada Gambar 3.2 di atas adalah graf berarah 𝒢2=(𝒩2, 𝐷2) dengan

𝒩2 = {1, 2, 3} dan𝒟2 = {(1,2), (1,3), (2,3)}. Perbedaan antara Contoh 3.10 dan

Contoh 3.11 terletak pada anggota-anggota himpunan 𝒟2 yang dinyatakan

sebagai pasangan terurut. Elemen pertama pada setiap pasangan terurut pada

anggota himpunan 𝒟2 dalam Contoh 3.11 menyatakan titik awal busur sedangkan

elemen keduanya menyatakan titik akhir busur.

Berdasarkan Definisi 3.14 dan Definisi 3.15 serta Contoh 3.10 dan

Contoh 3.11 dapat dijelaskan cara menggambar suatu graf sebagai berikut: jika

suatu graf dinyatakan dalam gambar, simpul dinyatakan sebuah noktah (lingkaran

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 68: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

55

kecil) dengan label yang berfungsi sebagai nama simpul; rusuk dinyatakan

sebagai ruas garis yang menghubungkan noktah-noktah; sedangkan busur

dinyatakan sebagai ruas garis berarah yang menghubungkan noktah-noktah yang

bersesuaian, dengan titik awal busur dan titik akhir busur ditentukan oleh arah

anak panah.

Sesudah mendefinisikan graf berarah, selanjutnya akan didefinisikan graf

berbobot.

Definisi 3.16 Graf berbobot 𝒢 adalah graf yang memiliki bobot pada setiap rusuk

atau busurnya. Bobot setiap rusuk atau busur dinotasikan dengan 𝑤(𝑗, 𝑖) ∈ ℝ.

Selanjutnya, akan diberikan contoh graf dengan bobot pada masing-

masing rusuknya.

Contoh 3.12 Perhatikan graf 𝒢3 berikut ini

Gambar 3.3 Graf Berbobot 𝒢3

Graf pada Gambar 3.3 merupakan graf berbobot 𝒢3=(𝒩3, 𝐷3) dengan

𝒩3 = {1, 2, 3} dan 𝒟3 = (1,2), (1,3), (2,3) sedangkan bobot-bobot dari setiap

rusuknya dinyatakan dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ untuk setiap rusuk yang bersesuaian.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 69: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

56

Berdasarkan Definisi 3.15 dan Definisi 3.16 berikut ini akan didefinisikan

graf berarah berbobot.

Definisi 3.17 Suatu graf berarah 𝒢 disebut berbobot jika bobot 𝑤(𝑗, 𝑖) ∈ ℝ dapat

dihubungkan dengan setiap busur (𝑗, 𝑖) ∈ 𝒟.

Menurut Definisi 3.17 suatu graf berarah 𝒢 disebut berbobot jika setiap

busur (𝑗, 𝑖) ∈ 𝒟 dapat dipasangkan dengan suatu bilangan real yang merupakan

bobot busur (𝑗, 𝑖). Bobot busur (𝑗, 𝑖) adalah nilai dari 𝑎𝑖𝑗 yang dinotasikan

𝑤(𝑗, 𝑖) = 𝑎𝑖𝑗. Dengan demikian, suatu busur dari titik j ke titik i ada bila

𝑎𝑖𝑗 ≠ 𝜀. Oleh karena itu, busur (𝑗, 𝑖) ∈ 𝒟 dalam graf berarah berbobot secara

geometri dinyatakan dengan suatu anak panah yang arahnya dari 𝑖 ke 𝑗 dan

mempunyai bobot 𝑤(𝑗, 𝑖) = 𝑎𝑖𝑗 ≠ 𝜀. Untuk lebih jelas, perhatikan contoh berikut

ini.

Contoh 3.13 Perhatikan graf 𝒢4 berikut ini

Gambar 3.4 Graf berarah berbobot 𝒢4

Graf pada Gambar 3.4 merupakan graf berarah berbobot 𝒢4=(𝒩4, 𝐷4) dengan

𝒩4 = {1, 2, 3} dan 𝒟4 = {(1,2), (1,3), (2,3)} bobot untuk setiap busurnya adalah

𝑤(2,1) = 𝑎; 𝑤(3,2) = 𝑏;𝑤(1,3) = 𝑐.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 70: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

57

Setelah didefinisikan graf berarah, graf berbobot dan graf berarah

berbobot selanjutnya akan didefinisikan graf terhubung kuat. Namun sebelumnya

akan dijelaskan definisi lintasan dalam graf dan beberapa konsep yang

berhubungan dengan lintasan yang berguna untuk mendefinisikan graf terhubung

kuat.

Defenisi 3.18 Diberikan suatu graf berarah 𝒢 (𝒩,𝒟), dengan 𝒩 = {1,… , 𝑛}.

Lintasan 𝜌 dari 𝑖 ke 𝑗 adalah barisan berhingga busur (𝑖1, 𝑖2), (𝑖2, 𝑖3), … , (𝑖𝑙−1, 𝑖𝑙)

dengan (𝑖𝑘, 𝑖𝑘+1) ∈ 𝒟 dan 𝑘 = 1, 2, … , 𝑙 − 1.

Himpunan busur yang dijelaskan pada Definisi 3.18 dapat

direpresentasikan dengan 𝑖1 → 𝑖2 →. . .→ 𝑖𝑙. Simpul 𝑖1 disebut sebagai simpul

awal sedangkan simpul 𝑖𝑙 disebut sebagai simpul akhir. Suatu lintasan disebut

lintasan elementer jika tidak ada simpul yang muncul dua kali (Baceli dkk, 2001).

Selanjutnya didefinisikan panjang lintasan, bobot lintasan, dan bobot rata-

rata lintasan.

Definisi 3.19 Untuk suatu lintasan 𝜌 pada suatu graf berarah berbobot 𝒢, panjang

lintasan 𝜌 adalah banyaknya busur pada lintasan tersebut. Panjang lintasan 𝜌

dinotasikan dengan |𝜌|𝑙.

Definisi 3.20 Misalkan 𝜌 = (𝑖1, 𝑖2, … , 𝑖𝑝) adalah lintasan dari simpul 𝑖1 ke simpul

𝑖𝑝 pada graf berarah berbobot 𝒢 dengan panjang 𝑙. Bobot lintasan 𝜌 adalah hasil

penjumlahan bobot setiap busur pada lintasan tersebut. Bobot lintasan 𝜌

dinotasikan dengan |𝜌|𝑤 (Bacelli dkk, 2001).

Menurut Definisi 3.20 dapat ditulis rumus menentukan bobot lintasan adalah

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 71: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

58

|𝜌|𝑤 = 𝑤(𝑖1𝑖2) + 𝑤(𝑖2𝑖3) + ⋯+ 𝑤(𝑖𝑙−1𝑖𝑙) = 𝑎𝑖2,𝑖1 + 𝑎𝑖3,𝑖2 +⋯+ 𝑎𝑖𝑙,𝑖𝑙−1

Definisi 3.21 Bobot rata-rata suatu lintasan didefinisikan sebagai bobot

lintasan |𝜌|𝑤 dibagi dengan panjang lintasan |𝜌|𝑙 . Bobot rata-rata suatu lintasan

dinotasikan dengan |�̅�|𝑙.

Dari Definisi 3.21 dapat ditulis rumus menentukan bobot rata-rata lintasan

adalah

|�̅�|𝑙 =|𝜌|𝑤|𝜌|𝑙

Setelah dijelaskan konsep tentang lintasan, selanjutnya akan diberikan

contoh cara menentukan suatu lintasan dan cara menghitung panjang lintasan dan

bobot lintasan serta bobot rata-rata lintasan.

Contoh 3.14 Perhatikan graf 𝒢5 berikut ini

Gambar 3.5 Graf berarah berbobot 𝒢5

Perhatikan barisan busur berikut:

𝜌1: 1 → 2 → 5;

𝜌2: 1 → 2 → 3 → 4 → 5;

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 72: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

59

𝜌3: 2 → 3 → 1 → 4 → 5 → 1

Himpunan busur 𝜌1, 𝜌2, 𝜌3, adalah lintasan. Dari ketiga lintasan tersebut 𝜌1,

𝜌2, disebut lintasan elementer karena setiap simpulnya muncul sekali;

sedangkan 𝜌3 bukan lintasan elementer karena terdapat simpul yang muncul

lebih dari sekali, yaitu simpul 1. Selanjutnya Lintasan 𝜌1 mempunyai jumlah

busur sebanyak 2; jumlah busur pada lintasan 𝜌2 adalah 4 dan lintasan 𝜌3

mempunyai busur sebanyak 5. Oleh karena itu berdasarkan Definisi 3.19,

panjang lintasan |𝜌1|𝑙 = 2; panjang lintasan |𝜌2|𝑙 = 4 dan panjang lintasan

|𝜌3|𝑙 = 5. Berdasarkan Definisi 3.20, bobot 𝜌1, 𝜌2, 𝜌3, diberikan oleh:

|𝜌1|𝑤 = 𝑎21 + 𝑎52 = 8 + 15 = 23

|𝜌2|𝑤 = 𝑎21 + 𝑎32 + 𝑎43 + 𝑎54 = 8 + 11 + 7 + 9 = 33

|𝜌3|𝑤 = 𝑎32 + 𝑎13 + 𝑎41 + 𝑎54 + 𝑎15 = 11 + 12 + 6 + 9 + 8 = 46

Berdasarkan Definisi 3.21, bobot rata-rata lintasan diberikan oleh

|𝜌1̅̅ ̅|𝑙 =|𝜌1|𝑤|𝜌1|𝑙

=23

2; |𝜌2̅̅ ̅|𝑙 =

|𝜌2|𝑤|𝜌2|𝑙

=33

4; |𝜌3̅̅ ̅|𝑙 =

|𝜌3|𝑤|𝜌3|𝑙

=46

5.

Selanjutnya akan dijelaskan tentang sirkuit. Sirkuit adalah lintasan

tertutup, yaitu barisan busur (𝑖1, 𝑖2), (𝑖2, 𝑖3), … , (𝑖𝑙−1, 𝑖1). Dengan demikian sirkuit

adalah suatu lintasan yang memiliki simpul awal dan simpul akhir yang sama.

Sirkuit elementer adalah lintasan elementer yang memiliki simpul awal dan

simpul akhir yang sama; atau dengan cara yang lain dapat dikatakan bahwa

sirkuit elementer adalah sirkuit yang simpul-simpulnya muncul tidak lebih dari

sekali, kecuali simpul awal yang muncul tepat dua kali. Cara menghitung

panjang, bobot dan bobot rata-rata suatu sirkuit sama dengan cara menghitung

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 73: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

60

panjang, bobot dan bobot rata-rata pada suatu lintasan yang dijelaskan pada

Definisi 3.19, Definisi 3.20 dan Definisi 3.21. Berikut ini akan diberikan contoh

graf yang mempunyai sirkuit.

Contoh 3.15 Perhatikan graf 𝒢6 berikut ini

Gambar 3.6 Graf berarah dengan lintasanya

Barisan busur yang direpresentasikan oleh 2 → 1 → 1 → 2 → 3 adalah

lintasan pada 𝒢6, tetapi bukan sirkuit; lintasan 3 → 1 → 1 → 2 → 3 adalah sirkuit

karena simpul awal dan simpul akhir busur berada pada simpul yang sama, yaitu

simpul 3. Sedangkan lintasan 1 → 2 → 3 → 1 disebut sirkuit elementer karena

masing-masing simpul hanya muncul satu kali, kecuali simpul satu yang menjadi

titik awalnya yang muncul dua kali.

Pada Definisi 3.18 telah dijelaskan tentang definisi lintasan, selanjutnya

akan diberikan definisi suatu graf berdasarkan lintasan pada simpul-simpulnya.

Definisi 3.22 suatu graf berarah 𝒢 (𝒩,𝒟), dengan 𝒩 = {1,… , 𝑛} adalah

terhubung kuat jika untuk setiap 𝑖, 𝑗 ∈ 𝒩, 𝑖 ≠ 𝑗 terdapat suatu lintasan dari 𝑖

ke 𝑗.

Selanjutnya diberikan contoh graf terhubung kuat dan graf tak terhubung

kuat.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 74: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

61

Contoh 3.16 Perhatikan dua graf berikut

Gambar 3.7a Graf berarah berbobot 𝓖𝟕 yang mempunyai sirkuit

Gambar 3.7b Graf berarah berbobot 𝓖𝟖 tanpa sirkuit.

Pada Gambar 3.7a diberikan graf berarah berbobot 𝒢7. Pada graf 𝒢7 terdapat

lima sirkuit yang direpresentasikan oleh 1 → 1; 1 → 3 → 1; 2 → 3 → 2; 2 → 2;

dan 3 → 3. Akibatnya, pada graf 𝒢7 untuk setiap simpul yang berbeda dapat

dibentuk sebuah lintasan, graf 𝒢7 adalah grap berarah berbobot yang terhubung

kuat. Sedangkan pada Gambar 3.7b diberikan juga graf berarah berbobot 𝒢8;

namun pada graf 𝒢8 tidak memuat satupun sirkuit. Akibatnya untuk setiap simpul

yang berbeda tidak dapat dibentuk suatu lintasan, graf 𝒢8 adalah graf berarah

berbobot tak terhubung kuat.

Setelah membahas konsep tentang graf secara umum, selanjutnya akan

dijelaskan hubungan antara matriks dan graf diℝ𝑚𝑎𝑥 .

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 75: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

62

2. Matriks dan Graf di ℝ𝒎𝒂𝒙

Pada Bagian D telah dijelaskan tentang matriks atas ℝ𝑚𝑎𝑥; dan Bagian E

sub bagian pertama telah dijelaskan konsep graf secara umum. Pada bagian ini

akan dijelaskan hubungan antara matriks dengan graf berarah berbobot yang

terhubung kuat di ℝ𝑚𝑎𝑥 . Penjelasan tentang topik ini diawali dengan definisi

suatu graf yang merupakan representasi dari suatu matriks dalam ℝ𝑚𝑎𝑥 , yaitu

graf perseden

Definisi 3.23 Diberikan 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 . Graf preseden dari A adalah graf berarah

berbobot 𝒢(𝐴) = (𝒩,𝐷), 𝒩 = {1,… , 𝑛} dan 𝐷 = {(𝑗, 𝑖)|𝑤(𝑖, 𝑗) = 𝑎𝑖𝑗 ≠ 𝜀}.

Berdasarkan Definisi 3.23 berikut ini akan diberikan contoh graf preseden

yang direpresentasikan oleh sutau matriks 𝐴

Contoh 3.17 Diberikan matriks

22

12

211

122

A

Diberikan matriks 𝐴 ukuran 4 × 4 Graf preseden matriks A merupakan graf

berarah berbobot 𝒢(𝐴) = (𝒩, 𝐷) dengan himpunan simpul 𝒩 = {1,2,3,4} dan

busur 𝐷 = {(2,1), (3,1), (4,1), (1,2), (3,2), (4,2), (2,3), (3,3), (3,4), (4,4)}.

Gambar 3.8 Graf Preseden dari matriks 𝐴 pada Contoh 3.17

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 76: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

63

Perhatikan sebaliknya bahwa untuk setiap graf berarah berbobot 𝒢 = (𝒩,𝐷)

selalu dapat didefinisikan suatu matriks A ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 dengan

),,( ijwaij

jika

jika

D

D

,

,

ij

ij

Selanjutnya, konsep lintasan dan sirkuit pada graf preseden yang

dijelaskan pada Definisi 2.23 sama dengan konsep lintasan yang sudah dijelaskan

pada Definisi 3.18 sampai Definisi 3.21. Oleh karena itu, dengan menggunakan

definisi operasi yang berlaku dalam ℝ𝑚𝑎𝑥, maka dapat ditentukan panjang, bobot

dan bobot rata-rata suatu lintasan atau sirkuit sebagai berikut:

bobot lintasan 𝜌 adalah

|𝜌|𝑤 = 𝑤(𝑖1𝑖2) ⊗𝑤(𝑖2𝑖3) ⊗ …⊗𝑤(𝑖𝑙−1𝑖𝑙)

sedangkan bobot rata-rata lintasan

|�̅�|𝑙 =|𝜌|𝑤|𝜌|𝑙

Setelah dijelaskan tentang definisi graf preseden 𝒢(𝐴). Selanjutnya akan

diberikan contoh menentukan suatu lintasan dan menghitung panjang lintasan,

bobot dan bobot rata-rata lintasan dari graf preseden 𝒢(𝐴). .

Contoh 3.18 Diambil graf pada Contoh 3.17. Perhatikan himpunan busur berikut:

𝜌1: 3 → 4 → 2 → 1

𝜌2: 1 → 2 → 3 → 4 → 1;

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 77: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

64

Himpunan busur pada 𝜌1 membentuk lintasan. Sedangkan himpunan busur pada

𝜌2 membentuk sirkuit. Panjang lintasan |𝜌1|𝑙 = 3; dan |𝜌2|𝑙 = 4. Bobot lintasan

|𝜌1|𝑤 = 𝑤(4,3) ⊗ 𝑤(2,4) ⊗ 𝑤(1,2) = 6

|𝜌2|𝑤 = 𝑤(2, 1) ⊗ 𝑤(3,2) ⊗ 𝑤(4,3) ⊗ 𝑤(1,4) = 6.

Bobot rata-rata lintasan |𝜌1̅̅ ̅|𝑙 =|𝜌1|𝑤

|𝜌1|𝑙= 2; |𝜌2̅̅ ̅|𝑙 =

|𝜌2|𝑤

|𝜌2|𝑙=3

2.

Selanjutnya dijelaskan hubungan antara elemen ke-𝑠𝑡 matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛

berpangkat 𝑘 dengan bobot lintasan dari simpul 𝑡 ke 𝑠 pada graf preseden 𝒢(𝐴).

Misalkan 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 dan 𝒢(𝐴) adalah graf preseden dari matriks .A Berdasarkan

persamaan umum operasi pangkat matriks maka

(𝐴⊗𝑘)𝑠𝑡= max1≤i1,i2,…,ik−1≤n (𝑎𝑠,𝑖𝑘−1 +⋯+ 𝑎𝑖2𝑖1 + 𝑎𝑖1,𝑡)

= max1≤i1,i2,…,ik−1≤n (𝑎𝑖1,𝑡 +⋯+ 𝑎𝑖2𝑖1 + 𝑎𝑠𝑖𝑘−1); untuk setiap ji, .

Diketahui bahwa (𝑎𝑖1,𝑡 +⋯+ 𝑎𝑖2𝑖1 + 𝑎𝑠𝑖𝑘−1) merupakan bobot lintasan dengan

panjang 𝑘 dan 𝑡 adalah titik awal serta 𝑠 adalah titik akhirnya di 𝒢(𝐴). Dengan

demikian (𝐴⊗𝑘)𝑠𝑡

adalah bobot maksimum setiap lintasan dalam graf 𝒢(𝐴)

dengan panjang 𝑘; dan 𝑡 sebagai titik awal serta 𝑠 sebagai titik akhirnya. Tetapi

jika dalam graf 𝒢(𝐴) tidak terdapat lintasan dengan panjang 𝑘 dari simpul 𝑡 ke 𝑠

maka bobot maksimum didefinisikan sama dengan . Untuk lebih jelasnya dapat

diperhatikan dalam contoh berikut.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 78: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

65

Contoh 3.19 Misalkan matriks 𝐴 = [2 𝑒 12 4 𝜀𝜀 2 𝑒

] graf preseden 𝒢(𝐴) dari matriks

𝐴 adalah

Gambar 3.9 Graf preseden matriks A pada Contoh 3.19

Bobot maksimum semua lintasan di 𝒢(𝐴) dengan panjang 𝑘 = 3 ditentukan oleh

elemen-elemen 𝐴⊗3 yaitu 𝐴⊗3 = [6 8 510 12 78 10 5

]

Dari matriks di atas diperoleh (𝐴⊗3)31= 8. Oleh karena itu bobot maksimum

semua lintasan di 𝒢(𝐴) dengan panjang 3 yang berawal dari simpul 1 dan

berakhir di simpul 3 adalah 8. Dari graf preseden terlihat bahwa lintasan yang

dimaksud adalah 1 → 2 → 2 → 3. Bobot lintasannya adalah

|𝜌|𝑤 = 𝑤(2, 1) ⊗ 𝑤(2,2)⊗ 𝑤(3,2) = 8

Selanjutnya akan dijelaskan bobot rata-rata maksimum untuk sirkuit

elementer, dengan maksimum diambil atas semua sirkuit elementer dalam graf.

Misalkan terdapat matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 dan 𝒢(𝐴) = (𝒩,𝒟) adalah graf preseden

dari matriks 𝐴. Bobot maksimum dari semua sirkuit yang mempunyai panjang 𝑘

dengan simpul 𝑖 adalah simpul awal dan simpul akhir di 𝒢(𝐴) dapat dinyatakan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 79: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

66

dengan (𝐴⊗𝑘)𝑖𝑖. Oleh karena itu, maksimum dari bobot maksimum semua sirkuit

dengan panjang 𝑘 dan simpul 𝑖 sebagai simpul awal dan simpul akhir dalam 𝒢(𝐴)

atas seluruh simpul 𝑖 adalah ⊕𝑖=1𝑛 (𝐴⊗𝑘)

𝑖𝑖= trace (𝐴⊗𝑘) dan rata-ratanya adalah

1

𝑘 trace (𝐴⊗𝑘).

Selanjutnya diambil maksimum atas sirkuit dengan panjang nk , yaitu

semua sirkuit elementer, diperoleh suatu rumus untuk bobot rata-rata maksimum

sirkuit elementer dalam 𝒢(𝐴) (yang dinotasikan dengan 𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴)) adalah

𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴) =⊕𝑘=1𝑛 (

1

𝑘 trace(𝐴⊗𝑘)). Suatu sirkuit dalam graf 𝒢 yang mempunyai

bobot rata-rata sama dengan bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer disebut

sirkuit kritis. Suatu graf 𝒢 yang terdiri dari semua sirkuit kritis disebut graf kritis

dari 𝒢 dan dinotasikan dengan 𝒢𝑐 .

Contoh 3.20 Misal matriks 𝐴 = [−2 3 11 1 𝜀𝜀 2 1

]

Graf preseden 𝒢(𝐴) adalah

Gambar 3.10 Graf preseden untuk matriks A pada Contoh 3.20

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 80: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

67

Dari matriks A dan graf presedennya akan ditentukan bobot rata-rata maksimum

sirkuit elementer Amax . Berdasarkan Definisi 3.10 diperoleh bahwa

𝐴⊗2 = [4 4 22 4 23 3 2

] dan 𝐴⊗3 = [5 7 55 5 34 6 4

];

maka diperoleh bahwa trace (𝐴) = 1; trace( 𝐴⊗2) = 4; dan trace (𝐴⊗3) = 5.

Dengan demikian bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer adalah

𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴) =⊕𝑘=1𝑛 (

1

𝑘 trace(𝐴⊗𝑘)) = max(

1

1(1),

1

2(4),

1

3(5)) = 2

Berdasarkan hasil𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴) = 2, sirkuit kritis pada graf preseden 𝒢(𝐴) adalah

1 → 2 → 1 dan 2 → 1 → 2 . Maka Graf kritis 𝒢𝑐(𝐴) dari sirkuit kritis adalah

Gambar 3.11 Graf Kritis

Teorema 3.24 Misalkan matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 . Jika semua sirkuit dalam 𝒢(𝐴)

mempunyai bobot tidak positif, maka

(∀𝑝 ≥ 𝑛), 𝐴⊗𝑝 ≼𝑚 𝐸 ⊕𝐴⊕…⊕𝐴⨂𝑛−1.

Bukti

Karena banyak titik dalam 𝒢(𝐴) adalah 𝑛 maka semua lintasan dengan panjang

𝑝 ≥ 𝑛 tersusun dari 𝑘 sirkuit dengan jumlah panjang seluruh sirkuit kurang dari 𝑝

dan satu lintasan dengan panjang kurang dari 𝑛. Hal ini berarti ∀𝑝 ≥ 𝑛 dan

∀𝑠, 𝑡 ∈ {1,… , 𝑛}, ∃𝑟 ∈ {1,… , 𝑛}maka (𝐴⊗𝑝)𝑠𝑡= (𝐴⊗𝑙)

𝑠𝑡+ ∑ (𝐴⊗𝑚𝑖)

𝑟𝑖𝑟𝑖;𝑘

𝑖 dengan

0 ≤ 𝑙 ≤ 𝑛 − 1; 1 ≤ 𝑚𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑟𝑖 ≤ 𝑛 dan 𝑘 = 1, 2, 3, …

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 81: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

68

Karena semua sirkuit mempunyai bobot tidak positif maka ∀𝑝 ≥ 𝑛 dan untuk

setiap ∀𝑠, 𝑡 ∈ {1, … , 𝑛} berlaku (𝐴⊗𝑝)𝑠𝑡≤ (𝐴⊗𝑙)

𝑠𝑡dengan 0 ≤ 𝑙 ≤ 𝑛 − 1.

Akibatnya (∀𝑝 ≥ 𝑛), 𝐴⊗𝑝 ≼𝑚 𝐴⊕…⊕𝐴⊗𝑛−1.

Karena 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 berlaku 𝐸 ⊕ 𝐴 ≼𝑚 A

maka ∀𝑝 ≥ 𝑛,𝐴⊗𝑝 ≼𝑚 𝐸 ⊕ 𝐴⊕…⊕𝐴⊗𝑛−1 ∎

Berdasarkan Teorema 3.24 di atas, dapat didefinisikan operasi ∗ untuk

matriks berikut:

Definisi 3.25 Jika 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 dengan semua sirkuit dalam 𝒢(𝐴) mempunyai bobot

tidak positif, maka didefinisikan

𝐴∗ = 𝐸 ⊕𝐴⊕…⊕𝐴⊗𝑛⊕𝐴⊗𝑛+1⊕… dan 𝐴+ = 𝐴⊗ 𝐴∗.

Selanjutnya akan dijelaskan matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 yang mempunyai graf

preseden terhubung kuat.

Definisi 3.26 Suatu matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 adalah iredusibel jika graf presedennya

terhubung kuat.

Teorema 3.27 Suatu matriks A ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 dikatakan iredusibel jika dan hanya jika

(𝐴⊕ 𝐴⊗2⊕…⊕𝐴⊗𝑛−1)𝑖𝑗≠ 𝜀; untuk setiap 𝑖, 𝑗 dengan 𝑖 ≠ 𝑗.

Bukti

Definisi 3.26 menjelaskan bahwa jika A iredusibel maka 𝒢(𝐴) = (𝒩,𝒟)

dengan 𝒩 = {1,… , 𝑛} terhubung kuat, yaitu untuk setiap 𝑖, 𝑗 ∈ 𝒩 terdapat suatu

lintasan dari 𝑖 ke 𝑗. Dengan demikian untuk 𝑖, 𝑗 ∈ 𝒩, 𝑖 ≠ 𝑗 terdapat 𝑘 dengan

1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1 sehingga (𝐴⊗𝑘)𝑖𝑗≠ 𝜀.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 82: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

69

Akibatnya (𝐴⊕ 𝐴⊗2⊕…⊕𝐴𝑛−1)𝑖𝑗≠ 𝜀; untuk setiap 𝑖, 𝑗 dengan 𝑖 ≠ 𝑗.

Jika (𝐴 ⊕ 𝐴⊗2⊕…⊕𝐴⊗𝑛−1)𝑖𝑗≠ 𝜀, untuk setiap 𝑖, 𝑗 dengan 𝑖 ≠ 𝑗, terdapat

𝑘 dengan 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1 sehingga (𝐴⊗𝑘)𝑖𝑗≠ 𝜀. Hal ini berarti bahwa graf

preseden 𝒢(𝐴) = (𝒩,𝒟) dengan 𝒩 = {1, … , 𝑛}, untuk setiap 𝑖, 𝑗 ∈ 𝒩, 𝑖 ≠ 𝑗

terdapat suatu lintasan dari 𝑖 ke 𝑗. Akibatnya graf 𝒢(𝐴) terhubung kuat yang

berarti juga bahwa matriks A iredusibel. ∎

Selanjutnya akan diberikan contoh cara menentukan matriks iredusibel

Contoh 3.21 Misalkan terdapat matriks 𝐴 pada Contoh 3.20 matriks 𝐴 tersebut

adalah iredusibel karena

𝐴⊕ 𝐴⊗2 = [−2 3 11 1 𝜀𝜀 2 1

] ⊕ [4 4 22 4 23 3 2

] = [4 4 22 4 23 3 2

]

yang berarti (𝐴 ⊕ 𝐴⊗2)𝑖𝑗≠ 𝜀. Oleh karena itu pada Gambar 3.10 ditunjukkan

bahwa untuk sebarang dua titik 𝑖, 𝑗 dengan 𝑖 ≠ 𝑗 dalam 𝒢(𝐴) terdapat lintasan

dari 𝑖 ke 𝑗.

Contoh 3.22 Misalkan terdapat matriks 𝐴 = [1 3 −2𝜀 2 4𝜀 0 𝜀

]

Dari matriks 𝐴 di atas diperoleh 𝐴⊗2 = [1 5 7𝜀 4 6𝜀 2 4

]; dengan demikian

𝐴⊕𝐴⊗2 = [1 3 −2𝜀 2 4𝜀 0 𝜀

] ⊕ [1 5 7𝜀 4 6𝜀 2 4

] = [1 5 7𝜀 4 6𝜀 2 4

] ; (𝐴 ⊕ 𝐴⊗2)21= 𝜀 dan

(𝐴⊕ 𝐴⊗2)31= 𝜀.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 83: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

70

Jadi matriks 𝐴 tidak iredusibel. Graf perseden 𝒢(𝐴) menunjukkan juga bahwa

tidak ada lintasan yang menghubungkan simpul 1 ke 2 dan simpul 1 ke simpul

.3

Gambar 3.12 Graf dari Matriks A yang tidak iredusibel

F. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks di ℝ𝒎𝒂𝒙

Seperti pada matriks real, pada matriks di ℝ𝑚𝑎𝑥 dapat juga dipelajari

konsep tentang nilai eigen dan vektor eigen. Oleh karena itu, pada bagian ini akan

dijelaskan konsep nilai eigen dan vektor eigen di ℝ𝑚𝑎𝑥 serta cara

menentukannya.

Definisi 3.28 Misalkan 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 . Skalar 𝜆 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 disebut nilai eigen ℝ𝑚𝑎𝑥

matriks 𝐴 jika terdapat suatu 𝒙 𝜺; 𝒙 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛 sedemikian sehingga 𝐴⊗ 𝒙 =

𝜆⊗ 𝒙. Vektor 𝒙 tersebut adalah vektor eigen matriks 𝐴 di ℝ𝑚𝑎𝑥 yang

bersesuaian dengan 𝜆 (Scutter, 1996).

Sesudah didefinisikan nilai eigen dan vektor eigen dalam Definisi 3.28,

berikut ini akan dijelaskan dua teorema yang memberikan eksistensi nilai eigen

dan vektor eigen serta syarat perlu nilai eigen pada suatu matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 .

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 84: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

71

Teorema 3.29 Misalkan 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 . Jika 𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴) adalah bobot rata-rata

maksimum sirkuit elementer di 𝒢(𝐴) , maka 𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴) adalah suatu nilai eigen

matriks 𝐴 di ℝ𝑚𝑎𝑥.

Bukti

Didefinisikan matriks 𝐵 = −𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴)⊗ 𝐴

𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐵) =⊕𝑘=1𝑛 (

1

𝑘 trace(𝐵⊗𝑘))

=⊕𝑘=1𝑛 (

1

𝑘 trace((−𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴)⊗ 𝐴)⊗𝑘))

=⊕𝑘=1𝑛 (

1

𝑘 trace ((−𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴))

⊗𝑘⊗ 𝐴⊗𝑘))

=⊕𝑘=1𝑛 (

1

𝑘((−𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴))

⊗𝑘)⊗ trace(𝐴⊗𝑘))

= ⊕𝑘=1𝑛 ((−𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴))⊗ (𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴)))

=⊕𝑘=1𝑛 (0) = 0

akibatnya 𝒢(𝐵) tidak mempunyai sirkuit dengan bobot positif. Menurut Teorema

3.24, 𝐵∗ = 𝐸 ⊕𝐵⊕…⊕𝐵⊗𝑛−1 dan 𝐵+ = 𝐵⊕𝐵⊗2⊕…⊕𝐵⊗𝑛 Karena

𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐵) = 0 maka terdapat 𝑘 ∈ ℕ , 𝑘 ≤ 𝑛 dan suatu 𝑠 ∈ {1,… , 𝑛 } sehingga

(𝐵⊗𝑘)𝑠𝑠= 0. Akibatnya komponen ke- 𝑠 dari 𝐵.𝑠

+ (kolom ke- 𝑠 matriks 𝐵+ )

adalah (𝐵⊗𝑘)𝑠𝑠= 0. Hal ini berarti bahwa 𝐵.𝑠

+ ≠ 𝜀𝑛×1. Di sisi lain menurut

Definisi 3.25, 𝐵+ = 𝐵⊗𝐵∗ dan 𝐵∗ = 𝐸 ⊕𝐵+.

Karena (𝐸)𝑠𝑠 = 0 maka 𝐵.𝑠+ = 𝐵.𝑠

∗ . Akibatnya 𝐵.𝑠+ = 𝐵⊗ 𝐵.𝑠

∗ = 𝐵.𝑠∗ atau

(−𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴)⊗ 𝐴)⊗ 𝐵.𝑠∗ = 𝐵.𝑠

∗ atau 𝐴⊗ 𝐵.𝑠∗ = 𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴)⊗ 𝐵.𝑠

∗ . Jadi 𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 85: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

72

adalah nilai eigen matriks 𝐴 di ℝ𝑚𝑎𝑥 dan 𝐵.𝑠∗ adalah vektor eigen yang

bersesuaian dengan 𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴). ∎

Contoh 3.23 Misalkan terdapat matriks pada Contoh 3.20 dengan 𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴) = 2

Maka dapat ditentukan matriks 𝐵, yaitu:

𝐵 = −𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴)⊗ 𝐴 = −2⊗ [−2 3 11 1 𝜀𝜀 2 1

] = [−4 1 −1−1 −1 𝜀𝜀 0 −1

].

Selanjutnya dihitung

𝐵⊗2 = [0 0 −2−2 0 −2−1 −1 −2

], sehingga diperoleh

𝐵∗ = 𝐸 ⊕𝐵⊕𝐵⊗2 = [0 𝜀 𝜀𝜀 0 3𝜀 𝜀 0

] ⊕ [−4 1 −1−1 −1 𝜀𝜀 0 −1

]⊕ [0 0 −2−2 0 −2−1 −1 −2

]

= [0 1 −1−1 0 −2−1 0 0

]

Karena sirkuit 121 adalah sirkuit kritis pada 𝒢(𝐴) maka kolom pertama dan

kolom kedua dari matriks 𝐵∗ adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai

eigen 𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴) = 2 seperti ditunjukkan pada penjelasan di bawah ini

[−2 3 11 1 𝜀𝜀 2 1

] ⊗ [0−1−1] = [

211] = 2⊗ [

0−1−1] dan

[−2 3 11 1 𝜀𝜀 2 1

] ⊗ [100] = [

322] = 2⊗ [

100].

Teorema 3.30 Misalkan 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 . Jika 𝜆 ∈ ℝ adalah nilai eigen matriks 𝐴 di

ℝ𝑚𝑎𝑥 , maka 𝜆 merupakan bobot rata-rata suatu sirkuit dalam 𝒢(𝐴).

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 86: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

73

Bukti

Misalkan 𝜆 adalah nilai eigen ℝ𝑚𝑎𝑥 matriks 𝐴 maka untuk setiap 𝑖 ∈ {1, … , 𝑛}

berlaku ( A 𝒙 )𝑖= ( 𝒙 )

𝑖 dengan 𝒙 ≠ 𝜺𝒏×𝟏. Akibatnya terdapat suatu

indeks 𝑖1, 𝑖2 sehingga 𝑎𝑖1,𝑖2⊗𝑥𝑖2 = 𝜆⊗ 𝑥𝑖1 dengan 𝑥𝑖1 ≠ 𝜀. Karena 𝜆 ≠ 𝜀 dan

𝑥𝑖1 ≠ 𝜀 maka 𝑥𝑖2 ≠ 𝜀 dan 𝑎𝑖1,𝑖2 ≠ 𝜀. Karena 𝑥𝑖2 ≠ 𝜀 maka terdapat suatu indeks

𝑖3 sedemikian sehingga 𝑎𝑖2,𝑖3⊗𝑥𝑖3 = 𝜆⊗ 𝑥𝑖2 . Karena 𝜆 ≠ 𝜀 dan 𝑥𝑖2 ≠ 𝜀 maka

𝑥𝑖3 ≠ 𝜀 dan 𝑎𝑖2,𝑖3 ≠ 𝜀. Demikian seterusnya dengan cara yang sama di atas, akan

diperoleh suatu barisan {𝑖𝑗} sehingga 𝑎𝑖𝑗−1,𝑖𝑗⊗𝑥𝑖𝑗 = 𝜆⊗ 𝑥𝑖𝑗−1 dengan 𝑥𝑖𝑗 ≠ 𝜀

dan 𝑎𝑖𝑗−1,𝑖𝑗 ≠ 𝜀 untuk 𝑗 = 1, 2, … . Karena banyak titik dalam 𝒢(𝐴) berhingga,

terdapat suatu 𝑗 dan 𝑙, sehingga 𝑖𝑗 = 𝑖𝑙. Akibatnya diperoleh sirkuit 𝜌. Misalkan

adalah (𝑖𝑙, 𝑖𝑚), … , (𝑖𝑙+2, 𝑖𝑙+1), (𝑖𝑙+1, 𝑖𝑙) maka diperoleh

(𝐴𝑖𝑙,𝑖𝑙+1 ⊗𝑥𝑖𝑙+1) ⊗ …⊗ (𝐴𝑖𝑚,𝑖𝑙 ⊗𝑥𝑖𝑙) = (𝜆 ⊗ 𝑥𝑖𝑙) ⊗ …⊗ (𝜆⊗ 𝑥𝑖𝑚)

Karena operasi ⊗ di ℝ𝑚𝑎𝑥 bersifat komutatif maka diperoleh

mlllmllmll iii

lm

iiiiiii xxxxxxAA

.........111

1

,,

atau (𝐴𝑖𝑙,𝑖𝑙+1 ⊗…⊗𝐴𝑖𝑚,𝑖𝑙) = 𝜆𝑚−1+1 atau 𝜆 =

(𝐴𝑖𝑙,𝑖𝑙+1⊗…⊗𝐴𝑖𝑚,𝑖𝑙)

𝑚−1+1.

Hal ini berarti bahwa 𝜆 adalah bobot rata-rata sirkuit 𝜌. ∎

Dari penjelasan Teorema 3.29 dan Teorema 3.30 dapat disimpulkan bahwa untuk

A ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 , Amax adalah nilai eigen ℝ𝑚𝑎𝑥.

Selanjutnya dijelaskan teorema yang berkaitan dengan karakteristik

matriks 𝐴 yang memiliki nilai eigen bernilai 𝜀.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 87: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

74

Teorema 3.31 Matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 mempunyai suatu nilai eigen sama dengan 𝜀

jika dan hanya jika terdapat kolom pada matriks 𝐴 yang semua elemennya sama

dengan 𝜀.

Bukti:

Misalkan 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 dengan nilai eigen sama dengan 𝜀; 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗; untuk 𝑖 =

1, … , 𝑛 dan 𝑗 = 1, … , 𝑛; 𝒙 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 dan 𝒙 adalah vektor eigen yang bersesuaian

dengan 𝜀 ; 𝑥𝑖 adalah komponen baris ke-𝑖 dari 𝒙 dengan 𝑖 = 1,… , 𝑛 ; (𝐴⊗ 𝑥)𝑖

adalah komponen baris ke-𝑖 dari 𝐴⊗ 𝒙 dengan 𝑖 = 1,… , 𝑛; dan (𝜀 ⊗ 𝑥)𝑖 adalah

komponen baris ke-𝑖 dari 𝜀 ⊗ 𝒙 dengan 𝑖 = 1,… , 𝑛.

⟹ Akan ditunjukkan bahwa matriks 𝐴 mempunyai kolom dengan semua

elemennya adalah 𝜀

Diketahui bahwa 𝜀 adalah nilai eigen dari matriks 𝐴.

Jadi berlaku 𝐴⊗ 𝒙 =𝜀 ⊗ 𝒙 sedemikian sehingga

(𝐴⊗ 𝒙 )𝑖 = (𝜀 ⊗ 𝒙 )𝑖

= 𝜀 ⊗ 𝑥𝑖

= 𝜀

Karena 𝒙 𝜺 maka vektor eigen memuat paling sedikit satu komponen di 𝒙 yang

tidak sama dengan 𝜀. Andaikan 𝑥𝑐 ≠ 𝜀 dengan 1 ≤ 𝑐 ≤ 𝑛.

Didefinisikan bahwa

(𝐴⊗ 𝑥)𝑖 =⊕𝑗=1𝑛 (𝑎𝑖𝑗⊗𝑥𝑗) = 𝑚𝑎𝑥1≤𝑗≤𝑛(𝑎𝑗 + 𝑥𝑗)

=𝑚𝑎𝑥1≤𝑗≤𝑛(𝑎𝑖1 + 𝑥1, 𝑎𝑖2 + 𝑥2, … , 𝑎𝑖𝑐 + 𝑥𝑐, … , 𝑎𝑖𝑛 + 𝑥𝑛)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 88: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

75

Karena 𝑥𝑐 ≠ 𝜀 dan 𝑥𝑖 = 𝜀 untuk 𝑖 ≠ 𝑐 sehingga harus 𝑎𝑖𝑐 = 𝜀. Karena 𝑎𝑖𝑐

adalah elemen baris ke-𝑖 kolom ke-𝑐 matriks 𝐴 untuk 𝑖 = 1,… , 𝑛 maka 𝑎𝑖𝑐 adalah

elemen kolom ke-𝑐 matriks 𝐴 yang seluruh elemennya 𝜀.

Misalkan matriks 𝐴 mempunyai satu kolom yang semua elemennya 𝜀, yaitu

kolom 𝑐 sedemikian sehingga 𝑎𝑖𝑐 = 𝜀 untuk 𝑖 = 1,… , 𝑛.

Akan ditunjukkan nilai eigen 𝜆 dari matriks 𝐴 sama dengan 𝜀.

Berdasarkan Definisi 3.28 bahwa 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝜆 ⊗ 𝒙 sedemikian sehingga elemen-

elemen yang bersesuaian sama

( 𝐴 ⊗ 𝒙)𝑖 = ( 𝜆 ⊗ 𝒙)𝑖

⊕𝑗=1𝑛 (𝑎𝑖𝑗⊗𝑥𝑗) = 𝜆 ⊗ 𝑥𝑖

Karena 𝒙 ≠ 𝜺 maka vektor eigen memuat paling sedikit satu elemen yang tidak

sama dengan 𝜀 . Ambil sebarang 𝑥𝑐 ∈ 𝒙 𝑥𝑐 ≠ 𝜀 untuk 𝑖 = 𝑐. Oleh karena itu

persamaan terakhir di atas dapat ditulis

⊕𝑗=1𝑛 (𝑎𝑖𝑗⊗𝑥𝑗) = 𝜆 ⊗ 𝑥𝑐

𝑚𝑎𝑥1≤𝑗≤𝑛(𝑎𝑐𝑗⊗𝑥𝑗) = 𝜆⊗ 𝑥𝑐

𝑚𝑎𝑥1≤𝑗≤𝑛(𝑎𝑐1 + 𝑥1, 𝑎𝑐2 + 𝑥2, … , 𝑎𝑐𝑐 + 𝑥𝑐, … , 𝑎𝑐𝑛 + 𝑥𝑛) = 𝜆 ⊗ 𝑥𝑐

Karena 𝑎𝑐𝑐 = 𝜀 maka 𝜆 ⊗ 𝑥𝑐 = 𝜀.

Karena 𝑥𝑐 ≠ 𝜀 maka haruslah 𝜆 = 𝜀. ∎

Karakteristik matriks yang memiliki nilai eigen 𝜀 pada Teorema 3.31

memberikan akibat pada matriks iredusibel seperti dijelaskan dalam corrolary

berikut:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 89: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

76

Corrolary Jika matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 adalah matriks iredusibel, maka nilai eigen

dari matriks 𝐴 tidak sama dengan 𝜀.

Bukti:

Misalkan 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 adalah matriks iredusibel, dan ijaA untuk 𝑖 = 1,… , 𝑛 dan

𝑗 = 1,… , 𝑛. Corrolary ini akan dibuktikan dengan menggunakan kontradiksi.

Misalkan 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 mempunyai nilai eigen sama dengan 𝜀. Berdasarkan

Teorema 3.31 berarti bahwa matriks 𝐴 mempunyai kolom yang semua elemennya

adalah 𝜀. Misalkan kolom yang dimaksud adalah 𝑐, 𝑎𝑖𝑗 = 𝜀 untuk 𝑖 = 1,… , 𝑛.

Maka berdasarkan Definisi 3.17 𝑤(𝑐, 𝑖) = 𝜀 dan hal itu berarti tidak terdapat

busur dari simpul 𝑐 ke simpul 𝑖 untuk .,...,1 ni Akibatnya berdasarkan Definisi

3.22 dan Definisi 3.26, dapat dikatakan bahwa matriks 𝐴 tidak iredusibel. Jadi

pengandaian salah, sehingga nilai eigen matriks 𝐴 tidak sama dengan

𝜀. ∎

Selanjutnya akan dijelaskan teorema tentang sifat nilai eigen matriks

iredusibel 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛

Teorema 3.32 Jika Matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 irredusibel, maka A mempunyai nilai

eigen tunggal.

Bukti

Eksistensi nilai eigen matriks 𝐴 di ℝ𝑚𝑎𝑥 sudah dijelaskan oleh Teorema 3.29.

Misalkan 𝜆 adalah sebarang nilai eigen matriks 𝐴 dengan 𝒙 adalah vektor eigen

yang bersesuaian dengan 𝜆. Karena matriks 𝐴 iredusibel, maka menurut corrolary

𝑥𝑖 ≠ 𝜀 untuk setiap 𝑖 ∈ {1, … , 𝑛}.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 90: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

77

Ambil sebarang sirkuit 𝜌, misalkan (𝑖1, 𝑖2), (𝑖2, 𝑖3),… , (𝑖𝜌, 𝑖1) di 𝒢(𝐴). Karena 𝜆

adalah nilai eigen ℝ𝑚𝑎𝑥 matriks A maka

𝑎𝑖2𝑖1⊗𝑥𝑖1 ≤ 𝜆⊗ 𝑥𝑖2

.

.

.

𝑎𝑖𝑝𝑖𝑝−1 ⊗𝑥𝑖𝑝−1 ≤ 𝜆⊗ 𝑥𝑖𝑝

𝑎𝑖1𝑖𝑝⊗𝑥𝑖𝑝 ≤ 𝜆⊗ 𝑥𝑖1

Berdasarkan bukti Teorema 3.30 diperoleh 𝜆 lebih besar atau sama

dengan bobot rata-rata 𝜌, untuk setiap sirkuit 𝜌 di 𝒢(𝐴). Jadi 𝜆 = 𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴), yang

berarti bahwa nilai eigen ℝ𝑚𝑎𝑥 matriks adalah tunggal. ∎

Selanjutnya akan dijelaskan satu teorema tentang sifat vektor eigen dari

matriks 𝐴 yang iredusibel.

Teorema 3.33 Jika matriks iredusibel 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 mempunyai nilai eigen 𝜆

dengan 𝒙 adalah vektor eigen ℝ𝑚𝑎𝑥 yang bersesuaian dengan 𝜆, maka 𝑥𝑖 ≠ 𝜀

untuk setiap 𝑖 ∈ {1,… , 𝑛}.

Bukti

Andaikan terdapat elemen 𝑠 ∈ {1,… , 𝑛} sehingga 𝑥𝑠 = 𝜀

Akibatnya (𝐴 ⊗ 𝒙)𝑠 = 𝜆⊗ 𝑥𝑠 = 𝜀 atau 𝐴𝑠,𝑖⊗𝑥𝑖 = 𝜀, ∀𝑖 ∈ {1,… , 𝑛}.

Hal ini berarti bahwa tidak ada busur dari setiap simpul 𝑖 ≠ 𝑠 ke simpul 𝑠.

Akibatnya 𝒢(𝐴) tidak terhubung kuat atau matriks 𝐴 tidak iredusibel. Jika

terdapat lebih dari satu komponen yang sama dengan 𝜀, bukti seperti diatas akan

menghasilkan kesimpulan bahwa matriks A tidak iredusibel. ∎

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 91: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

78

BAB IV

APLIKASI ALJABAR MAX PLUS

PADA SUATU RUTE BUS TRANSJOGJA

Pada bab ini akan dijelaskan aplikasi sederhana aljabar max-plus pada

suatu rute bus Transjogja. Penjelasan pada bab ini dimulai dengan memberikan

gambaran tentang sistem transportasi bus Transjogja secara umum, selanjutnya

akan dijelaskan tentang rute pilihan, graf rute pilihan dan pada bagian akhir

dijelaskan tentang model matematika serta analisa dengan menggunakan nilai

eigen dan vektor atas model yang dihasilkan. Hasil analisa adalah output yang

menentukan apakah dimungkinkan dibuat suatu jadwal bus Transjogja yang

periodik pada rute pilihan.

A. Gambaran Singkat Rute Bus Transjogja

Bus Transjogja adalah sistem transportasi bus cepat, murah dan ber-AC

di Yogyakarta. Bus Transjogja adalah salah satu bagian dari program

penerapan Bus Rapid Transit (BRT) yang dicanangkan oleh Departemen

Perhubungan Pemerintah Provinsi D. I. Yogyakarta yang bekerja sama dengan

PT Jogja Tugu Trans sebagai pihak pengelola. Bus Transjogja mulai beroperasi

awal bulan Maret 2008. Dalam pelayanannya terhadap penumpang, bus

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 92: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

79

Transjogja menerapkan sistem antar-jemput, yaitu bus Transjogja akan

menaikkan atau menurunkan penumpang pada setiap halte yang dilalui.

Bus Transjogja sebagai sarana transportasi menghubungkan enam titik

penting di sekitar kota Yogyakarta, yaitu Stasiun Kereta Api Yogyakarta,

Terminal Bus Giwangan, Terminal Condong Catur, Terminal Jombor, Bandara

Adisucipto Yogyakarta, dan Terminal Prambanan. Pada awal peluncuran,

terdapat enam jalur bus, yaitu jalur 1A, 1B, 2A, 2B, 3A, dan 3B. Pada saat ini

terdapat delapan jalur bus yang dilayani secara melingkar – berangkat dari dan

akan kembali ke terminal awal – mulai dari jam 05.30 hingga 21.00 WIB. Berikut

ini akan dijelaskan delapan jalur bus Transjogja.

1. Jalur 1A

Terminal Prambanan – Kalasan – Bandara Adisucipto Yogyakarta –

Maguwoharjo – Janti (bawah) – UIN Kalijaga – Demangan – Gramedia – Tugu –

Stasiun Tugu – Malioboro – Kantor Pos Besar – Gondomanan – Pasar Sentul –

SGM – Gembira Loka – Babadan – Gedongkuning – JEC – Blok O – Janti (atas)

– Maguwoharjo – Bandara Adisucipto Yogyakarta – Kalasan – Terminal

Prambanan.

2. Jalur 1B

Bandara Adisucipto Yogyakarta – Maguwoharjo – Babarsari – Janti (bawah) –

Blok O – JEC – Babadan – Gedongkuning – Gembira Loka – SGM – Pasar

Sentul – Gondomanan – Kantor Pos Besar – RS. PKU Muhammadiyah – Pasar

Kembang – Badran – Bundaran SAMSAT – Pingit – Tugu – Gramedia –

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 93: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

80

Bundaran UGM – Colombo – Demangan – Terminal Condong Catur – UIN

Sunan Kalijaga – Janti – Maguwoharjo – Bandra Adisucipto Yogyakarta.

3. Jalur 2A

Terminal Jombor – Monjali – Tugu – Stasiun Tugu – Malioboro – Kantor Pos

Besar – Gondomanan – Pojok Beteng Wetan – Tungkak – Gambiran – Basen –

Rejowinangun – Babadan – Gedongkuning – Gembira Loka – SGM – Cendana –

Mandala Krida – Gayam – Flyover Lempuyangan – Kridosono – Duta Wacana –

Galeria – Gramedia – Bundaran UGM – Colombo – Terminal Condong Catur –

Kentungan – Monjali – Terminal Jombor .

4. Jalur 2B

Terminal Jombor – Monjali – Kentungan – Terminal Condong Catur – Colombo

– Bundaran UGM – Gramedia – Kridosono – Duta Wacana – Flyover

Lempuyangan – Gayam – Mandala Krida – Cendana – SGM – Gembira Loka –

Babadan – Gedongkuning – Rejowinangun – Basen – Tungkak – Pojok Beteng

Wetan – Gondomanan – Kantor Pos Besar – RS PKU Muhammadiyah –

Ngabean – Wirobrajan – BPK – Badran – Bundaran SAMSAT – Pingit – Tugu –

Monjali – Terminal Jombor.

5. Jalur 3A

Terminal Giwangan – Tegal Gendu – HS-Silver – Jl. Nyi Pembayun – Pegadaian

Kotagede – Basen – Rejowinangun – Babadan – Gedongkuning – JEC – Blok

O – Janti (atas) – Maguwoharjo – Bandara Adisucipto Yogyakarta –

Maguwoharjo – Gelanggangroad Utara – Terminal Condong Catur – Kentungan

– MM UGM – Mirota Kampus – Gondolayu – Tugu – Pingit – Bundaran

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 94: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

81

SAMSAT – Badran – Pasar Kembang – Stasiun TUGU – Malioboro – Kantor

Pos Besar – RS PKU Muhammadiyah – Ngabean – Pojok Beteng Kulon –

Plengkung Gading – Pojok Beteng Wetan – Tungkak – Wirosaban – Tegal

Gendu – Terminal Giwangan.

6. Jalur 3B

Terminal Giwangan – Tegal Gendu – Wirosaban – Tungkak – Pojok Beteng

Wetan – Plengkung Gading – Pojok Beteng Kulon – Ngabean – RS PKU

Muhammadiyah – Pasar Kembang – Badran – Bundaran SAMSAT – Pingit –

Tugu – Gondolayu – Mirota Kampus – MM UGM – Kentungan – Terminal

Condong Catur – Gelanggangroad Utara – Maguwoharjo – Bandara Adisucipto

Yogyakarta – Maguwoharjo – Janti (bawah) – Blok O – JEC – Babadan –

Gedongkuning – Rejowinangun – Basen – Pegadaian Kotagede – Jl. Nyi

Pembayun – HS-Silver – Tegal Gendu – Terminal Giwangan.

7. Jalur 4A

Terminal Giwangan – Jl. Imogiri – Jl. Pramuka – Jl. Perintis Kemerdekaan – Jl.

Menteri Supeno – Jl. Taman Siswa – Jl. Sultan Agung – Jl. Gadjah Mada – Jl.

Hayam Wuruk – Jl. Yos Sudarso – Jl. Hayam Wuruk – Jl. Gadjah Mada – Jl.

Sultan Agung – Jl. Taman Siswa – Jl. Menteri Supeno – Jl. Perintis Kemerdekaan

– Jl. Pramuka – Jl. Imogiri Timur – Terminal Giwangan

8. Jalur 4B

Terminal Giwangan – Jl. Imogiri Timur – Jl. Pramuka – Jl. Perintis Kemerdekaan

– Jl. Veteran – Jl. Pandean – Jl. Glagahsari – Jl. Kusumanegara – Jl. Sidobali – Jl.

Ipda Tut Harsono – Jl. Urip Sumoharjo – Jl. Sudirman – Jl. Suroto – Jl. Wardani

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 95: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

82

– Jl. Kusbini – Jl. Langensari – Jl. Urip Sumoharjo – Jl. Ipda Tut Harsono – Jl.

Sidobali – Jl. Kusumanegara – Jl. Glagahsari – Jl. Pandean – Jl. Veteran – Jl.

Perintis Kemerdekaan – Jl. Pramuka – Jl. Imogiri Timur – Terminal Giwangan.

Untuk lebih jelas tentang rute dari delapan jalur di atas, dapat dilihat pada

Peta Jagelanggangan Trayek dan Halte Angkutan Bus Perkotaan Transjogja

berikut ini.

Gambar 4.1. Jagelanggangan Trayek dan Halte Trans Jogja

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 96: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

83

B. Rute Pilihan

Rute adalah jalan atau arah yang harus ditempuh atau dilalui. Rute juga

dapat didefinisikan sebagai lintasan angkutan yang menghubungkan dua tempat.

Dalam makalah ini, dua definisi di atas digunakan untuk mendefinisikan rute

pilihan, yaitu lintasan bus Transjogja dengan satu halte awal dan satu halte tujuan

yang tetap dan dihubungkan oleh beberapa halte yang membentuk arah yang

harus ditempuh. Pada Bagian A telah dijelaskan bahwa bus Transjogja

mempunyai 8 jalur keberangkatan yang dapat dijadikan sebagai rute pilihan.

Tetapi, dalam penelitian ini delapan jalur tersebut tidak akan digunakan sebagai

rute pilihan. Pemilihan rute dilakukan dengan cara menentukan empat titik halte

yang menjadi halte utama, yaitu tempat keberangkatan dan tujuan dari bus

Transjogja. Keempat titik tersebut adalah Terminal Jombor, Bandara

Adisucipto Yogyakarta, Stasiun Tugu (Malioboro), dan Terminal Giwangan.

Dengan demikian yang dimaksud dengan rute pilihan di sini adalah lintasan yang

menghubungkan keempat halte utama. Oleh karena itu dapat dijelaskan bahwa

dengan menghubungkan keempat halte utama di atas, dapat dibentuk enam rute

bus Transjogja, yaitu rute bus Transjogja dari Terminal Jombor menuju Bandara

Adisucipto Yogyakarta dan arah sebaliknya yaitu dari Bandara Adisucipto

Yogyakarta menuju Terminal Jombor; rute bus Transjogja dari Terminal Jombor

menuju Stasiun Tugu dan arah sebaliknya yaitu dari Stasiun Tugu ke Terminal

Jombor; rute bus Transjogja dari Bandara Adisucipto Yogyakarta menuju Stasiun

Tugu dan arah sebaliknya yaitu dari Stasiun Tugu menuju Bandara AdiSucipto;

rute Transjogja dari Bandara Adisucipto Yogyakarta menuju Terminal Giwangan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 97: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

84

dan arah sebaliknya yaitu dari Terminal Giwangan menuju Bandara Adisucipto

Yogyakarta; rute bus Transjogja dari Stasiun Tugu menuju Terminal Giwangan

dan arah sebaliknya yaitu dari Terminal Giwangan menuju Stasiun Tugu; dan

rute bus Transjogja dari Terminal Jombor menuju Terminal Giwangan dan arah

sebaliknya yaitu dari Terminal Giwangan menuju Terminal Jombor.

C. Graf Rute Pilihan

Pada bagian ini akan disusun suatu graf berarah berbobot yang dibentuk

dari rute bus Transjogja yang dijelaskan pada Bagian B. Namun sebelumnya

akan diberikan beberapa penjelasan tentang lintasan yang menghubungkan

keempat halte utama di atas.

Pada Bagian B telah ditentukan empat halte utama yang menjadi titik

awal dan titik akhir suatu rute bus Transjogja. Dari empat halte tersebut

terbentuk enam rute bus Transjogja, dengan halte awal dan halte akhir dari

sebuah lintasan adalah keempat halte utama.

Dalam karya tulis ini, penentuan lintasan yang menghubungkan halte

awal dengan halte akhir berdasar pada waktu tempuh tercepat dari halte awal ke

halte tujuan. Oleh karena itu, lintasan lain yang mempunyai waktu tempuh yang

lebih lama diabaikan. Berdasarkan hasil penelitian pada tanggal 15 Februari – 7

Maret 2015 diperoleh data tentang lintasan yang menghubungkan empat halte

utama tersebut sebagai berikut:

Dengan mengandaikan bahwa kotak adalah halte-halte bus Transjogja

dan anak panah sebagai arah perjalanan bus transjogja dari halte keberangkatan

menuju halte tujuan, dapat didefinisikan lintasan tersebut sebagai berikut:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 98: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

85

1. Rute 1: Terminal Jombor – Bandara Adisucipto Yogyakarta – Terminal

Jombor.

Gambar 4.2 Rute 1

Perjalanan dari Terminal Jombor menuju Terminal Condong Catur

menggunakan bus Transjogja jalur 2B. Dari Terminal Condong Catur

perjalanan dilanjutkan dengan menggunakan bus Transjogja jalur 3B menuju

Bandara Adisucipto Yogyakarta. Sebaliknya perjalanan dari Bandara Adisucipto

Yogyakarta menuju Terminal Condong Catur menggunakan bus Transjogja

jalur 3A dan dari Terminal Condong Catur menuju Terminal Jombor digunakan

bus Transjogja jalur 2A.

2. Rute 2 : Terminal Jombor – Stasiun Tugu (Maliboro 1) – Terminal Jombor

Gambar 4.3 Rute 2

Perjalanan dari Terminal Jombor menuju Stasiun Tugu (Maliboro 1)

menggunakan bus Transjogja jalur 2A (Halte Maliboro 1 dipilih sebagai halte

tujuan untuk Stasiun Tugu, karena di Stasiun Tugu sendiri tidak terdapat halte

bus Transjogja, dan Halte Maliboro 1 adalah halte terdekat dengan Stasiun

Tugu). Sebaliknya perjalanan dari Stasiun Tugu (Halte Malioboro 1) menuju

Halte Ahmad Dahlan menggunakan bus Transjogja jalur 3A. Selanjutnya

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 99: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

86

perjalanan dari Halte Ahmad Dahlan dilanjutkan dengan menggunakan bus

Transjogja jalur 2B menuju Terminal Jombor.

3. Rute 3 : Bandara Adisucipto Yogyakarta – Stasiun Tugu (Malioboro 1) –

Bandara Adisucipto Yogyakarta

Gambar 4.4 Rute 3

Perjalanan dari Bandara Adisucipto Yogyakarta menuju Stasiun Tugu

(Malioboro 1) menggunakan bus Transjogja jalur 1A. Sebaliknya perjalanan dari

Stasiun Tugu (Halte Malioboro 1) menuju Bandara Adisucipto Yogyakarta

menggunakan bus Transjogja jalur 1A juga.

4. Rute 4 : Bandara Adisucipto Yogyakarta – Terminal Giwangan – Bandara

Adisucipto Yogyakarta

Gambar 4.5 Rute 4

Perjalanan dari Bandara Adisucipto Yogyakarta menuju Terminal

Giwangan menggunakan bus Transjogja jalur 3B. Sebaliknya perjalanan dari

Terminal Giwangan menuju Bandara Adisucipto Yogyakarta menggunakan bus

Transjogja jalur 3A.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 100: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

87

5. Rute 5 : Stasiun Tugu (Maliboro 1) – Terminal Giwangan – Stasiun Tugu

(Malioboro 1)

Gambar 4.6 Rute 5

Perjalanan dari Stasiun Tugu (Halte Malioboro 1) menuju Terminal

Giwangan menggunakan bus Transjogja jalur 3A. Sebaliknya perjalanan dari

Terminal Giwangan menuju Halte SMP 5 menggunakan bus Transjogja jalur 4A.

Selanjutnya perjalanan dilanjutkan dengan menggunakan bus Transjogja jalur 3A

menuju Stasiun Tugu (Halte Malioboro 1).

6. Rute 6 : Terminal Giwangan – Terminal Jombor – Terminal Jombor

Gambar 4.7 Rute 6

Perjalanan dari Terminal Giwangan menuju Halte Sugiono 2

menggunakan bus Transjogja jalur 3B. Dari Halte Sugiono 2 perjalanan

dilanjutkan dengan menggunakan bus Transjogja jalur 2B menuju Terminal

Jombor. Sebaliknya perjalanan dari Terminal Jombor menuju Halte Sugiono 1

menggunakan bus Transjogja jalur 2A. Dari Halte Sugiono 1 perjalanan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 101: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

88

dilanjutkan dengan menggunakan bus Transjogja jalur 3A menuju Terminal

Giwangan.

Berdasarkan lintasan dari keenam rute di atas, jalur bus Transjogja yang

digunakan pada rute pilihan adalah bus Transjoga jalur 1A, 2A, 2B, 3A, 3B dan

4A. Oleh karena itu dapat digambarkan suatu graf dari keenam jalur bus

Transjogja tersebut sebagai rute yang menghubungkan keempat halte utama.

Gambar 4.8 Graf rute bus Transjogja Jalur 1A, 2A, 2B, 3A, 3B dan 4A

Selanjutnya akan diberikan data waktu tempuh bus Transjogja yang

beroperasi pada keenam rute di atas. Waktu tempuh adalah rata-rata total waktu

yang dibutuhkan oleh bus Transjogja untuk melakukan sekali perjalanan dari satu

halte ke halte sesudahnya. Data rata-ratawaktu tempuh diperoleh dari hasil

penelitian yang dilakukan pada tanggal 15 Februari – 7 Maret 2015 dan 1 – 10

Mei 2015. Data selengkapnya dapat dilihat dalam Tabel 4.1 di bawah ini.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 102: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

89

Tabel 4.1 Waktu Tempuh Bus Transjogja

Jalur Dari Ke Waktu

Tempuh

1A Halte 5 Halte B 15 menit

1A Halte B Halte C 34 menit

1A Halte C Halte B 36 menit

1A Halte B Halte 5 13 menit

2A Halte A Halte C 20 menit

2A Halte C Halte 4 11 menit

2A Halte 4 Halte 1 50 menit

2A Halte 1 Halte A 10 menit

2B Halte A Halte 1 12 menit

2B Halte 1 Halte 6 50 menit

2B Halte 6 Halte 3 13 menit

2B Halte 3 Halte A 35 menit

3A Halte D Halte B 28 menit

3A Halte B Halte 1 16 menit

3A Halte 1 Halte 2 23 menit

3A Halte 2 Halte C 17 menit

3A Halte C Halte 3 5 menit

3A Halte 3 Halte 4 12 menit

3A Halte 4 Halte D 11 menit

3B Halte D Halte 6 17 menit

3B Halte 6 Halte 1 50 menit

3B Halte 1 Halte B 15 menit

3B Halte B Halte D 27 menit

4A Halte D Halte 2 20 menit

4A Halte 2 Halte D 20 menit

Catatan: Rata-rata waktu tempuh merupakan hasil perhitungan dari total waktu

yang diambil dari 4 buah bus Transjogja yang beroperasi pada waktu pagi mulai

pukul 05.30 – 10.00 WIB; 4 buah bus Transjogja yang beroperasi pada siang hari

mulai pukul 12.00 – 16.00 WIB; dan 4 buah bus Transjogja yang beroperasi pada

sore sampai malam hari mulai pukul 18.00 – 21.00 WIB.

Berdasarkan Gambar 4.8 dan Tabel 4.1 di atas, maka dapat dibentuk suatu

graf berarah berbobot dari rute pilihan sebagai berikut:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 103: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

90

Gambar 4.9 Graf Berarah Berbobot dari Rute Pilihan

D. Sinkronisasi

Pada bagian ini dijelaskan tentang sinkronisasi waktu keberangkatan saat

penumpang berganti jalur bus pada tempat pemberhentian. Pada Bagian C telah

diperoleh graf berarah berbobot dari rute pilihan dan tabel waktu tempuh bus

Transjogja yang beroperasi untuk setiap lintasan. Misalkan untuk setiap

DCBA ,,, adalah platform pada masing-masing halte bus Transjogja yang dilalui

maka dapat disusun sinkronisasi bus Transjogja untuk keenam rute di atas:

1. Rute 1: Halte A – Halte 1– Halte B– Halte 1– Halte A.

Bus Transjogja ke- 1k yang berangkat pada halte A ke halte 1 harus

menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang berangkat dari halte 3 ke

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 104: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

91

arah halte A . Bus Transjogja ke- )1( k yang berangkat pada halte 1 ke halte

B harus menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang berangkat dari

halte 6 ke arah halte 1. Bus Transjogja ke - 1k yang berangkat pada halte

B ke halte 1 harus menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang

berangkat dari halte D ke arah halte .B Bus Transjogja ke- 1k yang

berangkat dari halte 1 ke halte A harus menunggu kedatangan bus

Transjogja ke- k yang berangkat dari halte 4 ke arah halte 1.

2. Rute 2: Halte A – Halte C – Halte 3 – Halte A

Bus Transjogja ke- 1k yang berangkat pada halte A ke halte C harus

menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang berangkat dari halte 1 ke

arah halte A . Bus Transjogja ke- 1k yang berangkat pada halte C ke

halte 3 harus menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang berangkat dari

halte 2 ke arah halte .C Bus Transjogja ke- 1k yang berangkat pada halte

3 ke halte A harus menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang

berangkat dari halte 6 ke arah halte 3.

3. Rute 3: Halte B – Halte C – Halte B

Bus Transjogja ke- 1k yang berangkat pada halte B ke halte C harus

menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang berangkat dari halte 5 ke

arah halte B . Bus Transjogja ke- 1k yang berangkat pada halte C ke

halte B harus menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang berangkat

dari halte B ke arah halte C .

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 105: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

92

4. Rute 4: Halte B – Halte D – Halte B

Bus Transjogja ke- 1k yang berangkat pada halte B ke halte D harus

menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang berangkat dari halte 1 ke

arah halte B . Bus Transjogja ke- 1k yang berangkat pada halte D ke

halte B harus menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang berangkat

dari halte 4 ke arah halte D .

5. Rute 5: Halte C – Halte D – Halte 2 – Halte C.

Bus Transjogja ke- 1k yang berangkat pada halte C ke halte 3 harus

menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang berangkat dari halte 2 ke

arah halte C . Bus Transjogja ke- 1k yang berangkat pada halte D ke

halte 2 harus menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang berangkat dari

halte 2 ke arah halte D . Bus Transjogja ke- 1k yang berangkat pada halte

2 ke halte C harus menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang

berangkat dari halte 1 ke arah halte 2.

6. Rute 6: Halte D – Halte 6 – Halte A – Halte 4 – Halte D.

Bus Transjogja ke- 1k yang berangkat pada halte D ke halte 6 harus

menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang berangkat dari halte B ke

arah halte D . Bus Transjogja ke- 1k yang berangkat pada halte 6 ke halte

3 harus menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang berangkat dari halte

1 ke arah halte 6. Bus Transjogja ke- 1k yang berangkat pada halte A ke

halte C harus menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang berangkat

dari halte 1 ke arah halte .A Bus Transjogja ke- 1k yang berangkat pada

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 106: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

93

halte 4 ke halte D harus menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang

berangkat dari halte 3 ke arah halte 4.

E. Model Matematika dari Rute Pilihan

Pada Bagian D telah dijelaskan sinkronisasi dari rute pilihan. Selanjutnya

pada bagian ini akan dijelaskan model matematika pada rute pilihan dengan

menggunakan ℝ𝑚𝑎𝑥 . Namun sebelumnya perlu didefinisikan sistem matriks di

ℝ𝑚𝑎𝑥 . Dalam Heidergott, dkk (2006) sistem matriks di ℝ𝑚𝑎𝑥 didefinisikan

sebagai berikut: Misalkan ℕ adalah himpunan semua bilangan bulat positif, suatu

barisan (𝑥(𝑘): 𝑘 ∈ ℕ) dapat dibangun oleh 𝑥(𝑘 + 1) = 𝐴⊗ 𝑥(𝑘) untuk

𝑘 ≥ 0, 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑛, 𝑥 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥

𝑛 dan 𝑥(0) = 𝑥0 adalah kondisi awal serta 𝑥(𝑘)

adalah waktu keberangkatan bus yang ke- k di suatu halte.

Berdasarkan sistem matriks di ℝ𝑚𝑎𝑥 , maka langkah pertama dalam

penyusunan model matematika ini adalah mendefinisikan variabel untuk setiap

busur yang menghubungkan halte satu dengan halte yang lain pada keenam rute

pilihan. Selanjutnya berdasarkan Tabel 4.1, Gambar 4.2 dan mengasumsikan

bahwa bus Transjogja yang beroperasi untuk setiap lintasan yang

menghubungkan satu halte dengan halte yang lain, masing-masing satu, diperoleh

data seperti yang ditunjukkan dalam Tabel 4.2 berikut ini. Selanjutnya data ini

diasumsikan tetap.

Tabel 4.2 Definisi Varibel dan Alokasi Bus Transjogja Rute Pilihan

Variabel Dari Ke Waktu

Tempuh

Jumlah

Bus

x1 Halte A Halte 1 12 1

x2 Halte 1 Halte B 15 1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 107: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

94

x3 Halte B Halte 1 16 1

x4 Halte 1 Halte A 10 1

x5 Halte A Halte C 20 1

x6 Halte C Halte 3 5 1

x7 Halte 3 Halte A 35 1

x8 Halte B Halte C 34 1

x9 Halte C Halte B 36 1

x10 Halte B Halte D 27 1

x11 Halte D Halte B 28 1

x12 Halte 3 Halte 4 12 1

x13 Halte 4 Halte D 11 1

x14 Halte D Halte 2 20 1

x15 Halte 2 Halte C 17 1

x16 Halte D Halte 6 17 1

x17 Halte 6 Halte 3 13 1

x18 Halte C Halte 4 11 1

x19 Halte 4 Halte 1 50 1

x20 Halte 6 Halte 1 50 1

x21 Halte B Halte 5 13 1

x22 Halte 5 Halte B 15 1

x23 Halte 2 Halte D 20 1

x24 Halte 1 Halte 2 23 1

x25 Halte 1 Halte 6 50 1

Selanjutnya berdasarkan aturan sinkronisasi pada Bagian D dan data pada

Tabel 4.2 di atas maka dapat disusun model matematika untuk keenam rute di

atas.

𝑥1(𝑘 + 1) = 10⊗ 𝑥4(𝑘)⊕ 35⊗ 𝑥7(𝑘)

𝑥2(𝑘 + 1) = 12⊗ 𝑥1(𝑘)⊕ 50⊗ 𝑥20(𝑘)

𝑥3(𝑘 + 1) = 15⊗ 𝑥2(𝑘)⊕ 28⊗ 𝑥11(𝑘)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 108: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

95

𝑥4(𝑘 + 1) = 16⊗ 𝑥3(𝑘)⊕ 50⊗ 𝑥19(𝑘)

𝑥5(𝑘 + 1) = 35⊗ 𝑥7(𝑘)⊕ 10⊗ 𝑥4(𝑘)

𝑥6(𝑘 + 1) = 20⊗ 𝑥5(𝑘)⊕ 17⊗ 𝑥15(𝑘)

𝑥7(𝑘 + 1) = 5⊗ 𝑥6(𝑘)⊕ 13⊗ 𝑥17(𝑘)

𝑥8(𝑘 + 1) = 36⊗ 𝑥9(𝑘)⊕ 15⊗ 𝑥22(𝑘)

𝑥9(𝑘 + 1) = 34⊗ 𝑥8(𝑘)

𝑥10(𝑘 + 1) = 28⊗ 𝑥11(𝑘)⊕ 15⊗ 𝑥2(𝑘)

𝑥11(𝑘 + 1) = 27⊗ 𝑥10(𝑘)⊕ 11⊗ 𝑥13(𝑘)

𝑥12(𝑘 + 1) = 5⊗ 𝑥6(𝑘)

𝑥13(𝑘 + 1) = 11⊗ 𝑥18(𝑘)⊕ 12⊗ 𝑥12(𝑘)

𝑥14(𝑘 + 1) = 11⊗ 𝑥13(𝑘)⊕ 20⊗ 𝑥23(𝑘)

𝑥15(𝑘 + 1) = 20⊗ 𝑥14(𝑘)⊕ 23⊗ 𝑥24(𝑘)

𝑥16(𝑘 + 1) = 11⊗ 𝑥13(𝑘)⊕ 27⊗ 𝑥10(𝑘)

𝑥17(𝑘 + 1) = 11⊗ 𝑥16(𝑘)⊕ 50⊗ 𝑥25(𝑘)

𝑥18(𝑘 + 1) = 20⊗ 𝑥5(𝑘)

𝑥19(𝑘 + 1) = 11⊗ 𝑥18(𝑘)

𝑥20(𝑘 + 1) = 11⊗ 𝑥16(𝑘)

𝑥21(𝑘 + 1) = 36⊗ 𝑥9(𝑘)

𝑥22(𝑘 + 1) = 13⊗ 𝑥21(𝑘)

𝑥23(𝑘 + 1) = 20⊗ 𝑥14(𝑘)

𝑥24(𝑘 + 1) = 16⊗ 𝑥3(𝑘)

𝑥25(𝑘 + 1) = 12⊗ 𝑥1(𝑘)

Jika ,kxi 𝑖 = 1, 2, 3, … , 25 adalah keberangkatan bus Transjogja ke- k dari

setiap keberangkatan yang dijelaskan pada Tabel 4.2 di atas, persamaan-

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 109: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

96

persamaan di atas dapat dinyatakan dalam model umum ℝ𝑚𝑎𝑥 yaitu 𝑥(𝑘 + 1) =

𝐴⊗ 𝑥(𝑘) untuk 𝑥(𝑘) = (𝑥1(𝑘), 𝑥2(𝑘), 𝑥3(𝑘), … , 𝑥25(𝑘)) dan

...

........................12

......................16..

...........20.............

....13....................

................36........

.........11...............

.......11.................

....................20....

50........11...............

............11..27.........

.23.........20.............

..20.........11............

.......11.....12...........

...................5.....

............11..27.........

..............28........15.

.................34.......

...15............36........

........13..........5.....

..........17.........20....

..................35..10...

......50...............16..

..............28........15.

.....50..................12

..................35..10...

.A

Untuk alasan kemudahan penulisan 𝜀 dinotasikan dengan . = 𝜀.

Catatan: karena jumlah bus Transjogja diasumsikan masing-masing satu untuk

setiap busur, jumlah total bus Transjogja adalah 25.

Menurut Subiono (2013) jumlah total bus ini menunjuk pada dimensi x pada

persamaaan 𝑥(𝑘 + 1) = 𝐴⊗ 𝑥(𝑘). Dengan demikian matriks 𝐴 adalah matriks

persegi yang berukuran 25 x 25.

F. Menghitung Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Pada Bagian E telah ditunjukkan model matematika dari rute pilihan yang

menghubungkan keempat halte utama. Dari model matematika tersebut diperoleh

matriks 𝐴. Langkah selanjutnya adalah membuat analisa atas model tersebut

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 110: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

97

dengan cara menghitung nilai eigen dan vektor eigen matriks 𝐴 dan selanjutnya

berdasarkan nilai eigen dan vektor eigen tersebut dibuat kesimpulan apakah

dimungkinkan disusun suatu jadwal yang periodik untuk rute pilihan.

Dalam karya tulis ini untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari

matrisk 𝐴 digunakan bantuan aplikasi dari program MATLAB. Dengan

menggunakan MATLAB diperoleh bahwa matriks A tidak iredusibel dengan

nilai eigen maksimum 35)( A dan vektor eigen matriks A yaitu:

Tx ...211...........10.......

dengan . = 𝜀.

Dari hasil yang diperoleh MATLAB dapat ditarik beberapa kesimpuan,

yaitu pertama matriks A tidak iredusibel. Kemungkinan terbesar yang

menyebabkan matriks A tidak iredusibel adalah perbedaan antara lintasan yang

dilalui oleh bus Transjogja pada rute pergi dengan rute baliknya. Misalnya

diambil rute 2. Rute perginya adalah perjalanan dari halte A ke halte C; dan rute

baliknya adalah perjalanan dari halte C ke halte A. Pada rute perginya

perjalanannya ditempuh dari halte A ke halte C dengan menggunakan bus

Transjogja jalur 2A. Sedangkan pada rute baliknya, perjalanan harus ditempuh

dari halte C ke halte 3 dengan bus Transjogja jalur 3A yang ditunggu

kedatangannya dari halte 2; dan kemudian dilanjutkan perjalanan dari halte 3 ke

halte A dengan bus Transjogja jalur 2B yang ditunggu kedatangannya dari halte

6.

Kedua, hasil nilai eigen 𝜆 = 35 menyatakan keperiodikan keberangkatan

bus Transjogja. Nilai eigen 𝜆 merepresentasikan periode keberangkatan bus

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 111: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

98

Transjogja di setiap halte. Sedangkan vektor eigen x merepresentasikan waktu

awal keberangkatan bus Transjogja di halte awal. Dengan demikian untuk

keberangkatan bus di setiap halte seharusnya dapat disusun jadwal keberangkatan

bus Transjogja yang periodik. Akan tetapi pada perhitungan MATLAB di atas

ditunjukkan bahwa matriks A tidak iredusibel dan menghasilkan vektor eigen

𝒙 yang memuat elemen 𝜀 atau terdapat 𝑥𝑖 = 𝜀 , dengan 𝑖 = 1, 2, 3, … , 25 dan

𝑥 ∈ 𝒙 atau dapat dikatakan bahwa tidak semua elemen dari vektor eigen 𝒙

bernilai real. Akibatnya untuk nilai vektor eigen 𝑥𝑖 = 𝜀 waktu awal

keberangkatan bus Transjogja sulit didefinisikan, yang menyebabkan tidak bisa

dientukan waktu keberangkatan sesudahnya. Oleh karena itu dapat disimpulkan

bahwa dengan analisa ini belum bisa dibentuk suatu jadwal keberangkatan bus

Transjogja yang periodik untuk rute pilihan. Akan tetapi, karena matriks 𝐴 tidak

iredusibel, berdasarkan Teorema 3.32 terdapat kemungkinan nilai eigen lain yang

memungkinkan diperolehnya vektor eigen dengan setiap elemennya bernilai real;

sehingga dengan nilai eigen dan vektor eigen yang semuanya bernilai real dapat

disusun suatu jadwal keberangkatan bus Transjogja untuk rute pilihan tersebut.

Penentuan nilai eigen ‘yang lain’ ini dapat dilakukan dengan mempelajari cara

menentukan nilai eigen dan vektor eigen untuk matriks tidak iredusibel.

Penjelasan tentang cara menentukan nilai eigen dan vektor eigen dalam suatu

matriks 𝐴 yang tidak iredusibel tidak dijelaskan dalam karya tulis ini tetapi dapat

dilihat di Tam (2010) dan dapat menjadi bahan penelitian lebih lanjut.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 112: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

99

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan

Berdasarkan penjelasan pada Bab III dan Bab IV diperoleh kesimpulan

sebagai berikut:

1. Aljabar max-plus adalah struktur aljabar yang membentuk semigelanggang

komutatif, dan selanjutnya merupakan semilapangan idempoten.

2. Suatu matriks persegi pada aljabar max-plus adalah iredusibel jika graf

presedennya terhubung kuat, yaitu untuk setiap simpul ke simpul lain terdapat

lintasan.

3. Nilai eigen suatu matriks persegi yang iredusibel pada aljabar max-plus

adalah bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer pada graf preseden. Suatu

matriks persegi yang iredusibel mempunyai nilai eigen dan vektor eigennya

berhingga dan nilai eigen tunggal.

4. Langkah-langkah menyusun pemodelan pada suatu rute bus Transjogja

sebagai berikut: pertama, menentukan rute pilihan; kedua membuat graf rute

pilihan; ketiga menyusun sinkronisasi; keempat menyusun model matematika

berdasarkan sinkronisasi dan data lapangan; kelima menyusun matriks

berdasarkan model matematika yang telah dibuat; keenam menentukan nilai

eigen dan vektor eigen; ketujuh mengambil kesimpulan berdasarkan hasil

perhitungan nilai eigen dan vektor eigen.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 113: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

100

5. Hasil pemodelan menunjukkan bahwa terdapat nilai eigen real tetapi vektor

eigennya memuat elemen tak real. Hal ini disebabkan karena matriks yang

diperoleh adalah matriks iredusibel. Akibatnya sulit untuk menentukan waktu

awal keberangkatan bus Transjogja untuk beberapa titik halte keberangkatan

dan penentuan waktu keberangkatan selanjutnya. Oleh karena itu belum dapat

dibuat jadwal keberangkatan bus Transjogja yang periodik untuk rute pilihan.

B. Saran

Dari pembahasan pada bab IV diketahui bahwa terdapat kasus-kasus

dalam jagelanggangan transportasi yang menghasilkan graf berarah berbobot dan

suatu matriks yang tidak iredusibel. Dalam kasus matriks yang tidak iredusibel,

prinsip pencarian nilai eigen dan vektor eigen yang dijelaskan pada Bab III belum

bisa menjamin diperolehnya suatu solusi yang tuntas. Oleh karena itu, dalam

karya tulis ini penulis merekomendasikan:

1. Mempelajari cara menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks tidak

iredusibel pada alajabar max-plus.

2. Melanjutkan penelitian yang dilakukan oleh penulis dengan menerapkan

analisa nilai eigen dan vektor eigen matriks tidak iredusibel. Apakah

dimungkinkan dengan analisa tersebut disusun jadwal bus Transjogja yang

periodik untuk rute pilihan di atas?

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 114: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

101

DAFTAR PUSTAKA

Andersen, M. H. (2002). Max-Plus Algebra: Properties and Applications.

Master’s Thesis. Laramie: Laramie University.

Anton, H. (2005). Elementary Linear Algebra. New York: Wiley & Sons.

Arifin M. (2012). Aplikasi Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus Dalam

Mengoptimalisasi Waktu Produksi Bakpia Patok Jaya “25”. Yogyakarta:

Universitas Negeri Yogyakarta.

Bacelli, F., Cohen, G., Olsder, G. J., dan Quadrat, J. P., (2001). Synchronization

and Linearity: An Algebra for Discrete Even System. New York: Wiley-

Interscience.

Durbin, J. R. (2009). Modern Algebra An Introduction. New York: Wiley &

Sons.

Farlow, K. G. (2009). Max-Plus Algebra. Master’s Thesis. Virginia: Virginia

Polytechnic Institute and State University

Fraleigh, J. B. (2003). A First Course In Abstract Algebra. New York: Pearson

Education, Inc.

Harju, Tero. (1996). Semigroups. Turku: Departement of Mathematics University

of Turku.

Heidergott, B., Olsder, G. J., Woude, J. van der. (2005). Max-Plus at Work:

Modelling and Analysis of Synchronized Systems: A Course on Max-Plus

Algebra and Its Applications. Princeton: Princeton University Press.

Howie, John M. (1995). Fundamentals of Semigroup Theory. Oxford: Clarendon

Press.

Hungerford, T.W. (2000). Algebra. Washington: Springer.

Kandasamy, V. (2002). Smarandache near-rings. Madras: Indian Institute of

Technology.

Kharisma, C. A. (2013). Penentuan Waktu Produksi Tercepat pada Mesin

Produksi Jamu. Surakarta: Universitas Sebelas Maret.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 115: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

102

Kolman, N., Hill, D. R. (2001). Introductory Linear Algebra with Applications.

New Jersey: Prentice Hall.

Newcomb, H. (2014). Modelling Bus Bounching with Petri Nets and Max-Plus

Algebra. Portland: Portland State University.

Novrida, R. (2012). Nilai Eigen dan Vektor Eigen Dalam Aljabar Max-Plus.

Tesis Magister pada Program Studi Magister Matematika Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia. Depok:

Universitas Indonesia.

Rudhito, M. A. (2003). Sistem Linear Max-Plus Waktu-Invariant. Tesis Magister

pada Program Studi Matematika Jurusan Ilmu-ilmu Matematika dan

Pengetahuan Alam Universitas Gadjah Mada. Yogyakarta: Universitas

Gadjah Mada.

Schutter, B.D. (1996). Max-algebraic System Theory for Discrete Event Systems.

Ph.D Thesis. Leuven: Katholieke Universiteit Leuven.

Subiono. (2013). Aljabar Max-Plus dan Terapannya. Surabaya: Institut

Teknologi Sepuluh Nopember.

Tam, K. P. (2010). Optimizing and Approximating Eigen Vekctor in Max-

Algebra. Ph.D Thesis The University of Birmingham. Birmingham: The

University of Birmingham.

West, D. B. (2001). Introduction to Graph Theory. New Jersey: Prentice Hall.

Whitelaw, T. A. (1988). Introduction to Abstract Algebra. London: Blackie and

Son Ltd.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 116: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

103

LAMPIRAN PROGRAM MATLAB

MENGHITUNG NILAI EIGEN MAX-PLUS MAKSIMUM DAN

VEKTOR EIGEN UNTUK SUATU MATRIKS MAX-PLUS A

% Program Matlab Menghitung NILAI EIGEN MAX-PLUS Maksimum dan

VEKTOR EIGEN % yang bersesuaian untuk suatu Matriks max-plus A % input: matriks max-plus Anxn % output: irredusibel/ tak irredusibel matriks A % nilai eigen max-plus maximum % vektor eigen yang bersesuaian

disp(' ') disp(' NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MAX-PLUS MATRIKS') disp(' ----------------------------------------------') disp(' ') A = input(' Matriks yang dihitung A = '); disp(' ') disp(' HASIL PERHITUNGAN :') disp(' ===================') disp(' Matriks A = '), disp(A)

% Menghitung A pangkat , trace/pangkat dan nilai eigen maksimum [m, n]= size(A); if m==n if n==2 for i = 1: n for j=1: n if i==j A(i,j) = 0; end; end; end; A0 = min(A); A00 = min(A0); if A00 == -Inf disp(' Matriks A TIDAK IRREDUSIBEL') else disp(' Matriks A IRREDUSIBEL') end; end; trace = max(diag(A)); D=A; for r=1:n-1 r+1; for i = 1: m for j = 1: n C(i, j) = -Inf;

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 117: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

104

for p = 1: n C(i, j) = max( C(i, j) , A(i, p)

+ D(p, j) ); end; end; end; A_plus = max(D, C); D=C; trace_perpk(r) = max(diag(D)./(r+1)); lambmax = max(trace_perpk); end; lambmaxmat = max(trace, lambmax); for r=1:n-2 r+1; for i = 1: m for j = 1: n C(i, j) = -Inf; for p = 1: n C(i, j) = max( C(i, j) , A(i, p) + D(p,

j) ); end; end; end; A_plus1 = max(D, C); D=C; end; if n>2 for i = 1 : n for j = 1 : n if i==j A_plus1(i,j) = 0; end; end; end; A0_plus1 = min(A_plus1); A00_plus1 = min(A0_plus1); if A00_plus1 == -Inf disp(' Matriks A TIDAK IRREDUSIBEL') else disp(' Matriks A IRREDUSIBEL') end; end; disp('NILAI EIGEN max-plus maksimum matriks A =

'),disp(lambmaxmat)

% Menghitung matriks normal B, B pangkat dan B+ B = A-lambmaxmat; disp(' ') G=B; for s=1:n-1 s+1; for i = 1: m for j = 1: n F(i, j) = -Inf; for p = 1: n

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 118: ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASINYA PADA SUATU RUTE … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor

105

F(i, j) = max( F(i, j) , B(i, p) + G(p,

j) ); end; end; end; B_plus = max(G, F); G = F; end; B_plus % Menghitung matriks E dan B* for i = 1 : n for j = 1 : n if i ~= j E(i,j) = -Inf; end; end; end; B_star= max(E, B_plus) % Menentukan vektor eigen yang bersesuaian disp(' VEKTOR EIGEN max-plus yang bersesuaian =') x= diag(B_plus); for t = 1 : n if abs(x(t))<=1e-10 VE = B_star(:,t); disp(VE) end; end;

% Perhatian jika yang diinputkan bukan matriks nxn else disp(' ') disp(' P E R H A T I A N ! ! !') disp('BUKAN matriks bujursangkar, nilai eigen tidak

didefinisikan') end

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI