BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Pengertian Geometri Non Euclid

Geometri berasal dari bahasa Yunani  geōmetrein yang memiliki arti

mengukur bumi. Bapak dari geometri yaitu Euclid atau Eukleidēs (sekitar 325 SM

– sekitar 265 SM) dalam tulisannya “The Element” yang menjadi referensi utama

dalam bidang geometri hingga abad ke – 20. Euclid menjelaskan mengenai

Geometri yang kini dikenal dengan Euclidean geometry. Sekitar 2000 tahun

setelah dibuatnya “The Element” geometri mengalami perkembangan dimana

pada abad ke – 19 muncul non-Euclidean geometry. Dengan perkembangan yang

terjadi, apakah obyek ilmu geometri tetap bumi, dimensi ruang dan waktu, atau

ada obyek lain yang menjadi dasar pembelajaran dari ilmu geometri.

Yang dimaksud dengan geometri non euclid (dalam

existsbox.wordpress.com) adalah salah satu dari dua geometri yang diperoleh

dengan meniadakan paralel postulat euclid, yaitu hiperbolik dan geometri eliptik.

Sedangkan menurut Anton Tirta S, dan Anwar Sadat (2010) geometri non euclid

adalah sebuah system yang konsisten baik secara definisi, asumsi, dan bukti-bukti

yang menggambarkan objek-objek sebagai titik-titik, garis dan dua bidang.

Perlu diketahui bahwa kemunculan geometri non euclid ini diawali dari

adanya perbedaan pendapat para matematikawan tentang postulat euclid kelima

yang disebut postulat paralel. Postulat tersebut tercantum dalam buku yang

ditulis oleh Euclid pada tahun 300 SM yang berjudul The Element, yang berbunyi

“jika dua buah garis dipotong oleh sebuah garis lain sedemikian sehingga

membuat jumlah sudut dalam sepihak kurang dari 180, maka kedua garis itu

berpotongan pada pihak yang jumlah sudut dalam sepihaknya kurang dari 180”.

2.2 Perbedaan Geometri Euclid dan Geometri Non Euclid

Perbedaan penting antara geometri euclid dan non-euclid adalah sifat dari

garis-garis parallel atau sejajar. Dalam geometri Euclid, jika diberikan sebuah titik

dan garis, maka hanya ada tepat satu garis yang melalui titik tersebut dan sejajar

dengan garis yang diberikan. Sementara dalam geometri eliptik/bola tidak ada

5

garis seperti itu. Selanjutnya dalam geometri hiperbolik setidaknya ada dua garis

berbeda yang melalui sebuah titik dan sejajar dengan garis tertentu.

Cara lain untuk menggambarkan perbedaan antara geometri euclid dan

non-euclid adalah dengan mempertimbangkan dua garis lurus yang diperpanjang

sampai tak hingga panjangnya dan kedua garis tersebut tegak lurus terhadap garis

ketiga, maka :

Dalam geometri euclid, pada sebuah titik yang terletak di luar garis hanya

dapat dibuat satu garis yang sejajar dengan garis semula.

Dalam geometri hiperbolik, pada sebuah titik yang terletak di luar garis dapat

dibuat lebih dari satu garis yang sejajar dengan garis semula.

Dalam geometri eliptik/bola, pada sebuah titik yang terletak di luar garis,

terdapat beberapa garis yang berpotongan dengan garis semula.

Pada dasarnya geometri non euclid terbagi menjadi 3 bagian, yaitu

Geometri Netral (Neutral Geometry), Geometri Eliptik/Bola (Spherical Geometry)

dan Geometri Hiperbolik (Hyperbolic Geometry)

Berikut ini akan diuraikan bagian-bagian geometri non euclid dan tokoh-

tokoh yang ada di dalamnya.

2.3 Geometri Netral

Geometri netral adalah geometri yang dilengkapi dengan sistem aksioma-

aksioma insidensi, sistem aksioma-aksioma urutan, sistem aksioma kekongruenan

(ruas garis, sudut, segitiga) dan sistem aksioma-aksioma archiemedes. Geometri

netral juga disebut geometri mutlak yang merupakan geometri yang

dikembangkan tanpa menggunakan aksioma ke lima Euclid dan ataupun ingkaran

dari postulat ke lima tersebut. Dengan menggunakan modifikasi-modifikasi,

banyak proporsi dari geometri netral yang secara geometri euclid dan non euclid

dipandang benar. Geometri netral dipersiapkan untuk menjawab pertanyaan,

apakah dapat dibuktikan tanpa menggunakan dalil kelima atau postulat paralel.

6

Tokoh-tokoh dalam geometri netral ini antara lain :

1) John Wallis (1616-1703 M)

John Wallis (23 November 1616 – 28 Oktober 1703) adalah

matematikawan Inggris yang berperan dalam perkembangan kalkulus. Ia juga

menciptakan simbol ∞ untuk bilangan tak terhingga. Asteroid 31982 Johnwallis

dinamai dari namanya. John Brehaut Wallis lahir di Ashford-Kent, beliau adalah

anak ketiga dari Reverend John Wallis dan Joanna Chapman.

Berbagai usaha dilakukan oleh wallis untuk membuktikan postulat Euclid

yang kelima. Salah satu bukti yang dibuat oleh Wallis pada tahun 1663 adalah

menggantikan postulat sejajar euclid dengan menggunakan postulat berikut ini :

Ada segitiga dengan satu sisi yang telah ditetapkan sebelumnya secara

sebarang yang akan sama dengan segitiga yang diketahui

Gambar 2.1

Misalkan P merupakan titik yang tidak terletak pada garis l. Dari P,

konstruksi PQ yang tegak lurus dengan l, yang bertemu l di Q, dan di P buat garis

m yang tegak lurus dengan PQ (gambar 2.1). Misalkan n adalah sebarang garis

selain m yang memuat P. Kita tunjukkan bahwa n bertemu l. Misalkan R sebarang

titik pada n di daerah antara l dan m. Dari R, konstruksi garis RS yang tegak lurus

dengan garis PQ, sehingga bertemu dengan PQ di S. Sekarang, dengan

Q

P

T

RS

I

m

Q

P

RS

I

m

n

7

menggunakan postulat Wallis, tentukan segitiga PQT sedemikian sehingga ΔPQT

sama dengan ΔPSR dan T berada pada sisi yang sama dari PQ sebagai R.

Kemudian <TPQ = <RPS, dan PR dan PT bertemu. Jadi T berada pada n.

Selanjutnya <PQT = <PSR, sehingga <PQT merupakan sudut siku-siku. Karena l

tegak lurus dengan PQ di Q, maka T berada pada l, sehingga n bertemu l di T, dan

hanya ada satu garis yang memuat P yang sejajar dengan l.

Jadi jelas bahwa postulat Wallis mengimplikasikan postulat sejajar

Euclid. Postulat Wallis secara logis, ekivalen dengan postulat Euclid. Wallis

merasakan bahwa postulatnya sudah pasti, dan telah menangani permasalahan

postulat sejajar cukup lama.

Gambar 2.2

Apakah postulat Wallis lebih jelas atau lebih sederhana daripada postulat

Euclid? Sebenarnya, postulatnya menyatakan bahwa jika ΔABC dan segmen PQ

diberikan dalam gambar 2.2, akan ada titik R sedemikian sehingga ΔPQR sama

dengan ΔABC. Bagaimana kita peroleh titik R? pada sisi PQ yang diketahui, kita

dapat membentuk <QPS = <A dan <PQT= <B. Lalu R akan muncul sebagai

perpotongan garis PS dan QT. Akibatnya, postulat Wallis mengimplikasikan

bahwa PS dan QT harus bertemu. Perhatikan bahwa <A + <B < 180° menurut

teorema “jumlah dua sudut segitiga kurang dari 1800”, sehingga <P + <Q < 180°.

Jadi postulat Wllis menyatakan bahwa dalam kasus tertentu, jika dua garis

bertemu dengan garis transversal sehingga membentuk pasangan sudut pada satu

sisi garis transversal yang jumlah sudutnya kurang dari 180°, maka dua garis

tersebut haruslah bertemu. Hal ini sangat serupa dengan postulat sejajar Euclid,

8

tetapi postulat Wallis menyatakan hal yang lebih lengkap, karena postulat tersebut

memerlukan <R = <C dan proporsionalitas sisi dua segitiga tersebut. Tampaknya,

postulat Wallis lebih pasti daripada postulat Euclid, dan tidak rumit.

2) Saccheri (1667-1733 M)

Giovanni Girolamo Saccheri lahir di Sanremo pada 5 September 1667,

dan wafat pada 25 Oktober 1733. Beliau adalah seorang Italia Jesuit imam, filsuf

skolastik dan matematika. Saccheri masuk urutan Jesuit pada 1685, dan

ditahbiskan sebagai imam pada 1694. Ia mengajar filsafat di Turin 1694-1697,

dan filsafat teologi, dan matematika di Pavia dari 1697 sampai kematiannya. Dia

adalah seorang anak didik dari matematika Tommaso Ceva dan menerbitkan

beberapa karya termasuk Quaesita geometrica (1693), Logica demonstrativa

(1697), dan Neo-statica (1708).

Ia dikenal hari ini terutama untuk publikasi terakhir, tahun 1733 tak lama

sebelum kematiannya yang sekarang dianggap sebagai pekerjaan kedua di non-

Euclidean geometri , Euclides ab omni naevo vindicatus (Euclid Freed dari setiap

oleh Eugenio Beltrami di pertengahan abad ke-19.

Ide terpenting Saccheri adalah ia menganggap postulat paralel salah dan

berusaha untuk menurunkan suatu kontradiksi dan menarik kesimpulan dari

kontradiksi tersebut. Secara spesifik Saccheri mempelajari segiempat yang sudut

alasnya merupakan sudut siku-siku dan sisi alas dua sisi yang tegak lurus sisi alas

adalah kongruen. Selanjutnya segiempat ini dikenal dengan sebutan segi empat

Saccheri (lihat gambar 2.3)

A B

CD

9

Gambar 2.4

Gambar 2.3

Misalkan ABCD merupakan segi empat Saccheri dengan AD = BC dan

sudut siku-siku di A, B. Saccheri membuktikan bahwa <C = <D dan kemudian

mempertimbangkan tiga kemungkinan yang berhubungan dengan sudut C dan D :

1. hipotesis tentang sudut siku-siku ( <C = <D = 90°)

2. hipotesis tentang sudut tumpul ( <C = <D > 90°)

3. hipotesis tentang sudut lancip ( <C = <D < 90°)

Jika postulat sejajar Euclid diasumsikan, maka hipotesis sudut siku-siku akan

terjadi (karena postulat sejajar mengimplikasikan bahwa jumlah sudut sebarang

segi empat adalah 360°). Argumen dasar Saccheri sebagai berikut:

Tunjukkan bahwa hipotesis sudut tumpul dan hipotesis sudut lancip

keduanya membawa keadaan kontradiksi. Hal ini akan membentuk hipotesis

sudut siku-siku yang ekivalen dengan postulat sejajar Euclid.

Saccheri membuktikan menggunakan sederetan teorema yang memiliki

alasan yang tepat, bahwa hipotesis sudut tumpul akan menghasilkan kontradiksi.

Beliau mempertimbangkan implikasi hipotesis sudut lancip. Di antaranya

ada sejumlah teorema yang tidak umum, dua di antaranya kita nyatakan sebagai

berikut:

Jumlah sudut sebarang segitiga kurang dari 180°.

Jika l dan m merupakan dua garis dalam bidang, maka salah satu dari sifat di

bawah ini di penuhi:

10

a. l dan m berpotongan, dalam kasus di mana dua garis tersebut divergen

dari titik perpotongan.

b. l dan m tidak berpotongan tetapi memiliki garis tegak lurus yang sama di

mana dua garis tersebut divergen dalam kedua arah dari garis tegak lurus

yang sama tersebut.

c. l dan m tidak brpotongan dan tidak memiliki garis tegak lurus yang sama,

di mana dua garis tersebut konvergen dalam satu arah langkah, dan

divergen pada arah lainnya.

Saccheri tidak memandang sebagai kontradiksi, meskipun beliau pikir

harus menganggap sebagai kontradiksi dan bahkan diketahui pada masa sekarang

bahwa teori hipotesis sudut lancip Saccheri bebas kontradikisi seperti geometri

Euclid.

3. Johan Heinrich Lambert (1728-1777)

Pada tahun 1766, Lambert mengikuti jejak Saccheri tetapi dia tidak

mengalami frustasi seperti yang dialami Saccheri. Ia menyelidiki hipotesis dari

sudut lancip tanpa mendapatkan kontradiksi. Akhirnya Lambert mengemukakan

sebuah postulat “the angle sum of the triangle increased as the area of the

triangle decreased”.

A B

CD

11

4. Legendre (1752-1833)

Legendre menghabiskan 40 tahun hidupnya untuk membuktikan postulat

parallel. Legendre membuktikan bahwa postulat kelima Euclid setara dengan

jumlah sudut-sudut segitiga sama dengan jumlah dua sudut siku-siku atau

dengan kata lain bahwa jumlah sudut suatu segitiga sama dengan 1800. Seperti

Saccheri, Legendre membuktikan bahwa jumlah sudut segitiga tidak boleh lebih

dari dua sudut siku-siku. Hal ini bertumpu pada kenyataan bahwa garis-garis lurus

yang tak terbatas. Dalam berusaha menunjukkan bahwa sudut jumlah tidak boleh

kurang dari 1800 Legendre mengasumsikan bahwa melalui setiap titik di bagian

sudut selalu mungkin untuk menarik garis yang memenuhi kedua sisi sudut. Ini

ternyata setara lain bentuk postulat kelima, tapi Legendre tidak pernah menyadari

kesalahannya sendiri.

Karena saat ini Legendre tidak mengetahui apa yang Saccheri kerjakan,

dia mempublikasikan penemuannya pada tahun 1833 M, tahun dimana ia

meninggal.

2.4 Geometri Hiperbolik

Geometri Hiperbolik adalah geometri pertama yang ditemukan logis dan

konsisten, setelah geometri Euclid. Yang dicirikan dengan aksioma-aksioma

berikut ini :

1. Diketahui dua titik sembarang, terdapat tepat satu garis yang ditarik

melalui kedua titik itu

2. Suatu segmen dengan panjang sembarang dapat ditentukan pada garis itu

12

3. Diketahui satu titik, dapat dibuat suatu lingkaran dengan sembarang

radius

4. Semua sudut siku-siku kongruen

5. Melalui satu titik tidak pada satu garis, paling sedikit ada dua garis yang

ditarik dan memotong titik yang diketahui.

Terdapat empat model yang umum digunakan dalam geometri hiperbolik

yang mendefinisikan bidang hiperbolik nyata yang memenuhi aksioma-

aksioma dalam geometri hiperbolik. Diantaranya model Klein, Model

Poincare, Model Setengah-Bidang Poincare, dan model Lorentz.

1. Model Klein

Model klein disebut juga model Beltrami-Klein untuk memberikan

apresiasi kepada Eugenio Beltrami dan Felix Klein atas sumbangsihnya

terhadap model ini. Model Klein juga terkadang disebut model disc

projektive.

Untuk semua lingkaran di dalam geometri euclid, jika O adalah pusat

lingkaran dan OR adalah jari-jarinya. Berdasarkan definisi, bagian dalam

terdiri dari titik-titik X sedemikian hingga OX < OR (lihat gambar 2.4). Tali

busur merupakan ruas garis AB yang menghubungkan titik A dan B di .

Ruas garis AB dianggap sebagai ruas garis tanpa titik akhir yang selanjutnya

disebut tali busur terbuka dan dinotasikan dengan A)(B. Di dalam model

Klein, titik-titik bagian dalam merepresentasikan titik-titik bidang

hiperbolik dan tali busur-tali busur terbuka dari merepresentasikan garis-

garisnya. Titik A dan B terletak pada lingkaran dan oleh karena itu titik A

dan B tidak merepresentasikan titik dalam bidang hiperbolik tetapi dikatakan

titik ideal dan disebut ujung dari garis hiperbolik A)(B.

Gambar 2.4

O

X R

A B

13

Relasi "terletak pada" direpresentasikan sesuai pengertian sebagaimana

biasanya, yakni P terletak pada A)(B berarti P terletak pada garis euclid

dan P diantara titik A dan B. Relasi hiperbolik "antara" direpresentasikan

dengan relasi "antara" euclid seperti biasanya. Sedangkan representasi relasi

"kongruen" lebih rumit dari yang sebelumnya.

Dua garis m dan n melalui titik P keduanya sejajar dengan tali busur

terbuka l (lihat gambar 2.5). Definisi sejajar menyatakan bahwa dua garis

dikatakan sejajar jika mereka tidak memiliki titik persekutuan. Dalam model

Klein, definisi ini akan berubah menjadi : dua tali busur terbuka dikatakan

sejajar jika mereka tidak memiliki titik persekutuan. Dari sini bisa dilihat

bahwa dalam definisi sejajar kata "garis" diganti dengan "tali busur terbuka".

Kenyataannya bahwa jika ada tiga tali busur diperpanjang sampai keluar

lingkaran, maka ketiganya akan berpotongan di suatu titik diluar lingkaran.

Titik potongnya ini bukan merupakan titik dari bidang hiperbolik karena

letaknya di luar lingkaran.

Gambar 2.5

Aksioma Klein 1:

Diberikan sebarang dua titik berbeda A dan B di bagian dalam

lingkaran . Maka terdapat satu tali busur terbuka l dari

sedemikian hingga A dan B terletak pada l.

Gambar 2.6

P

m

n

l

A

B

C

D

14

Garis Tegak Lurus dalam Model Klein

Misalkan l dan m adalah tali busur terbuka dari . Terdapat dua kasus untuk

menjelaskan kapan dalam model klein, yaitu :

Kasus 1: Salah satu tali busur terbuka l dan m adalah diameter lingkaran .

Maka dalam pengertian Klein jika dan hanya jika dalam

pengertian Euclid (lihat gambar 2.7).

Gambar 2.7

Kasus 2:

Baik l maupun m bukan diameter lingkaran . Pada kasus ini kita hubungkan

ke l sebuah titik tertentu P(l) diluar lingkaran yang disebut kutub dari l.

Misalkan t1 dan t2 adalah garis singgung lingkaran pada ujung-ujung l.

Maka P(l) adalah titik perekutuan t1 dant2 (lihat gambar 2.8).

Garis l tegak lurus ke m dalam pengertian model Klein jika dan hanya jika

apabila garis Euclid m diperpanjang maka ia melalui kutub l.

Gambar 2.8

O l

m

P(l) l

m t1

t2

15

Ada beberapa istilah yang sering digunakan dalam geometri hiperbolik model

Klein, diantaranya:

Titik biasa (Ordinary point) yaitu titik yang terletak di dalam

lingkaran yang merepresentasikan semua titik dalam bidang hiperbolik.

Umumnya titik biasa ini disebut titik saja.

Titik ideal (ideal point) yaitu titik-titik yang terletak pada lingkaran

.

Titik ultra ideal(ultra-ideal point) yaitu titik-titik yang terletak di

luar lingkaran .

Untuk lebih jelasnya mengenai istilah titik dalam model Klein, berikut ini bisa

dilihat pada gambar 2.9.

Gambar 2.9

Ordinary

Ideal

Ultra-ideal

Ultra-idealUltra-ideal Ideal

●

●

●

●●

●

16

Garis hiperbolik dapat dibuat melalui dua titik biasa, dua titik ideal, titik biasa

dan titik ideal, titik biasa dan titik ultra ideal (lihat gambar 2.10). Tetapi

melalui dua titik ultra ideal ataupun melalui titik ideal dan ultra ideal belum

tentu menentukan garis Klein. Dua garis Klein bisa bertemu di titik biasa, titik

ideal, atau titik ultra ideal tergantung apakah dua garis tersebut secara

berurutan berpotongan, sejajar asimtotic, atau sejajar divergen (lihat gambar

26). Titik ultra ideal yang mana merupakan pertemuan antara dua garis sejajar

Klein l dan m disebut kutub P(k) dari garis tegak lurus bersamanya k.

Gambar 2.10

2. Model Poincare

Model ini dikembangkan oleh matematikawan Perancis, yaitu Henry

Poincare (1854-1912). Model Poincare ini juga disebut model disk poincare

atau model disk konformal. Sebenarnya model ini hampir sama dengan model

Klein yaitu sama-sama menggunakan bagian dalam lingkaran sebagai bidang

hiperboliknya dengan titik-titiknya direpresentasikan dengan titik-titik interior

lingkaran euclid . Hanya saja di model Poincare ini, garis direpresentasikan

berbeda. Pertama, semua tali busur terbuka yang melalui pusat lingkaran

(dengan kata lain semua diameter terbuka l dari ) merepresentasikan garis.

Kedua, garis lainnya direpresentasikan oleh busur terbuka lingkaran ortogonal

. Misalkan adalah lingkaran ortogonal ke (di setiap titik potong dan ,

jari-jari kedua lingkaran saling tegak lurus). Maka perpotongan lingkaran

dengan interior lingkaran membentuk sebuah busur m, yang mana

berdasarkan definisi merepresentasikan garis dalam model Poincare. Sehingga

lm

kP(l)P(m)

P(k)

17

dapat disebut garis poincare atau garis-P, atau diameter terbuka l dari atau

busur sirkuler terbuka m ortogonal ke (lihat gambar 2.11).

Gambar 2.11

Sebuah titik interior terletak pada garis poincare jika ia terletak pada

garis tersebut menurut pengertian Euclid. Dengan cara yang sama, relasi

"antara" memiliki pengertian yang sama dengan di geometri Euclid yaitu

untuk A, B dan C pada busur terbuka yang berasal dari lingkaran ortogonal

dengan pusat P, B terletak diantara A dan C jika diantara dan .

Di dalam model poincare, interpretasi kekongruenan ruas garis

tergolong rumit, karena didasarkan pada cara pengukuran panjang ruas garis

yang mana hal ini berbeda dengan cara yang digunakan di geometri euclid

pada biasanya.

Definisi :

Misalkan A dan B adalah titik-titik dalam lingkaran dan

misalkan P dan Q adalah ujung-ujung garis-P yang melalui A

dan B. Perbandingan silang (AB, PQ) didefinisikan sebagai :

dengan adalah panjang euclid dari ruas garis euclid AP.

Selanjutnya panjang poincare didefinisikan sebagai :

Oleh karena itu dapat diintrepetasikan bahwa ruas garis poincare AB dan CD

dikatakan kongruen-poincare jika

O

m

l

18

Kekongruenan sudut memiliki arti yang sama dengan di geometri euclid

seperti biasanya. Jika dua busur lengkung berarah berpotongan di titik A,

besarnya derajat sudut yang dibentuknya adalah besarnya derajat sudut antara

sinar garis singgungnya di A (lihat gambar 2.12). Atau jika salah satu busur

lengkung berarahnya memotong sebuah sinar garis biasa di A, besarnya

derajat sudut yang dibentuknya adalah besarnya sudut antara sinar garis

singgung dan sinar garis di A (lihat gambar 2.13).

Dua garis poincare dikatakan sejajar jika dan hanya jika keduanya tidak

memiliki titik persekutuan. Pada gambar 2.14 memperlihatkan dua garis

sejajar poincare dengan garis tegak lurus bersama. Pada gambar tersebut

memperlihatkan bagaimana m menjauh dari l pada bagian garis tegak lurus

PO.

A

Gambar 2.12

A

Sinar garis singgung

Sinar garis biasa

Gambar 2.13

O

P

l

m

19

Gambar 2.14

Sinar garis terbatas sejajar dalam model poincare diilustrasikan seperti

pada gambar 2.15. Misalkan l adalah diameter terbuka A)(B, sinar garis

adalah busur lengkung yang bertemu di titik A dan B dan menyinggung

ke garis ini di titik-titik tersebut.

Gambar 2.16

Ilustrasi segiempat Lambert dapat ditunjukkan pada gambar 2.17. Dapat

dilihat bahwa sudut keempat dari segiempat Lambert merupakan sudut lancip.

Dengan mencerminkan segiempat lambert ini pada salah satu sisi lurusnya

maka akan diperoleh segiempat seperti pada gambar 2.18. Segiempat tersebut

disebut segiempat Saccheri.

Gambar 2.17 Gambar 2.18

A BO

P

●l

20

3. Model Setengah-Bidang Poincare

Model setengah-bidang poincare mengggunakan setengah dari bidang

euclid sebagai bidang hiperboliknya dengan pembatasnya adalah garis euclid

tertentu misalnya garis euclid l. Sedangkan garis l sendiri tidak termasuk

dalam bidang hiperboliknya. Dalam model ini, titik-titik hiperboliknya

direpresentasikan oleh titik-titik yang terletak pada setengah bidang euclid

yang digunakan sebagai bidang hiperboliknya sedangkan garis hiperboliknya

berupa setengah lingkaran ortogonal yang berpusat di l atau sinar garis tegak

lurus l (lihat gambar 2.19).

Gambar 2.19

Misalkan P dan Q adalah dua titik pada bidang hiperbolik ini. Jika sebuah

garis unik melalui kedua titik ini ada sebuah setengah lingkaran dan jika garis

ini memotong garis l pada titik A dan B dan jarak antara titik P dan Q dapat

ditentukan dengan menggunakan rumus

dimana, dst, menunjukkan jarak Euclid dari titik

P ke titik A.

Sedangkan untuk jarak titik P' dan Q' pada gambar 2.19 dimana P' dan Q'

terletak pada sinar garis dan mendekati garis batas l di sebuah titik euclid A'

maka jarak P' dan Q' bisa dinyatakan dalam bentuk persamaan berikut :

, dengan adalah jarak titik P' dan A' secara euclid.

Lingkaran pada model ini didefinisikan sama dengan lingkaran pada

geometri euclid yaitu himpunan semua titik-titik yang berjarak sama dari

sebuah titik tertentu.

A B

P Q● ●

●●A’

P’

Q’

21

Asumsikan ada tiga titik P, Q, dan R dalam model bidang hiperbolik.

Jika salah satu konstruksi sinar Euclid PQ’ dan PR’ yang bersinggungan

dengan garis PQ dan PR di titik P. Ukuran sudut hiperbolik, QPR sama

dengan ukuran Q’PR’ pada bidang Euclid. Hal ini dikarenakan bahwa model

setengah-bidang poincare adalah konformal yang berarti bahwa sudut

hiperbolik pada model ini tepat sama dengan sudut euclid dibawah kondisi

yang disebutkan sebelumnya.

Gambar 2.20

4. Model Lorentz

Model Lorentz atau yang biasa disebut model hiperbolida. Model ini

menggunakan hiperboloida dimensi dua yang berasal dari ruang tiga dimensi

sebagai bidang hiperboliknya. Diantara keempat model bidang hiperbolik,

model lorentz merupakan model yang memiliki tingkat kekomplekan yang

sangat tinggi.

Model ini memiliki aplikasi langsung ke relativitas khusus, ruang tiga

dimensi Minkowski adalah model ruang waktu, menekan satu dimensi ruang.

Satu dapat mengambil hiperboloid untuk mewakili peristiwa yang bergerak,

memancar keluar pada bidang spasial dari satu titik akan mencapai pada suatu

waktu yang tepat. Jarak hiperbolik antara dua titik pada hiperboloid akan

dapat diidentifikasi dengan kecepatan relatif antara dua pengamat.

Tokoh-tokoh Geometri Hiperbolik antara lain :

1. Johan C.F Gauss (1777-1885)

P Q

R

Q’

R’

22

Johan Carl Friedrich gauss adalah matematikawan asal jerman, ia

meneliti postulat ke lima Euclid ketika masih berusia 15 tahun. Diusianya

yang maih muda tersebut dia suadh berfikir banyak mengenai suatu hal yang

berkaitan dengan matematika. Pada awalnya Gauss mencoba membuktikan

postulat kesejajaran dari keempat postulat lainnya. Pada tahun 1813 ia telah

membuat sedikit kemajuan dan menulis : “dalam teori parallel kita bahkan

sekarang tidak lebih dari Euclid. Ini adalah bagian dari matematika

memalukan…”

Dua puluh lima tahun kemudian, ia bekerja meneliti hal ini. Gauss

mencapai kesimpulan bahwa postulat kelima Euclid tidak bergantung pada

empat postulat awal. Ini berarti bahwa suatu kontradiksi dari postulat kelima

dapat digunakan untuk mengembangkan geometri yang konsisten. Gauss

mulai melakukan hal ini untuk kepuasan sendiri. Ia tidak mnerbitkan

karyanya karena ia malu untuk mempublikasikannya. Namun ia mengatakan

kepada beberapa teman tentang kesimpulan penelitiannya.

2. Farkas W. Bolyai (1775-1856)

23

Orang yang pertama kali mengerti tentang postulat sejajar Euclid

adalah Gauss. Pada tahun 1792 ia mulai mendalami masalah tersebut dan

meyakini bahwa postulat kelima Eucid adalah independen dari empat postulat

lainnya. Gauss mulai bekerja di luar konsekuensi geometri di mana dapat

dibuat lebih dari satu garis yang melalui titik tertentu yang sejajar dengan

garis tertentu. Gauss mendiskusikan postulat sejajar Euclid dengan

kawanya yaitu Farkas W. Bolyai yang berasal dari Hungaria dan

membuat beberapa bukti mengenai kesalahan yang dibuat oleh gauss.

Putus asa dengan postulat kesejajaran yang diketahuinya mempunyai

kejanggalan namun tidak dapat dibuktikannya membuat dia menulis surat

kepada anaknya :

Jangan berkutat dengan postulat kesejajaran, karena akan

mengurangi kenyamanan , kesehatan dan ketenangandan seluruh

kebahagiaan dalam hidup ini.

Kemudian Farkas Bolyai menasehati anaknya, Jonas Bolyai untuk

tidak membuang waktu untuk membuktikan postulat kelima tetapi Jonas tidak

mengindahkan nasehat tersebut dan terus mendalami maalah tersebut.

Gagal membuktikan postulat akhirnya menikmati masa tuanya

dengan menulis puisi, musik dan drama, sebelum meninggal di

Marosvasarhely, Transylvania, kerajaan Austria (sekarang tirgu Mures,

Romania)

3. Jonas Bolyai (1802-1860)

24

Bolyai adalah anak seorang guru matematika Farkas Bolyai. Dia

adalah perwira tentara hungaria dan seorang mahasiswa yang senang pada

matematika. Awalnya menerima postulat-postulat Euclid sebagai aksioma

yang berdiri sendiri dan menemukan bahwa memungkinkan mengkonstruksi

geometri, dengan dasar aksioma-aksioma lainnya, satu titik dalam bidang

yang terdiri dari garis-garis tidak terhingga yang tidak bersinggungan dengan

garis pada bidang tersebut. Gagasan ini, oleh sang ayah, dikirimkan ke Gauss

untuk dimintai pendapat tentang gagasan tidak biasa ini. Jawaban Gauss ,

memuji gagasan itu, namun tidak disarankan untuk dilanjutkan. Kecewa

dengan komentar ini. Semangatnya untuk menjadi ilmuan ternama surut.

Semasa remaja mampu mengungkapkan “kejanggalan” postulat

kesejajaran Euclid dan merintis apa yang disebut dengan geometri non-euclid

yang berbeda dengan penemuan Lobachevski.

Usia 21 tahun, melanggar larangan ayahnya karena

menggembangkan geometri yang beda dengan postulat kelima yaitu dengan

geometri hiperbolik dan ternyata mampu memecahkan kebuntuan yang

dialami oleh ayahnya. Penemuan ini mendasari teori-teori fisika modern yang

muncul pada abad kedua puluh.

Pada tahun 1823 Jonus Bolyai menuli surat kepada ayahnya dan

mengatakan bahwa “I have discovered thing so wondwerful that I was

astounded…out of nothing I have created a stranged new world”.

Janos tidak pernah menerbitkan makalah Appendix tidak lebih dari

26 halaman, karena tidak mampu mempublikasikan penemuanya, namun

Janos meninggalkan 3.000 halaman artikel matematika dan 11.000 halaman

25

makalah lain ketika dia meninggalkan. Janos Bolyai meninggal di

Marosvasarhely, Transylvania.

4. Nikolai I. Lobachevsky (1792-1856)

Lobachevsky adalah professor matematika dan rector Universitas

Kazan yang berasal dari Rusia, dan orang pertama yang mempublikasikan

mengenai geometri non Euclid pada tahun 1829, geometrinya disebut

“imaginary” yang kemudian di kenal dengan “pangeometry”. Tulisan

Lobachevsky menarik perhatian masyarakat. Seorang pengamat di sebuah

akademi St. Pettersburg menolak tulisannya dan jurna Rusia mengkritisi

Lobachevsky . Walaupun mendapat kritikan tetapi Lobachevsky tetap

meneruskan karyanya di Rusia kemudian di Jerman pada tahun 1840, yang

kemudian juga dikirimkan ke Gauss. Pada tahun 1829 Lobachevsky bersama-

sama membuat sebuah penemuan baru tentang geometri non Euclid dimana

Jonas mempublikasikan ”Geometrical investigation on the theory of

parallel” yang terdiri dari 61 halaman dan Lobachevsky membuat booklet

yang menjelaskan bagaimana geometri non Euclid bekerja. “All straight ilnes

which in a plane go out from a point can, with reference to a given straight

line in the same plane, be devided into two classes into cutting and non-

cutting. The boundary line of the one and the other class of those lines will be

called parallel to the given line”.

2.5 Aplikasi Geometri Hiperolik

Geometri hiperbolik memiliki peranan penting dalam kehidupan nyata.

Misalnya, dalam bidang teknik dan arsitek, kesenian, ilmu komputer dan

jaringan dan lain sebagainya. Dalam bidang matematika sendiri, geometri

26

hiperbolik ini biasanya digunakan dalam teori grup khususnya teori a la

Gromov tentang grup kombinatorial. Dari semua kegunaan dalam bidang-

bidang ini, geometri hiperbolik paling banyak digunakan dalam bidang

topologi komputer dan pemetaan. Penggunaan geometri dalam bidang ini

semakin banyak dikembangkan dari hari ke hari.

Gambar 2.21

Dalam http://scannerperiksanilai.wordpress.com/ pada jurnal “Baru

Pathsfor Internet Stress-Out” yang diterbitkan pada 10 Agustus 2011 ini

menyebutkan bahwa San Diego Supercomputer Center dan Koperasi Asosiasi

untuk Analisis Data Internet (Caida) di University of California, San Diego,

dalam sebuah kolaborasi dengan para ilmuwan dari Universitas de Barcelona

di Spanyol dan University of Siprus, telah menciptakan geometris pertama

“atlas” dari Internet sebagai bagian dari proyek untuk mencegah runtuhnya

jaringan komunikasi dalam dekade-dekade berikutnya. Mereka menemukan

laten hiperbolik, atau negatif melengkung, ruang tersembunyi di bawah

topologi Internet, memacu mereka untuk merancang metode untuk

menciptakan sebuah peta internet menggunakan geometri hiperbolik. Internet

dengan Pemetaan hiperbolik akan mengarah pada arsitektur Internet routing

yang lebih kuat karena menyederhanakan jalan-menemukan seluruh jaringan.

Arsitektur routing berdasarkan geometri hiperbolik akan menciptakan tingkat

efisiensi terbaik dalam hal kecepatan, akurasi, dan ketahanan terhadap

kerusakan.

Selanjutnya penggunaan dari visualisasi geometri hiperbolik lainnya

yaitu digunakan untuk visualisasi “concept space” dalam program “adaptive

27

e-learning”. Concept space dalam matematika itu sendiri adalah pemetaan

graf acyclic. Secara tradisional rancangan “concept space” ini meliputi map

diagram, a downward-branching dan heirarchical tree structure.

Dalam menghasilkan suatu pemetaan yang jaringannya semakin

bertambah jika bidang/ruangnya (plane) semakin besar. Tepatnya pemetaan

seperti ini merupakan visualisasi dari model poincare disk.

Pemetaan jaringan internet yang lebih sederhana seperti yang biasanya

kita temui di warung-warung internet seperti pada gambar di bawah ini.

Gambar 2.24

Pada bidang fisika, geometri hiperbolik ini diterapkan dalam melihat

pergeseran panjang gelombang elektromagnetik dan teori relativitas.

Gambar 2.22. Escher Limit IIIGambar 2.23. Hypergraf Concept Space

28

Penggunaan model-model geometri hiperbolik yang lainnya yaitu pada

bidang arsitek dan kesenian.

Gambar di samping merupakan

sebuah Rumah keratif untuk berakhir

pekan ini ada di Melbourne, Australia

merupakan impian yang menjadi

keyataan seorang arsitek McBride

Charles Ryan. Terinpisrasi desain pada

botol Klein, dan bentuk konseptual

matematika tanpa interior yang terlihat

dan sisi eksterior. Black metal atap

Rumah lipatan turun di beberapa tempat

untuk mengubah bentuk bagian rumah

dan bentuk dinding eksterior. Halaman pusat dan ruang hidup yang fleksibel

membuat penghuni rumah ini merasa menakjubkan seperti ada dalam ruangan

dan di luar rumah pada saat yang sama.

Hal yang sama juga yang dilakukan di Indonesia, Jefrey Ignatius

Kindangen dkk di Manado dengan model jaringan syaraf tiruan (berdasarkan

model poincare ) untuk mengevaluasi ventilasi bangunan untuk daerah tropis.

Selanjutnya dalam bidang ekonomi, masih juga dengan menggunakan

persepsi jaringan syaraf buatan pada peta poincare yaitu dalam makalah yang

ditulis oleh Situngkir (2003), hal yang baru dalam makalah ini adalah upaya

penggunaan peta Poincare dalam persepsi model jaring saraf yang dibuat

untuk tujuan prediksi. Peta Poincare yang dimodifikasi digenerasi dari data

deret waktu keuangan biasa untuk kemudian dipersepsi oleh jaring saraf.

Hasil persepsi ini (berupa peta Poincare juga) kemudian kita ubah lagi ke

dalam data deret waktu biasa sebagai hasil aproksimasi dan prediksi dari

proses training jaring saraf. Hasilnya menjanjikan kemampuan dan kecepatan

prediksi yang lebih baik daripada secara langsung mempersepsi data deret

waktu biasa. Di akhir makalah digambarkan pula contoh bagaimana

memprediksi range fluktuasi harga saham dengen aproksimasi terhadap data

penawaran saham tertinggi (HIGH) dan selisih penawaran tertinggi dan

terendah secara bersamaan sebagai peta Poincare yang dimodifikasi.

Masih banyak lagi penggunaan hiperbolik dalam kehidupan sehari-hari.

Visualisasi model hiperbolik yang berupa teselasi sering digunakan sebagai

motif-motif batik di Indonesia. Bentuk lainnya seperti proses pengambilan

29

gambar dengan menggunakan kamera (shading) merupakan salah satu

visualisasi geometri hiperbolik.

2.6 Geometri Sphere / Bola / Eliptik

Sejarah Geometri Eliptik

Ilmu tentang astronomi telah banyak dipelajari berabad-abad sebelum

masehi, hal ini terlihat dengan adanya bukti-bukti peninggalan sejarah tentang

system penanggalan kuno dan peramalan untuk memperkirakan fenomena alam,

masa kesuburan pertanian dan sifat seseorang dipandang dari segi rasi bintang.

Semakin lama, ilmu perbintangan semakin menarik untuk dipelajari hingga ke

hal-hal yang bersifat teoretik. Namun misteri perbitangan secara teoretik tidak

dapat dipecahkan karena teori yang diakui pada masa itu adalah teori yang

berpegang pada postulat Euclid yang membangun konsep bidang datar. Untuk

memecahkan kesulitan tersebut para astronom dan matematikawan membuat

terobosan baru dalam bidang geometri. Sejak saat itu, para astronom mulai

mengumpulkan berbagai referensi sejarah untuk mendukung terobosan baru

tersebut.

Berdasarkan catatan sejarah yang ditulis oleh Claudius Ptolemy (150

SM), seorang ahli geografi, astronomi, dan astrologi berkebangsaan Yunani,

menuliskan pada bukunya Geographica bahwa “untuk menempuh jarak terdekat

antara dua titik pada bumi, maka seseorang harus mengikuti lingkaran yang

memuat dua titik tersebut”. Selain itu, Nicolaus Copernicus (1473-1543)

menyatakan dalam bukunya bahwa “bumi berputar pada porosnya, ….”, dan dari

Shading Teselasi

30

ekspedisi penjelajahan mengelilingi dunia yang dilakukan oleh Christoper

Colombus (1451-1506) dan pendahulu-pendahulunya membuktikan bahwa bumi

berbentuk bulat. Referensi ini membuka ide baru bidang geometri eliptik yang

kemudian memberikan pengaruh besar pada bidang astronomi, geografi, dan

fisika modern.

Berdasarkan referensi sejarah tersebut dan beberapa referensi lain, maka

untuk pertamakalinya, matematikawan Benhard Riemann (1826-1866)

memperkenalkan geometri bola sebagai geometri non-Euclid. Dalam pandangan

Riemann pada geometri bola, garis merupakan lingkaran besar pada bola yang

memuat dua titik. Riemann menganalisis postulat kesejajaran Euclid dan

menemukan kejanggalan-kejanggalan. Dari kejanggalan tersebut Riemann

mengembangkan teori geometri bola yang dapat membuktikan postulat

kesejajaran Riemann dan memenuhi definisi titik dan garis yang didefinisikan

oleh Euclid. Pandangan Riemann ini kemudian dimodifikasi oleh Christian Klein

(1849-1925) dengan memandang bahwa setiap pasang titik antipodal (titik yang

berlawanan pada lingkaran besar) merupakan titik yang identik/sama. Klein

mengembangkan model geometri bola dan menyebutnya dengan variasi geometri

eliptik.

Tokoh-tokoh dalam geometri eliptik antara lain :

1. Berhard Riemann (1826-1866)

31

Riemann lahir di Breselenz, sebuah desa dekat Dannenberg di

Kerajaan Hanover ketika masa Republik Federal Jerman. Ayahnya, Friedrich

Bernhard Riemann, adalah seorang pendeta Lutheran miskin di Breselenz

yang berjuang dalam Perang Napoleon. Ibunya, Charlotte Ebell, meninggal

dunia sebelum anak-anaknya mencapai usia dewasa.

Riemann merupakan anak kedua dari enam bersaudara. Riemann

dikenal dengan kepribadiannya yang cenderung pemalu dan menderita

banyak kerusakan saraf. Riemann menunjukkan kemampuan matematika luar

biasa, seperti kemampuan kalkulasi yang fantastis, meskipun sejak usia dini

ia memiliki sikap pemalu dan takut untuk berbicara di depan umum.

Pada tahun 1840, Riemann pergi ke Hanover untuk tinggal bersama

neneknya dan mengikuti lyceum (sekolah menengah). Setelah kematian

neneknya pada tahun 1842, Riemann menghadiri sekolah tinggi di

Johanneum Lüneburg. Di sekolah tinggi tersebut, Riemann mempelajari

Alkitab secara intensif, tetapi ia sering terganggu oleh matematika. Untuk

tujuan memenuhi rasa penasarannya pada matematika, ia mencoba untuk

membuktikan kebenaran matematis dari Book of Genesis. Gurunya kagum

oleh kemampuannya yang mahir untuk menyelesaikan operasi matematika

yang rumit, oleh sebab itu Riemann sering melampaui pengetahuan

instrukturnya. Pada tahun 1846, ketika usianya menginjak 19 tahun, Riemann

mulai belajar filologi dan teologi untuk menjadi imam dan membantu

keuangan keluarga.

Selama musim semi tahun 1846, ayahnya Friedrich Riemann,

mengirim Riemann ke universitas, dia berhenti belajar teologi dan mulai

menekuni matematika. Ia dikirim ke Universitas terkenal Göttingen, dimana

ia pertama kali bertemu Carl Friedrich Gauss, dan menghadiri kuliah pada

metode kuadrat terkecil. Pada tahun 1847, Riemann pindah ke Berlin, tempat

dimana ilmuwan seperti Jacobi, Dirichlet, Steiner, dan Enstein mengajar. Dia

tinggal di Berlin selama dua tahun dan kembali ke Göttingen pada 1849.

32

Bernhard Riemann menyelenggarakan kuliah perdananya pada tahun

1854 yang menemukan bidang Geometri Riemann. Bidang ini kemudian

dipakai oleh Einstein menjadi perangkat untuk menguji teori umum

relativitas Einstein. Ceramahnya berjudul Über die Hypothesen welche der

Geometrie zu Grunde liegen ("Dasar-Dasar Geometri"; atau lebih tepatnya,

"Hipotesis yang Mendasari Geometri").

Pada tahun 1857, ada upaya untuk mempromosikan Riemann ke

status profesor luar biasa di Universitas Göttingen. Upaya ini gagal dan hal

itu mengakibatkan Riemann akhirnya diberikan gaji biasa. Pada 1859, setelah

kematian Dirichlet, ia dipromosikan menjadi kepala departemen matematika

di Göttingen. Dia juga orang pertama yang menyarankan menggunakan

dimensi yang lebih tinggi dari sekadar tiga atau empat dimensi dalam rangka

untuk menggambarkan realitas fisik – sebuah ide yang pada akhirnya terbukti

benar dengan kontribusi Einstein di awal abad 20. Pada tahun 1862 ia

menikahi Elise Koch dan memiliki seorang putri.

Riemann melarikan diri dari Göttingen ketika tentara Hanover dan

Prusia bentrok pada tahun 1866. Ia meninggal akibat tuberkulosis pada

perjalanan ketiganya ke Italia di Selasca (sekarang dusun Verbania di Lake

Maggiore) dan ia dimakamkan di pemakaman di Biganzolo (Verbania).

Sementara itu, di Göttingen pengurus akademik merapikan beberapa

kekacauan di kantornya, termasuk banyak pekerjaan yang tidak

dipublikasikan. Riemann menolak untuk menerbitkan karya yang tidak

lengkap, oleh karena itu beberapa wawasannya yang mendalam mungkin

telah hilang selamanya bersama kematiannya.

Beberapa karya Riemann yang dipublikasikan membuka penelitian-

penelitian yang menggabungkan analisis dengan geometri. Ini kemudian

menjadi bagian utama dari teori geometri Riemann, geometri aljabar, dan

teori manifold kompleks. Teori permukaan Riemann ini diuraikan oleh Klein.

Daerah matematika ini menjadi bagian dari dasar topologi, yang masih dan

terus diterapkan dengan cara baru untuk fisika matematika.

33

Riemann juga membuat kontribusi besar untuk analisis riil. Ia

mendefinisikan integral Riemann dengan cara jumlah Riemann,

mengembangkan teori trigonometri seri yang tidak Fourier seri – langkah

pertama dalam generalisasi teori fungsi – dan mempelajari Riemann-

Liouville differintegral. Selain itu, Riemann membuat beberapa sumbangan

terkenal untuk teori bilangan modern analitik. Dalam sebuah makalah singkat

tunggal (satu-satunya yang ia terbitkan tentang masalah teori bilangan), dia

memperkenalkan fungsi zeta Riemann yang penting untuk memahami

distribusi bilangan prima. Dia membuat serangkaian dugaan tentang sifat-

sifat fungsi zeta, salah satunya yang terkenal adalah hipotesis Riemann.

Riemann menerapkan prinsip Dirichlet dari variasi kalkulus untuk

efek yang besar ini, kemudian terlihat menjadi heuristik kuat dari metode

yang ketat. Pembenarannya mengambil setidaknya satu generasi. Karyanya

pada monodromy dan fungsi hipergeometrik dalam domain kompleks

membuat kesan yang besar, dan mendirikan dasar cara bekerja fungsi dengan

pertimbangan hanya singularitas mereka.

2. Eugino Beltrami (1835-1900)

Lahir di Cremona pada 16 Nopember 1835 dan meninggal pada 4

Juni 1899 di Roma. Beltrami adalah matematikawan Italia yng konsen pada

geometri diferensial dan matematika fisik. Hasil karyanya tercatat terutama

34

untuk kejelasan dari kedudukan. Ia adalah yang pertama membuktikan

konsistensi dari ilmu ukur non-Euclidean dengan model pada suatu

permukaan lengkungan yang tetap, pseudosphere, dan di bagian dalam dari

suatu n-dimensional lapisan unit, yang disebut Beltrami-Klein model. Ia juga

mengembangkan komposisi nilai bentuk tunggal untuk acuan matriks.

Beltrami juga merupakan orang yang petama kali meletakkan konsep Bolyai

Lobachevsky secara bersama-sama.

3. Felix C Klein (1849-1925)

Felix Christian Klein adalah seorang matematikawan Jerman. Klein

dilahirkan di Düsseldorf, ayahnya adalah seorang sekretaris pejabat

pemerintah Rusia yang ditempatkan di Provinsi Rhine. Dia menghadiri

Gymnasium di Düsseldorf, kemudian memutuskan untuk belajar matematika

dan fisika di Universitas Bonn (1865-1866) dan berniat untuk menjadi

seorang fisikawan.

Pada saat itu, Julius Plücker mengadakan kursi Bonn tentang

matematika dan fisika eksperimental, namun pada saat Klein menjadi

asistennya, pada tahun 1866, Plücker tertarik pada geometri. Klein menerima

gelar doktornya, diawasi oleh Plücker, dari Universitas Bonn pada tahun

1868.

Plücker meninggal pada 1868, meninggalkan buku tentang dasar-

dasar garis geometri yang tidak lengkap. Klein adalah orang yang

menyelesaikan bagian kedua dari Neue Geometrie des Raumes Plücker, dan

dengan demikian berkenalan dengan Alfred Clebsch, yang telah pindah ke

Göttingen pada 1868. Klein mengunjungi Clebsch tahun berikutnya, bersama

35

dengan kunjungan ke Berlin dan Paris. Pada bulan Juli 1870, pada pecahnya

Perang Perancis-Prusia, ia berada di Paris dan harus meninggalkan negara itu.

Untuk waktu yang singkat, ia menjabat sebagai tertib medis di tentara Prusia

sebelum diangkat sebagai dosen di Göttingen pada tahun 1871 awal.

Erlangen menunjuk Klein sebagai profesor pada tahun 1872, ketika

dia berusia 23. Dalam hal ini, ia sangat didukung oleh Clebsch, yang

menganggapnya menjadi ahli matematika terkemuka pada zamannya. Klein

membangun sebuah sekolah di Erlangen dimana ada beberapa mahasiswa,

dan dia begitu senang ditawarkan kursi di Munich Technische Hochschule

pada 1875. Di sana ia dan Alexander von Brill mengajar mata kuliah lanjutan

untuk siswa yang sangat baik, misalnya, Adolf Hurwitz, Walther von Dyck,

Karl Rohn, Carl Runge, Max Planck, Luigi Bianchi, dan Gregorio Ricci-

Curbastro. Pada tahun 1875 Klein menikah dengan Anne Klein Hegel, cucu

dari filsuf Georg Wilhelm Friedrich Hegel.

Setelah lima tahun di Technische Hochschule, Klein diangkat ke

kursi geometri di Leipzig. Koleganya antara lain Walther von Dyck, Rohn,

Eduard Studi dan Friedrich Engel. Klein di Leipzig tahun 1880-1886,

mengubah fundamental hidupnya. Pada tahun 1882, kesehatannya menurun,

dalam 1883-1884, ia diganggu oleh depresi. Meskipun demikian

penelitiannya berlanjut, pekerjaannya pada sigma fungsi hyperelliptic

menentukan tanggal dari seluruh periode ini, yang diterbitkan pada tahun

1886 dan 1888.

Klein menerima kursi di Universitas Göttingen pada 1886. Sejak saat

itu sampai 1913 pensiun, ia berusaha membangun kembali Göttingen sebagai

pusat penelitian terkemuka di dunia matematika. Namun dia tidak pernah

berhasil untuk mentransfer perannya sendiri sebagai pemimpin sebuah

sekolah geometri dari Leipzig ke Göttingen. Di Göttingen, ia mengajarkan

berbagai kursus, terutama dibidang matematika dan fisika, seperti mekanik

dan teori potensial.

Pusat penelitian Klein didirikan di Göttingen yang menjabat sebagai

model untuk pusat penelitian terbaik di seluruh dunia. Dia memperkenalkan

pertemuan diskusi mingguan, dan menciptakan ruang baca matematika dan

36

perpustakaan. Pada tahun 1895, Klein menyewa David Hilbert dari

Königsberg; penunjukan ini terbukti naas, karena Hilbert dapat melanjutkan

kemuliaan Göttingen, hingga pensiun sendiri pada tahun 1932.

Di bawah redaktur Klein, Mathematische Annalen menjadi salah satu

jurnal matematika yang terbaik di dunia. Didirikan oleh Clebsch, di bawah

manajemen Klein, ia melakukan persaingan untuk melampaui Journal Crelle

yang berbasis di Universitas Berlin. Klein membentuk tim kecil dari editor

yang bertemu secara teratur, membuat keputusan demokratis. Jurnal khusus

dalam analisis kompleks, aljabar geometri, dan teori invarian (setidaknya

sampai Hilbert meninggal dunia). Hal ini juga menyediakan outlet penting

untuk analisis riil dan teori grup baru.

Sebagian berkat upaya Klein, Göttingen mulai mengakui perempuan

pada tahun 1893. Dia juga mensupervisi Ph.D. pertama tesis dalam

matematika yang ditulis di Göttingen oleh seorang wanita, Grace Chisholm

Young, seorang mahasiswa Arthur Cayley's Inggris, yang dikagumi Klein.

Sekitar tahun 1900, Klein mulai menaruh minat pada instruksi matematika di

sekolah-sekolah. Pada tahun 1905, ia memainkan peran penting dalam

merumuskan rencana merekomendasikan bahwa dasar-dasar diferensial dan

kalkulus integral dan fungsi konsep diajarkan di sekolah menengah.

Rekomendasi ini secara bertahap diterapkan di banyak negara di seluruh

dunia. Pada 1908, Klein terpilih menjadi ketua Komisi Internasional tentang

Instruksi Matematika pada Kongres Matematika Internasional di Roma. Di

bawah pimpinannya, cabang Jerman dari Komisi menerbitkan banyak buku

pengajaran matematika di semua tingkatan di Jerman.

Masyarakat Matematika London memberikan Klein medali De

Morgan pada tahun 1893. Ia terpilih menjadi anggota Royal Society tahun

1885, dan dianugerahi medali Copley yang pada tahun 1912. Dia pensiun

pada tahun berikutnya karena sakit, tapi terus mengajar matematika di

rumahnya untuk beberapa tahun lagi. Dia meninggal di Göttingen pada tahun

1925.

Klein merancang botol yang dinamai setelahnya, satu sisi tertutup

permukaan yang tidak dapat tertanam dalam ruang Euclidean tiga dimensi,

37

tetapi mungkin dibenamkan sebagai suatu silinder melingkar kembali melalui

dirinya sendiri untuk bergabung dengan ujung lainnya dari "dalam". Ini

mungkin tertanam dalam ruang Euclides dimensi 4 dan lebih tinggi.

Pada 1890-an, Klein beralih ke fisika matematika, subjek yang tidak

melenceng jauh, menulis pada giroskop dengan Arnold Sommerfeld. Dalam

nada yang sama, ia membantu mengedit (bersama dengan K Müller) empat

volume pada mekanisme der Encyklopädie Mathematischen Wissenschaften.

Pada 1871, ketika di Göttingen, Klein membuat penemuan besar

dalam geometri. Ia menerbitkan dua makalah di Geometri Non-Euclidean

yang menunjukkan bahwa Euclid dan geometri non-Euclidean bisa dianggap

kasus khusus dari permukaan proyektif dengan irisan kerucut tertentu yang

disatukan. Hal ini memiliki konsekuensi yang luar biasa bahwa geometri non-

Euclidean konsisten jika dan hanya jika geometri Euclidean ada,

menempatkan Euclid dan geometri non-Euclidean pada pijakan yang sama,

dan berakhir semua kontroversi seputar geometri non-Euclidean. Cayley tidak

pernah menerima argumen Klein, percaya itu akan melingkar.

Sintesis geometri Klein sebagai studi tentang sifat ruang yang tidak

berubah dalam grup transformasi tertentu, yang dikenal sebagai Program

Erlangen (1872), sangat mempengaruhi evolusi matematika. Program ini

ditetapkan dalam kuliah perdana Klein sebagai profesor di Erlangen,

meskipun tidak berpidato, ia memberikannya pada kesempatan tersebut.

Program ini mengusulkan pendekatan terpadu untuk geometri yang

menjadikan pandangan diterima. Klein menunjukkan bagaimana sifat penting

dari suatu geometri yang diberikan dapat diwakili oleh kelompok

transformasi yang melestarikan properti tersebut. Jadi definisi Program

geometri mencakup baik geometri Euclid dan non-Euclidean.

Klein melihat karyanya pada teori berfungsi sebagai kontribusi besar

untuk matematika, khusus karyanya pada (1) hubungan antara ide-ide

Riemann tertentu dan teori invarian, (2) teori bilangan dan abstrak aljabar, (3)

teori grup, (4) Geometri dengan lebih dari 3 dimensi dan persamaan

diferensial, terutama ia menemukan persamaan, yaitu fungsi modular dan

fungsi eliptik automorphic.

38

Pada tahun 1884 dalam bukunya tentang Icosahedron, Klein

menetapkan sebuah teori fungsi automorphic, menghubungkan aljabar dan

geometri. Namun Poincaré menerbitkan sebuah garis besar teori fungsi

automorphic pada 1881, yang menyebabkan persaingan yang bersahabat

antara dua laki-laki. Keduanya berusaha untuk negara dan membuktikan

teorema uniformization besar yang akan berfungsi sebagai batu penjuru untuk

teori yang muncul. Klein berhasil merumuskan seperti teorema dan dalam

membuat sketsa strategi untuk membuktikan itu. Tapi saat melakukan

pekerjaan ini kesehatannya jatuh, seperti yang disebutkan di atas. Klein

meringkas karyanya pada fungsi modular automorphic dan eliptik dalam

sebuah risalah, volume empat ditulis dengan Robert Fricke selama sekitar 20

tahun.

Pengantar Geometri Eliptik

Berdasarkan uraian singkat sejarah geometri eliptik di atas,

munculnya geometri ini berawal dari analisis Riemann terhadap postulat

kesejajaran Euclid. Penemuan ini merupakan bagian dari disertasi Riemann

yang disajikan pada tahun 1854 di Jerman.

Postulat kesejajaran Riemann

Tidak ada garis-garis yang sejajar dengan garis lain.

Berdasarkan postulat tersebut, Riemann mengemukakan bahwa dua

garis selalu berpotongan dan tidak ada dua garis sejajar (Budiarto dan

Masriyah, 2007: 172). Dalam geometri Euclid, postulat kesejajaran Euclid,

dua garis yang tegak lurus terhadap garis yang sama adalah sejajar.

Diketahui:Dua garis yang berbeda dan yang tegak lurus terhadap garis .

(Lihat Gambar 2.25 (a))

Akan dibuktikan: dan adalah sejajar.

Bukti:

Andaikan , maka dan bertemu atau berpotongan pada suatu titik,

misal (lihat Gambar 2.25 (b)).

39

Misalkan dan berturut-turut merupakan titik potong garis dan

terhadap garis .

Langkah Alasan

1. Perpanjang sedemikian hingga

diperoleh , dimana terletak

di perpanjangan .

1. Postulat 2: Ruas garis dapat diperpanjang secara kontinu.

2. Melalui dan dapat dibuat .2. Postulat 1: Melalui sebarang dua

titik dapat dibuat garis lurus.

3.3. Proposisi 4: Sisi, sudut, sisi.

4. 4. Akibat , maka

sudut-sudut yang bersesuaian adalah sama (proposisi 4).

5. 5. Akibat , maka

sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama (proposisi 4).

6. , maka dan

tegak lurus terhadap .

6. Diketahui.

7. dan berhimpit, dengan kata lain

dan adalah titik yang sama.

7. Aksioma 1: Hal-hal yang sama dengan hal yang sama, maka satu dengan yang lainnya juga sama.

8. dan serupa 8. Definisi 3: Ujung-ujung suatu garis adalah titik.

A

(b)Gambar 2.25

40

Langkah Alasan

Definisi 4: Garis lurus adalah garis yang terletak secara rata dengan titik-titik pada dirinya.

Hal ini kontradiksi dengan yang diketahui bahwa dan adalah dua garis

yang berbeda. Jadi, pengandaian salah dan terbukti bahwa .

Analisis Riemann terhadap pembuktian teorema di atas adalah sebagai

berikut.

a. Pandangan penting bahwa “ dan serupa” karena pada langkah

sebelumnya diperoleh bahwa dan berhimpit, dengan kata lain

dan adalah titik yang sama. Langkah ini dalam pembuktian akan gagal

apabila dan adalah dua titik yang berbeda.

b. Euclid mendefinisikan suatu prinsip pemisahan (separation principle)

yaitu setiap garis “memisahkan” bidang menjadi dua sisi yang berhadapan,

yang tidak mempunyai titik persekutuan.

c. Dalam pandangan prinsip pemisahan, konstruksi pada langkah 1

pemisahan di atas (memperpanjang sedemikian hingga diperoleh

, dimana terletak di perpanjangan ) menjamin bahwa dan

terletak pada sisi sehadap dari dan merupakan dua titik yang berbeda.

d. Tanpa memperhatikan prinsip pemisahan, maka dan dapat berhimpit

dan pembuktian teorema di atas tidak dapat diterima.

Berdasarkan analisis Riemann di atas, maka muncul dua teori baru

yang berangkat dari dua kemungkinan berikut.

41

a. Jika prinsip pemisahan diterima, maka dan harus merupakan titik

yang berbeda. Dengan kata lain, setiap dua garis berpotongan pada dua

titik dan setiap garis memisahkan bidang.

b. Jika mengabaikan prinsip pemisahan, maka dan merupakan titik yang

sama. Dengan kata lain, setiap dua garis berpotongan pada satu titik dan

tidak ada garis yang memisahkan suatu bidang.

Kemungkinan pertama di atas yang mendasari munculnya geometri

eliptik ganda (double elliptic geometry) dan kemungkinan kedua mendasari

munculnya geometri eliptik tunggal (single elliptic geometry). Gambar

berikut ini berturut-turut merupakan model dari geometri eliptik tunggal dan

geometri eliptik ganda.

Geometri eliptik tunggal (single elliptic geometry)

Dua garis berpotongan dalam tepat satu titik, dan setiap garis tidak

memisahkan bidang; 2 titik yang berlawanan terhadap diameternya dianggap

sebagai satu titik.

Geometri eliptik ganda (double elliptic geometry)

Dua garis berpotongan pada dua titik, dan setiap garis memisahkan bidang.

Untuk semesta pembicaraan geometri eliptik, maka diperlukan

sebuah model untuk merepresentasikan bidang tersebut. Representasi dibuat

dengan tujuan agar dalam membuktikan aspek di bidang geometri eliptik

tidak terjadi kontaminasi dengan bidang Euclid dan hiperbolik yang

(a) (b)

Gambar 2.26

42

diterapkan sebelumnya. Representasi ini dikembangkan oleh Klein dengan

ide dasar dari bola dunia yang dikembangkan oleh Riemann.

Sebelum kita mempelajari teorema-teorema geometri eliptik, ada

baiknya kita memahami deskripsi singkat berikut terlebih dahulu untuk

mengenal beberapa representasi aspek dalam bidang geometri eliptik.

Selanjutnya disajikan deskripsi singkat tentang beberapa konsep dasar dari

geometri eliptik serta representasinya pada bola Euclid.

1. Garis Sebagai Bangun Tertutup (Lines as Closed Figures)

Bagian ini menyajikan secara singkat uraian yang mendeskripsikan

bahwa garis pada geometri eliptik tunggal maupun geometri eliptik ganda

merupakan suatu bangun tertutup (closed figure).

Untuk geometri eliptik tunggal, perhatikan kembali situasi yang

digambarkan oleh Gambar 2.25(b) di atas mengenai pembuktian teorema

bahwa dua garis yang tegak lurus pada garis yang sama akan sejajar.

Karena ide geometri eliptik tunggal berangkat dari prinsip

pemisahan, maka ketika geometri ini berlaku, titik pada Gambar 2.25 (b)

(pembuktian di atas) sama dengan . Akibatnya, ketika diperpanjang

akan diperoleh bahwa perpanjangan tersebut kembali pada . Dengan kata

lain, dalam geometri eliptik tunggal suatu garis merupakan suatu bangun

tertutup. Dengan demikian berlaku pernyataan bahwa suatu titik tidak

memisahkan garis menjadi dua bagian. Akan tetapi, dua titik pada suatu garis

akan memisahkan garis tersebut menjadi dua ruas garis. Sehingga penentuan

pada garis tersebut tidak pada satu ruas garis saja tetapi pada dua ruas garis

yang merupakan titik-titik ujung yang sama.

Untuk geometri eliptik ganda, menggunakan konsep di atas sebagai

apersepsi awal.

A B m

s

l

43

Dalam geometri eliptik ganda, suatu garis juga merupakan suatu

bangun tertutup. Pandangan ini disajikan dalam uraian berikut.

Diberikan sebuah garis dan titik pada garis tersebut. tegak

lurus di dan bertemu di . Maka, dan seharusnya adalah titik akhir

dari suatu ruas garis yang dimuat oleh , misal ruas garis . Karena

membagi bidang dan memotong di dua titik, maka terletak pada salah satu

sisi .

Sehingga setiap titik di , yang terletak pada sisi yang diberikan,

terletak pada ruas garis , dan setiap titik di yang tidak terletak di ,

seharusnya terletak pada perpanjangan melalui atau . Tapi jika

diperpanjang melewati atau , maka akan memotong dan memasuki

sisi yang berseberangan dengan . Dengan demikian, sebarang titik di

pada sisi yang sama dengan , pasti terletak di .

Selain itu, teori kesimetrisan dalam geometri eliptik ganda tetap

dipertahankan. Sehingga akan ada ruas garis yang simetri dengan ruas garis

, yang menghubungkan dan pada sisi yang berseberangan dengan .

Jika tegak lurus m maka ’ juga tegak lurus . Jika dan ’ ruas garis yang

tegak lurus terhadap garis yang sama pada titik yang sama, maka kedua ruas

garis tersebut terletak pada satu garis. Dengan kata lain, dan ’ termuat di .

Jadi dibentuk oleh ruas garis dan ’. Dengan demikian, dapat diterima

bahwa garis dalam geometri eliptik ganda merupakan bangun yang tertutup.

2. Representasi Geometri Eliptik pada Bola Euclid

Postulat kesejajaran Riemann akan terpenuhi dalam representasi

bahwa setiap dua garis (lingkaran besar) bertemu tepat pada dua titik.

(a) (b)

Gambar 2.27

44

Selanjutnya, postulat pemisahan terpenuhi, karena setiap lingkaran besar akan

memisahkan bola pejal tersebut menjadi dua belahan bola (hemispheres).

Sebagai contoh, equator membagi sebuah globe (model bumi) menjadi dua

belahan, yaitu, belahan utara dan selatan, sedemikian hingga sebarang busur

dari lingkaran besar menghubungkan sebuah titik pada salah satu belahan

dengan sebuah titik pada belahan yang lain dimana busur tersebut

berpotongan dengan equator. Jadi, setiap garis tampak sebagai bangun yang

tertutup.

Representasi geometri eliptik tunggal diturunkan dari geometri

eliptik ganda. Sebuah lingkaran besar pada bola tidak merepresentasikan

secara tepat sebuah garis pada geometri eliptik tunggal. Hal ini disebabkan

dua lingkaran besar selalu berpotongan pada dua titik yang berlawanan

terhadap diameternya.

Selanjutnya, kita dapat

merepresentasikan geometri eliptik tunggal

seperti layaknya geometri eliptik ganda.

Dengan demikian, sebuah garis pada geometri

eliptik tunggal direpresentasikan sebagai

sebuah lingkaran besar (dengan kesepakatan

bahwa titik-titik yang berlawanan

diidentifikasi). Sebuah ruas garis direpresentasikan sebagai busur kecil dari

sebuah lingkaran besar, karena busur besar atau setengah lingkaran

direpresentasikan sebagai sebuah garis utuh. Untuk menentukan jarak antara

dua titik, A dan B, ingat bahwa A dan lawannya, A’, dipandang sebagai titik

yang sama. Hal ini juga berlaku pada B. (Lihat Gambar 2.28). Dengan

demikian, jarak merupakan lintasan terpendek dari busur minor , .

Sudut dan besarnya pada geometri eliptik tunggal direpresentasikan sama

seperti pada geometri eliptik ganda.

Berikut ini merupakan tabel yang menyajikan representasi konsep dasar

geometri eliptik ganda pada bola Euclide.

Geometri Eliptik Ganda Representasi Euclide

Titik Titik pada bola

Gambar 2.28

B’

A’

A’ B’

45

Garis Lingkaran besar bola

Bidang Bola

Ruas garis Busur dari suatu lingkaran besar

Jarak antara dua titik Panjang busur terpendek dari lingkaran besar yang melalui kedua titik itu

Sudut antara dua garis Sudut pada bola yang dibentuk oleh dua lingkaran besar

Ukuran sudut Ukuran sudut pada bola

3. Sifat Kutub pada Bidang Geometri Eliptik

Seperti halnya dalam geometri Euclid dan Lobachevski, geometri

eliptik memenuhi beberapa hal berikut.

a. Hanya ada satu garis yang tegak lurus terhadap garis yang melalui sebuah

titik yang diberikan, jika titik tersebut terletak pada garis yang diberikan.

b. Tetapi sifat di atas tidak terpenuhi, jika titik tersebut tidak berada pada

garis yang diketahui, karena sebarang dua garis yang tegak lurus dengan

garis yang sama akan berpotongan.

c. Untuk setiap garis l pada bidang geometri eliptik, ada titik polar K

sedemikian sehingga semua garis yang melalui K akan tegak lurus dengan

l.

Jadi, semua lingkaran besar pada bola dunia melalui kutub utara

yang tegak lurus dengan ekuatornya.

Sifat Kutub

Misalkan adalah suatu garis. Maka ada suatu titik

yang disebut kutub dari sedemikian hingga:

a. setiap segmen yang menghubungkan dengan

suatu titik pada tegak lurus pada ,Gambar 2.29

46

b. berjarak sama dari setiap titik pada .

Jarak sampai sebarang titik pada disebut “jarak polar”. Jarak

polar suatu kutub sampai garisnya adalah konstan.

Aplikasi Geometri Eliptik

Aplikasi geometri eliptik banyak dipakai dalam ilmu astronomi,

salah satunya mengenai waktu di bumi terhadap matahari. Untuk mengetahui

lebih lanjut tentang aplikasi eliptik dalam pembagian waktu matahari ini,

maka ada baiknya kita pelajari terlebih dahulu secara singkat pemaparan

berikut.

Pada malam hari ketika kita memperhatikan langit, berarti kita

sedang mengamati bintang dan benda-benda langit lainnya dari permukaan

berbentuk bola. Bola ini disebut bola celestial. Bumi di bola celestial ini

sebagai pusatnya dengan radius yang tidak terbatas.

Titik Z pada bola celestial berada di atas pengamat, titik ini disebut

zenith (titik puncak). Sedangkan titik Z’ yang diameteral terhadap Z disebut

nadir (titik terendah). Lingkaran besar pada bola dimana terdapat garis yang

menghubungkan Z dan Z’ sebagai porosnya disebut horizon pengamat.

Lingkaran besar yang melalui zenith disebut lingkaran vertikal.

Jika poros bumi diperpanjang melalui kutub-kutubnya, maka titik N

akan memotong bola celestial sehingga disebut kutub celestial utara,

sedangkan titik S akan memotong bola celestial lawan dari utara sehingga

Gambar 2.30 Gambar 2.31

47

disebut kutub celestial selatan. Diameter yang menghubungkan kutub

celestial utara dan selatan disebut poros bola celestial. Lingkaran yang

melalui utara dan selatan disebut meridian celestial.

Meridian celestial memotong secara horizontal di dua titik. Titik

terdekat dengan kutub celestial utara disebut titik horizon. Dari titik utara

tersebut, timur berada disebelah kanan, dan barat berada disebelah kiri,

sedangkan selatan berada dibagian belakangnya.

Gambar 2.32

Perpotongan ekuator bumi dengan bola celestial disebut ekuator

celestial. Gambar berikut merepresentasikan bola celestial dengan bumi

sebagai pusatnya. HH’ mewakili horizontal. Z mewakili zenith dan Z’

mewakili nadir, sedangkan kutub utara dan kutub selatan secara berturut-turut

diwakili oleh N dan S. ekuator celestial diwakili oleh E dan E’.

48

Gambar 2.33

Jika P merepresentasikan posisi matahari, maka segitiga PZN

disebut segitiga astronomis matahari. Busur PL dari lingkaran vertikal yang

melalui P disebut ketinggian matahari dan busur MP dari meridian yang

melalui P disebut kemerosotan matahari. Busur EZ adalah garis lintang

zenith, busur ini setara dengan garis lintang pengamat.

Solar noon adalah waktu yang dibutuhkan matahari untuk mengitari

meridian celestial pengamat. Local time merupakan waktu setempat yang

menunjukkan posisi matahari dari terbit hingga terbenam pada suatu daerah

tertentu.

Sudut antara meridian yang melalui matahari dan zenith disebut

sudut jam. Dari gambar, sudut jam adalah segitiga PZN. Bola celestial

menunjukkan perputaran sejauh dalam 24 jam. Hal ini berarti perputara

matahari berarti menghabiskan waktu 1 jam. Oleh karena itu, sudut jam

menunjukkan berapa jam, menit, dan detik yang dilalui matahari untuk

berputar di meridian zenith. Dengan demikian, pada segitiga astronomis PZN

didapat:

NZ = – derajat garis lintang pengamat

ZP = – derajat ketinggian matahari

PN = – derajat kemerosotan matahari

49

Jika kita mengetahui derajat ketinggian dan kemerosotan matahari,

maka ketiga sisi dari segitiga astronomi PZN dapat diketahui, selanjutnya

sudut PNZ dapat ditentukan. Untuk menentukan waktu yang dibutuhkan

matahari untuk bergerak dari P ke meridian EZN, maka kita harus

mengalikan 24 sebagai rasio sudut lingkaran dengan .Jika pengamatan

dilakukan pagi hari, maka waktu yang didapat dikurangi 12 jam, dan jika

pengamatan dilakukan sore hari, maka waktu yang didapat ditambah 12 jam.

Waktu yang didapat ini disebut local time.

Kapal-kapal yang biasanya berlayar melintasi samudera biasanya

memperkirakan posisi pelayarannya dengan menggunakan chronometer. Alat

ini merupakan aplikasi dari teori eliptik dimana alat ini menunjukkan waktu

di Greenwich. Dengan mengetahui waktu di Greenwich dan local time, maka

garis bujur tempat pengamatan dapat ditentukan. Dalam mengganti waktu

menjadi derajat bujurnya, maka tetap harus diperhatikan bahwa 24 jam

berkorespondensi dengan garis bujur, dengan demikian berarti 1 jam

sama dengan garis bujur, 1 menit berarti 15’ garis bujur, dan satu detik

sama dengan 15’’ garis bujur.

Contoh:

Dari gambar, anggap HN merupakan garis lintang kota New York dengan

derajat lintang pengamat dan derajat kemerosotan matahari ,

dengan demikian didapat;

ZN = – derajat garis lintang pengamat

= –

=

PN = – derajat kemerosotan matahari

= –

50

=

PZ = untuk ketinggian matahari pada saat .

Sudut ZNP pada segitiga bola PNZ adalah (dalam Morgan)

Jika 1 jam sama dengan , maka sama dengan 6 jam 21

menit detik. Sudut ZNP merepresentasikan solar noon yaitu lama waktu

yang dibutuhkan matahari mulai dari terbit hingga terbenam di kota New

York.

Secara umum Geometri bola digunakan oleh para pilot dan kapten

kapal ketika mereka bernavigasi di seluruh dunia. Bekerja di geometri bola

memilki beberapa hasil yang non-intuitif. Sebagai contoh, apakah anda tahu

bahwa terbang jarak terpendek dari Florida ke kepulauan Filipina adalah jalan

di Alaska? Filipina setelah Florida mengapa terbang ke utara ke Alaska

dipotong pendek? Jawabannya adalah bahwa Florida, Alaska, dan Filipina

collinear lokasi di geometri bola (mereka terletak pada lingkaran besar). Lain

milik aneh berbentuk bola geometri adalah bahwa jumlah sudut segitiga

selalu lebih besar kemudian 1800. Segitiga kecil, seperti yang digambarkan di

lapangan sepak bola, sudah sangat dekat dengan 1800. Namun, jumlah sudut-

sudut pada segitiga besar (seperti segitiga dengan veracities New York, LA

dan Tampa) telah secara signifikan lebih dari 1800.

Pada sebuah bola, jumlah sudut-sudut suatu segitiga tidak sama

dengan 1800. Sebuah bola bukanlah ruang Euclide, tetapi secara local hukum

geometri Euclid perkiraan baik. Dalam segitiga kecil di muka bumi, jumlah

sudut-sudutnya sangat hapir 1800. Permukaan bola dapat diwakili oleh

koleksi peta dua dimensi. Oleh karena itu merupakan dua dimensi manifold.

Geometri bola adalahgeometri dua dimensi permukaan sebuah bola. Ini

adalah contoh geometri non-Euclid. Dua aplikasi praktis prinsip-prinsip

geometri yang berbentuk bola untuk navigasi dan astronom.

51

Menghadap arah kiblat adalah kewajiban bagi kaum muslimin

(Umat islam) dalam melaksanakan ibadah kepada Allah SWT, baik ibadah

fardu maupun ibadah sunnah.

Kiblat pertama Umat islam adalah masjid Al-Aqhsa di Palestina,

yang kemudian setelah Rasulullah hijrah ke Madinah atas perintah Allah

SWT kiblat berpindah ke Masjidil Haram di kota Mekkah Arab Saudi, yang

berlokasi di 3905’ Bujur Timur dan 21025 ‘ Lintang Utara , atau terletak di

3905 di timur Greenwich dan garis lintang 21025 di utara khatulistiwa.

Mengingat bumi kita berbentuk bola dan umat Islam tersebar

diseluruh penjuru Bumi maka untuk menghasilkan nilai ibadah yang

maksimal dihadapan Allah SWT dengan sebenar-benarnya menghadapkan

wajah kearah kiblat diperlukan ilmu alat ukur yang sesuai dengan kebutuhan

yaitu segitiga bola.

Segitiga bola berbeda dengan segitiga liniear atau segitiga biasa

yang kita kenal, segitiga bola memilki tiga sudut dalam satuan derajat busur

dan tiga sisi berbentuk garis yang berdimensi panjang.

Perhitungan arah kiblat dilakukan untuk kota-kota diseluruh dunia

yaitu di sebelah barat kota Mekkah. Di sebelah timur kota Mekkah dan

sebagainya.