Dalam -...
15
1 DIFERENSIASI VEKTOR Fungsi Vektor Jika sembarang nilai skalar dikaitkan dengan suatu vektor , maka bisa dinyatakan sebagai fungsi vektor dari atau , yaitu suatu vektor yang komponen-komponennya merupakan fungsi dari nilai skalar . Dalam fungsi vektor biasa ditulis dengan, Dalam fungsi vektor ditulis dengan, Konsep fungsi vektor ini dapat diperluas, jika sembarang titik di dikaitkan dengan suatu vektor , maka dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor sebagai berikut. Turunan Biasa Definisi Turunan Vektor adalah sebuah fungsi vektor yang bergantung pada sebuah variabel , didefinisikan turunan dari sebagai berikut. Jika limitnya ada.
Transcript of Dalam -...
1
DIFERENSIASI VEKTOR
Fungsi Vektor
Jika sembarang nilai skalar dikaitkan dengan suatu vektor , maka bisa
dinyatakan sebagai fungsi vektor dari atau , yaitu suatu vektor yang
komponen-komponennya merupakan fungsi dari nilai skalar .
Dalam fungsi vektor biasa ditulis dengan,
Dalam fungsi vektor ditulis dengan,
Konsep fungsi vektor ini dapat diperluas, jika sembarang titik di
dikaitkan dengan suatu vektor , maka dapat dinyatakan dalam bentuk
fungsi vektor sebagai berikut.
Turunan Biasa
Definisi Turunan Vektor
adalah sebuah fungsi vektor yang bergantung pada sebuah variabel ,
didefinisikan turunan dari sebagai berikut.
Jika limitnya ada.
2
Jika fungsi vektor dengan fungsi –fungsi
skalar , , dan dapat dideferensialkan terhadap variabel ,
maka mempunyai turunan variabel yang dirumuskan sebagai berikut :
Sifat-sifat Turunan Biasa Fungsi Vektor
Jika , , dan adalah fungsi-fungsi vektor dari sebuah skalar yang
diferensiabel dan sebuah fungsi skalar dari yang diferensiabel, maka :
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
( ) (
) (
)
(6)
( ) (
) (
)
Bukti :
(1)
[ ] [ ]
(2)
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
3
(3)
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
(4)
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
(5)
( )
(
)
(
) (
)
(6)
( )
(
)
(
) (
)
Contoh 1
4
Jika , tentukan
Penyelesaian
( ( ))
( )
( )
( )
Contoh 2
Jika dan . Tentukan
di .
Penyelesaian
Cara 1
Pada saat , maka :
Cara 2
[ ] [
]
5
Pada saat , maka :
Contoh 3
Jika , tentukan vektor singgung satuan
pada titik .
Penyelesaian
Vektor singgung satuan
|
|
[ ]
|
| √ √ √
√
Saat , maka
√
Contoh 4
Diketahui , carilah :
(a)
(b)
(c) |
|
(d) |
|
Penyelesaian
6
(a)
(b)
(
)
(c) |
| √ √
(d) |
| √
Contoh 5
Sebuah partikel bergerak sepanjang sebuah kurva yang persamaan
parameternya adalah , , dan , dimana adalah
waktu.
(a) Tentukan kecepatan dan percepatannya pada sembarang saat.
(b) Carilah besar dari kecepatan dan percepatan pada .
Penyelesaian
(a) Vektor kedudukan
Maka kecepatannya
Dan percepatannya
(b) Pada
Maka :
Besar kecepatan pada saat adalah √ √
Besar percepatan pada saat adalah √ √
Contoh 6
7
Jika dan , carilah :
(a)
(b)
(c)
Penyelesaian
(a)
Atau dengan cara lain, kita cari dulu , kemudian kita turunkan.
(b)
|
| |
|
[ ] [
]
Atau dengan metode lain, yaitu cari dulu kemudian turunkan.
(c)
8
Atau dengan cara lain, kita cari dulu , kemudian turunkan.
Contoh 7
(a) Carilah vektor singgung satuan pada sembarang titik terhadap kurva
, , dan .
(b) Tentukan vektor singgung satuan ini pada titik dimana .
Penyelesaian
(a) Vektor singgung terhadap kurva pada sembarang titik adalah
[ ] .
Vektor ini besarnya |
| √
Maka vektor singgung satuan yang dikehendaki adalah
√
Perhatikan bahwa karena |
|
, maka
⁄
⁄
(b) Pada , vektor singgung satuan adalah
√
.
Vektor Singgung Satuan
9
Misalkan adalah vektor posisi yang
menghubungkan titik pangkal dengan sebarang titik dalam
ruang .
Jika u berubah, maka :
Adalah sebuah vektor yang searah dengan ⃑.
Sedangkan,
[ ] [ ]
Adalah sebuah vektor yang searah dengan arah garis singgung pada karva
ruang di
Jika adalah vektor singgung satuanya, maka :
|
|
Rumus Frenet-Serret
10
Jika kurva dalam ruang adalah sebuah kurva ruang yang didefinisikan
oleh kurva ⃑ , maka kita telah mengetahui bahwa
adalah sebuah vektor
yang searah dengan garis singgung pada . Jika skalar diambil sebagai
panjang busur yang diukur dari suatu titik pada , maka :
Adalah sebuah vektor singgung satuan pada .
Laju perubahan terhadap adalah ukuran dari kelengkapan dan
dinyatakan dengan,
Arah dari
pada sebarang titik pada adalah normal terhadap kurva pada
titik tersebut. Jika adalah sebuah vektor satuan dalam arah normal ini,
maka disebut normal utama pada kurva.
Jadi,
11
Dimana disebut kelengkungan dari pada titik yang dispesifikasikan.
Besaran
Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang dan sedemikian rupa
sehingga
Disebut binormal terhadap kurva. Dari sini diperoleh bahwa , , dan
membentuk sebuah sistem koordinat tegak lurus tangan kanan pada
sebarang titik dari .
Himpunan relasi-relasi yang mengandung turunan-turunan dari vektor-
vektor , , dan dikenal dengan rumus Frenet-Serret yang diberikan oleh :
dimana adalah sebuah skalar yang disebut torsi.
Besaran
Disebut jari-jari torsi.
12
Contoh 1
Untuk , , dan . Carilah :
(a) Vektor singgung satuan
(b) Normal utama , kelengkungan dan jari-jari kelengkungan
(c) Binormal , torsi dan jari-jari torsi
Penyelesaian
(a) Vektor kedudukan dari sebarang titik pada kurva adalah
, maka :
|
| √ √
Jadi,
⁄
⁄
(b)
(
)
⁄
⁄
Karena
, maka :
| | |
|
| | √(
)
(
)
√
dan
Dari
diperoleh :
(
)
13
(c) |
|
⁄
⁄
Dari
, diperoleh :
dan
14
Soal-soal Latihan
1. Carilah kecepatan dan percepatan sebuah partikel yang bergerak
sepanjang kurva , , dan pada saat
serta carilah besarnya kecepatan dan percepatan.
2. Jika dan .
Tentukan
pada saat .
3. Carilah vektor singgung satuan pada saat pada kurva
,
, dan
.
15
DAFTAR PUSTAKA
Alamsyah. 2014. Analisis Vektor. Pringsewu : STKIP Muhammadiyah
Pringsewu Lampung.
Noeniek Soemartoyo. 1982. Analisa Vektor. Jakarta : Penerbit Erlangga.
Calculus Vector. http://file.upi.edu. Diunduh : 13 April 2015.
Diferensial Vektor. http://nurulsyaillah.files.wordpress.com. Diunduh : 13
April 2015.
Diferensial Vektor. http://zacoeb.lecture.ub.ac.id. Diunduh : 13 April 2015.
Diferensiasi Vektor. http://annymath.files.wordpress.com. Diunduh : 13
April 2015.
