Seminar Sains dan Penididkan Sains VI UKSW Salatiga, 11 Juni 2011 _____________________________________________________________________________________

MASALAH VEKTOR EIGEN MATRIKS INVERS MONGE DI

ALJABAR MAX-PLUS

Farida Suwaibah1, Subiono2, Mahmud Yunus3

Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya1,2,3

e-mail:1 fsuwaibah@yahoo.com ,

ABSTRAK

Pada penelitian ini akan dibahas masalah nilai eigen dan vektor eigen dari matriks invers Monge di Aljabar Max-Plus. Suatu matriks disebut matriks Monge jika entri-entrinya memenuhi:

, untuk semua dan . Sedangkan matriks invers Monge atau sering juga disebut sebagai matriks anti Monge adalah matriks yang entri-entrinya memenuhi:

, untuk semua dan . Dalam paper ini dibahas tentang path monoton. Dengan menggunakan sifat path yang monoton selanjutnya ditentukan matriks yang akan berguna dalam penentuan vektor eigen matriks invers Monge. Pada akhir pembahasan akan diterapkan satu Algoritma untuk mendapatkan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks invers Monge

Kata Kunci: Aljabar max- plus, Matriks invers Monge, Nilai eigen, Vektor eigen.

1. PENDAHULUAN

Pada beberapa permasalahan, matriks digunakan untuk memodelkan suatu sistem dan sistem tersebut di selesaikan sehingga didapatkan solusinya. Dari sebuah matriks dapat ditentukan nilai eigen dan vektor eigen yang mana keduanya memainkan peranan yang sangat penting dalam suatu sistem. Peranan nilai eigen dan vektor eigen di Aljabar Max-Plus diantaranya menggambarkan kestabilan sistem dan menganalisis kedinamikan suatu sistem. Sebagai contoh adalah sistem produksi sederhana yang bisa dilihat di Subiono (2003) dan analisis kedinamikan sistem pada masalah penjadwalan flow shop di Nur Shofianah dan Subiono (2008).

Seperti pada matriks biasa, matriks invers Monge juga mempunyai nilai eigen dan vektor eigen. Banyak permasalahan yang diakui dapat diselesaikan dengan mudah jika melibatkan matriks Monge atau matriks invers Monge. (Aleksey A. Imaev, Robert P.Judd, 2010). Sebagai contoh pada klas travelling salesmen problem (TSP) dengan cost matrix merupakan matriks invers Monge maka akan didapatkan rute terpendek dengan pola tertentu. Sebuah problem spectral pada matriks Monge dan matriks invers Monge di Aljabar Max-Plus telah dipelajari di Gavalec dan Plavka. Di Gavalec dan J.Plavka (2003) ditunjukkan bahwa nilai eigen dari suatu matriks invers Monge yang diberikan dapat ditentukan dengan mengambil nilai maximum dari elemen-elemen pada diagonal utama. Sedangkan di Aleksey, A. Imaev (2009) ditunjukkan peran path monoton dalam menentukan yang digunakan untuk mendapatkan vektor eigen di Aljabar Max-Plus. Selanjutnya diterapkan Algoritma 1, yang dipakai untuk menentukan vektor eigen matriks invers Monge di Aljabar Max-Plus.

Pada penelitian ini akan dibahas mengenai permasalahan yang diberikan oleh Aleksey A. Imaev dan Robert P. Judd yaitu : bagaimana menentukan vektor eigen matriks invers Monge di Aljabar Max-Plus dengan menerapkan satu algoritma.

Page 2

2. ALJABAR MAX-PLUS.

Aljabar max-plus merupakan contoh struktur aljabar yang disebut dioid (semiring idempotent). Aljabar max-plus adalah Himpunan dengan operasi dan yang dinyatakan dengan , dimana dengan

dan . Adapun struktur Aljabar dari dijelaskan dalam definisi berikut:

Definisi 1. Struktur Aljabar (Bacelli, dkk, 1992)

Simbol menyatakan himpunan yang mempunyai dua operasi biner yaitu maksi mum yang dinotasikan dengan dan penjumlahan yang dinotasikan dengan .

Sedemikian hingga untuk setiap berlaku :

dan

Pada operasi mempunyai elemen netral , karena untuk setiap berlaku: dan operasi mempunyai elemen satuan , karena .

Himpunan semua matriks ukuran di Aljabar Max-Plus dinyatakan dengan . Dengan cara yang sama pada aljabar biasa, elemen pada matriks baris ke kolom ke ditulis “ ”, dimana dan . Sebagaimana biasa Matriks dapat ditulis sebagai:

Operasi pada matriks adalah penjumlahan dan perkalian, seperti yang dijelaskan berikut ini:

Penjumlahan matriks dinotasikan dengan dan didefinisikan sebagai: , dengan dan

. Adapun perkalian Skalar dengan matriks , didefinisikan oleh = . Sedangkan Perkalian Matriks dengan Matriks , didefinisikan sebagai:

, dan .

Suatu matriks dapat direpresentasikan ke dalam bentuk graf dan sebaliknya dari suatu graf dapat dinyatakan ke dalam bentuk suatu matriks. dimana elemen-elemen matriks merupakan bobot busur dari graph, seperti disebutkan dalam defnisi berikut:

Definisi 2. Communication Graph (Aleksey Imaev, 2009)

Untuk sebarang matriks dapat dikaitkan dengan sebuah graph ( yang dinotasikan dengan dan disebut dengan “ communication graph” pada . mempunyai node dengan . Untuk sebarang dua node ada sebuah busur dengan bobot jika hanya jika

Page 3

Communication graph dinotasikan dengan

Sebuah path di dapat dinyatakan sebagai urutan dari busur-busurnya yaitu : atau sebagai urutan nodenya yaitu:

Suatu path dikatakan elementer jika tidak ada node terjadi dua kali. Sedangkan suatu sirkuit adalah suatu path dengan atau disebut path elementer tertutup. Dan suatu sirkuit yang mempunyai bobot rata-rata maksimum disebut sirkuit kritis. Pengertian panjang, bobot dan bobot rata-rata untuk suatu sirkuit sama seperti path. (Subiono, 2010)

Panjang suatu path adalah banyaknya busur dalam suatu path yang dinyatakan dengan , sedangkan bobot dari suatu path dinyatakan dengan , yaitu jumlah bobot dari seluruh busur pada suatu path. Sedangkan bobot rata-rata dari path adalah .

Suatu graph dikatakan strongly connected jika untuk sebarang dua node ada suatu path dari ke . Dan suatu matrik dikatakan irreducible jika

communication graphnya adalah strongly connected.

Selanjutnya nilai eigen dan vektor eigen dalam Aljabar Max-Plus diberikan melalui definisi sebagai berikut:

Definisi 3. ( Aleksey, A.Imaev, 2009)

Penentuan suatu nilai dan suatu vektor yang memuat paling sedikit satu elemen berhingga sedemikian hingga memenuhi disebut suatu eigenproblem dari . Maka disebut nilai eigen dan adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen .

Interpretasi grafis nilai eigen dari matriks irreducible adalah sirkuit elemnter di yang mempunyai bobot rata-rata maksimum, atau dengan kata lain:

, (1)

dimana merupakan himpunan sirkuit elementer di .

Selanjutnya, untuk sebarang didefinisikan beberapa hal sebagai berikut:

1......

)1(

k

kk

AAAA

kA

,

1k

Page 4

3. MATRIKS INVERS MONGE

Definisi 4. (Aleksey, A.Imaev, 2009)

Suatu matriks berukuran disebut matriks Monge jika dan hanya jika memenuhi:

, untuk (2)

dan disebut matriks invers Monge jika memenuhi:

untuk (3)

Di Aljabar Max-Plus, suatu matriks disebut matriks invers Monge jika entri-entrinya memenuhi:

Untuk mengetahui suatu matriks ukuran memenuhi matriks invers Monge atau matriks Monge, yaitu dengan memeriksa disetiap submatrik yang berukuran apakah memenuhi pertidaksamaan (2) atau pertidaksamaan (3) (Gerhard J. Woeginger, 2006). Pertidaksamaan (2) atau (3) berlaku untuk baris dan kolom yang berdekatan.

Contoh 1: Matriks dengan ukuran , yaitu:

Ada 9 submatriks ukuran ( yang dapat diperiksa apakah masing-masing submatriks tersebut memenuhi (3), yaitu:

,

,

3. PATH MONOTON

Pada bagian ini akan dijelaskan pengertian suatu path monoton melalui satu definisi, dan beberapa contoh. Dari pengertian path yang monoton dapat di gunakan untuk menentukan “ ” dengan merupakan matriks invers Monge .

Definisi 4.(Aleksey. A.Imaev, 2009)

Diberikan matriks dengan graf dari matriks adalah , selanjutnya di misalkan suatu path dalam yaitu:

,

Titik disebut sebagai puncak, jika

dan .

Sedangkan titik disebut sebagai lembah, jika

dan

Page 5

Definisi 5. (Aleksey. A.Imaev, 2009, hal 97)

Suatu path elementer atau sirkuit elementer dalam graf dikatakan monoton, jika dalam path tersebut tidak terdapat puncak atau lembah.

Dari definisi di atas, berikutnya diturunkan satu Teorema untuk mendapatkan matriks

Teorema 1. (Aleksey, A.Imaev, 2009)

Misalkan merupakan matriks invers Monge dengan , maka:

Dimana menyatakan himpunan semua path mono di dari titik ke

Contoh 2: Diberikan matriks Matriks merupakan matriks invers Monge

yang irreducible. Akan ditentukan matriks dengan memperhatikan path yang monoton di

Pertama, merepresentasi matriks ke graf sebagai berikut:

Gambar 1. Graf

Seperti yang telah disebutkan pada bagian sebelumnya, bahwa eigenvalue untuk suatu matriks sebarang di Aljabar Max-Plus diperoleh dengan menentukan bobot rata-rata maksimum dari sebarang sirkuit di graf

Adapun bobot rata-rata dari sebarang sirkuit di graf diberikan pada tabel berikut ini:

Tabel (1). Tabel sirkuit elementer dari Gambar 1.

Cirkuit Panjang Bobot Bobot rata-rata

1 1 1 2 2 3 3

8 2 7 8 5 9 9

8 2 7 4

3

Berdasarkan Tabel (1) di atas, nilai maksimum bobot rata-rata adalah 8, maka eigenvalue dari adalah 8. dan didapatkan yaitu:

1

3

2

4

1

5

3

2

2 8

7

Page 6

Selanjutnya untuk memperoleh dapat dilakukan dengan memperhatikan path mono dari Terlebih dahulu dibuat graf representasi dari yang ditunjukkan pada gambar berikut:

Adapun path mono dari graf matriks diberikan pada tabel berikut:

Tabel (2). Tabel path monoton dari Gambar 2.

Path Mono dari node ke node

Panjang path mono

Bobot path mono

Bobot maksimum dari node ke node

1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1

0

0

Berdasarkan Tabel (2) diatas, diperoleh matriks

1

3

2

-4 -7

-3

-5

-6

-6 0

-1

Gambar 2. Graf

Page 7

4. Eigenvalue dan Eigenvektor Matriks Invers Monge

Matriks invers Monge seperti halnya matriks biasa juga mempunyai nilai eigen dan vektor eigen. Misalkan dan memenuhi matriks invers Monge maka nilai eigen dari

yang dinotasikan dengan merupakan nilai maksimum dari elemen-elemen pada baris ke kolom ke , sebagaimna dijelaskan dalam teorema berikut:

Teorema(2): (Martin Gavalec, dkk, 2003).

Jika memenuhi matriks invers Monge maka: maxNi

Sedangkan eigenvector dari matriks invers Monge diberikan melalui definisi berikut:

Definisi 6. (Aleksey, A Imaev, 2009, hal 101)

Misalkan dimana n

i 1

adalah eigenvalue dari dan

misalkan merupakan bilangan bulat sedemikian hingga maka vektor kolom ke – dari adalah eigenvector matriks dan , dengan kata lain:

Dari definisi diatas, eigenvector dari suatu matriks dapat ditentukan dengan memperhatikan kolom ke – dari matriks yang memenuhi . Berikut ini diberikan satu teorema yang menjelaskan tentang suatu matriks invers Monge yang irreducible dengan .

Teorema 3. (Aleksey, A.Imaev, 2009)

Misalkan Matriks irreducible dengan dan memenuhi matriks invers Monge, Maka:

, untuk ,

1

1

i

jk

untuk

1

1

j

jk

untuk

Contoh 3: Dari Contoh 2 telah didapatkan matriks . Berdasarkan

Definisi 6 maka vektor eigen dari matriks adalah: .

Selanjutnya, dalam menentukan vektor eigen matriks invers Monge di Aljabar Max-Plus diberikan Algoritma sebagai berikut:

Page 8

Algoritma 1

Input : suatu matriks invers Monge irreducible

Output: Eigenvalue dan eigenvector dari

1: n

i 1

2:

3: Tentukan , sedemikian hingga

4:

5:

6:

7: for to do

8: 1

1

l

ck

9: end for

10: for to 1 do

11: 1

1

c

lk

12: end for

Contoh 4. Misalkan matriks invers Monge pada Contoh 3 di atas, akan ditentukan eigenvalue dan eigenvector dari matriks . Karena matriks memenuhi matriks invers Monge maka dengan menggunakan Teorema (2) diperoleh eigenvalue dari adalah :

3

1i

Dari Contoh 3 diperoleh matriks , sehingga yang memenuhi

adalah 1. Selanjutnya ditentukan eigenvector dari dengan menerapkan Algoritma 1 di atas, melalui tahapan-tahapan sebagai berikut:

Untuk ,

1: , maka diperoleh ,

2: , maka diperoleh

Untuk

Page 9

3: 1

1

l

ck

, diperoleh:

2

2k

Sehingga eigenvector dari adalah: . Hasil perhitungan dari menerapkan Algoritma (1) di atas

apabila di perhatikan menyatakan kolom ke-1 dari matriks

5. Kesimpulan

1. Vektor eigen di Aljabar Max-Plus memainkan peran penting dalam mempelajari perilaku steady state dari Sistem Event Diskret Deterministic Cyclic.

2. Path monoton memainkan peran dalam menentukan vektor eigen matriks invers Monge di Aljabar Max-Plus sehingga:

, dimana yang memenuhi . Selanjutnya untuk mendapatkan vektor eigen digunakan Algoritma 1.

6. DAFTAR PUSTAKA

[1] Baccelli, F., Cohen, G., Olsder, G.J. dan Quadrat, J.P. (1992), Synchronization and Linearity

An Algebra for Discrete Event Systems, John Wiley & Sons, New York. [2] Gavalec, M.,Plavka J, An algorithm for maximum cycle mean of Monge matrices in Max-Algebra, Discrete Applied Mathematics 127(2003) 651-656

[3] Imaev, A.A. (2009). Hierarchical Modeling of Manufacturing Systems Using Max-Plus

Algebra, Disertasi P.Hd,(114pp), Ohio University, Ohio.

[4] Imaev, A.A., Judd, P.R, (2010), Computing an eigenvector of an inverse Monge matrix in Max-Plus Algebra, Discrete Applied Mathematics 158 (2010) Ohio university, Athens, OH 45701, United States. (1701-1707).

[5] Subiono, (2003), Terapan Aljabar Max-Plus pada Sistem Produksi Sederhana serta Simulasinya dengan Menggunakan Matlab, Jurusan Matematika FMIPA ITS Surabaya

[6] Subiono, (2010), Aljabar Max-Plus Dan Terapannya, versi 1.00, Jurusan Matematika FMIPA ITS, Surabaya

[7] Woeginger, G.J, (2006), Some Problem Around Travelling Salesman Problem, The

Algorithmics Column by Gerhard J Woeginger, Departement of Mathematematics and Computer Science Eindhoven University of Technology