Ruang-ruang Vektor Umum

8/12/2019 Ruang-ruang Vektor Umum

1/34

Ruang-ruang Vektor Umum

Adhi Kusuma Fothera 130210013

Whismanto 130210019Hendry 130210026


2/34

Aksioma Ruang Vektor

Anggap Vadalah sebarang himpunan tak-kosong dari objek dimana dua operasi didefinisikan yaitu penjumlahan dan perkalian

dengan scalar ( bilangan ).Yang kami maksud dengan

penjumlahan adalah suatu aturan yang menghubungkan setiap

pasangan objek u dan v dalam Vdengan suatu objek u + v, yangdisebut sebagai jumlah u dan v, yang dimaksud dengan perkalian

skalar adalah suatu aturan yang menghubungkan setiap scalar k

dan setiap objek u dalam V dengan objek ku, yang disebut

perkalian skalar dari u dengan k. Jika aksioma berikut ini

dipenuhi oleh semua objek u, v, w dalam Vdan semua skala k

dan l, maka disebut Vsebagai ruang vektor dan disebut objek

dalam Vsebagai vektor.


3/34

Jika u dan v adalah ojekobjek dalam V, maka u + v berada dalam

V.

u + v = v + u

u + (v + w) = (u + v) + w

Ada suatu objek 0 dan V, yang disebut suatu vector nol untuk V,

sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u dalam V.

Untuk setiap u dalam V, ada suatu objeku daam V, yang disebut

negatif dari u, sedemikian sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0

Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang objek dalam V,

maka ku ada dalam V.

k(u + v) = ku + kv

(k + l)u = ku + lu k(lu) = (kl)u

lu = u


4/34

Beberapa Sifat Vektor

Anggap V adalah suatu ruang vektor u suatu vektor

dalam V, dan k suatu skalar; maka:

0u = 0

K0 = 0

(-1)u = -u

Jika ku = 0, maka k = 0 atau u = 0


5/34

Subruang (Subspace)

Definisi suatu himpunan bagian w dari suatu ruang vektor V

disebut suatu sub-ruang dari V jika W sendiri adalah suatu

ruang vector dibawah penjumlahan dan perkalian scalar yang

didefinisikan pada V.

Teorema : Jika W adalah suatu himpunan satu atau lebih

vector dari ruang vector V, maka W adalah suatu sub-ruangdari V jika dan hanya jika syarat syarat berikut ini terpenuhi.


6/34

Jika u dan v adalah vectorvector dalam W,

maka u + v ada dalam V.

Jika k adalah sembarang skalar dan u adalah

sembarang vektor dalam W, maka ku ada

dalam W.


7/34

Ruangruang Penyelesaian untuk

systemsystem Homogen

Teorema : Jika Ax= 0 Adalah suatu system linear homogen dari m

persamaan dalam n peubah, maka himpunan vektor penyelesaiannya

adalah suatu sub-ruang dari Rn.

Bukti: Anggap W adalah himpunan vektor penyelesaian. Paling tidak ada

satu vector dalam W, yaitu 0. Untuk menunjukkan bahwa W tertututp

terhadap penjumlahan dan perkalian scalar, kita harus menunjukkan

bahwa jika x dan x adalah sebarang vektorvektor penyelesaian dan k

adalah sebarang skalar, maka x + x dan k x juga merupakan vektorvektor

penyelesaian. Tetapi jika x dan x adalah vektorvektor penyelesaian,maka Ax = 0 dan Ax=0

Didapatkan bahwa:A(x + x) =Ax +Ax = 0 + 0 = 0 danA(kx) = kAx = k0 = 0 .

Yang membuktikan bahwa x + x dan kx dan vektorvektor penyelesaian.


8/34

Kombinasi Linear

Definisi Suatu vektor w disebut suatu kombinasi linear

dari vector-vektor v1,v2,v,jika bisa dinyatakan dalam

bentuk w=k1v1+ k2v2+ .+ krvr dengan k1,k2,,kr

adalah skalar. Jika r = 1, maka persamaan dalam definisi

di atas menjadi w= k1v1; yaitu,w adalah suatu, w adalah

suatu kombinasi linear dari suatu vektor tunggal v1jika

w adalah suatu pengandaan skala dari v1.


9/34

Rentang

Teorema berikut ini menunjukkan bahwa jika

menyusun suatu himpunan W yang terdiri dari suatu

vektor-vektor yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi

dari v1,v2,v, itu, maka W membentuk suatu sub-ruang

dari V. Torema jika v1,v2,v, adalah vektor-vektor dalamsuatu ruang vector V, maka


10/34

Himpunan W semua kombinasi linear dari

v1,v2,v, merupakan suatu sub-ruang dari

v1,v2,v,.

W adalah sub-ruang terkecil dari V yang berisi

v1,v2,v, dalam pengertian bahwa setiap sub-

ruang lain dari V yang berisi v1,v2,v, pasti

mengandung W.


11/34

Kebebasan Linear

Definisi : Jika S={v1,v2,...,vr} adalah himpunan vektor tak

nol, maka :

k1v1+ k2v2+ .+ krvr= 0

hanya mempunyai satu solusi yaitu k1= 0 , k2= 0, ... , kr=

0 (SPL homogen tersebut memiliki solusi trivial), maka S

disebut himpunan yang bebas linear. Bila ada solusi lain,

dinamakan himpunan bergantung linear.


12/34

Contoh :

Buktikan jika v1=(2,-1,0,3), v2=(1,2,5,-1), v3=(7,-1,5,8) maka himpunan

vektor-vektor S = {v1,v2,v3} tak bebas secara linear karena 3v1+v2-v3=0

Penyelesian :

B42(3)

B43(-1)

B12(2)


13/34

B31(-)

B1(1/5)

B21(-2)


14/34

Maka :

k2+k3=0 , k2= - k3

-k1-3k3=0 , -k1=3k3, k1= -3k3

Sehingga : -3k3v1k3v2+ k3v3= 0 (dikali -1)

3v1+v2-v3= 0 Jadi terbukti, v1=(2,-1,0,3), v2=(1,2,5,-1), v3=(7,-

1,5,8) maka himpunan vektor-vektor S = {v1,v2,v3}

tak bebas secara linear karena 3v1+v2-v3=0 atauSPL Homogen k1v1+ k2v2+ k3v3= 0 memiliki solusi

tidak trivial.


15/34

Basis untuk sebuah ruang vektor

Teorema: Jika = , , , adalah

suatu basis untuk suatu ruang vektor , maka

setiap vektor dalam bisa dinyatakan

dalam bentuk = + + + dalam tepat satu cara.


16/34

Basis Standar Untuk

Contoh: Jika = , , , , , =

, , , , , , = , , , , maka

= , , , adalah himpunan yang bebas

secara linear dalam . Himpunan ini juga

merentangkan karena sebarang vector

= ( , , , )dalam bisa dituliskan

sebagai: = + + +

Jadi, adalah basis untuk , ini disebut basis

standar untuk .


17/34

Dimensi

Teorema: Jika adalah suatu ruang vektorberdimensi terhingga dan , , , adalah

sebarang basis, maka:

Setiap himpunan dengan lebih dari n vektoradalah tak bebas secara linear

Tidak ada himpunan dengan vektor yang

kurang dari n yang merentang


18/34

Teorema: Semua basis untuk suatu ruang vector

berdimensi terhingga mempunyai jumlah vektor

yang sama.

Teorema: Jika adalah suatu ruang vektorberdimensi , dan jika adalah himpunan dalam

dengan tepat n vektor , maka adalah suatu

basis untuk jika merentang atau bebas

linear.


19/34

Teorema:

Jika merentang tetapi bukan merupakan basisuntuk , maka bisa direduksi menjadi suatu basis

untuk dengan menghilangkan vektor yang tepat dari

.

Jika adalah suatu himpunan yang bebas linear tetapi

belum menjadi basis untuk , maka bisa diperbesar

menjadi basis untuk dengan menyelipkan vektor

vektor yang tepat ke dalam .


20/34

Contoh:

+

+

=

+ + =

+ =

+ + =

Tentukan basis dan dimensinya!


21/34

5.3 Kebebasan Linear

BEBAS DAN BERGANTUNG LINEAR

DEFINISI

Jika S = {v1, v2, v3, ,vn} adalah himpunan vectorsedemikian sehingga:

k1v1+ k2v2+ + knvn= 0 maka S = {v1, v2, v3,..., vn}disebut :


22/34

Bebas linier apabila skalar-skalar k1, k2,,kn

semuanya nol.

Bergantung linier apabila skalar-skalar k1, k2,

k3,, kn tidak semuanya nol.


23/34

CONTOH BEBAS LINEAR

Diketahui S = {i, j, k}, dimana i = (1, 0, 0),

j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) pada R3.Tentukan apakah S bebas linear.

Jawab :

k1i + k2j +k3k = 0

Jadi persamaan dipenuhi bila k1= 0, k2= 0 dan k3= 0

sehingga S = {i, j, k} bebas linier.


24/34

CIRI-CIRI BEBAS DAN BERGANTUNG LINEAR :

Himpunan vector S bebas linier jika system

persamaan linier hanya mempunyaipenyelesaian trivial (nol).

Himpunan vector S bergantung linier jika

system persamaan linier mempunyaipersamaan non trivial.

Vektor S merupakan bebas linear apabila :

1. Matrik tersebut det(S) 0.

2. Ketiga vector tersebut mempunyai invers(sehingga dapat dibalik)


25/34

5.4 Basis Dan Dimensi

Misalkan V ruang vektor dan S = { s1, s2,..., sn}.

S disebut basis dari V bila memenuhi dua syarat :

1. S bebas linier

2. S membangun V


26/34

Basis dari suatu ruang vektor tidak harus

tunggal, tetapi bisa lebih dari satu.

Ada dua macam basis yang kita kenal yaitu

basis standar dan basis tidak standar


27/34

Contoh basis standar :

1. S = { e1, e2,..., en} , dengan e1, e2,..., en Rne1= ( 1,0,...,0) ,e2= ( 0,1,0,...,0 ),..., en= ( 0,0,...,1 )

merupakan basis standar dari Rn

2. S = { 1, x, x2...,xn} merupakan basis standar untuk Pn(polinom orde n)


28/34

Contoh Basis tidak standard :

Misal v1 = (1,2,1), v2 = (2,9,0), dan v3 =(3,3,4).

Tunjukkan bahwa himpunan S=(v1,v2,v3)adalah basis untuk R3 .

Dengan syarat:

1. S bebas linier 2. S membangun V


29/34

Sebarang vektor b dapat dinyatakan sebagai

kombinasi linier :b = k1v1 + k2v2 + k3v3

Sistem memiliki pemecahan untuk semua

pilihan b= (b1,b2,b3)

k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0


30/34

Contoh soal BAB 5

Tentukan apakah v1= (1,1,2), v2= (1,0,1) dan

v3= (2,1,3) merentang ruang vektor R3!

Buktikan jika v1=(2,-1,0,3), v2=(1,2,5,-1),v3=(7,-1,5,8) maka himpunan vektor-vektor S =

{v1,v2,v3} tak bebas secara linear karena

3v1+v2-v3=0 !


31/34

Pembahasan

Penyelesaian :

Kita harus menentukan apakah sembarang vektor b = (b1,b2,b3) dalam R3bisa

dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari v1, v2, dan v3sebagai berikut :

b = k1v1+k2v2+k3v3

Dengan menyatakan persamaan ini dalam bentuk komponen-komponen akan

didapatkan :

(b1,b2,b3) = k1(1,1,2)+k2(1,0,1)+k3(2,1,3)

(b1,b2,b3)=(k1+k2+2k3,k1+k3,2k1+k2+3k3)

k1+k2+2k3= b1 k1+ k3= b2

2k1+k2+3k3 = b3


32/34

Dalam matriks :

lalu kita cek apakah

v1,v2,v3merentangkan ruang vektor R3dengan cara

B31(-2)

B21(-1)

B3-B2


33/34

dari hasil di atas kita asumsikan 0

sehingga dari hasil di atas dapat kita lihat

bahwa spl tidak konsisten sehingga v1,v2,v3

tidak merentang R3.


34/34

Penyelesian :

B42(3)

B43(-1)

B12(2)

B31(-1)

B1(1/5)

0 1 1 0

1 2 1 0

0 0 0 0

0 0 0 0

B21(-2)

0 1 1 0

1 0 3 0

0 0 0 0

0 0 0 0

Maka :

k2+k3=0 , k2= - k3

-k1-3k3=0 , -k1=3k3, k1= -3k3

Sehingga : -3k3v1k3v2+ k3v3= 0 (dikali -1/k3) 3v1+v2-v3= 0

Ruang-ruang Vektor Umum

Documents

Transcript of Ruang-ruang Vektor Umum