DIFERENSIASI VEKTOR

OLEH: NURUL SAILA

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTROFAKULTAS TEKNIK UPM PROBOLINGGO

Senin, 28 Nopember 2011Selasa, 29 Nopember 2011

Definisi:Turunan fungsi f adalah fungsi lain f’ yang nilainya pada sebarang bilangan x adalah:

asalkan limit ini ADAJika limit ini ada, maka dikatakan f terdiferensialkan (terturunkan)

Diferensial Elementer

f’(x) = lim∆𝑥→0 𝑓ሺ𝑥+∆𝑥ሻ−𝑓(𝑥)∆𝑥

1. Jika f(x) = 13x-6, carilah f’(x)2. Jika f(x) = 1/x, carilah f’(x)3. Jika f(x) = x, carilah f’(x)

Contoh:

Misal R(u) sebuah vektor yg bergantung pd sebuah variabel skalar tunggal u. Maka:

Turunan biasa dari R(u) adalah:

jika limit ini ada.

Diferensial Vektor

∆𝑅∆𝑢 = 𝑅ሺ𝑢 + ∆𝑢ሻ− 𝑅(𝑢)∆𝑢

𝑑𝑅𝑑𝑢 = lim∆𝑢→0∆𝑅∆𝑢 = lim∆𝑢→0𝑅ሺ𝑢+ ∆𝑢ሻ− 𝑅(𝑢)∆𝑢

Bila R(u) adalah vektor kedudukan r(u) yg menghubungkan titik asal O dari suatu sistem koordinat dan sebarang titik (x, y, z), maka:

r(u)= x(u)i+y(u)j+z(u)k Bila u berubah, titik terminal r menggambarkan

sebuah kurva ruang yg memiliki persamaan-persamaan parameter: x = x(u), y = y(u), z = z(u)

Maka adalah sebuah vektor yg

searah dg Δr

∆𝑟∆𝑢 = 𝑟ሺ𝑢+ ∆𝑢ሻ− 𝑟(𝑢)∆𝑢

Jika maka limitnya akan berupasebuah vektor yg searah dg arah garis singgung pd kurva ruang di (x, y, z), yaitu:

Bila u adalah waktu t, maka men yatakan kecepatan v, dimana titik terminal r menggambarkan kurvanya.

Dengan cara yg sama menyatakan percepatan a sepanjang kurva

lim∆𝑢→0 ∆𝑟∆𝑢 = 𝑑𝑟𝑑𝑢 𝑎𝑑𝑎,

𝑑𝑟𝑑𝑢 = 𝑑𝑥𝑑𝑢𝑖 + 𝑑𝑦𝑑𝑢𝑗+ 𝑑𝑧𝑑𝑢𝑘 𝑑𝑟𝑑𝑢

𝑑𝑣𝑑𝑡 = 𝑑2𝑟𝑑𝑡2

1. Diketahui R = sint i+cost j+tk. Carilah:

2. Sebuah partikel bergerak sepanjang sebuah kurva yg persamaan parameternya adalah x =e-t, y = 2 cos 3t, z=2 sin 3t, dimana t adalah waktu. (a) tentukan kecepatan dan percepatannya pd sebarang saat (b) Carilah besar dari kecepatan dan percepatan pd t = 0.

Problems:

𝑎) 𝑑𝑅𝑑𝑡 𝑏) 𝑑2𝑅𝑑𝑡2 𝑐) ฬ𝑑𝑅𝑑𝑡ฬ 𝑑)ቤ𝑑2𝑅𝑑𝑡2ቤ

DIFERENSIASI VEKTOR

OLEH: NURUL SAILA

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTROFAKULTAS TEKNIK UPM PROBOLINGGO

Senin, 5 Dosember 2011Selasa, 6 Desember 2011

1. Sebuah partikel bergerak sepanjang kurva x=2t2, y = t2-4t, z=3t-5, dimana t adalah waktu. Carilah komponen-komponen kecepatan dan percepatannya pd saat t=1 dlm arah i-3j+2k.

2. Diketahui persamaan kurva: x=t2+1, y=4t-3, z=2t2-6t.

a) Carilah vektor singgung satuan pd sebarang titik thd kurva tsb.

b) Tentukan vektor singgung satuan ini pd titik dimana t=2.

Problems

Jika A, B dan C adalah fungsi-fungsi vektor dr sebuah skalar u yg diferensiabel dan sebuah fungsi skalar dr u yg diferensiabel, maka:

Rumus-rumus Diferensiasi

1. dduሺA+ Bሻ= dAdu + dBdu

2. 𝑑𝑑𝑢 ሺ𝐴.𝐵ሻ= 𝐴.𝑑𝐵𝑑𝑢 + 𝑑𝐴𝑑𝑢 .𝐵

3. dduሺAxBሻ= AxdBdu + dAdu xB 4. 𝑑𝑑𝑢 ሺ𝐴ሻ= 𝑑𝐴𝑑𝑢 + 𝑑𝑑𝑢 𝐴

Jika A, B dan C adalah fungsi-fungsi vektor dr sebuah skalar u yg diferensiabel dan sebuah fungsi skalar dr u yg diferensiabel, maka:

5. 𝑑𝑑𝑢 ሺ𝐴.𝐵𝑥𝐶ሻ= 𝐴.𝐵𝑥𝑑𝐶𝑑𝑢 + 𝐴.𝑑𝐵𝑑𝑢 𝑥𝐶+ 𝑑𝐴𝑑𝑢 .𝐵𝑥𝐶

6. 𝑑𝑑𝑢 ሼ𝐴𝑥ሺ𝐵𝑥𝐶ሻሽ= 𝐴𝑥ቀ𝐵𝑥𝑑𝐶𝑑𝑢ቁ+ 𝐴𝑥ቀ𝑑𝐵𝑑𝑢 𝑥𝐶ቁ+ 𝑑𝐴𝑑𝑢 𝑥(𝐵𝑥𝐶)

1. Jika A=5t2 i+tj-t3k dan B=sint i-cost j, carilah:

2. Vektor kedudukan dari sebuah partikel yg bergerak diberikan oleh r=cos t i+sin t j, dimana konstan. Tunjukkan bahwa:

(a) kecepatan (v) dr partikel tegaklurus r.(b) arah percepatan menuju ke titik asal.(c) rxv = vektor konstan.

Problems

ሺ𝑎ሻ𝑑𝑑𝑡ሺ𝐴.𝐵ሻ ሺ𝑏ሻ𝑑𝑑𝑡ሺ𝐴𝑥𝐵ሻ ሺ𝑐ሻ𝑑𝑑𝑡(𝐴.𝐴)

TERIMAKASIHTELAH MENGIKUTI

PERKULIAHAN INI DENGAN BAIK

ASSALAMU’ALAIKUM WAROHMATULLOHI WABAROKATUH

NURUL SAILA

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTROFAKULTAS TEKNIK UPM PROBOLINGGO

Senin, 5 Desember 2011Selasa, 6 Desember 2011