B A B V

B A B IV

Ruang-Ruang Vektor Euclidean4.1 Ruang n EuclidisDefinisi:

Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif, maka tupel-n-terorde (ordered-n-tuple) adalah sebuah urutan n bilangan riil (a1, a2, .... an) himpunan semua tupel-n- terorde dinamakan ruang-n dan dinyatakan dengan RnPasangan tiga berurut (a1, a2, a3) dapat diinterpretasikan secara geometris sebagai suatu titik atau suatu vektor.

Definisi:

Dua vektor u = (u1, u2, ... un) dan v = (v1, v2, ... vn) pada Rn dikatakan sama, jika:

u1 = v1, u2 = v2, . un = vn

Jumlah u + v didefinisikan oleh:

u + v = (u1 + v1, u2 + v2, . un + vn)

dan jika k adalah sembarang skalar, maka perkalian skalar didefinisikan:

ku = (ku1, ku2, ... kun)

Operasi penjumlahan dan perkalian skalar disebut operasi standar (baku) pada RnVektor nol (zero vector) dalam Rn

= (0, 0, 0, , 0) Jika u = (u1, u2, ... un) adalah vektor pada Rn, maka negatif atau invers aditifnya adalah:-u = (-u1, -u2, ... -un)

Pengurangan vektor - didefinisikan oleh :

+ (-1) = (u1, u2, ,un) + (-1) (v1, v2, ,vn)

= (u1, u2, ,un) + (-v1, -v2, ,-vn)

- = (u1 - v1, u2 - v2, un - vn)Teorema-1Jika = (u1, u2, ,un), = (v1, v2, ,vn) dan = (w1, w2, ,wn) adalah vektor-vektor di Rn dan k serta l skalar, maka :

a) + = +

( (komutatif)b) + ( + ) = ( + ) + ( (asosiatif)c) + = + =

d) + (-) = , yakni - = 0

( (invers aditif)

e) k(l) = (kl)

f) k( + ) = k + k

( (distributif 1)

g) (k+l) = k + l

( (distributif 2)

h) 1 =

Contoh manipulasi vector pada RnMisalkan:x + u = v

(x + u) + (-u) = v + (-u)

x + (u - u) = v - u

x + 0 = v u

x = v - uDefinisi:

Jika = (u1, u2, ,un) dan = (v1, v2, ,vn) adalah sembarang vektor di Rn, maka hasilkali dalam Euclidis (Euclidean inner product) . didedinisikan sebagai :

Contoh:

Dalam R4 : = (-1, 3, 5, 7)

= (5, -4, 7, 0)

Maka : . = (-1)(5) + (3)(-4) + (5)(7) + (7)(0)

= -5-12+35+0

= 18Teorema-2Jika , dan adalah vektor-vektor di Rn dan k adalah sembarang skalar, maka :

a) . = .

b) ( + ) . = . + .

c) (k). = k(.)

d) . 0, selanjutnya . = 0 jika dan hanya jika v = 0Bukti-b:

Jika = (u1, u2, ,un), = (v1, v2, ,vn) dan = (w1, w2, ,wn), maka:

( + ) . = (u1 + v1, u2 + v2, . un + vn) . (w1, w2, ,wn)

= (u1 + v1) w1 + (u2 + v2) w2 + . +(un + vn) wn

= (u1 w1 + u2 w2 + ...+ un wn) + (v1 w1 + v2 w2 + . +( vn wn)

= . + .

Contoh:

(3 + 2) . (4 + ) = (3u).(4u + v) + (2v). (4u + v)

= (3u).(4u) + (3u).v + (2v). (4u) + (2v).v

= 12(u.u) + 3(u.v) + 8(v.u) + 2(v.v)

= 12(u.u) + 11(u.v) + 2(v.v)Norm Euclidis (panjang euclidis) vektor = (u1, u2, ,un) Rn didefinisikan sebagai :

= ( . )1/2

=

Contoh:

Jika = (2, 2, -1) R3

Maka =

= 3

Jarak Euclidis antara titik = (u1, u2, ,un) Rn dan titik = (v1, v2, ,vn) Rn didefinisikan oleh :

d(u, v) =

Contoh:

Jika = (2, 4, -1, 1) dan = (1, 3, 2, -5)

Maka d(u, v) =

=

=

Teorema-3

Ketaksamaan Cauchy-Schwarz dalam Rn

Jika = (u1, u2, ,un) dan = (v1, v2, ,vn) adalah vektor-vektor di Rn, maka:

Atau dinyatakan dalam bentuk komponen-komponen:

| u1 v1 + u2 v2 + unvn |

EMBED Equation.3 Jika dan adalah vektor-vektor tak nol di R2 atau R3, maka:

=

Teorema-4

Jika dan adalah vektor-vektor di Rn dan k adalah sembarang skalar, maka:

a) 0

b) = 0 jika dan hanya jika u = 0

c) = |k|

d) + (ketaksamaan segitiga)

Bukti-c:

Jika = (u1, u2, ,un) maka k = (ku1, ku2, ,kun), sehingga

=

=

= |k|

Bukti-d:

2 = (u+v).(u+v)

= (u.u) + 2 (u.v) + (v.v)

= 2 + 2 (u.v) + 2

2 + 2 |u.v| + 2 ( sifat nilai mutlak 2 + 2

EMBED Equation.3 + 2( ketaksamaan Cauchy-Schawrz

= ( + )2

= |k|

+ Teorema-5

Jika , dan adalah vektor-vektor di Rn dan k adalah sembarang skalar, maka :

a) d(u, v) 0

b) d(u, v) = 0 jika dan hanya jika u = v

c) d(u, v) = d(v, u)

d) d(u, v) d(u, w) + d(w, v)( (ketaksamaan segitiga)

Suatu vektor = (u1, u2, ,un) dalam Rn dapat ditulis dalam notasi matriks sebagai suatu matriks baris atau matriks kolom.Teorema-6

Jika , dan adalah vektor-vektor di Rn dengan hasil kali dalam euclidean, maka :u.v = || u+v ||2 || u-v ||2Keortogonalan

Dua vektor u dan v dalam Rn disebut ortogonal jika u.v = 0

Contoh:

Dalam ruang Euclidean R4 vektor-vektor

u = (-2, 3, 1, 4) dan v = (1, 2, 0, -1) adalah ortogonal karena:

. = (-2)(1) + (3)(2) + (1)(0) + (4)(-1) = 0Teorema-7

(Teorema Pythagoras untuk Rn).

Jika u dan v adalah vektor-vektor ortogonal dalam Rn dengan hasil kali dalam Euclidean, maka: || u+v||2 = || u ||2 + ||v||2Jika dan , maka = (v1, v2, ,vn)

= (u1 + v1, u2 + v2, . un + vn)

= (u.v)

= u.v

Jadi bagi vektor pada notasi vertikal, rumusnya adalah:

= u.v

Contoh:

dan

u.v = = (5, -4, 7, 0) = 18

Rumus-rumus yang dihasilkan

Au.v = u.ATv

u.Av = ATu.v

Contoh:

, maka

, didapat

Au.v = 7(-2) + 10(0)`5(5) = 11

u.AT v = (-1)(-7) + 2(4) +4(-1) = 11JadiAu.v = u.ATv

Hasil Kali Titik

Sistem Linier Ax = b dapat dinyatakan dalam bentuk hasil kali titik, sbb:

Contoh:

Sistem: 3x1 4x2 + x3 = 1

2x1 7x2 - 4x3 = 5

x1 + 5x2 - 8x3 = 0Bentuk hasil kali titik:

4.2 Transformasi Linier dari Rn ke Rm

Fungsi dari Rn ke R

b = f(a), b bayangan dari a di bawah f atau f(a) adalah nilai dari f di a. Himpunan A disebut daerah asal dari f, dan himpunan B disebut daerah kawan dari f. Himpunan bagian dari B yang terdiri dari semua nilai yang mungkin untuk f ketika a berubah-ubah dalam A disebut daerah hasil dari f. RumusContohKlasifikasiUraian

f(x)f(x) = x2Fungsi bernilai real dari suatu peubah realFungsi dari R ke R

f(x, y)f(x, y) = x2 + y2Fungsi bernilai real dari dua peubah realFungsi dari R2 ke R

f(x, y, z) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2Fungsi bernilai real dari tiga peubah realFungsi dari R3 ke R

f(x1, x2, ...... xn)f(x1, x2, ...... xn) =

Fungsi bernilai real dari n peubah realFungsi dari Rn ke R

Fungsi dari Rn ke Rm

Daerah asal suatu fungsi f adalah Rn dan daerah kawannya adalah Rm (m dan n mungkin sama), maka f disebut suatu peta atau transformasi dari Rn ke Rm . f memetakan Rn ke Rm , dinyatakan dengan Rn ( Rmf1, f2, ... fn adalah fungsi-fungsi bernilai real dari n peubah real, maka:

w1 = f1(x1, x2, ... xn)

w2 = f2(x1, x2, ... xn)

wm = fn(x1, x2, ... xn) Disebut transformasi dari Rn ke Rm dinyatakan dengan transformasi T, maka:

Rn ( Rm dan T(x1, x2, ... xn) = (w1, w2, ,wm)

Contoh:

Persamaan-persamaan: w1 = x1 + x2

w2 = 3x1 x2

w3 = x12 - x22

Adalah transformasi T: R2 ( R3

Bayangan titik (x1, x2) adalah: T(x1, x2) = (x1 + x2, 3x1 x2, x12 - x22)

Misalnya T(1, -2) = (-1, -6, -3)Transformasi Linier dari Rn ke Rm

T: Rn ( Rm di definisikan oleh persamaan berbentuk:

w1 = a11 x1 + a12 x2 + .......... + a1n xn

w2 = a21 x1 + a12 x2 + .......... + a2n xn

wm = am1 x1 + am2 x2 + .......... + amn xn

atau dalam notasi matriks:

Atau secara lebih ringkas dengan

w = Ax

Matriks A = (aij) disebut matriks standar untuk transformasi linier T, dan T disebut perkalian dengan A.

Contoh:

Transformasi linier T : R4 ke R3 yang didefinisikan oleh persamaan-persamaan:

w1 = 2 x1 - 3x2 + x3 - 5 x4

w2 = 4 x1 + x2 - 2x3 + x4

w3 = 5 x1 - x2 + 4x3

dalam bentuk matrik:

Sehingga matriks standar untuk T adalah

A =

Jika (x1, x2, x3, x4) = (1, -3, 0, 2), maka hitunglah harga w

w1 = 1

w2 = 3

w3 = 8Geometri Transformasi Linier

Untuk matriks nol:T0(x) = 0.x = 0

Untuk matriks identitas:TI(x) = I.x = x

Operator-Operator PencerminanOperator T: R2 ( R2memetakan setiap vektor ke bayangan simetrisnya terhadap sumbu-y. Misalkan w = T(x), maka persamaan yang menghubungkan komponen-komponen x dan w adalah:

w1 = -x = -x + 0y

w2 = y = 0x + yDalam bentuk matriks:

Maka T adalah operator linier, dan matriks standar untuk T adalah:

=

Secara umum, operator pada R2 dan R3 yang memetakan setiap vektor ke bayangan simetrisnya terhadap suatu garis atau bidang disebut operator pencerminan.Latihan Carilah matriks standar dan gambarkan

1. pencerminan terhadap sumbu-x

2. pencerminan terhadap garis y = x

3. pencerminan terhadap bidang xy

4. pencerminan terhadap bidang xz

5. pencerminan terhadap bidang yz

Operator-Operator Proyeksi

Operator T: R2 ( R2 memetakan setiap vektor ke proyeksi ortogonalnya pada sumbu-x

Persamaan-persamaan yang menghubungkan komponen-komponen x dan w = T(x) adalah:

w1 = x = x + 0y

w2 = 0 = 0x + 0y

Atau dalam bentuk matriks:

Persamaan adalah linier, jadi T adalah suatu operator linier, dan matrik standar T adalah:

Latihan

Carilah matriks standar dan gambarkan

1. Proyeksi ortogonal pada sumbu-y

2. Proyeksi ortogonal pada bidang xy

3. Proyeksi ortogonal pada bidang xz

4. Proyeksi ortogonal pada bidang yz

Operator-Operator Rotasi

x = r cos ,

y = r sin

dan

w1 = r cos ( + ),w2 = r sin ( + )maka didapat:

w1 = r cos cos - r sin sin

w2 = r cos cos + r cos sin

substitusikan ke x dan y, menghasilkan:

w1 = x cos y sin

w2 = x sin + y cos

jadi matriks standar untuk T adalah:

Maka Rotasi dengan sudut

Persamaan:w1 = x cos y sin

w2 = x sin + y sin

Matriks standar:

Contoh:

Jika setiap vektor pada R2 dirotasikan dengan sudut = (300), maka bayangan w

dari suatu vektor adalah:x =

yaitu:w = = =

misalkan bayangan vektor x =

adalah

w =

Operator-Operator Pelebaran dan Penyempitan

k adalah skalar non-negatif, maka operator T(x) = kx pada R2 dan R3 disebut suatu penyempitan dengan faktor k jika 0 k 1 dan suatu pelebaran dengan faktor k jika k 1

Komposisi Transformasi Linier

Jika TA : Rn ( Rk dan TB : Rk ( Rm adalah transformasi-transformasi linier Untuk setiap x dalam Rn dapat dihitung TA(x) dan merupakan vektor dalam Rk, selanjutnya dapat dihitung TB(TA(x)) yang merupakan vektor dalam Rm Komposisi TB dengan TA dinyatakan oleh TB TA Jadi(TB TA)(x) = TB(TA(x))

Komposisi TB TA adalah linier, karena:

(TB TA)(x) = TB(TA(x)) = B(Ax) = (BA)x

Jadi

TB TA = TBAContoh

T1 : R2 ( R2 dan T2 : R2 ( R2 adalah operator-operator linier yang merotasikan vektor masing-masing dengan sudut 1 dan 2Maka: (T2 T1)(x) = T2(T1(x))

Jawab:

Jadi matriks-matriks operator liniernya adalah:

,

[T2 T1] =

EMBED Equation.3 =

=

= [T2 T1] 4.3 Sifat-Sifat Transformasi Linier dari Rn ke Rm

Transformasi Linier Satu-Satu

Definisi:

T : Rn ( Rn disebut satu-satu jika T memetakan vektor-vektor yang berbeda pada Rn ke vektor-vektor yang berbeda pada RmContoh-1

A adalah matriks nxn dan TA : Rn ( Rn adalah perkalian dengan matrik A, maka: A dapat dibalik

Ax = w konsisten untuk setiap matriks w, n x l

Ax = w tepat mempunyai satu jawab

Untuk setiap vektor w pada Rm ada vektor x pada Rn sedemikan sehingga TA(x)=w. Daerah hasil untuk TA adalah semua dari Rn Untuk setiap vektor w dalam daerah hasil TA, tepat ada satu vektor x pada Rn sedemikan sehingga TA(x)=w. Maka TA adalah satu-satuTeorema: Jika A adalah suatu matriks n x n dan TA : Rn ( Rn adalah perkalian dengan A, maka:

A dapat dibalik

Daerah hasil dari TA adaah Rn TA adalah satu-satu

(Selanjutnya contoh-contoh soal bisa dilihat pada buku Anton Howard)CatatanPribadi

T disebut Transformasi Linear, jika T:V ( W

W adalah suatu fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, yang memenuhi batasan:

1. T(V1 + V2) = T(V1) + T(V2); dimana V1 dan V2 RnT(kV) = k T(V); dimana V ( Rn dan k bilangan nyata2. T: V ( suatu Transformasi Linear, di mana:

Dimensi N(T) disebut nolitas dari T ditulis n(T)

Dimensi T(V) disebut rank dari T ditulis r(T)

Contoh-1:

Basis s = (v1, v2, v3) pada R3

v1 = (1, 1, 1); v2 = (1, 1, 0); v3 = (1, 0, 0)

T: R3 ( R2 dimana:T(V1) = (1, 0)

T(V2) = (2, -1)

T(V3) = (4, 3)

Tentukan: T(2, -3, 5)

Jawab:

(2, -3, 5) = k1 v1 + k2 v2 + k3v3

= k1 (1, 1, 1) + k2 (1, 1, 0) + k3(1, 0, 0)

k1 + k2 + k3 = 2

k1 + k2 = -3

k1 = 5

Jadi k2 = -3-5 = -8

k3 = 2-5 +8 = 5

Maka:

(2, -3, 5) = 5 v1 - 8 v2 + 5v3

T(2, -3, 5) = 5 T(V1) - 8 T(V2) + 5 T(V3)

= 5 (1, 0) - 8 (2, -1) + 5 (4, 3)

= (9, 23)

Contoh-2:

T: R2 ( R3

Tentukan: N(T); n(T); T(V) dan r(T)

Jawab:

maka

Jadi:

Sehingga N(T) = himpunan vektor-vektor

SPL:

Atau:

x y= 0

2x + 3y= 0

4x

= 0, maka x = 0 dan y = 0 Maka didapat N(T) =

Dimensi N(T) = n(T) =

Selanjutnya:

T(v)=

SPL: =

Atau:

EMBED Equation.3 ( lakukan OBE

Maka:

= 0

5b3 - 20b1 - 4b2 + 8b1 = 0

12b1 + 4b2 - 5b3 = 0

Jadi

T(v) R3 berupa bidang datar melalui titik O(0, 0, 0) dengan vektor normal n = (12, 4, -5) berarti dimensi T(V) = r(T) = 2

Nilai Karakteristik dan Vektor Karakteristik

T:v ( w, diminta mencari nilai karakteristik ()

Vektor

Rn dimana ax 0

Vektor disebut vektor karakteristik

Nilai Karakteristik

A . = , di mana A = matriks bujur sangkar

Contoh:

dan

Tentukan nilai karakteristik

Jawab:

= = = 2

Jadi = 2

Cara lain:

A . = .

=

=

=

Jadi = 2

Persamaan Karakteristik

A . = .

A . = I ( I = vektor satuan

I - A = 0

( I - A) = 0 ( disebut Ruang Karakteristik

| I - A | = 0 ( disebut Persamaan Karakteristik

Contoh:

Tentukan nilai karakteristik

Jawab:

| I - A | = 0

= 0

= 0

(-1)( -3)-(-2)(-4) = 0

2 - 4 - 5 = 0

(-5)( +1) = 0

1 = 5 atau 2 = -1

Vektor Karakteristik ( )Contoh:

Tentukan vektor karakteristik dari

Jawab

Persamaan Karakteristik:

| I - A | = 0

= 0

= 0

(-1)( +2)-(-1)(-4) = 0

2 + - 6 = 0

(+3)( -2) = 0

1 = -3 atau 2 = 2

Misalkan

Ruang Karakteristik:

( I - A ) =

=

Untuk = -3, maka:

= (

=

-4x1 x2 = 0 ( -4x1 = x2

-4x1 x2 = 0

x1 = - x2 ( atau x2 = -4x1Himpunan Jawab:

( (

= vektor karakteristik untuk 1 = -3

Untuk 2 = 2, maka:

x1 x2 = 0

-4x1 + 4x2 = 0 ( x1 = x2Himpunan Jawab:

( (

= vektor karakteristik untuk 2 = 2

Contoh-1

Diketahui

Ditanya 1) Nilai karakteristik

2) Vektor karakteristik

Jawab-1):

Persamaan Karakteristik:

| I - A | = 0

= 0

= 0

= 0

= 0

3 + 2 - 20 2 + 20 + 108 - 18 90 + 18 18 + 9 36 = 0

3 - 12 16 = 0

( +2)( 2 -2 -8) = 0

( +2) ( +2) ( -4) = 0

1 = -2 atau 2 = -2 atau 3 = 4

Jawab-2):

Ruang Karakteristik:

I A = -

I A =

Misal

Ruang karakteristik:

(I A)

EMBED Equation.3 =

Untuk = -2

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 =

Kesimpulan: x1 x2 + x3 = 0

x1 = x2 - x3

HP = =

= =

untuk = -2

Misalkan: x2 = s, x3 = t

Maka

untuk = 4

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 =

6x2 = 6x1

12x2 = 6x3

x2 = x1

2x2 = x3

Jadi: x1 = x2

x3 = 2x2

HP = = =

Misalkan: x2 = s

Maka

untuk = 4

Contoh-2

Diketahui

I A = - =

Ditanya 1) Nilai karakteristik

2) Vektor karakteristik

Jawab:

Persamaan Eigen:

| I - A | = 0

= 0

= 0

[(-4)( -4)( -4)-8-8] - [4(-4) + 4( -4) + 4( -4)] = 0

[(-4)3 - 16] - [12(-4)] = 0

1. 3 - 32(-4) + 3 (-4)2 + (-4)3 16 [12-48] = 0

3 - 122 + 48 - 64 - 16 - 12 + 48 = 0

3 - 122 + 36 - 32 = 0

( -2)( 2 -10 +16) = 0

( -2) ( -2) ( -8) = 0

1 = 2 atau 2 = 2 atau 3 = 8

1,2 = 2 , 3 = 8

Misalkan Vektor Eigen:

Ruang Eigen:

(I A)

EMBED Equation.3 =

Untuk = 2 , maka

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 =

-2x1 - 2x2 - 2x3 = 0-2x1 - 2x2 - 2x3 = 0-2x1 - 2x2 - 2x3 = 0Jadi: -2x1 - 2x2 - 2x3 = 0

Maka: x1 + x2 + x3 = 0

Sehingga:x1 = -x2 - x3HP= =

= =

Untuk = 2

Misalkan: x2 = s, x3 = t

Maka

Untuk = 8

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 =

4x1 - 2x2 - 2x3 = 0 ( 4x1 - 2x2 - 2x3 = 0

-2x1 + 4x2 - 2x3 = 0 ( -2x1 + 4x2 - 2x3 = 0 --2x1 - 2x2 + 4x3 = 0 6x1 - 6x2 = 0

6x1 = 6x2

x1 = x2

-2x1 - 2x2 + 4x3 = 0 -2x2 - 2x2 + 4x3 = 0

-4x1 + 4x3 = 0 ( 4x3 = 4x2

x3 = x2

Jadi: x1 = x2 dan x3 = x2

HP= =

=

Untuk = 8

Misalkan: x2 = s

Maka

Untuk = 8

Tugas Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Tentukan semua nilai karakteristik atau nilai eigen dari matriks A, jika:

1. A =

2. A =

3. A =

4. A =

Tentukan semua nilai karakteristik atau nilai eigen dan Vektor eigen dari matriks A, jika:

5. A =

6. A =

7. A =

(a1, a2, a3)

(a1, a2, a3)

v

kv

u

v

u+v

w = T(x)

(x, y)

(-x, y)

x

y

x

T(x)

T memetakan titik ke titik

T memetakan vektor ke vektor

T(x)

x

(x, y)

(x, 0)

x

w

x

r

r

x

y

w = (w1, w2)

x = (x, y)

(x, y)

(w1, w2)

y

x

x

w

T(x) = kx

0 k < 1

x

x

k > 1

T(x) = kx

x

-

y

x

T1(x)

T2(T1(x))

-

1

1 + 2

2

-

+

+

+

_1322029729.unknown

_1360347471.unknown

_1360523346.unknown

_1362090882.unknown

_1362095321.unknown

_1393631510.unknown

_1393631575.unknown

_1393631841.unknown

_1393631548.unknown

_1362096149.unknown

_1362096173.unknown

_1362096225.unknown

_1362095443.unknown

_1362095945.unknown

_1362091501.unknown

_1362091886.unknown

_1362090923.unknown

_1360526700.unknown

_1360526906.unknown

_1360527087.unknown

_1362090648.unknown

_1360527052.unknown

_1360526792.unknown

_1360526535.unknown

_1360526628.unknown

_1360525566.unknown

_1360351305.unknown

_1360378429.unknown

_1360387877.unknown

_1360523156.unknown

_1360382940.unknown

_1360382949.unknown

_1360382927.unknown

_1360358275.unknown

_1360378345.unknown

_1360356517.unknown

_1360349090.unknown

_1360351180.unknown

_1360351294.unknown

_1360349099.unknown

_1360347917.unknown

_1360347953.unknown

_1360347501.unknown

_1322267859.unknown

_1322290473.unknown

_1360345152.unknown

_1360346197.unknown

_1360347326.unknown

_1360346896.unknown

_1360346939.unknown

_1360346854.unknown

_1360346754.unknown

_1360346806.unknown

_1360346153.unknown

_1360346175.unknown

_1360345248.unknown

_1325240551.unknown

_1360344064.unknown

_1360344866.unknown

_1360344232.unknown

_1360343993.unknown

_1354281334.unknown

_1322290886.unknown

_1322391575.unknown

_1322391590.unknown

_1322391938.unknown

_1322291028.unknown

_1322291096.unknown

_1322297836.unknown

_1322291063.unknown

_1322290932.unknown

_1322290817.unknown

_1322290858.unknown

_1322290538.unknown

_1322272407.unknown

_1322288663.unknown

_1322288951.unknown

_1322290259.unknown

_1322290459.unknown

_1322288976.unknown

_1322288772.unknown

_1322288839.unknown

_1322288683.unknown

_1322287138.unknown

_1322287432.unknown

_1322288509.unknown

_1322287213.unknown

_1322272711.unknown

_1322286466.unknown

_1322272456.unknown

_1322269336.unknown

_1322271940.unknown

_1322272138.unknown

_1322272400.unknown

_1322272071.unknown

_1322269642.unknown

_1322270549.unknown

_1322269572.unknown

_1322268785.unknown

_1322268955.unknown

_1322269059.unknown

_1322268841.unknown

_1322268123.unknown

_1322268630.unknown

_1322267925.unknown

_1322032466.unknown

_1322263688.unknown

_1322265958.unknown

_1322267722.unknown

_1322267743.unknown

_1322267761.unknown

_1322267696.unknown

_1322266102.unknown

_1322266483.unknown

_1322264905.unknown

_1322265490.unknown

_1322265922.unknown

_1322265449.unknown

_1322264035.unknown

_1322264165.unknown

_1322263858.unknown

_1322262068.unknown

_1322262224.unknown

_1322262576.unknown

_1322263467.unknown

_1322262555.unknown

_1322262122.unknown

_1322262184.unknown

_1322261255.unknown

_1322261372.unknown

_1322261403.unknown

_1322261913.unknown

_1322261322.unknown

_1322032635.unknown

_1322029889.unknown

_1322032392.unknown

_1322032448.unknown

_1322031810.unknown

_1322031939.unknown

_1322031200.unknown

_1322029795.unknown

_1322029851.unknown

_1149123659.unknown

_1321863968.unknown

_1321866410.unknown

_1322029093.unknown

_1322029497.unknown

_1322029581.unknown

_1322029478.unknown

_1322029272.unknown

_1322029068.unknown

_1321866587.unknown

_1322028887.unknown

_1321864301.unknown

_1321865740.unknown

_1321865754.unknown

_1321865166.unknown

_1321864275.unknown

_1321864291.unknown

_1321864144.unknown

_1321862525.unknown

_1321863183.unknown

_1321863803.unknown

_1321863648.unknown

_1321863783.unknown

_1321862710.unknown

_1321862824.unknown

_1321862686.unknown

_1150338377.unknown

_1150338455.unknown

_1321855222.unknown

_1150338404.unknown

_1150337521.unknown

_1150337880.unknown

_1150337257.unknown

_1150336335.unknown

_1150337029.unknown

_1149154998.unknown

_1149677043.unknown

_1147309905.unknown