makalah vektor

2011

Oleh:

Muhammad Adib Achsan 08144100088

Tusiyamah 0814410059

Listiyana 0814410073

Materi vektor untuk SMA Kelas III

Tugas Mata Kuliah Pengembangan Pembelajaran Matematika Sekolah II

Materi vektor untuk SMA Kelas III 2011

Standar kompetensi:

1. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.

Kompetensi dasar:

3.4 Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah.

3.5 Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan

masalah.

Indikator:

1. Menjelaskan vektor sebagai besaran yang memiliki besar dan arah.

2. Mengenal vektor satuan.

3. Menentukan operasi aljabar vektor: jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan skalar, dan

lawan suatu vektor.

4. Menjelaskan sifat-sifat vektor secara aljabar dan geometri.

5. Menggunakan rumus perbandingan vektor

6. Menentukan hasil kali skalar dua vektor dibidang dan ruang.

7. Menjelaskan sifat-sifat perkalian skalar dua vektor.

A. VEKTOR DI R2

1. Besaran Skalar dan Besaran Vektor

Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang atau nilai) saja atau

besaran yang tidak memiliki arah.

Misalnya: waktu, suhu, panjang, luas, volum, massa, dan sebagainya.

Besaran vektor adalah besaran yang memiliki besar (panjang atau nilai) juga memiliki

arah.

Misalnya: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan magnet, medan listrik, dan

sebagainya.

2. Notasi Vektor

Vektor adalah suatu ruas garis berarah yang arah dan panjangnya tertentu. Panjang

tertentu itu disebut panjang (besar, nilai) vektor.



Vektor dinyatakan dengan huruf latin, misalnya 푢, 푢, u (huruf yang ditebalkan) atau u

(huruf yang dimiringkan). Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka ditulis

dengan lambang u = 퐴퐵⃗

Panjang (besar nilai) vektor u denyatakan dengan |풖| dan vektor AB dinyatakan dengan

퐴퐵⃗ .

u = 퐴퐵⃗ (퐴퐵⃗ mewakili u)

u dibaca “vektor u”

퐴퐵⃗ dibaca “vektor AB”

퐴퐵⃗ = vektor yang pangkalnya A dan ujungnya B.

3. Penyajian Suatu Vektor

(i) Vektor u dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan, misalnya u = , atau u =

(a, b) dengan a = komponen mendatar dan b = komponen vertikal.

(ii) Vektor sebagai kombinasi vektor satuan. Vektor u dapat dibentuk menggunakan

vektor satuan i dan j, misalkan u = ai + bj

4. Panjang Vektor

Misalkan u = 푎푏 , maka panjang (besar, nilai) vektor u ditentukan dengan rumus:

|퐮| = √푎 + 푏 .

5. Kesamaan Vektor

Dua buah vektor dikatakan sama, bila besar dan arahnya sama.

Misalkan u = 푎푏 dan v = 푐푑 . Jika u = v, maka |퐮| = |퐯| dan arah u = arah v, sehingga

a = c dan b = d.

6. Operasi Vektor

(i) Operasi Penjumlahan Vektor

Jumlah dua vektor u dan v adalah suatu vektor w yang dituliskan dengan diagonal

jajargenjang yang sisinya u dan v, ditulis w = u + v.

Penjumlahan Vektor Menurut Aturan Segitiga dan Jajargenjang

A

u

B

Gambar 1.1



Penjumlahan Vektor Menggunakan Bentuk Pasangan Bilangan.

Jika u = 푎푏 dan v = 푐푑 , maka u + v = 푎푏 + 푐푑 = 푎 + 푐

푏 + 푑

(ii) Elemen Identitas dan Invers Aditif

Vektor yang memiliki besar nol disebut vektor nol, ditulis 0. Vektor nol disebut

elemen identitas.

u + 0 = 0 + u = u

Misalnya u = 푎푏 dan 0 = 00 , maka u + 0 = 푎푏 + 0

0 = 푎푏

Jika u adalah sebarang vektor bukan vektor nol, maka –u adalah invers aditif u yang

didefinisikan sebagai vektor yang memiliki besar sama tetapi berlawanan arah.

u – u = u + (-u) = 0

(iii) Operasi Pengurangan Vektor

Selisih dua vektor u dan v, ditulis u − v didefinisikan u + (-v).

Pengurangan Vektor Menggunakan Aturan Segitiga dan Jajargenjang

.

Pengurangan Vektor Menggunakan Bentuk Pasangan Bilangan.

Jika u = 푎푏 dan v = 푐푑 , maka u + v = 퐮 + (−퐯) = 푎푏 + −푐

−푑 = 푎 − 푐푏 − 푑

(iv) Operasi Perkalian Vektor dengan Skalar

m u adalah suatu vektor yang panjangnya |푚| kali vektor u dan searah dengan u jika

m> 0 dan berlawanan arah dengan u, jika m < 0.

Jika m∈ {푏푖푙푎푛푔푎푛 푟푒푎푙} dan u = 푎푏 maka mu = m 푎푏 = 푚푎

푚푏



휃

휃

7. Sifat-sifat Operasi Vektor

(i) Sifat komutatif: u + v = v + u

(ii) Sifat asosiatif: (u + v) + w = u + (v + w)

(iii) Ada elemen identitas terhadap penjumlahan u + 0 = 0 + u = u

(iv) Sifat tertutup: hasil penjumlahan berupa vektor lagi.

(v) Ketidaksamaan segitiga: |퐮 + 퐯| ≤ |퐮| + |퐯|

(vi) 1u = u

(vii) 0u = 0 atau m0 = 0

(viii) Jika m0 = 0, maka m = 0 atau u = 0

(ix) (mn)u = m(nu)

(x) |푚퐮| = |푚||퐮|

(xi) (-m)u = -(mu) = m(-u)

(xii) Sifat distributif: (m + n)u = mu + nu

(xiii) Sifat distributif: m(u + v) = mu + mv

(xiv) u + (-1)u = u + (-u) = 0

8. Besar Suatu Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

(i) Jika u = 푎푏 dan v = 푐푑 , maka u + v = 푎 + 푐푏 + 푑

dan besarnya |퐮 + 퐯| = (푎 + 푐) + (푏 + 푑)

(ii) Jika u = 푎푏 dan v = 푐푑 , maka u - v = 푎 − 푐푏 − 푑

dan besarnya |퐮 − 퐯| = (푎 − 푐) + (푏 − 푑)

(iii) |퐮 + 퐯| = |퐮| + |퐯| + 2|퐮||퐯|푐표푠휃

(iv) |퐮 − 퐯| = |퐮| − |퐯| − 2|퐮||퐯|푐표푠휃



∝ 훽

훼 훽

훽 = arah vektor hasil penjumlahan

퐮 + 퐯푠푖푛훼 =

퐮sin (훼 − 훽) =

퐯푠푖푛훽

0A = a dan 0B = b adalah vektor – vektor posisi

= 퐴0⃗ + 0퐵⃗

= b - a

퐴퐵⃗ = 퐴0⃗ + 0퐵⃗

9. Arah Suatu Vektor hasil Penjumlahan dan Pengurangan Arah Suatu Vektor Hasil Penjumlahan

퐮 퐯 = 퐮 ( )

= 퐯

훽 = arah vektor hasil penjumlahan

Arah Suatu Vektor Pengurangan

10. Vektor Posisi

Jika A = (a1, a2) dan B = (b1, b2), maka:

퐴퐵⃗ = 퐛 − 퐚 =푏ퟏ푏ퟐ

−푎ퟏ푏ퟐ =

푏ퟏ − 푎ퟏ푏ퟐ − 푎ퟐ

11. Rumus Pembagian Ruas Garis dalam Bidang dalam Bentuk Vektor dan Koordinat

Pembagian ruas garis dalam bidang dalam bentuk vector ditentukan oleh rumus:

Jika 0 adalah suatu titik yang diketahui P adalah titik pada ruas garis AB, sehingga AP :

PB = m:n, maka:

0푃⃗ =푛0퐴⃗ + 푛0퐵⃗푚 + 푛 ↔ 퐏 =

푛퐚+ 푚퐛푚 + 푛

o Jika P adalah titik tengah dari ruas garis AB, maka:

0푃⃗ =12 0퐴⃗ + 0퐵⃗ ↔ 퐏 =

12

(퐚 + 퐛)



Pembagian ruas garis dalam bidang dalam bentuk koordinat ditentukan oleh rumus:

o Jika A(x1, y1), B(x2, y2), dan P(xp, yp) terletak pada ruas garis AB, sehingga AP:PB =

m:n, maka:

푥 = dan 푦 =

o Jika titik P titik tengah ruas garis AB, maka:

푥 = (푥 + 푥 ) dan 푦 = (푦 + 푦 )

B. VEKTOR DI R3

1. Sistem Koordinat dalam Ruang

Pada sistem koodinat dalam ruang sumbu X, sumbu Y, dan sumbu Z berpotongan di titik O (0,0) dan saling tegak lurus. Sumbu OX ke kanan, sumbu OY ke belakang, dan sumbu OZ ke atas masing-masing adalah sumbu negative. Posisi titik P (x1, y1, z1) terletak di kuadran pertama, dengan x1 adalah jarak P ke bidang YOZ, y1 adalah jarak P ke bidang XOZ, dan z1 adalah jarak P ke bidang XOY.

2. Vektor Basis dalam Ruang

Vector satuan dalam arah sumbu X disebut i Vector satuan dalam arah sumbu Y disebut j Vector satuan dalam arah sumbu Z disbeut k Tripel i, j, dan k merupakan kumpulan vector basis. Dalam bentuk komponen vector-vector satuan dinyatakan sebagai:

i = 100

, j = 010

, dan k = 001

3. Vektor Baris dan Vektor Kolom

Jika p sebarang vector titik P (x1, y1, z1) dan p = 푂푃⃑ maka p = x1i + y1j + z1k Vector p = x1i + y1j + z1k dapat dinyatakan dalam vector baris, yaitu p = (x1, y1, z1) Vector p = x1i + y1j + z1k dapat dinyatakan dalam vector kolom, yaitu2

p = 푥푦푧



4. Vektor Posisi dari Suatu Titik

Misalkan P Suatu titik dan O adalah titik pusat, maka 푂푃⃑ adalah vector posisi dari titik P

(i) Jika P (xp, yp) maka vector posisi dari titik P adalah 푂푃⃑ = p = 푥푦

(ii) Jika P (xp, yp, zp) maka vector posisi dari titik P adalah 푂푃⃑ = p = 푥푦푧

(iii) 퐴퐵⃑ = 퐴푂 ⃑+ 푂퐵⃑

= 푂퐵⃑ + 푂퐴⃑ = b – a

Jika A (a1, a2, a3) dan B (b1, b2, b3), maka 퐴퐵⃑ = 푏 − 푎푏 − 푎푏 − 푎

5. Kesamaan Vektor

Dua vector u dan v dikatakan sama ditulis u = v, jika benar dan arah kedua vector itu sama.

Misalkan u = 푎푎푎

dan v = 푏푏푏

, maka u = v jika a1 = b1, a2 = b2 dan a3 b3

6. Operasi penjulaman, pengurangan, dan perkalian vector dengan bilangan real

(a) Jika u = 푎푎푎

, v = 푏푏푏

, dan m (bilangan real) atau m scalar, maka

(i) Operasi penjumlahan vector

u + v = 푎푎푎

+ 푏푏푏

= 푎 + 푏푎 + 푏푎 + 푏

(ii) Operasi pengurangan vector

u - v = 푎푎푎

- 푏푏푏

= 푎 − 푏푎 − 푏푎 − 푏

(iii) Operasi Perkalian Vektor dengan Bilangan real (Skalar)

mu = m 푎푎푎

= 푚푎푚푎푚푎



(b) Sifat-sifat Operasi Vektor

Jika u, v, dan w adalah vector; m dan n adalah scalar, maka berlaku sifat-sifat : (i) Komutatif penjumlahan : u + v = v + u

(ii) Asosiatif penjumlahan : (u + v) + w = u + (v + w)

(iii) Komutatif perkalian : mu = um

(iv) Asosiatif perkaliabn (mn) u = m (nu)

(v) Distributif : (m + n) = mu + nu

m (u + v) = mu + mv

7. Hubungan antara Vektor

(a) Jika vector u dan v koliner segaruis maka u = mv atau titik A, B, dan C dikatakan koliner jika

퐴퐵⃑ = 푚 퐵퐶 ⃑, dengan m adalah scalar atau bilangan real.

(b) Vektor u dan v yang bukan vektor nol dan tidak kolinear dikatakan koplanar (sebidang)

dengan vektor w, jika dan hanya jika terdapat bidang real m dan n, sedemikian hingga

w =mu+nv

(c) Jika vektor u, v, dan w bukan vektor nol, tidak kolinear, dan tidak koplanar, maka hanya ada

satu cara untuk menyatakan setup p dalam bentuk lu + mv + nw, dengan 1, m, dan n

bilangan real.

(d) Vektor u, v, dan w yang bukan vektor nol adalah tidak koplanar, jika dan hanya jika

memenuhi syarat “Jika lu + mv + nw = 0, maka l = 0, m = 0, dan n = 0”.

8. Rumus Pembagian Ruas Garis dalam Ruang dalam Bentuk Vektor dan Bentuk Koordinat

(a) Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan m : n

Sebuah titik P disebut membagi AB di dalam dengan perbandingan m: n, jika AP : PB =m : n, .dengan m > 0 dan n> 0 Sebuah titik P disebut membagi AB di luar dengan perbandingan m: n, jika AP : PB = m :-n dengan m>0 dan n>0. Pada Gambar 1.14(a), AP : PB = 1: 1 dan AP : A B = 1: 2 Pada Gambar 1.14(b), AP : PB = 2: 1 dan A P : AB = 2: 3 Pada Gambar 1.14(c), AP : PB = 2:-I atau -2 : 1 dan AP : AB = 2 : 1 Pada Gambar 1.14(d), AP : PB = -1 : 4 dan AP : AB =-1 : 3



Pada Gambar 1.14(e), AP : PB = m: n dan AP : AB = m : (m + n)

(b) Rumus Pembagian Ruas Garis dalam Ruang dalam Bentuk Vektor

Jika p adalah vektor posisi titik P yang membagi AB dengan perbandingan m : n, maka

풑 = 풎풃 풏풂

a vektor posisi titik A(x1, y1, z1) b vektor posisi titik B(x2, y2, z2)

p vektor posisi titik P(xp, yp, zp)

Gambar 1.15

Dalam hal khusus, P sebagai titik tengah dari AB, maka m: n = 1: I dan p= ퟏퟐ(a+b).

(c) Rumus Pembagian dalam Bentuk Koordinat

Bila P(xp, yp, zp) membagi garis yang menghubungkan A(x1, y1, z1) dan B(x2, y2, z2) dengan perbandingan m: n, maka koordinat P adalah:

푥 =푚푥 + 푛푥푚 + 푛

,푦 = 푚푦 + 푛푦푚 + 푛

푑푎푛 푧 = 푚푧 + 푛푧푚 + 푛

9. Panjang Vektor dalam Ruang

(a) Misalkan vektor u = li + mj + nk atau u = 푙푚푛

, maka :

(i) panjang (besar) vektor u, ditulis |푢| ditentukan oleh rumus |푢| = √푙 + 푚 + 푛

(ii) panjang vektor satuan dari u adalah 1, vektor satuan biasa disebut dengan e tentukan oleh rumus

푒 = | | =√

푙푚푛

(iii) besar sudut-sufut antara u dengan sumbu X, sumbu Y, dan sumbu Z yang dinyatakan dengan , β, dan γ ditentukan dengan rumus kosinus arahnya :

cos훼 = | | =√

cos β =푚|푢| =

푚√푙 + 푚 + 푛

cos γ =푛

|푢| =푚푛

√푙 + 푚 + 푛

(b) Bila A (x1, y1, z1) dan B (x2, y2, z2), maka 퐴퐵⃑ mewakili vektor 푥 − 푥푦 − 푥푧 − 푧

, maka jarak antara

A dan B adalah :

|퐴퐵|⃑ = (x − x ) + (y − y ) + (z − z )



PROYEKSI ORTOGONAL SUATU VEKTOR PADA VEKTOR LAIN

Bila a diwakili oleh 푂퐴⃑, b diwakili oleh 푂퐵⃑, θ sudut antara a dan b, A’ adalah proyeksi ortogonal A pada 푂퐵⃑ yang diwakili oleh c, maka:

(i) proyeksi skalar a pada b adalah |푐|yang ditentukan oleh rumus |푐| = .| |

(j) proyeksi vektor a pada b adalah c yang ditentukan oleh rumus |푐| = .| | 푏

Sudut antara vektor-vektor a dan b dapat diketahui:

(i) jika |푐| > 0, maka 0< θ <

(ii) jika |푐| = 0, maka θ =

(iii) jika |푐|< 0, maka < 0 < 휋

makalah vektor

Documents

Transcript of makalah vektor