Belajar Vektor

MEDAN VEKTOR – MEDAN SKALAR

Lintasan suatu titik p dilukiskan dengan memberikan posisi vektor r = OP

sebagai fungsi t. Vektor fungsi ini diturunkan untuk memberikan kecepatan pada

titik p yang bergerak.

Cairan yang bergerak atau air yang mengalir memberikan gambaran yang

jelas mengenai medan vektor. Pada setiap titik di dalam air terdapat vektor

kecepatan v, ini merupakan kecepatan dari “ partikel air “ yang berlokasi di

titik tersebut.

Untuk setiap titik dalam cairan terdapat vektor kecepatan, dan keseluruhannya

membentuk M e d a n v e k t o r. Medan vektor dapat berubah dengan waktu.

Kalau medan vektor tetap, maka aliran disebut “ aliran tenang “.

Vektor yang membentuk medan vektor dapat merupakan fungsi dari x , y dan

z. Vektor fungsi v ( x,y,z ) dapat didiferensiasikan terhadap x,y dan z.

Perubahan v tidak cukup hanya turunan parsial saja, tetapi memerlukan

kombinasi dari D I V E R G E N S I dan R O T A S I .

Pada setiap titik suatu medan vektor dapat dikaitkan :

Suatu scalar : div v = divergensi v

Suatu vektor : rot v = rotasi v

Jika terhadap setiap titik ( x, y, z ) dari dominan D dalam ruang dikaitkan suatu

vektor v = v ( x , y , z ) , maka dominan D membentuk suatu medan vektor.

Setiap vektor v dari medan vektor dianggap sebagai vektor terikat pada titik

( x,y, z ) bersangkutan.

Jika v dinyatakan dalam komponen maka dapat ditulis

v = vx i + vy j + vz k , atau lengkapnya :

v = vx ( x,y, z ) I + vy ( x, y, z ) j + vz ( x, y, z ) k

MEDAN GRADIEN

Diberikan suatu medan scalar f dalam ruang , kemudian kita pilih suatu sistim

koordinat, sehingga f = f ( x,y, z ) tertentu dalam suatu domain di ruang.

Jika turunan parsial dari f tertentu dalam dominan, maka akan merupakan

komponen-komponen dari vektor gradien f, disingkat grad f.

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB ANDIKA FAJAR

MATEMATIKA III 1

Sehingga kita dapatkan :

Misalkan , jika =

Dituliskan :

Perntataan dalam kurung dapat ditulis dengan symbol , disebut del atau

nabla , maka

Di mana adalah suatu operator diferensial vektor. Dengan sendirinya ,

mempunyai nilai kalau diterapkan pada suatu fungsi.

Operator banyak kegunanaanya. Untuk permukaan ( x, y, z ) C,maka

merupakan vektor tegak lurus permukaan ( x, y, z ) = C

Gradien mengikuti hukum :

grad ( f + g ) = grad f + grad g

grad ( f g ) = f grad g + g grad f

Dengan symbol :

( f + g ) = f + g.

( f g ) = f ( g ) + g ( f )

DIVERGENSI DARI MEDAN VEKTOR

Diberikan suatu medan vektor v dalam dominan D diruang, dan tiga fungsi

scalar vx , vy, vz. Jika masing-masing mempunyai turunan parsial pertama di D,


MATEMATIKA III 2

ke sembilan turunan parsial dapat dibentuk dan dapat merupakan urutan

segi empat.

Tiga skalar-skalar ini membentuk divergensi v , yang berbentuk

Rumus di atas dapat ditulis dalam bentuk symbol div v = v

Uraian rumus tersebut adalah sebagai berikut,

Divergensi mempunyai sifat-sifat dasar :

Div ( u + v ) = div u + div v ; div ( f v ) = f div v + grad f v

Maka jika ditulis dengan symbol nabla menjadi :

ROTASI DARI MEDAN VEKTOR

Dari enam turunan parsial yang masih tersisa dapat dibentuk medan vektor

yang baru disebut “ rot v “ didefinisikan sebagai :

Rotasi dapat dinyatakan dalam :


MATEMATIKA III 3

OPERASI GABUNGAN

Gradien divergensi dan raotasi dapat melakukan operasi gabungan. Hasinya

dapat kita lihat ringkas sebagai berikut :

Maka : ( c f ) = c f ; ( c v ) = c v

Kedua peryataan di atas menandakan bahwa, gradien dan rotasi adalah operator

liner.

Rotasi dari gradien : rot grad f = 0

Penjelasan :

Persamaan di atas dapat ditulis rot grad f = x ( f ) yang merupakan hasil

vector yang segaris atau searah.

Sebaliknya : jika rot v v = 0 , maka v = grad f.

Divergensi dari rotasi : div rot v = 0

Penjelasan :

Persamaan div rot v = div curi v = ( x v ) adalah serupa dengan a. b x c yang

merupakan volume parallelepipedum.]

Maka ( x v ) = volume parallelepipedum berisikan , dan v yang berarti

sebidang sehingga sama dengan nol.

Sebaliknya : Jika div w = 0, maka w = rot v

Operator “ LAPLACE “ berbentuk

Operator laplace diperoleh sebagai berikut ;

2 =


MATEMATIKA III 4

Operator Laplace lazim dengan notasi = 2

Divergensi graden suatu fungsi membentuk operator Laplace pula .]

dif grad = ( f )

Jika dalam suatu dominan berlaku = 0, dikatakan bahwa fungsi f

harmonis dalam dominan tersebut.

RUMUS-RUMUS MENYANGKUT

SOAL 8.

Jika A = x2 yi – 2xzj + 2yz k, carilah curl-curl A

Jawab :

Curl-curl A = x ( x A )

= x [ ( 2x + 2z ) i – ( x2 + 2z ) k


MATEMATIKA III 5

= ( 2 x + 2 ) j

Soal 9

Tentukanlah : a) ( B ) A, B) ( A x )

Jawab :

SOAL 10 .

Lengkung C ditentukan oleh persamaan parameter x = x (s),y = y (s),z = z (s),

dimana s adalah posisi panjang busur C diukur dari sebuah titik tertentu pada


MATEMATIKA III 6

C. Jika r adalah vector posisi dari sebarang titik C , tunjukan bahwa dr / ds

adalah vector satuan tegak lurus pada lengkung C.

Jawab:

adalah menyinggung lengkung x = x (s) , y = y (s), z = z (s).Untuk menunjukan

bahwa besarnya adalah satu, kita tulis

SOAL 11.

a) Tentukan vect or satuan yang menyinggung lengkung x = t2 + 1, y= 4 t – 3, z =

2 t2 – sebarang titik

b). Temtukan vector satuan yang menyinggung lengkung dititik

t = 2

Jawaban :

b) Di t = 2, unit tangent vector


MATEMATIKA III 7

SOAL 12.

Jika A = 5t2 I + t j – t3 k dan B = sin t i – cos t j,

Hitunglah :

Jawab ;

Cara lain :

(b)

Cara lain :


MATEMATIKA III 8

SOAL 13.

Jika A besarnya tetap , tunjukanlah bahwa A dan dA / dt saling tegak lurus

dengan syarat dA dt 0

Jawab :

Karena A konstan , maka A Akonstan pula.

SOAL 14.

Sebuah partikel bergerak sedemikian rupa sehingga vector posisi diberikan oleh r

= cos t + sin t j dengan konstan. Tunjukan bahwa

(a) kecepatan v dari partikel tegak lurus r

(b) percepatan a mengarah ke pusat dan besarnya sebanding

dengan jaraknya terhadap pusat.

(c) r x v = vector konstan.


MATEMATIKA III 9

Jawab :

Maka percepatan a berlawanan arah dengan r berarti mengarah

ke pusat . Besarnya sebanding dengan r yaitu jarak

terhadap pusat karena

adalah vector konstan.

SOAL 15


MATEMATIKA III 10

Jika x = 2, y = 1 dan z = 1 maka diperoleh

SOAL 16.


MATEMATIKA III 11

SOAL 17.

Diberikan F tergantung x, y, z, t sedang x, y dan z adalah fungsi t.


MATEMATIKA III 12

Buktikan bahwa :

Bukti ;

Misalkan F = F1 ( x, y, z, t ) i + F2 ( x, y, z, t ) j + F3 ( x, y, z, t ) k.

Maka

dF = dF1 i + dF2 j + dF3 k

SOAL 18.

Diberikan lengkung dalam ruang dengan persamaan x = t, y = t2

z = t3. Hitunglah

(a) kelengkungan k (b) torsion

Jawab :

(a) vector posisi r = t i = t 2 +


MATEMATIKA III 13

Karena

(b) Dari (a), N =


MATEMATIKA III 14

Maka

= x N

Sekarang

Juga N =


MATEMATIKA III 15

SOAL 19

SOAL 20 .

Tentukanlah

Jawab :

(a) r = x I + y j + z k


MATEMATIKA III 16


MATEMATIKA III 17

Belajar Vektor

Documents

Transcript of Belajar Vektor