Makalah Geometri Non Euclid

8/17/2019 Makalah Geometri Non Euclid

1/38

KATA PENGANTAR

Dengan menyebut nama Allah SWT yang Maha Pengasih lagi Maha

Penyayang, Saya mengucapkan puja dan puji syukur atas kehadirat-Nya, yang

telah melimpahkan rahmat, hidayah, dan inayah-Nya kepada saya, sehingga

saya dapat menyelesaikan makalah ilmiah ini.

Makalah ilmiah ini telah saya susun dengan maksimal dan mendapatkan

bantuan dari berbagai pihak sehingga dapat memperlancar pembuatan makalah

ini. ntuk itu saya menyampaikan banyak terima kasih kepada semua pihak

yang telah berk!ntribusi dalam pembuatan makalah ini.

Terlepas dari semua itu, Saya menyadari sepenuhnya bah"a masih ada

kekurangan baik dari segi susunan kalimat maupun tata bahasanya. #leh karena

itu dengan tangan terbuka saya menerima segala saran dan kritik dari pembaca

agar saya dapat memperbaiki makalah ilmiah ini.

Akhir kata saya berharap sem!ga makalah ilmiah tentang $e!metri N!n %uclid

ini dapat memberikan man&aat maupun inspirasi terhadap pembaca.

Medan, '( N!)ember '*+

Penyusun

N!)a Angreini arahap

%kstensi A '*+(

DAFTAR ISI


2/38

ata Pengantar////////////////////////.+

Da&tar 0si//////////////////////////..'

BAB I

Pendahuluan/////////////////////////.1

BAB II

Pembahasan/////////////////////////..2

BAB III

Penutup//////////////////////////...13

Da&tar Pustaka///////////////////////....12

BAB I


3/38

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

$e!metri berasal dari kata 4atin 5Geometria” Geo yang artinya tanah

dan metria yang artinya pengukuran. 6erdasarkan sejarah $e!metri tumbuh

jauh sebelum Masehi karena keperluan pengukuran tanah, di sekitar ka"asan

sungai Nil setelah terjadi banjir, dalam bahasa 0nd!nesia $e!metri dapat

diartikan sebagai 0lmu kur 7M!eharti, +893: +.';. $e!metri dide&inisikan juga

sebagai cabang Matematika yang mempelajari titik, garis, bidang dan benda-

benda ruang serta si&at-si&atnya, ukuran-ukurannya dan hubungannya satu sama

lain.

$e!metri dapat dipandang sebagai sistem dedukti& yaitu suatu sistem

yang harus ada pengertian-pengertian pangkal, yaitu unsur-unsur dan relasi-

relasi yang tidak dide&inisikan, kemudian de&inisi, selain de&inisi juga harus ada

relasi-relasi lain yang dapat dibuktikan dengan menggunakan de&inisi atau

p!stulat-p!stulat itu yang disebut dalil atau te!rema. Pr!ses untuk mendapatkan

atau menurunkan suatu dalil dari himpunan pangkal, de&inisi, dan p!stulat

inilah yang disebut deduksi. Dalam $e!metri sebagai suatu sistem dedukti&

himpunan p!stulat itu dapat dipandang sebagai aturan permainan 7M!eharti,

+893: +.1 < +.(;.

$e!metri yang pertama-tama muncul sebagai suatu sistem dedukti&

adalah $e!metri dari %uclides. ira-kira tahun 11* SM, %uclides menulis buku

sebanyak +1 buah. Dalam bukunya yang pertama %uclid menjelaskan mengenai

de&inisi, p!stulat, aksi!ma dan dalil 7M!eharti, +893: +.8;. Namun $e!merti

%uclid ini memiliki kelemahan, salah satu kelemahanya ada pada p!stulat

kelima dari %uclid yang terkenal dengan P!stulat Parallel atau P!stulat

esejajaran yang terlalu panjang sehingga merisaukan para matematika"an.


4/38

Sehingga beberapa matematika"an menganggap bah"a p!stulat kelima %uclid

bukan p!stulat dan dapat dibuktikan dengan keempat p!stulat yang lain. saha

untuk membuktikan p!stulat kelima ini berlangsung sejak %uclid masih hidup

sampai kira-kira tahun +9'*. T!k!h yang berusaha membuktikan ini antara lain

Pr!clus dari Aleksandria 7(+* - (9; $ir!lam! Saccheri dari 0talia 7+3*2 -

+211;, arl =riedrich $auss dari >erman 7+222 - +9;, W!l&gang 7=arkas;

6!lyai dari !ngaria 7+22 - +93;, dan anaknya ?an!s 6!lyai 7+9*' - +9*3*;

dan juga Nic!lai 0)an!)iteh 4!bache)sky 7+281 - +93; 7M!eharti, +893: +.+1;.

Menurut M!eharti 7+893: +.+';, p!stulat kesejajaran kelima %uclid adalah

sebagai berikut:

“ Jika suatu garis lurus e!t!ng "ua garis lurus "an e#uat su"ut$su"ut "ala se%i&ak kurang "ari "ua su"ut siku$siku' ke"ua garis itu (ika"i%er%an(ang tak ter#atas' akan #erteu "i%i&ak te%at ke"ua su"ut"ala se%i&ak kurang "ari su"ut siku$siku”

ac

p

1b q 2

Ga#ar ). 0lustrasi p!stulat ke lima %uclid

Pada gambar + garis c mem!t!ng garis a dan garis b yang

mengakibatkan sudut + dan sudut ' kurang dari +9*@, garis a dan garis b akan

bep!t!ngan pada pihak sudut yang kurang dari +9*@, yang pada gambar adalah

perpanjangan yang ke kanan.

P!stulat kelima ini masih sukar diterima dan dipahami maka beberapa


5/38

matematika"an berusaha untuk membuktikan dan menggantikannya dengan

p!stulat yang ekui)alen. Salah satu p!stulat yang paling terkenal dan sederhana

adalah Aksi!ma Play&air !leh >!hn Play&air yang bunyinya 7Pren!"it, +83:';

“Han*a a"a satu garis se(a(ar + parallel , %a"a garis *ang elalui titik #ukan

%a"a garis terse#ut-

Matematika"an lain, yaitu Pr!clus yang menulis k!mentar dari The

Elements yang menyebutkan usaha pembuktian untuk menyimpulkan dari p!stulat

kelima. Pr!clus kemudian memberikan bukti sendiri, dan memberikan p!stulat

yang ekui)alen dengan p!stulat kesejajaran 5>ika suatu garis lurus mem!t!ng salah

satu dari dua garis parallel ia juga akan mem!t!ng yang lain, dan garis-garis lurus

yang parallel dengan suatu garis lurus yang sama, adalah parallel satu sama lainB.

Sedangkan >!hn Wallis menggantikan p!stulat kesejajaran %uclid dengan p!stulat

Wallis. >!hn Wallis menyerah menc!ba membuktikan dalil paralel dalam $e!metri

Netral. Sebaliknya, ia mengusulkan sebuah p!stulat baru, yang ia merasa lebih

masuk akal daripada p!stulat kelima %uclid 7Pren!"it, +83:'9;.

$e!metri N!n %uclid timbul karena para matematika"an berusaha untuk

membuktikan p!stulat kelima dari %uclides. Sehingga $e!metri N!n %uclid masih

berdasarkan empat p!stulat pertama dari %uclides dan hanya berbeda pada

p!stulat kelimanya. Ada dua macam $e!metri N!n %uclid yang pertama adalah

ditemukan hampir bersamaan !leh 1 t!k!h berlainan dan masing-masing bekerja

sendiri-sendiri. T!k!h-t!k!h tersebut adalah arl =riedrich $auss dari >erman,

?!n!s 6!lyai dari !ngaria, dan Nic!lai 0)an!)itch 4!bache)sky dari Cusia,

$e!metri ini disebut $e!metri 4!bache)sky. $e!metri N!n %uclid yang kedua

adalah $e!metri yang diketemukan !leh $.=.6. 6ernhard Ciemann dari >erman,

$e!metri ini disebut $e!metri %lliptik atau $e!metri Ciemann 7M!eharti, +893:

+.'*;.

Suatu ge!metri yang dilengkapi dengan sistem aksi!ma-aksi!ma


6/38

keterjadian, sistem aksi!ma-aksi!ma urutan, sistem aksi!ma kek!ngruenan 7ruas

garis, sudut, segitiga; dan sistem aksi!ma-aksi!ma Archiemedes disebut dengan

$e!metri Netral. Didalam ge!metri ini ada k!nsep kesejajaran dua garis di dalam

ge!metri Netral ini, tidak disebut banyaknya garis yang melalui sebuah titik T

diluar sebuah garis lain yang dapat sejajar dengan garis ini. alau banyaknya garis

itu hanya satu, $e!metri Netral itu dinamakan $e!metri %uclide. >ika ada lebih

dari satu garis, $e!metri Netral ini disebut $e!metri 4!bache)sky. $e!metri

4!bache)sky adalah salah satu $e!metri N!n %uclide. Dari $e!metri %uclid dapat

diambil sarinya berupa dua $e!metri yang berlainan dalam dasar l!gikanya,

pengertian pangkalnya dan aksi!manya. edua $e!metri itu adalah $e!metri

A&&ine dan $e!metri Abs!lut atau $e!metri Netral. $e!metri A&&in yang

dikenalkan !leh 4e!nhard %uler dari >erman, $e!metri ini didasarkan pada p!stulat

0, 00,dan E, sedangkan $e!metri Abs!lute pertama kali diperkenalkan

!leh ?. 6!lyai dari !ngaria. $e!metri ini mendasarkan pada empat p!stulat

pertama dari %uclid dan meninggalkan p!stulat ke lima.

BAB II


7/38

PEBAHASAN

A. Geometri Lobachevsky

Sekarang, diperkenalkan ge!metri n!n-%uclides dari 6!lyai, dan

4!bache)sky, sebagai te!ri &!rmal y ang mendasarkan pada beberapa p!stulat.

Te!ri ini dinamakan Geometri Lobachevsky untuk memudahkan dan menandai

karya 4!bache)sky. $e!metri 4!bache)sky dapat dig!l!ngkan pada ge!metri

netral dengan memandang bah"a setiap segitiga jumlah besar sudutnya kurang dari

+9**. Meskipun demikian, kita lebih suka mengikuti sejarah perkembangannya dan

mempelajarinya secara langsung dalam hubungannya dengan p!stulat kesejajaran

%uclides. >adi, untuk mengg!l!ngkan pada ge!metri 4!bache)sky hanyalah dengan

menerima semua p!stulat ge!metri %uclides dengan membuang p!stulat

kesejajarannya dan mengganti dengan p!stulat berikut ini :

P!stulat Kese(a(aran L!#a/&e0sk*

Paling tidak ada dua garis yang sejajar dengan suatu garis yang melalui suatu

titik di luar garis tersebut.

>elaslah, ge!metri 4!bache)sky merupakan jenis dari ge!metri netral.

Sebagai akibatnya, kita lanjutkan pelajaran ge!metri netral dengan memberikan

suatu batasan tambahan. >adi, te!rema-te!rema pada ge!metri netral juga berlaku

pada ge!metri 4!bache)sky dan juga dapat dipakai pada pembuktian-pembuktian

kita.

B. Te!rea n!n$etri/al

Te!rema pertama ge!metri 4!bache)sky merupakan te!rema dasar yang

tidak melibatkan ide-ide metrical 7sistim perhitungan dengan dasar angka +*;

seperti jarak, ketegak-lurusan, atau luas. Te!rema tersebut mengenai kedudukan

atau si&at garis.

Te!rea 1.)


8/38

Sebarang garis seluruhnya berada di dalam sudut tertentu.

Bukti 2

Misalkan diketahui garis l. tentukan titik P di luar l. tentukan titik P diluar l.

Menurut p!stulat kesejajaran ge!metri 4!bache)sky ada garis m dan n yang

melalui P dan sejajar l.

$aris m dan n membagi bidang itu menjadi ( daerah, masing-masing

merupakan bagian dalam suatu sudut, yakni bagian dalam F AP6 ,‟ F A P6.‟

F A P6 , dengan P terletak diantara A dan A pada garis m dan diantara 6 dan‟ ‟ ‟

6 pada garis n.‟

Misalkan G adalah titik pada l. arena l tidak mem!t!ng m atau n, berarti G

tidak terletak pada m atau n.

>adi G berada pada salah satu dari ( bagian dalam sudut di atas, misalnya F

A P6‟ .

Sekarang, dimana letak l H

arena salah satu titiknya yaitu titik G berada pada bagian dalam F A P6 dan l‟

tidak mem!t!ng sisi-sisi sudutnya, yakni PA dan P6. >adi jelaslah bah"a l‟

berada di dalam F A P6 yang berarti garis l seluruhnya termuat di dalam F‟

A P6.‟

Te!rea aki#at

Ada tak berhingga garis yang sejajar dengan suatu garis yang melalui suatu titik di

luar garis itu.

Bukti 2


9/38

Misalkan diketahui garis l dan titik P.

$unakan te!rema l dan misalkan C sebarang titik yang terletak di dalam daerah

F AP6 7$ambar (.+;. Maka garis PC 7kecuali titik P; seluruhnya termuat dalam

daerah F AP6 dan F A P6 dan tidak ‟ ‟ mem!t!ng garis l yang termuat dalam F

A P6. >adi‟ PC I I l.

arena terdapat tak berhingga garis yang seperti PC, berarti te!rema akibat

terbukti.

Sungguh menarik kalau kita bandingkan Te!rema 3.+ di atas dengan situasi

dalam ge!metri %uclides 7yang hanya sebagian garis dapat termuat dalamdaerah suatu sudut;. arena dalam ge!metri bidang %uclides sebuah garis yang

melalui titik dalam daerah sudut akan mem!t!ng sudut di dua titik atau satu

titik. >adi hanya sebuah segmen garis saja yang bisa termuat dalam daerah

sudut, atau hanya sebuah sinar garis saja.

Te!rema di atas menunjukkan perbedaan yang jelas antara ge!metri %uclides

dan ge!metri 4!bache)sky jika dipandang dari si&at-si&at n!nmetrik. al ini

seharusnya tidaklah terlalu mengherankan, karena p!stulat kesejajaran %uclides

7dalam bentuk p!stulat Play&air; dan p!stulat kesejajaran 4!bache)sky memang

berbeda si&at khusus gra&iknya. Perhatikan, hasil yang tak terhindarkan pasti terjadi,

jika kita mengasumsikan p!stulat 4!bache)sky.

3. Sangga&an

Anda mungkin keberatan bah"a Te!rema 3.+ ternyata )alid secara abstrak,


10/38

tetapi tidak sesuai dengan kenyataan &isiknya. >adi, k!nklusi di atas memang secara

l!gis diper!leh dari p!stulat kesejajaran 4!bache)sky, tetapi asumsi itu secara &isik

keliru. >ika anda membuat pernyataan demikian, berarti anda mulai mengikuti jejak

para ahli ge!metri n!n-%uclides. arena jika mereka mulai mengembangkan te!ri

mereka, mereka pasti telah meragukan )aliditas empirik dari p!stulat kesejajaran

yang baru itu. ?ang diperlukan bagi sese!rang untuk berpikir secara matematis

adalah asumsi-asumsi 7p!stulat-p!stulat; yang secara l!gis dapat menghasilkan

k!nklusi 7te!rema;. Ealiditas argumen matematis tidak bergantung pada benar atau

salahnya asumsi dasar yang digunakannya.

Meskipun demikian, "ajarlah kita memilih asumsi yang akan menimbulkan

kekeliruan jika diterapkan pada dunia nyataH >a"abnya sudah jelas, tetapi

kenyataannya hal ini merupakan pertanyaan yang sulit dan rumit yang tidak mungkin dija"ab dengan 5yaB atau 5tidakB saja. arus ada beberapa penjelasan.

Pertama, ahli matematika seharusnya bebas memilih p!stulat dan

mempelajari k!nsekuensinya, bebas dari pertimbangan kegunaan praktisnya

maupun )aliditas empirisnya.

edua, pr!p!rsi matematika itu abstrak untuk mengujinya secara empiris

kita harus mena&sirkan istilah-istilah dasarnya. Meskipun tampaknya salah dalam

suatu interpretasi 7pena&siran;, mungkin menjadi benar dalam intepretasi yang lain.

Sebagai c!nt!h, suatu p!stulat menjadi salah jika 5garisB diinterpretasikan sebagai

5tali yang tegangB, mungkin jadi benar jika diinterpretasikan sebagai 5sinar lampuB.

Akhirnya, janganlah kita lupa bah"a penentuan kebenaran empiris dari pernyataan

ge!metris bukanlah urusan kita sebagai ahli matematika < sebab hal itu bukanlah

merupakan perc!baan mental yang dapat disimpulkan secara santai. al itu

termasuk dalam bidang pengetahuan tentang perc!baan dan penelitian yang

dilaksanakan !leh ahli &isika, astr!n!m dan para peneliti, diketahui garis 7secara

&isik; l dan titik P 7secara &isik; di luar l, maka ada garis m 7secara &isik; yang tidak

mem!t!ng l tetapi melalui P yang tidak terletak pada lH 6agaimana kita menguji

hal ituH

ntuk menentukan kebenaran pernyataan secara empiris, seringkali


11/38

merupakan masalah yang sulit, dan seringkali hanya memper!leh pendekatannya

saja atau kebenarannya secara statistik saja. Sebagai c!nt!h yang klasik, perhatikan

p!stulat kesejajaran %uclides : p!stulat itu telah digunakan turun-temurun !leh para

ilmu"an dan insinyur p!stulat tersebut telah mengalami pengujian "aktu itu. ita

merasa yakin bah"a itu merupakan &akta empiris.

Dengan pr!ses berpikir yang sama kita yakin bah"a p!stulat kesejajaran

4!bache)sky secara empiris adalah salah. Marilah kita renungkan masalah ini

sebentar < apa saja yang terlibat dalam pernyataan-pernyataan ini H Adakah kita

menyatakan bah"a, jika diketahui garis 7secara &isik; l dan titik P 7secara &isik; di

luar l, maka ada garis m 7secara &isik; yang tidak mem!t!ng l tetapi melalui P yang

tidak terletak pada lH 6agaimana kita menguji hal ituH

Akankah kita gunakan tali, garis-garis di papan tulis, atau sinar lampuH 0ngat,

betapa lebih sulit lagi membuktikan secara empiris bah"a hanya ada satu garis

yang demikianH Misalkan ada satu garis yang memenuhi, yaitu garis m.

m

P

l

mJ

Apakah kita benar-benar tahu si&at-si&at &isiknya sehingga dapat menunjukkan

hanya ada satu garis seperti itu H

Misalkan m a dalah garis 7secara &isik; yang melalui P dan membentuk sudut yang‟

sangat kecil dengan m dapatkah kita nyatakan bah"a secara fisik m pasti‟

mem!t!ng lH


12/38

Pernyataan tentang kebenaran empiris p!stulat kita memang sulit di ja"ab

dan akan dibahas lebih lanjut pada bab 9. Saat ini kita puas jika kita telah dapat

menghilangkan keraguan dan mempunyai secara empiris. P!stulat kesejajaran

%uclides pasti benar dan p!stulat kesejajaran 4!bache)sky pasti salah. ita

harapkan hal ini cukup dengan menghilangkan perasaan bah"a ge!metri

l!bache)sky hanyalah abstrak yang jauh dari dunia nyata.

D Jula& su"ut segitiga "ala ge!etri L!#a/&e0sk*

Te!rema + menunjukkan bagaimana kedudukan atau si&at-si&at n!n metrical dalam

ge!metri n!n-%uclides tentu berbeda dengan ge!metri %uclides. Akan ditunjukkan

dalam Te!rema 2.' bagaimana si&at metrical, jumlah besar sudut dalam segitiga,

tentu berubah jika kita mengubah p!stulat kesejajarannya.

ita a"ali dengan dua 5lemmaB yang )alid dalam ge!metri netral. ita

tangguhkan pengenalannya karena kedua lemma tersebut hanya digunakan untuk

menetapkan Te!rema 2.'. 4emma 2.+ merupakan pengulangan kembali Te!rema

Saccheri 4egendre

Lea 4.).

Jumlah besar dua sudut dalam segitiga adalah kurang atau sama dengan besar

sudut luar yang tida bersisian dengan sudut tersebut.

Bukti 2

Perhatikan D A6K. Menurut Te!rema Sacheri-4egendre :

F A L F 6 L F K +9**.

>ika kedua ruas ketidaksamaan dikurangi dengan F K diper!leh :F A F 6 L

+9** - F K. 4emma tersebut berlaku karena sudut luar K sama dengan +9* * - F

K.

Lea 4.5


13/38

Misalkan diketahui garis l titik P di luar l titik ! "ada l.

Misalkan diberikan sisi P!. Maka ada titik # di l yang terletak satu "ihak dengan

P! sehingga $ P!# sekecil yang kita inginkan.

P

l G C

Bukti 2

Misalkan a adalah sudut yang kecil.

Akan kita tunjukkan bah"a ada titik C pada l yang terletak di sebelah kanan PG

sedemikian hingga F PCG a.

Pertama, kita bentuk barisan sudut-sudut :

F PC+G, F PC'G, //..,

yang setiap suku tidak lebih besar dari suku sebelumnya.

Perhatikan gambar berikut ini :

Misalkan C+ titik pada l dan berada di sebelah kanan sisi PG sedemikian hingga

GC+ PG 7$ambar (.;.

Tarik PC+. Maka ∆ PGC+ adalah sama kaki dan ∠ QPR1 = ∠ PR1Q =

b+.


14/38

Misal besar sudut luar ∆ PQR1 di Q = b. Menurut 4emma 2.+

b1 + b1 = 2b1 < b,

berarti :

b1 <1

2 b ………….(1)

Sekarang dibentuk segitiga baru dan diulang lagi argumen di atas. Perpanjang

GC+ melalui C+ ke C', sedemikian hingga C+C' PC+.

Tarik PC'. Maka ∆ PR1R2 adalah samakaki dan ∠ R1PR2 = ∠ PR2R1

= ∠ PR2Q = b2

>adi, sesuai dengan 4emma 3.+ b2 + b2 = 2b2 < b1

berari !

b2 <1

2 b1

sesuai dengan persamaan 7+; diper!leh !

+ b2 < ' ' b

Dengan melanjutkan pr!ses di atas sebanyak n kali, maka akan diper!leh titik

Cn pada l dan di sebelah kanan sisi PG sedemikian hingga :

b" = ∠ PR"Q <1

2n b

Dengan memilih n cukup besar maka bisa diper!leh b1

2n < a. Dengan

demikian ∠ PR"Q < a. >adi te!rema berlaku untuk C Cn.

Teorema 7.2

Ada sebuah segitiga dengan jumlah besar sudut kurang dari +9**.


15/38

Bukti :

Misalkan l suatu garis dan P di luar l. ita buat garis m melalui P sejajar l

dengan cara biasa sebagai berikut :

Misal PQ ⊥ # di Q, da" $ ⊥ PQ di P.

Menurut p!stulat kesejajaran 4!bache)sky ada garis lain yaitu garis n yang

melalui P dan sejajar l. Salah satu sudut yang dibentuk n dengan PG adalah

lancip.

Misalkan : O titik pada n sedemikian hingga ∠ QP% lancip

? titik pada m dan n di sebelah kanan sisi PG seperti O.

a = ∠ %P&. 'aa ∠ QP% = 900 a

Sekarang gunakan 4emma 2.'. Misalkan C pada l dan berada di sebelah kanan

sisi PG yang memuat O, sedemikian hingga ∠ PRQ < a.

Perhatikan ∆ PQR. ita punya !

∠ PQR = 900

∠ QRP < a

∠ RPQ < ∠ %PQ = 900 a

>ika dijumlahkan diper!leh :

∠ PQR + ∠ QRP + ∠ RPQ < 900

+ a + 900

a = 1800

>adi ∆ PQR mempunyai jumlah besar sudut kurang dari +9** dan te!rema

terbukti.

Pm

l

G C

rutan pembuktian di atas sungguh sangat sederhana. ntuk mengetahui lebih

dalam, perhatikan dulu situasi yang sama dalam ge!metri %uclides.

Misal : l dan m tegak lurus pada PG di G dan P.

C sebarang titik pada l, di sebelah kanan sisi PG >ika C menjauhi PG

sampai tak terhingga, maka ∠ QRP mendekati ** dan ∠ QPR mendekati 8**.


16/38

Dalam ge!metri 4!bache)sky agak sedikit berbeda. ita masih punya garis l

dan m tegak lurus pada PG di G dan P sedemikian hingga m I I l. Tetapi

sekarang 7seperti pada pembuktian Te!rema '; ada garis lain PO yang sejajar l,

sedemikian hingga :

∠QP% < 900. Misalkan C sebarang titik pada l di sebelah kanan PG seperti

O.

>ika C menjauhi PG sampai tak terhingga, maka ∠QRP $e"deai

00 seperti pada ge!metri %uclides. Tetapi ∠QPR tidak mendekati 8**, karena

∠QPR selalu kurang dari ∠QP%.

>adi, jika C cukup jauh, ∠PGC akan memiliki jumla besar sudut kurang dari

+9**. Sebagai c!nt!h, jika ∠QP% = 890 kita hanya perlu menempatkan C

sedemikian hingga ∠QRP < 10.

P m

. O

lG C

Akhirnya, Anda mungkin men!lak bah"a kita tidak akan dapat mendapatkan

∠GPC ∠GPO, yakni sinar PC terletak dalam ∠GPO.

Perhatikan bah"a sinar PC dan sinar PO adalah berbeda dan keduanya

berada di dalam sudut yang dibentuk !leh sinar PG dengan sinar yang lain.

Misalkan sinar PO terletak di dalam ∠ GPC, maka sinar PO akan mem!t!ng

GC dan sudah tentu mem!t!ng l. arena hal ini tidak mungkin terjadi, berarti

sinar PC harus berada di dalam ∠ GPO.

Te!rema berikut merupakan te!rema yang penting, dan merupakan

k!nsekuensi langsung dari Te!rema 2.'.


17/38

Te!rea 4. 6

>umlah besar sudut setiap segitiga kurang dari +9**.

Bukti 2

Menurut akibat ' te!rema 3.3 7ge!metri netral; : >ika ada sebuah segitiga

yang jumlah besar sudutnya kurang dari +9**, maka setiap segitiga jumlah besar

sudutnya juga kurang dari +9**///// 7+;

Menurut Te!rema 2.' 7ge!metri 4!bache)sky; :

Ada sebuah segitiga yang jumlah besar sudutnya kurang dari +9**/////.

7';

6erdasarkan 7+; dan 7'; maka jumlah besar sudut setiap segitiga kurang dari

+9**.

Aki#at ) Te!rea 4.6

>umlah besar sudut-sudut dalam segiempat kurang dari 13**.

Aki#at 5 Te!rea 4.6

Tidak ada persegipanjang.

Meskipun Te!rema 2.1 tersebut berbeda dengan te!rema serupa pada

ge!metri %uclides, mungkin anda masih tetap berasumsi bah"a jumlah besar

sudut suatu segitiga itu k!nstan, seperti pada ge!metri %uclides. al ini tidak

mungkin pada ge!metri 4!bache)sky, di mana jumlah besar sudut suatu

segitiga ber)ariasi antara ** dan +9**.

E. A"aka& segitiga$segitiga *ang se#angun "ala ge!etri L!#a/&e0sk*7


18/38

6erikut ini akan ditunjukkan bah"a segitiga-

segitiga yang sebangun tidak ada dalam ge!metri 4!bache)sky, tetapi yang ada

hanyalah segitiga-segitiga yang k!ngruen. al ini sesuai dengan te!rema berikut

ini.

Te!rea 4.8

Dua segitiga dikatakan k!ngruen jika sudut-sudut yang bersesuaian sama.

A

AJ

„ 6JJ KJJ

6J KJ

6 K

Bukti :

Andaikan te!rema ( salah. 6erarti ada dua segitiga, misal A6K dan A 6 K‟ ‟ ‟

sedemikian hingga : ∠A ∠ A ,‟ ∠ 6 ∠ 6 ,‟ ∠ K tetapi kedua segitiga tersebut‟

tidak k!ngruen. >adi A6 ∠ A 6 7>ika A6 A 6 tentu kedua segitiga tersebut‟ ‟ ‟ ‟

k!ngruen dengan sd-ss-sd;.

Demikian pula jika AK ∠ A K dan 6K‟ ‟ ∠ 6 K .‟ ‟

Perhatikan tripel segmen A6, AK, 6K dan A 6 , A K , 6 K . Salah satu‟ ‟ ‟ ‟ ‟ ‟

dari tripel segmen tersebut pasti terdiri atas dua segmen yang lebih besar dari dua

segmen yang bersesuaian dari tripel yang lain.

Akibatnya, kita dapat memisalkan A6 Q A 6 dan AK Q A K . Selanjutnya‟ ‟ ‟ ‟

tentukan titik 6B pada A6 dan KB pada AK sedemikian hingga A 6 A6B dan‟ ‟

A 6 AKB‟ ‟

>adi ∠ A6BKB k!ngruen ∠ A 6 6 .‟ ‟ ‟


19/38

Akibatnya : ∠ 66BKB ∠ 6 ‟ ∠ 6.

6erarti ∠ 66BKB adalah suplemen ∠ 6 dan ∠ 6BKBK adalah suplemen ∠ K,

dengan demikian segiempat

66BKBK mempunyai jumlah besar sudut sama dengan 13** 7bertentangan dengan

akibat + te!rema 2.1;.

Di sini telah kita lihat perbedaannya dengan ge!metri %uclides. Sesuai

dengan Te!rema 2.(, dalam ge!metri 4!bache)sky tidak ada te!ri tentang gambar-

gambar sebangun yang didasarkan pada de&inisi biasa, karena jika dua segitiga

sebangun maka sudut-sudut yang bersesuaian sama, dan !leh karena itu kedua

segitiga pasti k!ngruen. Secara umum, dua gambar yang sebangun pasti k!ngruen,

dan juga mempunyai ukuran yang sama.

F. Te!ri Luas L!#a/&e0sk*

kuran luas dalam ge!metri 4!bache)sky berbeda dengan ge!metri %uclides yang

menggunakan satuan luas persegi, karena persegi tidak ada dalam ge!metri4!bache)sky. ntuk perhitungan besarnya luas dapat digunakan met!de

perhitungan besarnya luas dapat digunakan met!de perhitungan integral dan

met!de pendekatan tertentu. ntuk penyederhanaan, kita batasi dengan luas

segitiga saja.

Tanpa memperhatikan bagaimana luas dide&inisikan yang pasti luas

memiliki si&at-si&at berikut :

a; ke"ositifan%

Setiap segitiga ditentukan secara tunggal !leh bilangan p!siti& yang dinamakan

luasnya.

b; invariansi terhada" kongruensi %


20/38

segitiga-segitiga yang k!ngruen memiliki luas yang sama.

c; sifat aditif &"enambahan' %

>ika segitiga T dibelah menjadi segitiga T+ dan T', maka luas T adalah jumlah

luas T+ dan T'.

Akibatnya, setiap pengukuran luas menentukan &ungsi bernilai real yang

dide&inisikan pada semua segitiga yang memenuhi si&at a;, b;, dan c;. al ini

menunjukkan bah"a kita de&inisikan k!nsep pengukuran luas atau &ungsi luas pada

segitiga yang mempunyai ketiga si&at tersebut, lepas dari pr!ses pengukurannya.

>adi kita tentuan de&inisi berikut.

De9inisi 4.)

Perhatikan suatu &ungsi yang memasangkan setiap segitiga dengan bilangan real

tertentu sedemikian hingga si&at a;, b; dan c; terpenuhi. =ungsi tersebut dinamakan

fungsi luas atau ukuran luas 7untuk segitiga;. >ika R adalah &ungsi semacam itu dan

A6K adalah segitiga, maka R7A6K; menyatakan suatu nilai yang dipasangkan !leh

R dengan segitiga A6K, dan disebut luas atau ukuran segitiga A6K yang ditetapkan

!leh R.

Sudah tentu de&inisi di atas tidak terbatas pada ge!metri 4!bache)sky saja

tapi juga berlaku untuk sebarang ge!metri netral. Dalam ge!metri %uclides telah

kita kenal rumus luas segitiga 71

2a . t

; yang menghasilkan sebuah &ungsi luas,

dengan memasangkan setiap segitiga dengan bilangan1

2 alas tingginya.

ita lanjutkan dengan mengamati si&at aditi& c; dari &ungsi luas, yang dapat

dikembangkan sampai sejumlah suku-suku yang berhingga.

Te!rea 4.: +Pen(ula&an #er&ingga,

Misalkan sebuah segitiga ∆ dipecah menjadi suatu himpunan berhingga segitiga-


21/38

segitiga yang tidak saling menutupi ∆1, ∆2, ……, ∆". Maka &ungsi luas µ nya !

µ(∆) = µ(∆1) + µ(∆2) + ………. + µ(∆").

asilnya akan sama pentingnya baik pada ge!metri %uclides maupun

ge!metri 4!bache)sky. ita kenalkan idea &ungsi luas dalam ge!metri

4!bache)sky tanpa memberikan suatu c!nt!h tertentu. Ada suatu c!nt!h yang

hanya penting dan dikenal pada ge!metri %uclides, tetapi umumnya dinyatakan

dalam sudut-sudut segitiga. Secara &!rmal kita nyatakan de&inisi berikut.

Defnisi 7.2:

De&ect ∆ * adalah +9*


22/38

kita dapatkan jumlah de&ect kedua segitiga tersebut adalah

+9* - 7∠ 6AD L ∠ KAD L ∠ 6 L ∠ K;. +9* - 7∠ 6AK L ∠6 L ∠K;.

yang merupakan de&ect ∠ A6K.

Te!rema di atas menunjukkan bah"a &ungsi luas ada. ita tentunya heran jika ada

&ungsi luas yang lain, dan seberapa banyak )ariasinya. Met!de pembuatan &ungsi

luas yang baru akan diberikan pada te!rema berikut, yang merupakan akibat

langsung dari de&inisi &ungsi luas.

Te!rea 4.4

Perkalian &ungsi luas dengan bilangan p!siti& juga menghasilkan &ungsi luas.

Perkalian &ungsi luas dengan bilangan p!siti& mengakibatkan perubahan

satuan ukurannya 7yakni : sebarang segitiga mempunyai ukuran +;, tetapi tidak

mengubah rati! ukuran segitiganya. >ika kita memakai satuan yang berbeda untuk

ukuran sudut dan mende&inisikan 5de&ecB dengan cara alami, kita akan memper!leh

perkalian suatu de&ect dengan k!nstanta seperti yang kita de&inisikan semula.

Sebagai c!nt!h, misalkan kita ubah satuan sudut dari derajat ke menit.Maka hal tersebut akan menyebabkan dua macam peruahan :

7+; setiap ukuran sudut harus dikalikan dengan 3*.

7'; angka kunci +9* harus diganti dengan 3* kali +9* atau +*9**.

>adi de&inisi yang tepat untuk 5de&ectB adalah 3* kali de&ect yang kita de&inisikan

semula.

Sayangnya te!rema terakhir tidak menja"ab pertanyaan kita tentang

macam-macam &ungsi luas yang mungkin. ita bahas kemungkinan &ungsi luas

yang bukan merupakan perkalian de&ect dengan suatu k!nstanta.

ita mungkin merasa bah"a de&ect akan dibuang dan bukan merupakan &ungsi luas

tertentu, sementara &ungsi luas yang lain mungkin diper!leh secara tidak


23/38

pr!p!rsi!nal terhadap de&ect. >ika hal itu yang terjadi, maka akan ada dua segitiga

yang mempunyai luas yang sama karena ditentukan !leh suatu &ungsi luas tertentu,

dan mempunyai luas yang tidak sama !leh &ungsi luas yang lain. Dalam praktiknya,

hal ini mungkin meresahkan : harga sebuah rumah yang bergantung pada sistem

ukuran yang digunakannya. ntungnya, hal seperti itu tidak pernah terjadi dalam

ge!metri 4!bache)sky.

Contoh 7.1

>ika diketahui /* dan /PQR di dalam /*, buktikan bah"a de&ect /*

deec /PQR

6ukti : 6uat Segitiga A6K

b"a" ii * pada /* de"a" ii Ppada /PQR.

C b"a" ii * pada /*

de"a" ii Q pada /PQR

R

b"a" ii pada /*

de"a" ii Q pada /PQR

P

b"a" ii pada /*

Q

de"a" ii R pada /PQR

A Bb"a" ii pada /*

de"a" ii R pada /PQR

b"a" ii pada /*

de"a" ii P pada /PQR

erdaara" ere$a7.3

/* ! ∠*3 +∠

1

+ ∠

Q2 < 180 /QR ! ∠2 +∠ Q3

+ ∠ R1 < 180

/R ! ∠3 +∠ R2 + ∠

1 < 180

/PR ! ∠2+∠ P4 + ∠ R3 < 180

/P* ! ∠3 +∠ *1 + ∠ P1 < 180

/*PQ ! ∠ * 2 +∠ P 2 + ∠ Q1 < 180


24/38

∠*123 +∠ 123 +∠ 123 + ∠ Q123 +∠ R123+∠ P124 <

6.180

∠* +∠ +∠ +∠ P124+ ∠ Q123 +∠ R123 <

6.180

∠* +∠ +∠ < 6.180 (∠ P124+ ∠ Q123 +∠ R123) ∠* +∠

+∠ < 3.360 (360∠ P3)+(360 ∠ Q4) +(360 ∠ R4)

∠* +∠ +∠ < 3.360 3.360+ ∠P3 + ∠ Q4 +∠ R4

∠* +∠ +∠ < ∠P3 + ∠ Q4 +∠ R4

(∠* +∠ +∠ ) 180 (∠P3 + ∠ Q4 +∠ R4)

∴ -eec / * deec / PQR ………. erbi

Te!rea 4.;

Sebarang dua &ungsi luas adalah pr!p!rsi!nal. 6uktinya tidak dibahas, karena

agak sulit dan memang merupakan bagian dari mata kuliah Analisis Ceal.

>ika kita lihat te!rema 2.3 dan 2.9, sangat mungkin mende&inisikan luas segitiga

dengan menggunakan de&ectnya dengan mengabaikan &akt!r pr!p!rsi!nalnya.

Menarik untuk diperhatikan bah"a dalam ge!metri %uclides tiga-dimensi, jumlah

sudut segitiga b!la adalah lebih besar dari +9* *, dan luas segitiga b!la dide&inisikan

sebagai 5kelebihannyaB, yakni jumlah derajat ukuran sudut-sudutnya dikurang +9*.

ita dapat menyimpulkan bah"a te!rema 2.9 juga benar untuk ge!metri %uclides

dan diperlukan untuk mem)alidasikan te!ri luas %uclides yang sudah kita kenal itu.

G. Garis$Garis


25/38

lJAJ 6J KJ

Bukti:

Akan kita tunjukkan bah"a untuk sebarang dua garis l dan l , maka tidak ada‟

tiga titik di l yang jaraknya sama dari titik di l . Misalkan A, 6, dan K adalah‟

tiga titik berbeda pada l, dengan 6 di antara A dan K.

Dari A, 6, dan K tarik garis tegaklurus ke l , yang masing-masing mem!t!ng l‟ ‟

di A , 6 dan K . Misalkan AA 66 KK .‟ ‟ ‟ ‟ ‟ ‟

Dari AA 66 ,‟ ‟ ∠ AA 6 ‟ ‟ ∠ 66 A dan A 6 6 A >adi :‟ ‟ ‟ ‟ ‟ ‟ ∆ AA 6‟ ‟

≅ ∆ 66 A.‟ Akibatnya A6 6A‟ ‟

arena 66 AA dan 6A A6 maka‟ ‟ ∆ AB B‟ ≅ ∆ BA A.‟

Akibatnya :

∠ A AB =‟ ∠ B BA ……(1)‟

yang berarti sudut-sudut atas 7summit; segiempat AA 6 6 adalah sama.‟ ‟

Dengan cara dan alasan yang sama, dapat pula diterapkan pada segiempat

KK 6 6, yang mengakibatkan :‟ ‟

∠ C CB =‟ ∠ B BC ……(2)‟

dengan menjumlahkan 7+; dan 7'; diper!leh :

∠ A AB +‟ ∠ C CB =‟ ∠ B BA +‟ ∠ B BC =‟

180

0

.>adi jumlah besar sudut dalam segiempat AA K K adalah 13*‟ ‟ * yang

bertentangan dengan akibat + Te!rema 3.1.

Dengan demikian pemisalan salah, dan yang benar adalah Te!rema 2.8.

ita simpulkan bagian ini dengan diskusi tentang jenis-jenis pasangan

garis-garis sejajar. Sesuai bukti te!rema di atas: jika dua garis sejajar, maka

hanya ada dua hal yang mungkin :


26/38

7+; ada dua titik pada garis yang satu yang jaraknya sama

dari garis yang lain.

7'; tidak ada dua titik pada garis yang satu yang

jaraknya sama dari garis yang lain.

Masalah 7+; terjadi jika dan hanya jika kedua garis itu punya garis

tegaklurus persekutuan. Dalam hal ini kedua garis tersebut memencar

7di)ergen; sampai tak berhingga baik di sebelah kiri maupun di sebelah kanan

garis tegaklurus persekuruannya.

:eda"a" (2) er;adi ;ia a#a aari ereb

$erpaa" asimptot dari ari a" #ai".

Teorema 7.10

Dalam ge!metri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi

si&at kesejajaran %uclides, maka ada sebuah persegipanjang.

Misalkan diketahui garis l dan titik P. PG tegaklurus dengan l di G. Pilih titik C

7yang berbeda dengan G; yang terletak di l. 6uatlah garis m yang tegaklurus

dengan l di C. 6uatlah garis melalui P yang tegaklurus m di S. Maka kita

dapatkan segiempat PGCS dengan sudut G, C, S yang masing-masing siku-siku.

Akan dibuktikan PGCS persegi panjang.

Bukti 2

arena PS dan l keduanya tegaklurus terhadap m, maka PS sejajar l 7akibat +

te!rema ' ge!metri netral;.

arena PS dan l memenuhi si&at kesejajaran %uclides, maka PS satu-satunya

garis yang melalui P yang sejajar l 7akibat 1 te!rema ' ge!metri netral;. PGtegaklurus l di G dan PS sejajar l, maka PG tegaklurus PS di P. >adi segiempat


27/38

PGCS adalah persegipanjang.

Aki#at Te!rea 4.)>

Dalam ge!metri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi si&at

kesejajaran %uclides maka setiap segitiga jumlah sudutnya adalah +9**

.

Bukti 2

Menurut Te!rema 2.+*: jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi

si&at kesejajaran %uclides maka ada sebuah persegipanjang. Sedangkan menurut

Te!rema 2.: jika ada sebuah persegipanjang maka setiap segitiga jumlah

sudutnya adalah +9**.

Dengan menggunakan prinsip sil!gisma dapat disimpulkan bah"a :

>ika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi si&at kesejajaran

%uclides maka setiap segitiga jumlah sudutnya adalah +9**.

Sekarang, perhatikan implikasi dari si&at kesejajaran 4!bache)sky berikut.

Te!rea 4.))


kesejajaran 4!bache)sky maka ada segitiga yang jumlah sudutnya kurang dari

+9**.

Bukti 2

Te!rema ini sesungguhnya sesuai dengan te!rema ' yang telah dibuktikan. >adi

bukti te!rema ini juga bisa menggunakan bukti te!rema tersebut.

Aki#at te!rea 4.))


kesejajaran 4!bache)sky maka setiap segitiga jumlah sudutnya kurang dari +9**.

6ukti :


28/38

Menurut Te!rema 2.++: Dalam ge!metri netral, jika ada sebuah garis dan

sebuah titik yang memenuhi si&at kesejajaran 4!bache)sky maka ada segitiga

yang jumlah sudutnya kurang dari +9**.

Menurut akibat ' Te!rema 2.3 : >ika ada sebuah segitiga yang jumlahnya

kurang dari +9** maka setiap segitiga jumlah sudutnya kurang dari +9**.

6erdasarkan prinsip sil!gisme dapat disimpulkan bah"a :

>ika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi si&at kesejajaran

4!bache)sky maka setiap segitiga jumlah sudutnya kurang dari +9**.

Te!rea 4.)5


kesejajaran 4!bache)sky maka setiap garis dan setiap titik luarnya tentu memenuhi

si&at kesejajaran 4!bache)sky, yang berarti ge!metrinya adalah ge!metri %uclides.

6ukti :

Andaikan Te!rema 2.+' salah. 6erarti ada satu garis dan satu titik yang

memenuhi si&at kesejajaran 4!bache)sky.

Menurut akibat Te!rema 2.++, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang

memenuhi si&at kesejajaran 4!bache)sky maka setiap segitiga jumlah sudutnya

kurang dari +9**.

Tetapi menurut akibat Te!rema 2.+*, jika ada sebuah garis dan sebuah titik

yang memenuhi si&at kesejajaran %uclides maka setiap segitiga jumlah

sudutnya adalah +9**.

Terjadi k!ntradiksi, maka pengandaian salah, berati te!rema 2.+' benar.

Aki#at ) te!rea 4.)5


29/38


kesejajaran 4!bache)sky maka setiap garis dan setiap titik luarnya tentu memenuhi

si&at kesejajaran 4!bache)sky, yang berarti ge!metrinya adalah ge!metri

4!bache)sky.

Bukti 2

Misal diketahui garis l dan titik P memenuhi si&at kesejajaran 4!bache)sky.

Misalkan l sebarang garis dan P sebarang titik yang tidak dapat memenuhi‟ ‟

si&at kesejajaran 4!bache)sky. 6erarti hal ini k!ntradiksi dengan te!rema 2.+'.

Aki#at 5 te!rea 4.)5

Setiap ge!metri netral tentu merupakan ge!metri %uclides atau ge!metri

4!bache)sky.


Suatu ge!metri netral merupakan ge!metri %uclides atau ge!metri 4!bache)sky,

yang berarti jumlah sudut segitiganya adalah sama dengan atau kurang dari +9**.

Bukti 2

Dalam ge!metri netral, misalkan ada sebuah seigita yang memiliki jumlah

sudut +9**. Maka ge!metri tersebut tidak mungkin merupakan ge!metri

4!bache)sky, dan !leh karena itu tentu merupakan ge!metri %uclides 7menurut

akibat ' te!rema 2.+';. 6egitu pula dalam kasus yang lain.


Suatu ge!metri netral yang memuat persegi panjang, tentu merupakan ge!metri

%uclides.

H. Pengenalan Ge!etri Elli%tik


30/38

$e!metri N!n-%uclides memuat $e!metri iperb!lik dan $e!metri

elliptik. Anda telah mempelajari $e!metri iperb!lik dari $auss, 6!lyai dan

4!bache)sky yang sering disebut dengan $e!metri 4!bache)sky, sedang $e!metri

%lliptik yang akan Anda pelajari terkenal dengan $e!metri Cieman..

6ernhard Ciemann 7+9'3 < +933; dari >erman dalam tahun +9(

membacakan disertasinya tentang penemuannya yang baru di =akultas =ilsa&at

$!ttingen. 0a mulai dengan asumsi : $aris-garis %uclides maupun dari $e!metri

iperb!lik. P!stulat esejajaran dari Ciemann ialah : Tidak ada garis(garis yang

sejajar dengan garis lain.

>adi dua garis selalu berp!t!ngan dan tidak ada dua garis sejajar. ntuk

mencari letak perbedaan utama te!ri Ciemann dengan te!ri %uclides, maka kitaingatkan bah"a garis tidak berhingga biasanya dipakai untuk membuktikan adanya

dua garis sejajar, yaitu suatu te!rema dalam ge!metri %uclides sebagai berikut.

Te!rea 4.)6

Dua garis tegaklurus pada satu garis yang sama adalah sejajar.

Diketahui : garis itu l dan m yang tegaklurus pada n

Akan dibutikan l dan m sejajar.

Bukti 2

l m

n

a b

c


31/38

n a b

cJ

Andaikan l dan m tidak sejajar, maka garis l dan m berp!t!ngan di K

Per"aaa" *#aa"

*diperpa";a" a e$e" b#e

dengan AC = CA‟

diperpa";a" daa#i.

Dilukis C B‟

da ii $e"e"a"1

ari

∆ * ≅ ∆ *, d,

∠ * = ∠ ABC‟ "r a"

berrep"de"i

>adi, ∠ ABC = 90‟0

= ∠ ABC, BC dan BC‟

ea#r pada *.

BC dan BC berimpi‟

$e#a#3

i # ii pada

a ari a"aada #aria" ea#r

ari i

>adi, AK dan 6K atau garis l dan m mempunyai titik K dan K yang berimpit.‟

Terdapat pertentangan dengan ketentuan, bah"a l dan m berlainan. >adi

pengandaian salah, berarti l dan m sejajar.

>ika p!stulat Ciemann harus berlaku, maka tentu ada yang salah dalam bukti

di atas yang menyebabkan hasil yang berbeda. iranya langkah ke-3 yang

menyebabkan itu. Dalam bukti ini %uclides secara diam-diam menggunakan prinsip

pemisahan

75separati!n principleB;, yaitu bah"a setiap garis membagi bidang dalam '

setengah bidang 7' daerah;, yang tidak mempunyai titik persekutuan. >adi dalam


32/38

langkah pertama telah dianggap, bah"a K dan K berlainan.‟

>ika prinsip pemisahan tidak digunakan, maka K dan K dapat berimpit dan bukti‟

te!rema di atas kurang benar. >ika prinsip pemisahan tetap digunakan, K dan K‟

harus berlainan. !ntradiksi dalam langkah 3 dapat dihilangkan, jika kita

meninggalkan prinsip, bah"a dua titik menentukan l garis dan memungkinkan dua

garis berp!t!ngan pada dua titik. al ini menghasilkan te!ri baru.

Maka timbul ' kemungkinan :

+; setiap ' garis berp!t!ngan pada + titik dan tidak ada garis yang

memisahkan suatu bidang 7tidak menggunakan prinsip pemisahan;

'; setiap ' garis berp!t!ngan pada ' titik dan setiap garis memisahkan bidang

7menggunakan prinsip pemisahan;.

%uclides telah menggunakan prinsip, bah"a setiap ' garis berp!t!ngan pada +

titik dan setiap garis memisahkan suatu bidang 7menggunakan prinsip pemisahan;.

Maka kemungkinan pertama menghasilkan $e!metri 5Single ellipticB dan

kemungkinan kedua menghasilkan $e!metri 5d!uble ellipticB.

ata elliptik dididasarkan atas lasi&ikasi $e!metri Pr!yekti&. $e!metri

4!bache)sky disebut $e!metri iperb!lik, mengingat bah"a melalui + titik diluar

suatu garis dapat dibuat ' garis yang sejajar garis tersebut. $e!metri %uclides

disebut $e!metri Parab!lik, mengingat bah"a hanya ada + garis yang sejajar garis

tersebut dan $e!metri Ciemann disebut %lliptik karena tidak ada garis yang dapat

dibuat sejajar garis tersebut.

$e!metri Ciemann berguna sekali dalam Matematika dan =isika

Terapan 75applied Mathematics and PhysicsB; dan merupakan dasar matematik

dari te!ri relati)itas dari %instein.

ntuk dapat mudah memahami te!rema-te!rema berikut, maka sebagai m!del

dari ge!metri 5d!uble ellipticB ialah b!la dan dari $e!metri 5single ellipticB suatu

setengah b!la.


33/38

+. Dua garis berp!t!ngan pada ' titik setiap garis memisahkan bidang

menjadi ' setengah bidang.

'. Dua garis berp!t!ngan pada + titik garis tidak memisahkan bidang menjadi

' setengah bidang ' titik yang diametral dianggap sebagai + titik

enya!ian Geometri "#oub$e e$$i%tic& %a#a bo$a

'uc$i#es

ii ii pada b#a :

ari #i"ara" bear b#a :

bida" b#a :

e$e" br dari a #i"ara"

bear :

>ara a"ara2

pa";a" br erpe"dedari

ii#i"ara" bear : a"$e#a#i

eda ii i

Dapat dipahami, bah"a

urutan tidak berlaku

pada

$e!metri 5d!uble ellipticB, artinya A6KU dapat sama dengan 6KAU.

:da"ara 2 d pada

b#a(a"

aridibe"3

( #e da #i"ara"

bear)

?ra" d ra" d pada b#a


34/38

Dalam $e!metri %lliptic tetap berlaku, bah"a melalui satu titik pada suatu

garis hanya dapat dibuat + garis yang tegaklurus garis tersebut. Tetapi hal ini tidak

berlaku, jika titiknya di luar garis tersebut.

ntuk setiap garis l ada katub sedemikian, hingga semua garis melalui

tegaklurus pada + 7gambarannya seperti semua meridian melalui kutub tegaklurus

pada ekuat!r atau khatulisti"a;.

Si&at kutub. Misalkan l suatu garis. Maka ada suatu titik , yang disebut

kutup dari l sedemikian, hingga :

a; setiap segmen yang menghubungkan dengan suatu titik pada l tegak lurus

pada l.

b; berjarak sama dari setiap titik pada l

>arak sampai sebarang titik pada l disebut jarak p!lar. >arak p!lar suatu

kutub sampai garisnya adalah k!nstan, demikian pula panjang suatu garis.

Te!rea$te!rea "asar *ang #erlaku untuk Ge!etri Elli%ti/

Te!rea 4.)8

Dua garis yang tegaklurus pada suatu garis bertemu pada suatu titik.

Te!rea 4.):

Semua garis yang tegak lurus pada suatu garis, berp!t!ngan pada titik yang disebut

kutup dari garis itu dan sebaliknya setiap garis melalui kutub suatu garis tegaklurus

pada garis itu.

Te!rea 4.)1

Dalam sebarang segitiga A6K dengan ∠ K 8**, sudut A kurang dari sama dengan

atau lebih besar dari 8**, tergantung dari segmen 6K kurang dari, sama dengan atau


35/38

lebih besar dari jarak p!lar V.

Te!rea 4.)4

>umlah besar sudut-sudut suatu segitiga lebih besar dari +9**.

Te!rea 4.);

>umlah besar sudut-sudut suatu segiempat lebih besar dari 13**.

Te!rea 4.)=

Sudut-sudut puncak dari segiempat Saccheri sama dan tumpul.

Te!rea 4.5>

Dalam segiempat 4ambert A6KD dengan ∠ A ∠ 6 ∠ K 8**, maka sudut

keempat D tumpul.

Te!rea 4.5)

Tidak ada persegi dalam $e!metri %lliptic.

Te!rea 4.55

Dua segitiga yang sebangun adalah k!ngruen. Te!rema-te!rema, di atas tidak

ita buktikan disini, tetapi dapat kita yakini dengan menggunakan m!del.

Dalam ge!metri iperb!lik luas suatu segitiga adalah kelipatan dari

de&eknya. Maka dalam $e!metri %lliptik luas suatu segitiga adalah kelipatan

k!nstan dari ekses 75ecessB; nyata, yaitu :

∆ = µ (* + + 180) atau

∆ = µ (* + + π)

tergantung dari satuan-satuan yang dipakai.


36/38

BAB III

PENUTUP

Kesi%ulan

+. @e$eri AbaceB dapa di#"a" pada e$eri

"era# de"a" $e$a"da" baCa eiap eiia ;$#a

bear d"a ra" dari 1800.

'. Pada e$eri AbaceB a"a#a de"a" $e"eri$a

e$a p#a e$eri Dc#ide de"a" $e$ba"p#a ee;a;ara""a da" $e"a"i de"a" p#a

beri i"i !

ostu$at (ese!a!aran Lobachevsky

‘’Paling tidak ada dua garis yang sejajar dengan suatu garis yang melalui suatu titik di luar garis tersebut’’

1. ?" dapa $da $e$aa$i ere$aere$a beri,

$aa ebaai $de# dari e$eri Edb#e e##ipicF ia#a

b#a da" dari @e$eri Ei"#e e##ipicF a ee"a b#a.• -a ari berp"a" pada 2 iiG eiap ari

$e$iaa" bida" $e";adi 2 ee"a bida".

• -a ari berp"a" pada 1 ii ari ida

$e$iaa" bida" $e";adi 2 ee"a bida"G 2ii a" dia$era# dia"ap ebaai 1 ii


37/38

DAFTAR PUSTAKA

K!eter, . S. M. +889. )on(Euclidean Geometry. Washingt!n, D.K. TheMathematical Ass!ciati!n #& America.

$reeberg, Mar)in >ay. +881. Euclidean and )on(Euclidean Geometries. Ne"?!rk: W.. =reeman and K!mpany.

eedy, Mer)in 4. dkk.+832. %pl!ring $e!metri. Ne" ?!rk: !lt, Cinchart andWinst!n, 0nc.

M!eharti W. +893. Materi Pokok *istem(*istem Geometri. >akarta: anika

>akarta, ni)ersitas Terbuka.

Pren!"it, W. >!rdan, M. +83. +asic ,once"ts of Geometry. 6laisdell PublishingK!mpany: Waltham, Manssachusetts. T!r!nt!. 4!nd!n.

Cich, 6arnett. '**. Geometri. 7Terjemah 0ram armein, S.T.;: >akarta:

%rlangga

S!)a, Da"n 6. +888. -o to *olve /ord Problems in Geometry. Ne" ?!rk:Mc$ra"-ill.


38/38

Makalah Geometri Non Euclid

Documents

Transcript of Makalah Geometri Non Euclid