Ruang Vektor V adalah himpunan tidak kosong Didefinisikan 2 operasi terhadap obyek-obyek di V: penjumlahan, notasiu + v perkalian skalar, notasikv Catatan: perlu diingat bahwapenjumlahan tidak selalu seperti (2, 1) + (1, 3)= (3, 4) perkalian skalar tidak selalu seperti 5( 2, 1) = (10, 5) Ruang Vektor Benda-benda pada V dinamakan vektor V disebut ruang vektor jika dipenuhi 10 (sepuluh) aksioma berikut: 1. Jikau,v e Vmaka(u + v) e V 2. u + v = v + u 3. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w 4. Ada vektor nol0 e V sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u 5. Untuk tiap u e V, ada vektorue V yang dinamakan negatif u sedemikian sehingga u +( u) = ( u) + u = 0 6. Jikak adalah skalar dan u e V, maka ku e V 7. k (u + v) = ku + kv 8. (k+m)u = ku + mu 9. k(mu) = (km) u 10. 1u = u Tulis di papan Ruang Vektorperhatikan aksioma 1, 4, 5, 6 berikut: 1. Jikau,v e Vmaka(u + v) e V 4. Ada vektor nol0 e V sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u 5. Untuk tiap u e V, ada vektorue V yang dinamakan negatif u sedemikian sehingga u +(-u) = (-u) + u = 0 6. Jikak adalah skalar dan u e V, maka k u e V u v 0 u ku u u v u+v 16 ku u+v ruang vektorbukan ruang vektor ruang vektorbukan ruang vektor 0 -v -u 0 0 Teorema 5.1.1: V merupakan ruang vektor, u e V dan k adalah skalar.Maka 1) 0u = 0 2) k0 = 0 3) (1)u = - u 4) Jika ku = 0, maka k = 0 atau u = 0 Contoh : V = himpunan semua tripel bilangan nyata(x, y, z) dengan operasi-operasi penjumlahan: (x, y, z) + (x, y, z) = (x+x, y+y, z+z) perkalian skalar: k(x, y, z) = (kx, y, z) Apakah V merupakan ruang vektor ?penjumlahan : (x, y, z) + (x, y, z) = (x + x, y + y, z + z) perkalian skalar : k(x, y, z) = (kx, y, z)

V disebut ruang vektor jika dipenuhi 10 aksioma berikut: 1. Jikau,v e Vmaka(u + v) e V jika u, v adalah tripel, maka (u+v) adalah tripel juga 2. u + v = v + u penjumlahan di atas bersifat komutatif (x, y, z) + (x, y, z) = (x + x, y + y, z + z) = (x + x, y + y, z + z)= (x, y, z) + (x, y, z) 3. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w penjumlahan di atas bersifat asosiatif penjumlahan : (x, y, z) + (x, y, z) = (x+x, y+y, z+z) perkalian skalar : k(x, y, z) = (kx, y, z)

4. Ada vektor nol0 e V sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u vektor nol 0 = (0, 0, 0) 5. Untuk tiap u e V, ada vektorue V yg dinamakan negatif u sedemikian sehingga u + (-u) =( -u) + u = 0 negasi dari vektor (x, y, z) = ( x, y, z) 6. Jikak adalah skalar dan u e V, maka ku e V jika k adalah skalar, makakuadalah tripel penjumlahan : (x, y, z) + (x, y, z) = (x+x, y+y, z+z) perkalian skalar : k(x, y, z) = (kx, y, z)

7. k(u + v) = ku + kv ? k ( (x, y, z) + (x, y, z) )= k (x+x, y+y, z+z) = ( k(x+x), y+y, z+z)= (kx, y, z) + (kx, y, z) = k(x, y, z) + k(x, y, z) 8. (k + m)u = ku + mu ? (k + m)u =( (k + m) x, y, z )ku + mu = ( kx, y, z ) + ( mx, y, z ) = ( (k + m) x, 2y, 2z )ternyata (k + m)u=ku + mu Karena aksioma 8 gagal, maka V bukan ruang vektor penjumlahan : (x, y, z) + (x, y, z) = (x+x, y+y, z+z) perkalian skalar : k(x, y, z) = (kx, y, z)

9. k(mu) = (km)u k(mu) = k(mx , y, z) = (kmx, y, z) = (km)u 10. 1u = u 1(x, y, z) = (1x, y, z) = (x, y, z) Ex. Latihan 5.1 no : 8 Bilqis Ex. Latihan 5.1 no 1 Maju kedepan Ex. Latihan 5.1 no:2 Ex. Latihan 5.1 no 10 Matrix penjumlahan dan perkalian berbentuk

ba00Ruang VektorHimpunan dengan operasi penjumlahan & perkalian skalar. V disebut ruang vektor jika dipenuhi 10 (sepuluh) aksioma. Sub-Ruang : W merupakan subset dari V. W disebut sub-ruang dari V jika dan hanya jika W adalah ruang vektor, di bawah operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan di V 1. Jikau,v e Wmaka(u + v) e W 6. Jikak adalah skalar dan u e W, maka ku e W Tulis di papan Contoh (1) : Nyatakanlah=(7,7,9,11) sebagai kombinasi linier dari=(2,0,3,1),= (4,1,3,2) dan= (1,3,-1,3) 1 1 2 1 3 3a s u s u s u = + +1 2 32 4 1 70 1 3 73 3 1 91 2 3 11s s s + + = Jawab : Tentukanlah s1,s2, dan s3 yang memenuhi : Dalam bentuk matriks dinyatakanlah sebagai : 2s1 + 4s2 + s3= 7 4s2 + 3s3= 7 3s1+ 3s2 s3= 9 s1 + 2s2 + 3s3= 11 ATAU Matriks lengkapnya :2 4 1 70 1 3 73 3 1 91 2 3 11 2 4 1 70 1 3 713 390 02 20 0 0 0 1 1 36 2 6 a u u u = +s3 = 3, s2 = -2, dan s1 = 6 Dengandemikiandapatdinyatakansebagai kombinasi linear dari : Matriks Eselonnya : Merentang = spanning Tulis di papan DAFTAR PUSTAKA Elementary Linear Algebra 9th edition, Howard Anton Chris Rorre, John Wiley & Sons Inc., 2005