Jurnal Isomorfisma Ruang Vektor

1

TEORI UTAMA ISOMORFISMA RUANG VEKTOR DAN APLIKASINYA

Frederik Yohanes

Ariyanto

Rapmaida M. Pangaribuan

Jurusan Matematika

Fakultas Sains dan Teknik

Universitas Nusa Cendana

ABSTRAK

Diberikan dua buah ruang vektor dan atas lapangan yang sama dan subruang dari .

Apabila kedua ruang vektor tersebut dikaitkan dengan transformasi linear , yaitu , maka

dapat dibentuk konsep tentang ( ) dan ( ). Selanjutnya jika dibentuk koset dari yakni

⁄ yang merupakan ruang vektor atas , transformasi linear ⁄ dan ⁄ maka

dapat dikonstruksi teori utama isomorfisma ruang vektor yakni ( )⁄ ( ) yang masih

dapat dikembangkan lagi dengan mengaplikasikan teori tersebut sehingga diperoleh teori yang lain

yakni

⁄

⁄ .

Kata kunci: Ruang Vektor, Transformasi Linear dan Isomorfisma Ruang Vektor.

THE MAIN THEORY OF VECTOR SPACE ISOMORPHISM AND THE APPLICATION

Frederik Yohanes

Ariyanto

Rapmaida M. Pangaribuan

Department of Mathematic

Science and Enginering Faculty

University of Nusa Cendana

ABSTRACT

Given two vector spaces and over the same field and a subspace of the vector space V.

If both are associated with a linear transformation , it can be established the concept of

( ) and ( ). Furthermore, if formed coset of that ⁄ is a vector space over , linear

transformation ⁄ and ⁄ , it can be constructed the main theory of vector space

isomorphism that is ( )⁄ ( ) which can be developed by applying the theory in order to

obtain another theory that is

⁄

⁄ .

Keyword: Vector Space, Linear Transformation and Vektor Space Isomorphism

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Aljabar merupakan salah satu bidang ilmu

matematika yang dalam penyajiannya memuat

huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang

belum diketahui. Aljabar sendiri dibagi kedalam

beberapa konsentrasi, salah satunya adalah

aljabar linear yang lebih membahas tentang

ruang vektor dan matriks.

Konsep tentang ruang vektor dibangun dari

suatu grup abelian dengan operasi penjumlahan

(adisi) yang setiap anggotanya jika dioperasikan

dengan setiap anggota pada suatu lapangan

(operasi pergandaan skalar), maka hasil operasi

pergandaan skalar tersebut masih merupakan

anggota dari grup abelian dan memenuhi

aksioma-aksioma tertentu pada operasi

pergandaan skalar tersebut. Selanjutnya dari

struktur ruang vektor dapat dibangun konsep

atau pengertian himpunan bebas linear, tak

bebas linear, pembangun dan basis. Dari

konsep-konsep di atas, kemudian dapat

dibangun konsep tentang Transformasi Linear

yang merupakan pemetaan dari suatu ruang

vektor ke ruang vektor lainnya yang juga

memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Adapun

konsep yang dapat diturunkan dari konsep

transformasi linear yakni kernel dari ( ( ))

dan image dari ( ( )). Dari konsep tersebut,

selanjutnya akan dikonstruksi teori utama

isomorfisma ruang vektor. Teori utama

isomorfisma ruang vektor sendiri masih dapat

dikembangkan lebih lanjut dengan

mengaplikasikan teori tersebut yang akan

menghasilkan teori yang lain.

Berdasarkan latar belakang diatas, akan

dikonstruksi struktur aljabar tentang teori utama

isomorfisma ruang vektor dan akan diteliti lebih

lanjut mengenai aplikasi teori isomorfisma

ruang vektor. Oleh karena itu, penulis tertarik

untuk melakukan penelitian dengan judul

“Teori Utama Isomorfisma Ruang Vektor

dan Aplikasinya”.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas,

ditemukan beberapa masalah yakni:

1. Bagaimana mengkonstruksi teori utama

isomorfisma ruang vektor?

2. Bagaimana aplikasi dari teori isomorfisma

ruang vektor?

1.3 Tujuan

Menanggapi permasalahan di atas, maka

penelitian ini bertujuan untuk:

1. Mengkonstruksi teori utama

isomorfismaruang vektor.

2. Membangun teori lain dengan

mengaplikasikan teori utama isomorfisma

ruang vektor.

2

1.4 Manfaat

Adapun manfaat yang diharapkan dari

penelitian ini antara lain sebagai berikut:

1. Sebagai tambahan informasi bagi

mahasiswa mengenai teori isomorfisma di

ruang vektor sehingga dapat membantu

mahasiswa dalam mempelajari aljabar

linear khususnya tentang aplikasi

isomorfisma di ruang vektor.

2. Sebagai tambahan ilmu dan materi aljabar

linear mengenai teori isomorfisma di ruang

vektor di Jurusan Matematika Fakultas

Sains dan Teknik Universitas Nusa

Cendana Kupang.

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Grup dan Lapangan

Definisi 2.1 (Setiadji, 1983) : Diketahui suatu

himpunan yang tak kosong. Apabila pada

dikenakan operasi biner , maka merupakan

suatu grup jika memenuhi aksioma-aksioma

berikut.

1. Bersifat tertutup.

( )

2. Memiliki elemen identitas.

( )( )

3. Setiap elemen grup memiliki invers.

( )( )

4. Asosiatif.

( ) ( )

( )

Jika pada operasi biner dalam grup

juga berlaku sifat komutatif yaitu (

) , maka grup disebut

grup Abelian.

Definisi 2.2 (Lang, 1996) : Diketahui suatu

grup . himpunan bagian yang tak kosong

dari grup disebut subgrup dari grup jika

sendiri merupakan grup terhadap operasi biner

yang sama dengan grup .

Teorema 2.3 (Setiadji, 1983) : Diketahui suatu

grup , disebut subgrup dari grup

jika dan hanya jika ( )

.

3

Definisi 2.4 (Setiadji, 1983) : Diketahui sebuah

himpunan merupakan suatu grup Abelian

terhadap operasi penjumlahan dan memenuhi

aksioma-aksioma berikut.

1. Terhadap pergandaan

i. Bersifat tertutup.

ii. Memiliki elemen satuan.

iii. Setiap elemen bukan 0 dari memiliki

invers.

iv. Asosiatif.

v. Komutatif

2. Bersifat distributif

Jika diambil sebarang anggota

pada grup abelian F, maka

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

Maka grup Abelian disebut lapangan

terhadap operasi penjumlahan dan

pergandaan, dan dinotasikan dengan ( )

atau cukup saja.

Definisi 2.5 (Lang, 1996) : Diketahui

merupakan suatu lapangan. Himpunan

disebut sublapangan dari jika terhadap

operasi yang sama dengan , juga

merupakan suatu lapangan.

Contoh 2.6 : Himpunan bilangan kompleks

merupakan lapangan terhadap operasi

penjumlahan dan pergandaan bilangan real

karena memenuhi aksioma-aksioma di atas

yaitu merupakan grup Abelian terhadap operasi

penjumlahan dan pergandaan, dan bersifat

distributif.

Himpunan bilangan real juga merupakan

suatu lapangan karena memenuhi semua

aksioma dalam lapangan. Karena , maka

himpunan bilangan real merupakan

sublapangan dari himpunan bilangan kompleks

.

2.2 Ruang Vektor

Definisi 2.7 (Lang, 1996) : Diketahui suatu

grup Abelian terhadap operasi penjumlahan.

disebut ruang vektor atas lapangan jika

untuk setiap dan untuk setiap

berlaku dan memenuhi aksioma-

aksioma berikut.

i. ( )

ii. ( )

iii. ( ) ( )

iv.

Berikut akan ditampilkan visualisasi dari

pengabstraksian operasi pergandaan skalar pada

ruang vektor.

( )grup Abelian

( )lapangan

Gambar2.1PengabstraksianRuangVektor

F V

v

v +

4

Contoh 2.8 : Misal diberikan

{(

+ | }

Himpunan di atas merupakan suatu grup

Abelian terhadap operasi penjumlahan karena

memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut.

i. Bersifat tertutup.

, (

+ (

+

(

+ (

+ (

+

ii. Memiliki elemen identitas.

( ) ( ( + +

(

+ ( + (

+

(

+

iii. Setiap elemen grup memiliki invers.

( )( )

( ) ( )

Misalkan – ( ), maka

( ) (

+ ( ) (

+

(

+ ( + (

) (

+

iv. Asosiatif.

( ),

( ) ((

+ (

+) (

+

(

+ (

+

(

+

(

+ (

+

(

+ ((

+ (

+)

( )

v. Komutatif

( ),

(

+ (

+ (

+

Jadi, merupakan grup Abelian terhadap

operasi penjumlahan.

Didefinisikan operasi pergandaan scalar

dalam sebagai berikut.

( (

+ +

( ) (

+

Untuk setiap dan

maka operasi pergandaan skalar di atas

memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut.

i. ( )

ii. ( )

iii. ( ) ( )

iv.

Teorema 2.9 (Lang,1996) : Jika diketahui

merupakan lapangan dan sub lapangan dari

, maka merupakan ruang vektor atas .

5

Teorema 2.10 (Lang, 1996) : Diketahui

ruang vektor atas lapangan . adalah

elemen netral lapangan , adalah suatu

vektor nol dalam ruang vektor , dan –

adalah invers grup untuk . Maka untuk

setiap dan diperoleh:

i.

ii. ( )

iii.

Contoh 2.11 : Telah diketahui bahwa

{(

+ | } merupakan

suatu ruang vektor atas lapangan bilangan real

.

Diambil himpunan bagian dari

sebagai berikut.

{(

) | }

Diketahui bahwa merupakan suatu

lapangan, dan jelas bahwa merupakan suatu

grup Abelian terhadap operasi penjumlahan.

Juga memenuhi operasi pergandaan

skalar sebagai berikut.

( (

) )

( ) (

)

Keempat aksioma dalam definisi 2.6 jelas

dipenuhi. Jadi, merupakan ruang vektor atas

lapangan yang sama dengan ruang vektor .

Definisi 2.12 (Lang, 1996) : Diketahui ruang

vektor atas lapangan . Himpunan

disebut subruang dari ruang vector jika

terhadap operasi yang sama dengan , juga

merupakan ruang vektor atas lapangan .

Contoh 2.13 : Berikut contoh-contoh subruang.

Diketahui himpunan

{(

+ | }

merupakan suatu ruang vektor atas lapangan

bilangan real .

a) Himpunan {(

+ | }

merupakan subruang dari karena

merupakan ruang vektor terhadap lapangan

bilangan real dengan operasi yang sama

dengan .

b) Himpunan {( +} merupakan

subruang dari karena merupakan ruang

vektor terhadap lapangan bilangan real

dengan operasi yang sama dengan .

c) Himpunan {( + (

+} bukan

merupakan subruang dari karena jika

diambil ( + diperoleh (

+ (

+

( + .

6


adalah ruang vektor atas lapangan .

Himpunan merupakan subruang dari

ruang vector jika dan hanya jika dalam

berlaku.

i. ( )

ii. ( )( )


adalah ruang vektor atas lapangan . dan

masing-masing subruang di . Diperoleh:

i. subruang di .

ii. * | + subruang

di .

iii. belum tentu subruang di .

2.3 Kombinasi Linear dan Himpunan

Pembangun

Definisi 2.16 (Setiadji, 1983) : Diketahui

ruang vektor atas lapangan , dan

* + . Himpunan semua kombinasi

linear dari dinotasikan dengan , -

dan didefinisikan sebagai

, - * | +

Ilustrasinya sebagai berikut.

Gambar 2.2 Himpunan Semua Kombinasi Linear

Teorema 2.16 (Setiadji,1983) : Himpunan

, - * | +

merupakan subruang dari .

Definisi 2.17 (Lang, 1996) : Diketahui


Himpunan * + disebut

generator (pembangun) ruang vektor jika

( )( )

Contoh 2.18 : Diketahui adalah ruang

vektor atas lapangan , dan himpunan

{ (

, (

)} .

Karena semua anggota dapat dituliskan

sebagai kombinasi linear dari atau , - ,

maka dikatakan himpunan merupakan

himpunan pembangun (generator) ruang vektor

.

F V

[A]

A

7

2.4 Himpunan Bebas Linear dan Tak Bebas

Linear


ruang vektor atas lapangan . Himpunan

* + disebut bebas linear apabila

dipenuhi implikasi

Contoh 2.20 : Vektor-vektor * + bebas

linear dalam * +. Sebagai bukti,

diambil sebarang kombinasi linear

( )

Untuk maka

Untuk maka

Diperoleh ( )

Karena maka

Sehingga .

Jadi, vektor-vektor * + bebas linear dalam

.


ruang vektor atas lapangan . Himpunan

* + disebut tak bebas linear

apabila

∑

( )

∑

( )

Atau ada skalar-skalar

yang tidak semuanya nol sehingga

.

Jadi, definisi bebas linear merupakan suatu

ingkaran dari definisi tak bebas linear.

Contoh 2.22 Diketahui ruang vektor atas

lapangan , dan * + ,

pernyataan berikut selalu bernilai benar.

Atau ekivalen dengan pernyataan berikut.

Konvers dari pernyataan di atas, yaitu

tidak selalu bernilai benar, sebagai contoh

vektor-vektor (

+ ( + maka

(

+ ( + (

+

Akan tetapi, apabila pernyataan tersebut

selalu bernilai benar, maka memenuhi

pengertian baru, yaitu dikatakan bahwa

* + bebas linear.

2.5 Basis dan Dimensi Ruang Vektor

Definisi 2.23 (Lang, 1996) : Diketahui ruang

vektor atas lapangan , dan * +

. Himpunan disebut basis dari ruang vektor

jika merupakan pembangun (generator)

yang bebas linear untuk .

Contoh 2.24 : Diketahui vektor-vektor {

. / .

/} dalam . Akan dibuktikan

bahwa * + merupakan basis untuk .

Diambil sebarang . / dengan

, maka diperoleh

. / .

/ .

/ .

/

8

. / .

/

dan

dan

Jadi ada dan sedemikian

sehingga .

Jadi, { . / .

/} membangun .

Dibentuk kombinasi linear

. / .

/ .

/

.

/ .

/

Diperoleh sehingga . Jadi,

* + bebas linear.

Terbukti bahwa { . / .

/}

merupakan generator yang bebas linear di

atau * + merupakan basis untuk .

Jika ruang vektor memiliki basis

berhingga, disebut berdimensi hingga. Jika

tidak, disebut berdimensi tak hingga.

Teorema 2.25 (Beachy, 2006) :Ruang vector

atas lapangan memiliki basis yang tidak

tunggal.

Teorema 2.26 (Setiadji, 1983) : Setiap anggota

ruang vector atas lapangan merupakan

kombinasi linear yang tunggal dari vektor-

vektor basis untuk .

Definisi 2.27 (Beachy, 2006) : Dimensi dari

ruang vector atas lapangan adalah jumlah

vektor-vektor dalam basis untuk .

Contoh 2.28 : Sebarang ruang vektor

berdimensi atas lapangan , di mana buah

vektor {(

, (

, (

,} membentuk

basis dari ruang vektor atas lapangan .

Diambil sebarang (

, , maka v

dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari

{(

, (

, (

,} yaitu

(

, (

, (

,

Jadi, vektor-vektor di atas membangun .

Karena vektor-vektor tersebut juga bebas

linear, maka buah vektor tersebut merupakan

basis untuk ruang vektor atas lapangan .

Jadi, ruang vektor berdimensi atas

lapangan .

2.6 Pemetaan dan Relasi Ekuivalensi

Definisi 2.29 : Diketahui pemetaan

dan . Pemetaan dikatakan

sama, ditulis bila ( ) ( ) .

Definisi 2.30 (Setiadji, 1983) : Relasi disebut

refleksif jika dan hanya jika untuk setiap

anggota dari semestanya berlaku , atau

( )

9


simetris jika dan hanya jika untuk setiap

dari semestanya berlaku: apabila maka

.


transitif jika dan hanya jika untuk setiap

dari semestanya berlaku: apabila dan

maka .

Definisi 2.33 (Setiadji, 1983) : Relasi

dikatakan suatu relasi ekuifalensi jika

merupakan relasi yang refleksif, simetris dan

transitif.

Teorema 2.34 (Setiadji, 1983) : Suatu relasi

ekuivalensi antara anggotanya suatu semesta

mengakibatkan adanya penggolengan

(partitioning) di dalam .

2.7 Transformasi linear

Definisi 2.35 (Miller, 1997) : Diketahui dan

ruang vektor atas lapangan yang sama.

Transformasi linear adalah suatu

pemetaan dari ke sedemikian sehingga

untuk setiap dan berlaku.

i. ( ) ( ) ( )

ii. ( ) ( )


ruang vektor atas lapangan yang sama.

Transformasi linear adalah suatu

pemetaan dari ke sedemikian sehingga

untuk setiap dan berlaku.

( ) ( ) ( )

Definisi 2.27 dan definisi 2.28 adalah ekivalen.

(Setiadji, 1983).

Definisi 2.37 (Miller, 1997) : Transformasi

linear dan dari ruang vektor ke

dikatakan sama jika

( ) ( )

Definisi 2.38 (Lang, 1996) : Diketahui dan

transformasi linear dari ruang vektor ke

. Untuk setiap dan didefinisikan

jumlahan dan pergandaan skalar

yaitu

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

Contoh 2.39 : Misalkan suatu pemetaan

didefinisikan sebagai

(

+ .

/, di mana

Diambil sebarang (

+ (

+

maka

( ) (

+

(

*

.

/ .

/

(

+ (

+

( ) ( )

untuk setiap dan . Jadi,

merupakan suatu transformasi linear.

10

Transformasi-transformasi Linear Khusus

(Lang, 1996)

Diketahui dan sebarang ruang vektor

atas lapangan . Untuk setiap berlaku.

i. Transformasi Linear Identitas

didefinisikan dengan

( )

ii. Transformasi Linear Nol


( )

iii. Transformasi Linear Negatif


( )( ) ( )

2.8 Kernel dan Daerah Hasil Transformasi

linear

Diberikan {(

, | }

Diketahui ( ) merupakan himpunan

matriks-matriks yang berukuran dengan

elemen bilangan real.

(

, ( )

Diambil sebarang (

, ,

diperoleh

( )( )

Atau,

Dapat dibentuk suatu pemetaan sebagai

berikut

( )

Pemetaan di atas memenuhi sifat-sifat

sebagai berikut.

1. ( )( )

( ) ( ) ( )

2. ( )( ) ( )

( ) ( )

Berdasarkan model 1 dan 2dapat dibentuk

pengertian pemetaan linear lewat abstraksi yang

diilustrasikan lewat gambar 2.3 dengan

ruang vektor atas lapangan yang sama dan

pemetaan dari ruang vektor ke (William,

2010).

Gambar 2.3 Transformasi Linear pada Ruang

Vektor


ruang vektor atas lapangan . Misalkan

adalah transformasi linear dari ke

.

i. Daerah hasil dari adalah himpunan

semua bayangan (images) ( )

dengan dan didefinisikan sebagai

( ) * | ( ) +

T

F

V W

Ow Ov

α

11

ii. Kernel dari adalah himpunan semua

vektor sedemikian sehingga ( )

dan didefinisikan sebagai

( ) * | ( ) +

Teorema 2.41 (Wiliam, 2010) : Daerah hasil

dari suatu transformasi linear merupakan

subruang dari .

Teorema 2.42(Wiliam, 2010) : Kernel dari

suatu transformasi linear merupakan

subruang dari .

Teorema 2.43 (Anonymous, 2009) : Diketahui

adalah transformasi linear dari

ruang vektor ke . Maka diperoleh

( )

2.9 Transformasi Linear Non-Singular dan

Isomorfisma Ruang Vektor

Definisi 2.44 (Setiadji, 1983) : Suatu

transformasi linear merupakan transformasi

non-singular jika terdapat invers transformasi

linear sehingga . Jika tidak

terdapat invers transformasi demikian maka

disebut transformasi singular.

Teorema 2.45 (Wiliam, 2010) : Diketahui

transformasi linear dari ruang vektor ke .

Maka injektif jika dan hanya jika ( )

* +.

Teorema 2.46 (Setiadji, 1983) : Jika

pada ruang vektor , maka pada

( ) .

Definisi 2.47 (Setiadji, 1983) : Misalkan dan


Transformasi linear dari ruang vektor ke

disebut isomorfisma jika bijektif, ditulis

.

12

BAB III

METODE KAJIAN

3.1 Desain Kajian

Metode yang digunakan dalam penelitian

ini adalah studi literatur, yaitu menghimpun

beberapa sumber referensi dan dibuat suatu

kajian khusus mengenai Teori Utama

Isomorfisma Ruang Vektor dan Aplikasinya.

Sumber kajian dan penulisan diperoleh dari

buku-buku referensi, jurnal-jurnal ilmiah, dan

artikel web lainnya.

Kajian tentang Teori Utama Isomorfisma

Ruang Vektor ini merupakan penelitian yang

bersifat murni atau penelitian dasar.

3.2 Prosedur Kajian

Langkah-langkah kajian Teori Utama

Isomorfisma Ruang Vektor dan Aplikasinya

adalah sebagai berikut:

1. Mengkonstruksi struktur aljabar tentang

teori utama isomorfisma ruang vektor.

2. Membentuk teori baru berdasarkan aplikasi

dari teori utama isomorfisma ruang vektor.

3.3 Hasil yang diharapkan

Adapun hasil yang diharapkan dari

penelitian ini, antara lain:

1. Dapat merumuskan struktur aljabar tentang

teori utama isomorfisma ruang vektor.

Dapat membentuk teori baru berdasarkan

aplikasi dari teori utama isomorfisma ruang

vektor.

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Relasi Ekuivalensi

Diketahui ruang vektor atas lapangan ,

subruang dari ruang vektor . Bila

maka kemungkinan yang terjadi

antara lain:

, atau

Jika yang terjadi adalah kemungkinan

, maka dapat dibangun definisi

sebagai berikut:

Definisi 4.1 : Diketahui ruang vektor dan

merupakan subruang dari .

dikatakan berelasi jika dan hanya jika

.

Teorema 4.2 : Diketahui ruang vektor dan

merupakan subruang dari . .

Relasi dimana

merupakan relasi ekuivalensi.

4.2 Partisi (kelas-kelas) pada Ruang Vektor

Berdasarkan teorema 4.1 maka ruang

vektor terbagi atas keluarga kelas-kelas yang

saling asing. Jadi , kelas yang diwakili

, dinotasikan dengan .

* + * +

* +

* +

* +

13

Kemudian dapat dibentuk keluarga kelas-

kelas sebagai berikut:

⁄ * +

Keluarga kelas-kelas pada ruang vektor dapat

divisualisasikan lewat gambar berikut ini.

Gambar 4.1 Keluarga Partisi Ruang Vektor

Jadi keluarga kelas ⁄ didefinisikan operasi-

operasi penjumlahan dan perkalian skalar

sebagai berikut.

i.

ii.

Teorema 4.3 : operasi penjumlahan dan

operasi perkalian yang di definisikan pada

⁄ adalah well definited (terdefinisi dengan

baik).

Teorema 4.4 : Diketahui ruang vektor atas

lapangan dan himpunan subruang dari

. ⁄ adalah ruang vektor atas lapangan F.

4.3 Transformasi Linear Ruang Vektor

ruang vektor atas lapangan dan

himpunan subruang dari ruang vektor .

Dibentuk pemetaan sebagai berikut:

⁄

( )

Teorema 4.5 :

i.) merupakan suatu Transformasi Linear dan

Surjektif

ii.) ( )

Berikut akan ditampilkan visualisasi dari

transformasi linear ruang vektor, untuk

memperjelas penjelasan di atas.

Gambar 4.2 Transformasi Linear Ruang Vektor

4.4 TeoriUtamaIsomorfismaRuangVektor

Toerema4.6 :Diketahui masing-masing

ruang vektor atas lapangan , dan

subruang dari . ⁄ merupakan

transformasi linear yang surjektif. Diketahui

suatu transformasi linear atas

sedemikian hingga termuat dalam ( )

maka ada dengan tunggal transformasi linear

atas , ⁄ sedemikian hingga

.

⁄

⁄

14

Bukti:

Gambar 4.3 Pemetaan Linear

Diambil sebarang ⁄ dan .

Kemudian dibentuk ⁄ dengan syarat:

( ) ( ) ⁄

(i.) merupakan suatu pemetaan, sebab

⁄ dengan maka:

menurut diketahui:

( )

Sehingga diperoleh:

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

(ii.) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

Berdasarkan (i) dan (ii) terbukti bahwa

.

Selanjutnya diambil pemetaan sedemikian

hingga .

Untuk sebarang ⁄ berlaku ( )

( ( )), sehingga diperoleh:

( ) ( )( )

( )

( )( )

( ( ))

( )

Karena diambil sebarang, dan ( ) ( )

maka .

terbukti bahwa merupakan transformasi

linear yang tunggal dengan

Teorema 4.7 : Diketahui masing-masing

ruang vektor atas lapangan . Bila

adalah suatu transformasi linear, maka

( )⁄ ( ).

Bukti :

Dibentuk suatu transformasi linear

( )⁄

dan pemetaan

( ), dengan ( ) ( ) .

Dari teorema 2.41 dan teorema 2.42 dapat

disimpulkan bahwa ( ) merupakan subruang

atas dan ( ) merupakan subruang dari .

Berdasarkan teorema 4.6 maka terdapat dengan

tunggal transformasi linear

( )⁄ ( )

V

⁄

W

15

Karena masing-masing transformasi

linear yang surjektif, maka juga surjektif.

Akan ditunjukkan injektif.

Diambil sebarang ( )

( ) ( )dengan .

Karena ( ) merupakan subruang dari ⁄

(teorema 2.32), maka ( ) sehingga

diperoleh:

( )

( ( ) ( ))

( ( ))

( )( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

( ( )) ( ( ))

( ) ( )

karena diambil sebarang ( )

( ) ( ) dengan berlaku

( ) ( ).

Jadi terbukti bahwa injektif, dan karena

merupakan transformasi linear yang surjektif

dan injektif, maka merupakan suatu

isomorfisma atau dengan kata lain terbukti

bahwa ( )⁄ ( ).

4.5 Aplikasi Teori Utama Isomorfisma

Ruang Vektor

Berdasarkan teorema 2.11, bila

masing-masing subruang atas ruang vektor ,

maka dan juga merupakan

subruang dari ruang vektor .

Selanjutnya dibentuk partisi pada ruang

vektor yakni

dan

. Akan

ditunjukkan bahwa kedua partisi tersebut adalah

isomorfik, yang akan disajikan dalam teorema

sebagai berikut.

Teorema 4.8 : Jika masing-masing

subruang dari ruang vektor atas lapangan ,

maka

Bukti :

Dibentuk transformasi linear

⁄ yang surjektif dan pemetaan

transformasi linear yang

injektif, yaitu pemetaan ( )

sehingga diperoleh diagram sbb:

Gambar 4.4 Diagram Transformasi Linear

Karena juga merupakan suatu transformasi

linear, maka ( ) merupakan suatu

transformasi linear. , maka

dan berlaku:

( )( ) ( ( )) ( )

,

karena ( ) injektif (teorema2.45).

Sehingga diperoleh ( ), dan

( ).

Kemudian diambil sebarang ( ),

maka:

( )( )

⁄

16

( ( ))

( )

Sehingga ( ) berlaku

.

Jadi ( ) , maka diperoleh

( ) ...................(1)

Selanjutnya diambil sebarang

, maka . Jadi ada

( ) , dimana untuk suatu

dan menurut teorema 4.5

( ) .

Berarti terdapat ( )

sehingga berlaku:

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

Jadi, terdapat sedemikian hingga

( ) atau dengan kata lain ( )

sehingga diperoleh

( ).

Karena transformasi linear yang injektif maka

selalu berlaku

( )( ) ( ( )) ( )

sehingga jika diambil sebarang ( )

maka terdapat sedemikian hingga

berlaku:

( )( )

( ( ))

( )

( )

( ) ( ), dimana

( ) ( ), untuk

Jadi diperoleh ( )

, dan karena

( ) maka:

( )

........................(2)

berdasarkan uraian (1) dan (2) , dan menurut

Teorema 4.7 terbukti bahwa

Contoh 4.9 :

Telah diketahui sebelumnya bahwa

merupakan ruang vektor atas lapangan .

* | ( ) +

* | ( ) +

merupakan subruang dari ruang vektor

maka diperoleh:

* | + subruang dari

ruang vektor dan

* | + subruang dari ruang

vektor .

Dibentuk:

* | +

* | +

Selanjutnya dikonstruksi transformasi linear

, sehingga diperoleh:

17

( )

Misalkan diambil sebarang

dengan .

Karena

merupakan ruang vektor, maka

, sehingga diperoleh:

( ) ( )

Menurut teorema 2.34:

( )

Sehingga:

( )

( ) ( )

( ) ( )

Karena berakibat ( ) ( ) maka

injektif sehingga terbukti bahwa merupakan

isomorfisma, atau dengan kata lain terbukti

bahwa:

BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

1. Diketahui ruang vektor atas lapangan

yang sama, subruang dari dan

transformasi linear . Jika dibentuk

⁄ suatu transformasi linear yang

surjektif maka terdapat dengan tunggal

transformasi linear ⁄ sedemikian

hingga berlaku , kemudian dapat

dibentuk teori utama isomorfisma yakni:

( )⁄ ( )

2. Dari teori utama isomorfisma diatas,

diperoleh teori lain dengan mengaplikasikan

teori tersebut yang dapat disajikan sebagai

berikut:

⁄

⁄

5.2 Saran

Melalui penelitian ini, penulis mengkaji

mengenai teori utama isomorfisma dan

aplikasinya. Sangat diharapkan bahwa skripsi

ini dapat digunakan sebagai sumbangan

pemikiran bagi Universitas Nusa Cendana,

khususnya bagi pembaca yang ingin

mengembangkan tulisan ini dengan

permasalahan yang lebih kompleks.

Pembahasan mengenai judul ini masih

dimungkinkan kajian yang lebih mendalam

lewat pengkajian lebih lanjut Dengan

mengaplikasikan teori utama isomorfisma ruang

vektor, masih banyak teori yang dapat

dikembangkan lebih lanjut.

18

DAFTAR PUSTAKA

Anonymous. 2009. Linear Transformations. (Diunduh dari http://www.maths.

ox.ac.uk/system/files/coursematerial/2009/961/14/LA-web6.pdf pada 22 Feb. 2014).

Bretscher, Otto. 1997. Linear Algebra with Applications. Prentice Hall, New Jersey.

Budhi, WonoSetya. 1995. Aljabar Linear. Penerbit PT Gramedia Pustaka Utama, Jakarta.

Gultom B. 1985. Soal dan Penyelesaian Aljabar Linier. Penerbit Tarsito, Bandung.

Gultom B. 1985. Teori Aljabar Linier. Penerbit Tarsito, Bandung.

Lang, Serge. 1996. Linear Algebra. Addison-Wesley Publishing Company, California.

Lawson, Terry. 1996. Linear Algebra. John Wiley & Sons Inc, New York.

Pinter, Charles C. 1990. A Book of Abstract Algebra. McGraw-Hill Inc, New York.

Setiadji. 1983. Aljabar Linier 1. Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta.

William, Andre. 2010. Analisis Matriks Representatif Transformasi Linear pada Ruang vektor.

Matematika-FST Universitas Nusa Cendana, Kupang.

Jurnal Isomorfisma Ruang Vektor

Documents

Transcript of Jurnal Isomorfisma Ruang Vektor