IRISAN KERUCUT PADA GEOMETRI NON-EUCLID TAXICAB...

i

IRISAN KERUCUT PADA GEOMETRI NON-EUCLID

TAXICAB

SKRIPSI

Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

Disusun Oleh :

Riris Ayu Panuntun Hati Bekti Putri

121414099

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2019

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii


iii


iv

iv

HALAMAN PERSEMBAHAN

Mazmur 37:5

“Serahakan hidupmu kepada TUHAN dan percayalah padaNYA, dan Ia akan

bertindak”

Yesaya 41:10

“janganlah takut, sebab Aku meneyertai engkau, janganlah bimbang sebab aku ini

Allahmu; Aku akan menegukan, bahkan akan menolong engkau; Aku akan

memegang engkau dengan tangan kanan-Ku yang membawa kemenangan”

Skripsi ini saya persembahkan untuk:

Tuhan Yesus Kristus

Yang menjadi sumber kekuatan dan harapan saya, sehingga saya bisa

menyelesaikan skripsi ini

Keluarga

Mama, Papa, Mas Adhit, Dennys, Mbak Akhda terimakasih untuk setiap

dukungan, doa, dan semangat yang diberikan.

Kak Dodo

Terimakasih karena telah menjadi penolong dan selalu ada di setiap proses

Youth Leader “Youth Impact Jogja”

Terimakasih karena sudah mengajarkan untuk selalu Fight Till The End

GREWDADY

Grace, Edith, Winda, Dedy, Anton, Dennis, Yovita terimakasih untuk setiap

momen dalam menyelesaikan skripsi ini

Komsel JOY

Terimakasih karna selalu mendukung saya dan mendoakan saya


v

v


vi

vi


vii

vii

ABSTRAK

Riris Ayu Panuntun Hati Bekti Putri, 121414099. 2016. “Irisan

Kerucut Dalam Geometri Non-Euclid Taxicab”. Skripsi. Program Studi

Pendidikan Matematika. Jurusan Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma

Yogyakarta.

Geometri Taxicab termasuk dalam geometri Non-Euclids karena memiliki

definisi jarak yang berbeda dengan definisi jarak pada Geometri Euclids.

Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui: (1) apakah irisan kerucut pada

Geometri Taxicab; dan (2) bagaimana memperkenalkan konsep-konsep irisan

kerucut pada Geometri Taxicab tersebut kepada siswa sekolah menengah atas.

Penelitian ini merupakan penelitian studi pustaka (literature research)

dengan menggunakan buku acuan utama Taxicab Geometry oleh Eugene F.

Krause (1975). Penelitian ini menemukan bahwa

1. Persamaan lingkaran yang berpusat di dan berjari-jari adalah

| | | | . Keliling lingkaran tersebut adalah dan

luasnya adalah .

2. Elips yang memiliki titik-titik focus dan memiliki

persamaan | | | | | | | | dengan

.

3. Hiperbola yang memiliki titik-titik fokus dan memilki

persamaan || | | | | | | || , dengan

.

4. Parabola dengan titik fokus dan garis direktriks memiliki

persamaan | | | | | |. Parabola dengan titik fokus

dan garis direktriks memiliki persamaan | | | | | |.

Penelitian ini membuat sebuah desain kegiatan di ruang kelas untuk

memperkenalkan Geometri Taxicab kepada siswa sekolah menengah atas dengan

pendekatan Problem Based Learning (PBL). Siswa sekolah menengah atas telah

mempelajari persamaan yang mengandung nilai mutlak. Pengetahuan ini cukup

untuk mengantar mereka kepada Geometri taxicab. Penelitian ini juga memberi

pengantar kepada guru dan siswa tentang perangkat lunak Geogebra

Kata-kata kunci: Geometri Taxicab, Irisan Kerucut, Problem Based

Learning (PBL)


viii

viii

ABSTRACT

Riris Ayu Panuntun Hati Bekti Putri, 121414099. 2019. Conic Section in

Non-Euclid Geometry Taxicab. Undergraduate Thesis. Department of

Mathematics Education, Faculty of Teacher Training and Education Science,

Sanata Dharma University, Yogyakarta, Indonesia.

Taxicab Geometry is a Non-Euclid Geometry since the definition of

distance in Taxicab Geometry is different from the definition uses in Euclid

Geometry. The aim of the research are 1) to know the conic sections in the

Taxicab Geometry, and 2) how to introduce these concepts to high school

students.

The research is a literature research based on a book written by Eugene

F. Krause with the title “Taxicab Geometry.” The result of the research are the

following:

1. The equation of a circle centered at with radius is | |

| | . The circumference of the circle is and its area is

.

2. The equation of an ellipse which has focus points dan is

| | | | | | | | , with .

3. The equation of an hyperbola which has focus points dan

is || | | | | | | || , with .

4. The equation of a parabola which has focus point and directrix

is | | | | | |, while the equation of a parabola which has

focus point and directrix is | | | | | |.

The research also design class activities to introduce Taxicab Geometry to

the high school students based on Problem Based Learning (PBL). The student

has studied an equality and inequality involving absolute value. These knowledge

are adequate as a preliminaries to study Geometri Taxicab. The research also

introduces to teachers and students a dynamic software Geogebra.

Keywords: Taxicab Geometry, Conic Section, Problem Based Learning

(PBL)


ix

ix

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas

berkat dan kasih karuniaNya sehingga penulis bisa menyelesaikan skripsi dengan

judul “Irisan Kerucut pada Geometri Non-Euclid Taxicab”. Penyusunan skripsi

ini bertujuan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana

Pendidikan pada Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan

Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Pada kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada semua

pihak yang sudah mendukung dan membantu dalam menyelesaikan skripsi ini.

Ucapan terimakasih penulis ucapkan kepada:

1. Bapak Dr. Yohanes Harsoyo, S.Pd, M.Si, selaku Dekan Fakultas

Keguruan dan Ilmu Pendidikan

2. Bapak Beni Utomo, M.Sc, selaku Ketua Program Studi Pendidikan

Matematika

3. Bapak Dr. Hongki Julie, M.Sc, selaku dosen pembimbing dan dosen

pembimbing akademik penulis yang telah membantu hingga selesainya

skripsi ini

4. Romo Eko Budi Santoso, SJ, M.Si, selaku dosen pembimbing yang telah

dengan sabar membimbing dan membantu saya menyeleaikan skripsi

ini.


x

x


xi

xi

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ............................................................................................ i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................... ii

HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................. iii

HALAMAN PERSEMBAHAN .......................................................................... iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ............................................................... v

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH

UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ............................................................ vi

ABSTRAK ........................................................................................................ vii

ABSTRACT ..................................................................................................... viii

KATA PENGANTAR ........................................................................................ ix

DAFTAR ISI .................................................................................................... xiii

DAFTAR TABEL ............................................................................................ xiv

DAFTAR GAMBAR ........................................................................................ xiv

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang .......................................................................................... 1

B. Rumusan Masalah ..................................................................................... 5

C. Batasan Masalah ....................................................................................... 5

D. Tujuan Penulisan ....................................................................................... 5

E. Metode Penulisan ...................................................................................... 5

F. Manfaat Peneltian ..................................................................................... 6

G. Sistematika Penulisan ................................................................................ 6

BAB II KAJIAN PUSTAKA

A. GEOMETRI EUCLID .................................................................................. 8

1. Postulat Geometri Euclid ........................................................................... 9

2. Konsep Jarak dalam Geometri Euclid ...................................................... 14

3. Bangun-bangun Geometris dalam Geometri Euclid ................................. 16

B. GEOMETRI NON-EUCLID ...................................................................... 33


xii

xii

1. Geometri Hiperbolik ............................................................................... 35

2. Geometri Eliptik...................................................................................... 35

BAB III TAXICAB

A. LATAR BELAKANG TAXICAB .............................................................. 38

B. DEFINISI GEOMETRI TAXICAB ............................................................ 39

C. KELILING dan LUAS BANGUN-BANGUN GEOMETRIS ..................... 46

BAB IV MEMPERKENALKAN GEOMETRI TAXICAB kepada SISWA

KELAS X

A. GEOGEBRA ............................................................................................ 117

B. MATERI NILAI MUTLAK KELAS X dalam KURIKULUM 2013 dan

AKTIVITAS untuk PENGAYAAN ................................................................. 122

C. PBL untuk MEMPERKENALKAN GEOMETRI TAXICAB ................... 130

BAB V KESIMPULAN

A. KESIMPULAN ........................................................................................ 145

B. SARAN .................................................................................................... 150

DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 153


xiii

xiii

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1. Empat jenis elips dan persamaannya……………………………… ...21

Tabel 2.2. Empat jenis hiperbola dan persamaannya………………………….... 26

Tabel 2.3. Empat jenis parabola dengan puncak di dan persamaannya….29

Tabel 2.4. Empat jenis parabola dengan puncak di dan persamaannya ...31

Tabel 4.1. Soal latihan siswa……………………………………………………. 23

Tabel 4.2. perbanbandingan lingkaran Geometri Euclid dengan Geometri

Taxicab …………………………………………………………….. 139

Tabel 4.3. Perbanbandingan ellips Geometri Euclid dengan Geometri

Taxicab………………………………………………………………140

Tabel 4.4. Perbanbandingan hiperbola Geometri Euclid dengan Geometri

Taxicab …………………………………………………………….. 142

Tabel 4.5. Perbanbandingan parabola Geometri Euclid dengan Geometri

Taxicab …………………………………………………………….. 143

Tabel 5.1 Lingkaran, elips, hiperbola, dan parabola dalam Geometri

dan Geometri Taxicab……………………………………………….146


Euclid dan Geometri Taxicab………………………………………. 149


xiv

xiv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Hermann Minskowky ……………………………………………… 3

Gambar 2.1 Ilutrasi Postulat 1 ……………..……………………….…………. 10

Gambar 2.2 Ilustrasi Postulat 2 ………………………………………………… 11




Gambar 2.6 Konsekuensi Postulat 5 …………………………………………… 14

Gambar 2.7 Ilustrasi jarak titik dan dalam ruang berdimensi dua

dalam Geometri Euclid ……………………………………………. 15

Gambar 2.8. Ilustrasi jarak titik dan dalam ruang berdimensi tiga ………... 16

Gambar 2.9. Ilustrasi Lingkaran ……………………………………………….. 17

Gambar 2.10. Ilustrasi Lingkaran yang berpusat di titik ………………. 18

Gambar 2.11. Ilustrasi Elips dengan pusat di ………………………….. 19

Gambar 2.12. Hiperbola dengan titik pusat , titik-titik fokus

dan ………………………………………… 24

Gambar 2.13. Ilustrasi Parabola dengan titik puncak di ……………….. 28

Gambar 2.14. Ilustrasi Geometri Hiperbolik ………………………………….. 35

Gambar 2.15. Ilustrasi Geometri Eliptik ………………………………………. 36

Gambar 2.16. Ilustrasi jarak untuk Contoh 2.2 ……………………………….. 37

Gambar 3.1. Jarak titik dan dalam Geometri Euclid ……………………… 40

Gambar 3.2. Ilustrasi konsep jarak dalam (a) Geometri Euclid,

dan (b) Geometri Taxicab ……………………………………….. 42

Gambar 3.3. Geometri taxicab untuk titik-titik tidak terletak pada

persilangan pola kotak-kotak …………………………………… 43

Gambar 3.4. Persegi panjang dan segitiga ………………………... 47

Gambar 3.5. Persegi ……………………………………………………. 49

Gambar 3.6. Lingkaran berjari-jari …………………………………….. 52


xv

xv

Gambar 3.7. Lingkaran berpusat di dan melalui titik ………….. 53

Gambar 3.8. Lingkaran berpusat di dan berjari-jari …………………. 54

Gambar 3.9. Lingkaran berpusat di …………………………………….. 57

Gambar 3.10. Lingkaran berpusat di berjari-jari …………………….. 58

Gambar 3.11. Elips dengan titik fokus dan ………………... 61

Gambar 3.12. Elips dengan titik fokus dan , dan

melalui titik …………………………………………….. 63



Gambar 3.15. Elips dengan titik fokus dan dengan

jumlah jarak ……………………………………………….... 69


melalui titik ) …………………………………………….. 71


jumlah jarak ………………………………………………... 72

Gambar 3.18. Elips dengan titik fokus dan ……………….. 75

Gambar 3.19. Elips dengan titik pusat dan memiliki

titik-titik fokus dan ……………....... 77

Gambar 3.20. Elips dengan titik fokus dan

dengan ……………………………………………… 79


dengan ……………………………………………….. 82


dengan ……………………………………………….... 83

Gambar 3.23. Elips yang berpusat di dengan salah satu

titik fokus ……………………………………………. 84


titik fokus …………………………………………… 85


xvi

xvi

Gambar 3.25. Ilustrasi Keliling dan Luas elips yang berpusat di

dengan salah satu titik fokus ………………………... 87

Gambar 3.26 Elips yang berpusat di titik dan salah satu

titik fokus dengan ………………………………. 89

Gambar 3.27. Elips dengan titik pusat dengan salah satu

titik fokus …………………………………... 90

Gambar 3.28 Hiperbola dengan pusat O(0,0), dan titik-titik

fokus dan …………………………………… 93

Gambar 3.29 Hiperbola dengan pusat O(0,0), dan titik-titik

fokus dan ………………………………….... 95

Gambar 3.30. Hiperbola dengan pusat O(0,0), dan titik-titik

fokus dan ……………………………… 97

Gambar 3.30. Hiperbola dengan pusat O(0,0), dan titik-titik

fokus dan ………………………………... 98

Gambar 3.31 Hiperbola dengan pusat , dan titik-titik

fokus dan ……………………………. 99


fokus dan …………………………… 101


fokus dan ………….…….. 102


fokus dan , dengan selisih jarak tetap 6 ….…… 103

Gambar 3.34 Ilustrasi Contoh 3.17 ………………………………….….……. 105

Gambar 3.35. Parabola yang memiliki titik fokus di

dengan garis direktriks ………………………………. 106


dengan garis direktriks ………………………………… 107


dengan garis direktriks ………………………………. 109


xvii

xvii

Gambar 3.38. Parabola yang memiliki titik fokus di dengan

garis direktriks ………………………………………… 110

Gambar 3.39 Ilustrasi untuk bukti Teorema 3.23 …………………………… 112

Gambar 3.39 Hiperbola dengan pusat dan garis

direktriks ………………………………………………... 113

Gambar 3.40 Ilustrasi bukti Teorema 3.24 …………………………………... 115

Gambar 3.41 Hiperbola dengan pusat dan garis direktriks ….. 116

Gambar 4.1 Tampilan Utama Geogebra ……………………………………… 118

Gambar 4.2 Kolom input dalam Geogebra …………………………………… 119

Gambar 4.3 Melukis garis dengan Geogebra ……………………... 120

Gambar 4.4 Melukis garis | | dengan Geogebra ……………………. 121

Gambar 4.5 Melukis bangun | | | | dengan Geogebra ……… 121

Gambar 4.6 Peta untuk Aktivitas 4.16 ……………………………………….. 133

Gambar 4.7 Salah satu jawaban untuk Aktivitas 4.16 ……………………….. 134

Gambar 4.8 Ilustrasi untuk Aktivitas 4.17 ……………………………………. 134

Gambar 4.9 Peta sebagian kota Manhattan, New York ……………………… 136

Gambar 4.10 Ilustrasi untuk Aktivitas 4.18 ………………………………….. 137

Gambar 4.11 Ilustrasi untuk Aktivitas 4.19 ……………..…………………… 137

Gambar 4. 12 Ilustrasi untuk Aktivitas 4.20 …………………………………. 138

Gambar 4.13 Ilustrasi untuk Aktivitas 4.21 ………………………………….. 140


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Konsep geometri dikenalkan kepada siswa sejak yang berada di tingkat

pendidikan dasar dan pendidikan menengah. Dalam Permendikbud Nomor 24

Tahun 2016, tentang Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar Pelajaran Pada

Kurikulum 2013 Pada Pendidikan Dasar dan Pendidikan Menengah, konsep

geometri analitik mulai diperkenalkan kepada para siswa kolas VIII, khususnya

dalam Kompetensi Dasar 3.1, yaitu kompetensi untuk menjelaskan kedudukan

titik dalam bidang koordinat Kartesius yang dihubungkan dengan masalah

kontekstual. Menurut Kurikulum 2013, siswa kelas XII akan mempelajari

geometri analitik ruang berdimensi tiga, misalnya jarak dua titik, jarak titik ke

garis, dan jarak titik ke bidang.

Geometri yang diperkenalkan pada siswa tingkat sekolah menengah adalah

Geometri Euclid. Geometri Euclid merupakan suatu sistem matematika yang

ditemukan oleh matematikawan Yunani yang bernama Euclid dari Alexandria

(kurang lebih tahun 300SM). Dalam buku yang ia tulis, yang berjudul The

Elements, terdapat lima postulat geometri yang dipakai. Kelima postulat itu adalah

1) sebuah segmen garis bisa digambar dengan menghubungkan dua sembarang

titik; 2) setiap segmen garis bisa diperpanjang tak terbatas dalam garis lurus; 3)

diberikan sebuah segmen garis, sebuah lingkaran bisa digambar dengan segmen

garis tersebut sebagai jari-jari dan salah satu ujung segmen garis sebagai pusat; 4)

semua sudut siku-siku itu kongruen; 5) jika terdapat dua garis yang memotong


2

2

garis ketiga sedemikian hingga jumlah sudut dalam pada salah satu sisinya kurang

dari dua sudut siku-siku, maka jika kedua garis tersebut diperpanjang pada sisi

tersebut, kedua garis tersebut pasti berpotongan. Postulat ini disebut juga postulat

sejajar (Greenberg, 1994:14 – 20). Salah satu konsekuensi postulat sejajar

tersebut adalah jika diberikan sebuah garis dan sebuah titik tidak terletak pada

garis tersebut, maka hanya ada satu garis yang melalui titik tersebut dan sejajar

dengan garis. Geometri yang didasarkan pada postulat Euclid inilah yang banyak

digunakan dalam dunia pendidikan dan ilmu pengetahuan.

Geometri Euclid bukanlah satu-satunya geometri yang dipelajari dan

dikembangkan oleh para matematikawan. Namun demikian, Geometri Euclid

lebih dikenal dibanding dengan geometri-geometri yang lain karena hanya

geometri tersebut yang diperkenalkan di sekolah dasar dan sekolah menengah.

Geometri lain yang bukan geometri Euclid biasa disebut dengan geometri non-

Euclid. Geometri ini disebut Geometri non-Euclid karena terdapat beberapa

postulat pada geometri Euclid yang tidak berlaku. Dua contoh geometri non-

Euclid yang terkenal adalah Geometri Elliptis dan Geometri Hiperbolis. Kedua

geometri tersebut memiliki postulat sejajar yang berbeda dengan geometri Euclid.

Dalam Geometri Elliptis, diberikan sebuah garis dan satu titik di luar garis, tidak

ada garis lain yang melalui titik dan sejajar dengan garis yang diberikan. Dalam

Geometri Hiperbolis, diberikan sebuah garis dan satu titik di luar garis, ada

banyak garis yang melalui titik tersebut dan sejajar dengan garis yang diberikan.

Masih ada geometri non-Euclid lain selain Geometri Elliptis dan

Hiperbolis, salah satunya Geometri Taxicab. Geometri taxicab dikenalkan oleh


3

seorang matematikawan bernama Hermann Minkowsky yang berasal dari Jerman

pada abad ke-19. Geometri Taxicab bermula dari kenyataan kota Manhattan yang

memiliki banyak gedung perkantoran dan jalanan yang mengitari gedung-gedung

tersebut terbentuk pola grid (kotak-kotak). Geometri ini, pada awalnya dikenal

dengan Minkowsky geometrie atau City-Block Manhattan. Jika seseorang berjalan

dari titik A ke titik B di kota tersebut, konsep jarak yang berlaku pada Geometri

Euclid tidak sama dengan jarak yang dilalui oleh orang tersebut berjalan dari titik

A ke titik B. Minkowsky memperkenalkan konsep jarak secara baru dan berbeda

dengan konsep jarak pada Geometri Euclid, karena dalam konsep ini, Minkowsky

memperhatikan struktur jalan kota Manhattan yang membentuk kotak-kotak.

Gambar 1.1 Hermann Minskowky

(Diunduh dari https://study.com/academy/lesson/taxicab-geometry-history-

formula.html)

Dalam perkembangannya, geometri taxicab memiliki aplikasi yang

berguna dalam hidup sehari-hari. Misalnya, menentukan jarak kota Bandung


4

dengan Semarang, jika menggunakan Geometri Euclid, maka perhitungannya

akan kurang tepat. Perhitungan akan lebih tepat jika perhitungan tersebut

mengikuti jalan yang menghubungkan kota Bandung dan Semarang. Geometri

Taxicab dipakai dalam teknologi GPS, seperti google maps, waze, maupun

aplikasi maps yang lainnya.

Setelah mengetahui latar belakang dikembangkannya Geometri Taxicab

dan kegunaannya, mungkin baik jika sistem matematika ini diperkenalkan kepada

siswa sekolah menengah atas. Geometri Taxicab dapat dipakai sebagai materi

pengayaan atau pengetahuan tambahan yang menyertai Geometri Euclid.

Geometri Taxicab juga dekat dengan realitas hidup sehari-hari para siswa. Sangat

sering siswa menggunakan konsep Geometri Taxicab, misalnya untuk menghitung

jarak tempuh dua tempat. Melalui Geometri Taxicab, kepada mereka juga

diperkenalkan sistem matematika di belakang teknologi aplikasi maps: google

map, Waze, GoJek, atau Grab.

Salah satu Kompetensi Dasar mata pelajaran Matematika di kelas X dalam

kurikulum 2013 adalah menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan nilai

mutlak (Permendikbud, th 2016, No. 24). Oleh karena itu, siswa kelas X sudah

mempelajari konsep nilai mutlak dalam matematika. Dengan demikian, siswa

kelas X akan mampu memahami konsep-konsep yang didiskusikan dalam

Geometri Taxicab. Untuk mempelajari Geometri Taxicab, para siswa cukup

mengenal beberapa konsep dasar dalam geometri Euclid dan persamaan nilai

mutlak.


5

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, maka disusun rumusan masalah sebagai

berikut:

1. Bagaimanakah irisan kerucut pada Geometri Taxicab?

2. Bagaimana memperkenalkan konsep-konsep irisan kerucut pada Geometri

Taxicab tersebut kepada siswa sekolah menengah atas?

C. Batasan Masalah

Dalam penelitian ini akan dibahas konsep-konsep dasar Geometri Taxicab

yang berkaitan dengan irisan kerucut: lingkaran, elips, hiperbola, dan

parabola. Penelitian ini juga merancang kegiatan pembelajaran untuk

mengenalkan Geometri Taxicab kepada siswa sekolah menengah atas.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan yang ingin peneliti capai melalui penelitian ini adalah:

1. untuk mempelajari irisan-irisan kerucut pada Geometri Taxicab, dan

2. memperkenalkan konsep Geometri Taxicab, secara khusus, irisan-irisan

kerucut kepada siswa sekolah menengah atas, sebagai materi pengayaan.

E. Metode Penulisan

Penelitian ini merupakan penelitian pustaka (literature research) yang

mengacu pada buku Taxicab Geometry oleh Eugene F. Krause (1975). Selain

berdasarkan buku tersebut, penulis juga melakukan studi pustaka pada


6

berbagai artikel yang berkaitan dengan Geometri Taxicab. Secara garis besar

langkah-langkah penelitian adalah sebagai berikut:

1. Mengumpulkan pustaka yang berhubungan dengan Geometri Taxicab.

2. Mempelajari konsep Geometri Taxicab.

3. Mempelajari bangun-bangun geometris yang merupakan irisan kerucut

pada Geometri Taxicab, yaitu lingkaran, elips, hiperbola, dan parabola.

4. Merancang aktivitas pembelajaran untuk memperkenalkan Geometri

Taxicab kepada siswa sekolah menengah atas, khususnya materi lingkaran,

elips, hiperbola, dan parabola.

F. Manfaat Penelitian

Manfaat penelitian ini adalah:

1. Menambah wawasan mengenai konsep-konsep geometri yang berkaitan

dengan Geometri Taxicab, khususnya untuk bangun-bangun geometris

lingkaran, elips, hiperbola, dan parabola.

2. Memberikan usulan kegiatan untuk memperkenalkan Geometri Taxicab

kepada siswa sekolah menengah atas, secara khusus untuk bangun-bangun

geometris lingkaran, elips, hiperbola, dan parabola.

G. Sistematika Penulisan

Skripsi ini terdiri atas lima Bab. Bab I merupakan bab pendahuluan. Pada Bab

ini dibahas latar belakang, rumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan

penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian, dan sistematika penulisan.


7

Bab II merupakan kajian pustaka. Pada bab kedua dibahas Geometri Euclid

dan Geometri non-Euclid. Secara khusus bab II mendiskusikan kelima

postulat Euclid. Pembahasan mendalam tentang Geometri Taxicab, khususnya

tentang lingkaran, elips, hiperbola dan parabola disajikan pada Bab III. Bab IV

membahas usulan kegiatan untuk memperkenalkan Geometri Taxicab kepada

siswa sekolah menengah atas sebagai materi pengayaan. Bab V merupakan

bab penutup yang menyajikan secara ringkas hasil penelitian dan saran-saran

untuk para guru serta penelitian selanjutnya.


8

8

BAB II

KAJIAN PUSTAKA

Pada Bab II ini akan dibahas konsep-konsep yang penting untuk diketahui

dan menjadi dasar pembahasan dalam skripsi ini. Bab ini akan memberi pengantar

tentang Geometri Euclid dan Geometri Non-Euclid. Subbab A membahas

mengenai Geometri Euclid, yang di dalamnya terdapat postulat Geometri Euclid,

konsep jarak yang digunakan, bangun-bangun geometris pada Geometri Euclid

dan juga perkembangannya. Sedangkan pada subbab B, akan dibahas secara

singkat Geometri Non-Euclid.

A. Geometri Euclid

Dari asal katanya, “geometri” berasal dari bahasa Yunani

“geometrein” (Greenberg, 1994: 6). Kata “geo” berarti “bumi”, dan “metrein”

berarti pengukuran. Kata “geometri” diduga bermula dari kebutuhan

pengukuran tanah pada peradaban kuno yang ada di Mesir, Yunani, India,

Inca, Babilonia, atau China. Geometri telah digunakan oleh masyarakat pada

peradaban-peradaban tersebut, tidak hanya untuk pengukuran tanah, tetapi

juga untuk membangun monumen-monumen seperti Piramid (Mesir), Kuil-

kuil (Yunani, Inca, India), atau Tembok China. Pada subbab ini akan dibahas

geometri yang dikembangkan oleh para matematikawan zaman tersebut, yang

bahkan sampai saat ini masih dipelajari di sekolah. Geometri tersebut dikenal

dengan nama Geometri Euclid.


9

Geometri Euclid, meskipun menggunakan nama Euclid, dikembangkan

jauh sebelum zamannya. Geometri Euclid telah dikembangkan oleh

matematikawan sebelum dia. Tales (640 – 546 SM), telah membuktikan

bahwa diameter sebuah lingkaran membagi dua sama besar lingkaran tersebut.

Salah satu murid Tales yang terkenal adalah Pythagoras (572 SM). Pythagoras

menemukan banyak sifat dalam geometri dan mengembangkan teori tersebut.

Geometri ini terus berkembang hingga abad keempat sebelum masehi. Euclid

(325 – 265 SM) adalah seorang guru matematika di Aleksandria, Mesir, yang

mengumpulkan teori geometri tersebut. Kumpulan tersebut ia tulis dalam

sebuah risalah yang berjudul “The Elements”. Risalah tersebut ia tuliskan ke

dalam tiga belas bagian, yang disebut buku. Buku-buku inilah yang

mempengaruhi pembelajaran geometri hingga saat ini.

1. Postulat Geometri Euclid

Dalam Buku Pertama, Euclid memaparkan bahwa geometri bidang

didasarkan pada lima asumsi atau yang biasa disebut sebagai postulat.

Berikut adalah kelima postulat tersebut (Casey, 1890: 5 – 6; Greenberg,

1993:14 – 20).

a. Sebuah segmen garis bisa dilukis untuk menghubungkan

sembarang dua titik yang berbeda.

Postulat ini mengatakan, jika terdapat dua titik yang berbeda dan ,

maka kedua garis tersebut dapat dihubungkan dengan satu segmen


10

garis lurus. Postulat ini mengatakan tentang keberadaan (eksistensi)

sebuah segmen garis yang menghubungkan dua titik yang berbeda.

Gambar 2.1 Titik dan dihubungkan oleh segmen garis (postulat 1)

b. Setiap segmen garis dapat diperpanjang sampai tak hingga dan

membentuk sebuah garis lurus.

Jika terdapat sebuah segmen garis , maka kita dapat

memperpanjang segmen garis itu menjadi sebuah garis yang melalui

titik dan titik . Panjang garis tersebut adalah tidak terhingga

(Gambar 2.2). Postulat kedua ini menekankan keberadaan (eksistensi)

sebuah garis yang melalui dua titik yang berbeda.


11

Gambar 2.2 Ilustrasi Postulat 2

c. Diberikan sebuah segmen garis, sebuah lingkaran bisa digambar

dengan segmen garis tersebut sebagai jari-jari dan salah satu

ujung segmen garis sebagai titik pusat.

Jika terdapat segmen garis , maka kita dapat melukis lingkaran

yang melalui titik dan berpusat di titik , sehingga garis menjadi

jari-jari lingkaran tersebut (Gambar 2.3). Postulat ini tidak

membicarakan definisi lingkaran, melainkan menekankan keberadaan

(eksistensi) lingkaran.


12

Gambar 2.3 postulat 3

d. Semua sudut siku-siku adalah kongruen

Postulat ini mengatakan, apabila kita membuat garis yang tegak lurus,

maka sudut yang terbentuk akan selalu sama


Sebelum membahas postulat kelima yang dikenal dengan postulat

kesejajaran, terlebih dulu perlu dibahas definisi dua garis sejajar dan

hubungan antar sudut.


13

Definisi 2.1

Dua garis dan adalah paralel, ditulis || , jika kedua garis

tersebut tidak berpotongan, artinya tidak ada titik yang terletak pada

kedua garis tersebut.

Perlu dicatat bahwa definisi kesejajaran tersebut hanya berlaku jika

kedua garis tersebut terletak pada bidang yang sama. Selain itu,

definisi tersebut tidak mengatakan bahwa dua garis sejajar memiliki

jarak yang sama (equidistance).

e. Jika dua garis lurus, l dan m, dipotong oleh garis t (Gambar 2.5),

sedemikian hingga jumlah sudut dan sudut kurang dari dua

sudut siku-siku, maka jika kedua garis tersebut diperpanjang ke

arah yang sama dengan kedua sudut tersebut, maka keduanya

akan berpotongan di satu titik.


14


Meskipun postulat ini tidak menyebutkan satu kata pun tentang

kesejajaran, para matematikawan sering memberi nama Postulat ini

dengan nama postulat kesejajaran (parallel postulate). Greenberg

(1994) menyebutkan konsekuensi Postulat kelima Euclid sebagai

berikut:

“Untuk setiap garis dan sebuah titik yang tidak terletak pada garis

tersebut, terdapat tepat satu garis yang melalui titik dan sejajar

dengan garis ” (Gambar 2.6).

Gambar 2.6 Konsekuensi Postulat 5

2. Konsep jarak dalam Geometri Euclid

Salah satu konsep penting dan mendasar dalam geometri adalah konsep

jarak. Konsep jarak merupakan dasar dalam pengembangan konsep-

konsep geometris selanjutnya. Misalnya, konsep jarak dipakai untuk

mendefinisikan bangun-bangun geometris seperti lingkaran, elips, dan

hiperbola. Dalam Geometri Euclid, jarak dua titik adalah panjang ruas


15

garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Dalam ruang berdimensi

dua, jika diketahui dan , maka jarak titik dan

adalah

| | = √

.

Gambar 2.7 Ilustrasi jarak titik dan dalam ruang berdimensi dua

dalam Geometri Euclid.

Dalam ruang berdimensi tiga, jika titik dan adalah titik-titik dalam

ruang berdimensi tiga dan diketahui dan , maka

jarak titik dan adalah

| |= √ .


16

Gambar 2.8. Ilustrasi jarak titik dan dalam ruang berdimensi tiga

3. Bangun-bangun geometris dalam Geometri Euclid

Benda-benda geometri dalam ruang berdimensi dua, seperti lingkaran,

elips, hiperbola, dan parabola didefinisikan dengan menggunakan konsep

jarak. Merujuk pada buku yang ditulis oleh Riddle (1996), berikut

penjelasan singkat mengenai bangun-bangun tersebut.

a. Lingkaran

Dalam Geometri Euclid, lingkaran merupakan kedudukan atau

himpunan semua titik yang berjarak sama terhadap suatu titik yang

tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan pusat lingkaran, sedangkan

jarak yang tetap tersebut dinamakan jari-jari lingkaran.


17

Misalkan terdapat titik yang terletak pada lingkaran dengan

pusat lingkaran seperti Gambar 2.9 berikut maka jari-jari

lingkaran tersebut adalah .

Gambar 2.9. Ilustrasi Lingkaran

Dengan menggunakan konsep jarak dua titik dari titik ke titik

, maka diperoleh persamaan berikut:

| | √

√

√

Jadi persamaan lingkaran dengan pusat adalah .

Dengan cara yang sama, kita bisa menentukan persamaan lingkaran


18

yang berjari-jari dan berpusat di titik , seperti yang

diperlihatkan dalam Gambar 2.10. Persamaan lingkaran tersebut adalah

.

Gambar 2.10. Ilustrasi Lingkaran yang berpusat di titik .

Dalam Geometri Euclid, keliling dan luas lingkaran yang memiliki jari-

jari , berturut-turut, adalah

dan .

b. Elips

Dalam matematika, elips merupakan sebuah bangun yang menyerupai

lingkaran yang telah diperpanjang ke satu arah. Elips didefinisikan

sebagai himpunan semua titik (misalkan titik ), dimana jumlah

jarak setiap titik terhadap dua titik tertentu yang bukan anggota


19

himpunan tersebut adalah tetap. Titik tertentu itu disebut titik-titik

fokus atau titik-titik api dan . Himpunan semua titik P

membentuk kurva ellips dan persamaannya kita sebut persamaan elips.

Misalkan titik fokus sebuah elips adalah dan

dengan jarak | | (Gambar 2.11). Terdapat empat titik puncak

yaitu dan . Titik pusat ellips

tersebut adalah . Kita ambil sebarang himpunan titik

pada kurva ellips. Jumlah jarak titik ke dengan jarak titik

ke adalah tetap yaitu sebesar , dengan . Secara matematis

kita tuliskan | | | | .

Gambar 2.11. Ilustrasi Elips dengan pusat di .

Dengan mengacu pada ilustrasi dalam Gambar 2.11, kita bisa mencari

persamaan elips dengan menggunakan konsep jarak pada Geometri


20

Euclid. Sebelumnya, perhatikan segitiga . Karena titik berada

pada elips, maka | | | | Dengan demikian, | | .

Segitiga adalah segitiga siku-siku. Dengan demikian, dengan

menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh persamaan

, atau . Selanjutnya, perhitungan untuk menentukan

persamaan elips adalah sebagai berikut.

| | | |

√ √

√ √

( √ )

(√ )

√

√

√

( √ )


21

Jadi persamaan elips yang berpusat di titik seperti

diilustrasikan pada Gambar 2.11 adalah

. Dengan cara

yang sama, kita dapat menurunkan persamaan elips jenis lain seperti

dalam Tabel 2.1 berikut.

Tabel 2.1. Empat jenis elips dan persamaannya

1.

2.


22

3.

4.

Diberikan sebuah elips dengan persamaan

maka luas elips

tersebut adalah

.

Tidak seperti lingkaran, keliling sebuah elips tidak dapat dinyatakan

dengan sebuah rumus yang sederhana. Rumus-rumus yang ditemukan


23

oleh Matematikawan masih berupa pendekatan. Website

https://www.mathsisfun.com/geometry/ellipse-perimeter.html

menyajikan beberapa pendekatan untuk keliling elips. Diberikan elips

dengan persamaan

Ramanujan (seorang matematikawan

dari India) menemukan rumus pendekatan sebagai berikut:

√ .

Para ahli juga menemukan pendekatan-pendekatan yang lebih baik

tetapi rumus yang ditemukan menjadi lebih rumit. Chandrupatla dan

Osler (2010) menyajikan keliling sebuah elips dengan menggunakan

bantuan kalkulus seperti berikut:

∫ √

dengan .

c. Hiperbola

Hiperbola dapat didefinisikan sebagai himpunan semua titik (misalkan

titik ) dimana selisih jarak setiap titik dengan dua titik tertentu

yang bukan anggota himpunan tersebut adalah tetap. Dua titik tertentu

itu disebut titik fokus atau titik api ( dan ) hiperbola, dan himpunan

semua titik membentuk kurva hiperbola.

Sebagai ilustrasi, perhatikan Gambar 2.12. Misalkan titik fokus sebuah

hiperbola adalah dan dengan jarak | | .

Terdapat dua titik puncak yaitu dan serta titik pusat


24

hiperbola adalah Terdapat juga sumbu nyata yaitu garis yang

melalui kedua titik fokus dan sumbu imajiner yaitu garis yang tegak

lurus dengan sumbu nyata yang melalui titik pusat hiperbola. Pada

sumbu imajiner terdapat dua titik yaitu dan . Kita

ambil sembarang himpunan titik pada kurva hiperbola. Selisih

jarak titik ke dan titik ke adalah tetap yaitu sebesar

dengan , artinya dapat kita tuliskan persamaan berikut.

| | | |

Gambar 2.12. Hiperbola dengan titik pusat , titik-titik fokus

dan .


25

Perhatikan segitiga adalah segitiga siku-siku, dengan

menggunakan Teorema Pythagoras, berlaku persamaan .

Perhitungan untuk menemukan rumus persamaan hiperbola dengan

menggunakan konsep jarak dua titik adalah sebagai berikut.

| | | |

√ √

√ √

( √ )

(√ )

√

√

√

( √ )


26

Dengan cara yang sama diperoleh persamaan hiperbola untuk keempat

tipe seperti diperlihatkan dalam Tabel 2.2.

Tabel 2.2 Empat jenis hiperbola dan persamaannya

1.

2.


27

3.

4.

d. Parabola

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik (misalkan )

sedemikian sehingga jarak titik dengan titik fokus (titik ) sama

dengan jarak titik ke garis tertentu yang disebut dengan garis

direktris. Perhatikan ilustrasi pada Gambar 2.12. Diberikan sebuah


28

hiperbola dengan titik fokus dan garis dengan persamaan

sebagai garis direktris. Misalkan adalah sebarang titik

yang terletak pada parabola tersebut.

Gambar 2.12. Ilustrasi Parabola dengan titik puncak di

.

Untuk menemukan persamaan parabola, dipergunakan konsep jarak

dua titik dan jarak titik ke garis. Jarak titik ke garis dinyatakan

dengan jarak titik ke titik . Sesuai dengan pengertian

parabola, jarak titik ke titik fokus | | sama dengan jarak titik

ke titik | |

| | | |


29

√ √( )

√ √

Dengan menggunakan cara yang sama, Tabel 2.3 menampilkan parabola-

parabola jenis lain yang memiliki puncak pada titik .

Tabel 2.3. Empat jenis parabola dengan puncak di dan

persamaannya

1.

Fokus ,

Direktris


30

2.

Fokus

Direktris

3.

Fokus

Direktris


31

4.

Fokus

Direktris

Tabel 2.4 menampilkan empat jenis parabola yang memiliki puncak titik

.

Tabel 2.4. Empat jenis parabola dengan puncak di dan

persamaannya

1.

Fokus ,

Direktris


32

2.

Fokus

Direktris

3.

Fokus

Direktris


33

4.

Fokus

Direktris

Geometri Euclid telah memberikan sumbangan yang sangat besar bagi

perkembangan ilmu pengetahuan hingga saat ini. Geometri ini masih

dipelajari dan dipergunakan hingga sekarang. Khusus berkaitan dengan

konsep jarak, banyak aplikasi dalam hidup sehari-hari yang menggunakan

konsep jarak Geometri Euclid. Konsep jarak tersebut dipergunakan dalam

berbagai pengukuran, misalnya untuk pengukuran tinggi bangunan,

pengukuran luas suatu daerah, penentuan ketinggian sebuah pesawat, atau

pun pada pengukuran kedalaman air.

B. Geometri Non-Euclid

Geometri Euclid bukanlah satu-satunya geometri yang dipelajari dan

dikembangkan oleh para matematikawan. Para ahli juga mengembangkan


34

geometri lain yang termasuk dalam golongan Geometri Non-Euclid. Pada

bagian ini akan dibahas secara singkat tiga jenis geometri Non-Euclid, yaitu

Geometri Eliptis, Geometri Hiperbolis, dan Geometri Taxicab. Dua jenis

geometri yang pertama berbeda dengan geometri Euclid karena postulat

kelima, yaitu postulat kesejajaran, tidak lagi berlaku. Geometri Taxicab

berbeda dengan Geometri Euclid karena konsep jarak yang dipergunakannya.

Geometri Hiperbolik mulai dipelajari pada akhir abad ke-18. Beberapa

matematikawan yang melakukan penelitian dalam bidang tersebut antara lain

Karl Friedrich Gauss, J. Bolyai, dan Nicolai Ivanovitch Lobachevsky. Para

matematikawan tersebut berpendapat bahwa postulat kelima Euclid tersebut

bukanlah sebuah postulat melainkan sebuah teorema/dalil sehingga perlu

dibuktikan, namun hingga saat ini belum ada yang mampu membuktikannya.

Untuk menghargai jasa mereka, maka Geometri Hiperbolik disebut juga

dengan nama Geometri Lobachevsky. Selain tiga tokoh tersebut terdapat juga

matematikawan lain yang mempelajari geometri non-Euclid yang lain, yaitu

Geometri Eliptik. Matematikawan yang dikenal mempelajari geometri tersebut

adalah Riemann.

Geometri Eliptik dan Geometri Hiperbolik menggunakan keempat

postulat dari Geometri Euclid. Yang membedakan kedua geometri tersebut

dengan Geometri Euclid adalah postulat kesejajaran. Untuk setiap garis dan

sebuah titik di luar garis tersebut, postulat kelima Geometri Euclid menjamin

adanya (eksistensi) tepat satu garis lain yang melalui titik tersebut dan sejajar


35

dengan garis yang diberikan. Geometri Eliptik dan Geometri Hiperbolik tidak

menggunakan postulat tersebut.

1. Geometri Hiperbolik

Yang membedakan geometri Euclid dengan geometri Hiperbolik adalah

postulat kesejajaran. Dalam Geometri Euclid, diberikan sebuah garis dan

titik di luar garis tersebut, terdapat tepat satu garis yang melalui titik

dan sejajar dengan garis . Dalam Geometri Hiperbolik, diberikan sebuah

garis dan titik di luar garis tersebut, terdapat lebih dari satu garis yang

melalui titik dan sejajar dengan garis (Wolfe, 1945: 66).

Gambar 2.13. Ilustrasi Geometri Hiperbolik

2. Geometri Eliptik

Jika dalam Geometri Hiperbolik terdapat lebih dari satu garis yang sejajar

dengan sebuah garis, postulat kesejajaran dalam Geometri Eliptik

mengatakan bahwa dua garis lurus selalu berpotongan (Wolfe, 1945: 174).


36

Dengan kata lain, diberikan sebuah garis dan titik di luar garis tersebut,

tidak ada garis yang melalui titik dan sejajar dengan garis . Salah satu

sifat yang terkenal dalam Geometri Eliptik adalah diberikan sebuah garis l,

maka semua garis yang tegak lurus dengan l akan berpotongan di satu

titik.

Gambar 2.13. Ilustrasi Geometri Eliptik

(http://www.daviddarling.info/encyclopedia/E/elliptical_geometry.html)

3. Geometri Taxicab

Jika postulat kesejajaran membedakan Geometri Hiperbolik dan Eliptik

dengan Geometri Euclid, yang membedakan Geometri Taxicab dengan

Geometri Euclid adalah konsep jarak yang dipakai. Telah dibahas di

depan, jika diberikan dua titik dan , maka jarak kedua


http://www.daviddarling.info/encyclopedia/E/elliptical_geometry.html

37

titik tersebut dalam Geometri Euclid, ditulis , adalah

√ . Dalam Geometri Taxicab jarak dari ke ,

ditulis , didefinisikan sebagai berikut.

| | | |

Diskusi lebih mendalam disajikan dalam Bab III. Pembahasan pada Bab II

ini, diskusi tentang Geometri Taxicab yang disinggung sekilas untuk

membandingkan dengan Geometri Euclid dan Geometri-geometri non-

Euclid lainnya.

Contoh 2.2

Perhatikan Gambar 2.14. Jarak titik ke dalam Geometri Euclid adalah

√ √ . Dalam Geometri Taxicab Jarak titik ke

adalah .

Gambar 2.14. Ilustrasi jarak untuk Contoh 2.2


38

BAB III

GEOMETRI TAXICAB

Bab ini membahas secara lebih mendalam tentang Geometri Taxicab.

Pembahasan dimulai dengan latar belakang kemunculan geometri tersebut. Pada

bagian selanjutnya, akan dibahas definisi formal Geometri Taxicab dan benda-

benda geometris irisan kerucut (lingkaran, elips, hiperbola, dan parabola) pada

Geometri Taxicab.

A. LATAR BELAKANG TAXICAB

Pada bab II telah dibahas secara khusus tentang Geometri Euclid

dengan kelima postulatnya. Pada awal abad ke-19, para matematikawan mulai

melakukan eksplorasi geometri lain selain Euclid, yang dikenal dengan

Geometri Non-Euclid. Hal ini tidak berarti bahwa Geometri Euclid tidak lagi

diperlukan. Geometri Euclid tetap berguna dalam Matematika dan juga

aplikasinya dalam hidup sehari-hari.

Para matematikawan menemukan beberapa kekurangan yang dimiliki

oleh Geometri Euclid, khususnya jika diaplikasikan dalam permasalahan

hidup sehari-hari. Misalnya, bagaimana mengukur jarak terpendek dua tempat,

misalnya titik dan titik , dalam sebuah kota? Geometri Euclid

mengandaikan adanya ruas garis yang menghubungkan kedua titik tersebut,

sehingga jarak terpendek adalah panjang ruas garis tersebut. Dalam konteks

kota, ruas garis tersebut tidak selalu ada. Jarak titik dan titik harus


39

mengikuti jalan-jalan yang ada di kota tersebut. Inilah yang kemudian

memunculkan konsep Geometri Taxicab.

Para matematikawan menyetujui bahwa Geometri Taxicab

diperkenalkan oleh seorang matematikawan dan ahli fisika Hermann

Minkowski (Reinhard, 2005). Perlu dicatat bahwa Minkowski tidak

menggunakan istilah Geometri Taxicab untuk geometri non-Euclid yang

diperkenalkannya. Istilah Geometri Taxicab baru diperkenalkan dalam sebuah

pameran geometri di Museum Sains dan Industri di kota Chicago pada tahun

1952 (Golland, 1990). Pameran tersebut diprakarsai oleh seorang

matematikawan bernama Karl Menger. Geometri Taxicab bermula dari

kenyataan kota Manhattan yang memiliki banyak gedung perkantoran dan

jalanan yang mengitari gedung-gedung tersebut terbentuk pola grid (kotak-

kotak).

B. DEFINISI GEOMETRI TAXICAB

Telah dibahas bahwa Geometri Taxicab memiliki dasar pola kotak-

kotak. Dengan demikian, Geometri Taxicab memiliki konsep jarak yang

berbeda dengan konsep jarak dalam Geometri Euclid. Sebelum masuk pada

Geometri Taxicab, perlu diingat kembali definisi nilai mutlak seperti

dicantumkan dalam Definisi 3.1 berikut.


40

Definisi 3.1

Jika , maka nilai mutlak , ditulis | |, didefinisikan dengan

| | {

Gambar 3.1. Jarak titik dan dalam Geometri Euclid

Pada Gambar 3.1 diberikan titik dan titik . Jarak

antara titik ke menggunakan Geometri Euclid adalah

√

Dalam Geometri Taxicab jarak titik ke titik didefinisikan dalam Definisi

3.2 berikut.

Definisi 3.2

Diberikan dua titik dan titik dalam bidang Kartesius. Jarak

titik dan titik dalam Geometri Taxicab adalah


41

| | | |

Dalam persamaan pada Definisi 3.1, nilai | | merupakan nilai mutlak

selisih absis titik dan titik . Hal ini berarti | | merepresentasikan

jarak titik dan pada arah sumbu-x. Dengan argumen yang sama, | |

yang merupakan nilai mutlak selisih ordinat merepresentasikan jarak titik

dan pada arah sumbu-y. Dengan demikian, dalam Geometri Taxicab, jarak

antara dua titik dan adalah jumlah jarak titik dan pada arah sumbu

dan pada arah sumbu . Untuk memperjelas konsep ini, diberikan ilustrasi

seperti dalam Contoh 3.1.

Contoh 3.1

Diberikan titik dan titik dalam bidang Kartesius. Gambar

3.1 memperlihatkan ilustrasi konsep jarak baik dalam Geometri Euclid

maupun dalam geometri taxicab. Dalam Geometri Euclid, jarak titik dan

titik dinyatakan dengan panjang ruas garis , dan ruas garis itu hanya

tunggal. Dengan demikian, dalam Geometri Euclid, jarak titik dan titik ,

ditulis , adalah

√

√ √

Dalam geometri taxicab, jarak titik dan titik dapat diilustrasikan dengan

berbagai macam lintasan. Gambar 3.2 memberikan dua lintasan dari titik ke


42

titik dan keduanya memiliki jarak yang sama. Jarak titik dan titik

dalam Geometri Taxicab, ditulis , adalah

| | | |

(a) (b)

Gambar 3.2. Ilustrasi konsep jarak dalam (a) Geometri Euclid, dan (b)

Geometri Taxicab.

Konsep yang sama tetap berlaku untuk titik-titik yang tidak tepat terletak pada

persimpangan garis pola kotak-kotak. Hal itu diilustrasikan dalam Contoh 3.2

dan Gambar 3.3

Contoh 3.2

Diketahui titik

dan titik

. Dalam Geometri Taxicab,

jarak titik dan adalah |

| | | .


43

Gambar 3.3. Geometri taxicab untuk titik-titik tidak terletak pada

persilangan pola kotak-kotak.

Menarik untuk diselidiki bagaimana hubungan antara jarak dua titik pada

Geometri Euclid dan pada Geometri Taxicab. Sebelum menjawab pertanyaan

tersebut, akan dibahas Lemma 3.1 dan Lemma 3.2 berikut.

Lemma 3.1

Jika , maka | | √ .

Bukti.

Karena , maka bilangan-bilangan dan adalah

akar-akar pangkat dua dari . Jika , maka adalah akar pangkat dua

dari yang bernilai tidak negatif. Jika , maka adalah akar pangkat


44

dua dari yang bernilai tidak negatif. Karena √ adalah akar pangkat dua

dari yang bernilai tidak negatif, maka

√ , untuk

√ , untuk .

Jadi, dengan menggunakan Definisi 3.1, √ | |. ■

Lemma 3.2

Jika , maka √ √ √ .

Bukti.

Karena √ , dan menggunakan hasil 1, maka

√ √ √ √(√ √ ) |√ √ |

Karena √ dan √ , maka |√ √ | √ √ , sehingga diperoleh

pertidaksamaan

√ √ √ . ■

Teorema 3.1 berikut mendiskusikan hubungan antara jarak dua titik pada

Geometri Euclid dan Geometri Taxicab.


45

Teorema 3.1

Diberikan titik dan titik . Jika dan

menyatakan jarak kedua titik tersebut berturut-turut, dalam Geometri Euclid

dan Geometri Taxicab, maka berlaku hubungan .

Bukti.

Jarak titik A dan B dalam Geometri Euclid adalah,

√

dan dalam Geometri Taxicab adalah

| | | |

Dari Lemma 3.2,

√

√ √

Dari Lemma 3.1,

√ | | dan √ | |.

Dengan demikian, diperoleh

√ √ √

| | | |

.


46

Jadi . ■

C. KELILING DAN LUAS BANGUN-BANGUN GEOMETRIS

Sebelum membahas tentang bangun-bangun geometris bidang datar

dengan pendekatan Geometri Taxicab, akan dibahas terlebih dahulu konsep

keliling lingkaran dan luas. Konsep-konsep ini akan dipakai dalam

pembahasan selanjutnya. Perbedaan yang mendasar antara Geometri Euclid

dan Geometri Taxicab adalah konsep jarak. Perbedaan tersebut akan

mengakibatkan perbedaan pada konsep-konsep geometris yang lain,

khususnya yang memakai konsep jarak. Berikut akan dibahas konsep keliling

dan luas dalam Geometri Taxicab.

Seringkali, keliling dan luas suatu bangun geometris antara Geometri

Euclid dan Geometri Taxicab sama. Hal itu disebabkan karena jarak-jarak

yang terlibat dalam penghitungan tersebut juga tidak berbeda. Perhatikan

Contoh 3.3 dan Gambar 3.4 berikut.

Contoh 3.3

Diketahui sebuah persegi panjang seperti diperlihatkan dalam Gambar

3.4. Panjang sisi dan , berturut-turut, adalah dan satuan panjang.

Dalam Geometri Euclid, keliling persegi panjang adalah satuan

panjang. Hasil itu sama dengan keliling dalam Geometri Taxicab, karena

dalam Geometri Taxicab, panjang = satuan panjang dan panjang = 5

satuan panjang. Hal yang sama juga berlaku untuk luas persegi panjang


47

. Baik dalam Geometri Euclid maupun dalam Geometri Taxicab, luas

persegi panjang adalah satuan luas.

Gambar 3.4. Persegi panjang dan segitiga .

Contoh 3.4 berikut memberikan ilustrasi berkaitan dengan luas dan keliling

bangun segitiga dalam Geometri Taxicab.

Contoh 3.4

Diberikan sebuah segitiga seperti diperlihatkan dalam Gambar 3.4.

Panjang , yaitu panjang alas segitiga adalah satuan panjang. Tinggi

segitiga tersebut adalah satuan panjang. Dengan demikian, luas segitiga

tersebut, baik dalam Geometri Euclid maupun dalam Geometri Taxicab,

adalah


48

.

Perbedaan terjadi pada keliling segitiga tersebut. Dalam Geometri

Euclid, panjang sisi = √ , sedangkan panjang sisi √ Jadi

keliling segitiga dalam Geometri Euclid adalah

√ √ satuan panjang.

Hasil perhitungan tersebut berbeda dengan keliling segitiga menurut

Geometri Taxicab. Dalam Geometri Taxicab, panjang sisi dan

panjang sisi . Jadi keliling segitiga dalam Geometri Taxicab

adalah

satuan panjang.

Contoh 3.5

Diberikan bangun geometris persegi seperti diperlihatkan dalam Gambar 3.5.

Dalam Geometri Euclid, panjang sisi persegi adalah satuan panjang.

Dengan demikian persegi memiliki keliling satuan panjang

dan luas satuan luas. Dalam Geometri Taxicab, panjang sisi persegi

adalah satuan panjang. Dengan demikian keliling persegi tersebut

adalah satuan panjang dan luas persegi adalah

satuan luas.


49

Gambar 3.5. Persegi

D. BANGUN-BANGUN GEOMETRIS DALAM GEOMETRI TAXICAB

Setelah membahas konsep jarak dalam Geometri Taxicab dan

implikasinya untuk keliling dan jarak dalam benda-benda geometris

berdimensi dua, selanjutnya menarik untuk mempelajari bagaimana bangun-

bangun geometri, yang sudah biasa dikenal dalam Geometri Euclid, seperti

lingkaran, elips, hiperbola dan parabola. Menarik pula untuk mengetahui

bagaimana benda-benda geometris tersebut dilukiskan dengan menggunakan

konsep geometri taxicab. Bagian ini akan membahas bangun-bangun tersebut

dengan menggunakan konsep jarak seperti digunakan dalam Geometri

Taxicab.


50

1. Lingkaran

Dalam bab II telah dibahas konsep lingkaran dalam geometri

Euclid. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama

terhadap sebuah titik yang disebut titik pusat. Karena konsep jarak dalam

geometri taxicab berbeda dengan geometri Euclid, tentu menarik untuk

mempelajari bagaimana bentuk lingkaran dalam geometri taxicab. Sebagai

konsekuensi, persamaan lingkaran dalam geometri taxicab tentu berbeda

dengan persamaan lingkaran yang terdapat pada geometri Euclid. Sekedar

mengulang, persamaan lingkaran dalam geometri Euclid yang berpusat di

titik dan berjari-jari r adalah

Persamaan itu diturunkan dari konsep jarak yang dipakai dalam geometri

Euclid. Teorema berikut membahas persamaan lingkaran dalam Geometri

Taxicab.

Teorema 3.2

Dalam Geometri Taxicab, persamaan lingkaran yang berpusat di titik

dan berjari-jari adalah

| | | |.

Bukti.

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama

terhadap titik pusat Misalkan titik adalah sembarang titik yang


51

terletak pada lingkaran yang berpusat di dan berjari-jari . Dalam

Geometri Taxicab, jarak titik dan , adalah

| | | |

Karena menyatakan jari-jari lingkaran, maka .

Dengan demikian, diperoleh persamaan berikut:

| | | |.

Karena titik adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran,

maka persamaan yang terakhir tersebut merupakan tempat kedudukan

titik-titik yang berjarak dengan .

Jadi persamaan | | | | merupakan persamaan lingkaran

yang berjari-jari dan berpusat di titik . ∎

Contoh 3.6

Gambar 3.6 memperlihatkan lingkaran dengan pusat dan berjari-

jari , baik untuk geometri Euclid maupun Geometri Taxicab.

Lingkaran dalam geometri taxicab dilukiskan dengan warna merah. Titik-

titik yang diperlihatkan adalah beberapa titik-titik yang berjarak tiga

terhadap titik pusat .


52

Gambar 3.6. Lingkaran berjari-jari

Misalkan titik terletak pada lingkaran yang berpusat di

Persamaan lingkaran dengan pusat di dan melalui titik adalah sebagai

berikut.

| | | | | | | |

Contoh 3.7

Gambar 3.7 memperlihatkan sebuah lingkaran yang berpusat di

dan melalui titik Jadi persamaan lingkaran tersebut adalah

| | | | | | | |

| | | |


53

Gambar 3.7. Lingkaran berpusat di dan melalui titik

Dalam ilustrasi-ilustrasi yang diberikan pada Gambar 3.7, sisi miring

lingkaran memiliki kemiringan 1 atau -1. Apakah hal itu berlaku umum?

Hal ini akan dibahas dalam Lemma 3.3 dan Teorema 3.3 berikut.


54

Gambar 3.8. Lingkaran berpusat di dan berjari-jari

Lemma 3.3

Diberikan sebuah lingkaran dalam Geometri Taxicab yang berpusat di titik

dan berjari-jari . Maka titik-titik , ,

, dan adalah titik-titik segi empat .

Bukti.

Perhatikan Gambar 3.8. Karena jarak titik dan adalah , maka titik

terletak pada lingkaran. Hal serupa berlaku untuk titik-titik , , dan .

Semua titik tersebut berjarak dengan titik . Selanjutnya akan

diperlihatkan bahwa titik-titik tersebut merupakan titik-titik sudut.

Diberikan bilangan positif . Titik tidak terletak pada

lingkaran karena jarak titik ke titik lebih besar dari . Dengan

argumen yang sama, titik-titik , , dan


55

tidak terletak pada lingkaran. Jadi titik adalah

satu-satunya titik yang terletak pada lingkaran dengan ordinat . Titik

juga merupakan satu-satunya titik pada lingkaran dengan absis

. Selanjutnya, semua titik dengan absis juga tidak

terletak pada lingkaran, karena jarak titik-titik tersebut ke titik pasti

lebih besar dari .

Misalkan titik terletak pada lingkaran, maka hanya tepat

dua kemungkinan nilai untuk , yaitu dan . Hanya

titik-titik dan yang berjarak

dengan titik . Jadi titik adalah titik sudut.

Dengan argumen yang sama, titik-titik , , dan

adalah titik-titik sudut segi empat . ∎

Teorema 3.3

Dalam Geometri Taxicab, lingkaran merupakan sebuah persegi dengan

sisi-sisi miring lingkaran memiliki kemiringan 1 atau -1.

Bukti.

Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat dan jari-jari . Lemma

3.1 menyebutkan bahwa titik-titik , , ,

dan adalah titik-titik segi empat . Dengan demikian,


56

kemiringan ruas garis AB dan ruas garis CD adalah -1, sedangkan

kemiringan ruas garis AD dan BC adalah 1. Karena = =

= = , maka segi empat ABCD merupakan sebuah

persegi. ∎

Menarik untuk diselidiki keliling dan luas lingkaran dalam Geometri

Taxicab. Untuk ilustrasi, perhatikan lingkaran pada Contoh 3.8 dan

Gambar 3.9.

Contoh 3.8

Diberikan sebuah lingkaran dengan pusat lingkaran titik dan

berjari-jari seperti diperlihatkan dalam Gambar 3.9. Dalam Geometri

Taxicab, keliling lingkaran tersebut adalah:

Keliling =

Karena jarak dalam Geometri Taxicab,

= 10,

maka keliling lingkaran adalah 40 satuan panjang.


57

Gambar 3.9. Lingkaran berpusat di

Jika diberikan sebuah lingkaran yang berpusat di dan berjari-jari

dengan persamaan | | | | . Bagaimana mencari

keliling lingkaran tersebut?

Toerema 3.4

Diberikan lingkaran dengan pusat di titik dan berjari-jari

Keliling lingkaran tersebut dalam Geometri Taxicab adalah

.


58

Bukti:

Perhatikan Gambar 3.10. Teorema 3.3 telah memperlihatkan bahwa

lingkaran dengan titik pusat dan berjari-jari merupakan sebuah

persegi, dengan panjang sisi Jadi keliling lingkaran adalah

= . ∎

Gambar 3.10. Lingkaran berpusat di berjari-jari

Teorema 3.5

Diberikan lingkaran dengan pusat di titik dan berjari-jari Luas

lingkaran tersebut dalam Geometri Taxicab adalah


59

.

Bukti.

Perhatikan ilustrasi lingkaran yang berpusat di dan berjari-jari

pada Gambar 3.9. Untuk menentukan luas lingkaran tersebut, perhatikan

daerah segitiga yang diarsir. Luas lingkaran adalah empat kali luas segitiga

tersebut. Karena luas segitiga yang diarsir adalah

maka luas lingkaran

adalah

∎

2. Elips

Dalam Geometri Euclid, elips didefinisikan sebagai tempat

kedudukan titik-titik , dimana jumlah jarak setiap titik terhadap dua

titik tertentu, misalnya dan , yang bukan anggota himpunan tersebut

adalah tetap. Definisi yang sama dipakai juga dalam Geometri Taxicab.

Teorema 3.6

Persamaan elips dalam Geometri Taxicab yang memiliki titik-titik fokus

dan dengan jumlah jarak tetap adalah

| | | | | | .


60

Bukti.

Misal titik-titik dan adalah titik-titik fokus sebuah elips,

serta ditentukan jumlah jarak yang tetap adalah , seperti diilustrasikan

dalam Gambar 3.10. Jika P adalah titik pada elips, maka diperoleh

persamaan sebagai berikut.

| | | | | | | |

| | | | | | | |

| | | | | |

∎

Proposisi 3.1

Diberikan elips yang memiliki titik-titik fokus dan

serta ditentukan jumlah jarak yang tetap . Maka elips memotong

sumbu- di titik-titik dan .

Bukti:

Perhatikan titik seperti diperlihatkan pada Gambar 3.10. Maka


61

Jadi titik terletak pada elips. Bukti serupa berlaku untuk titik

∎

\

Gambar 3.11. Elips dengan titik fokus dan .

Perhatikan Gambar 3.10. Elips tersebut memiliki titik-titik dan

sebagai titik-titik fokus, serta ditentukan jumlah jarak yang tetap

. Elips berpusat di titik dan memiliki dua sumbu, yaitu ruas

garis yang disebut sumbu mayor (sumbu utama) dan ruas garis

yang disebut sumbu minor (sumbu sekawan). Titik dan

disebut titik-titik puncak elips.

Proposisi 3.2


serta ditentukan jumlah jarak yang tetap . Jika elips memotong sumbu-y

di titik-titik dan , maka .


62

Bukti:

Misalkan, elips memotong sumbu-y positif di . Karena terletak

pada elips maka

Tetapi karena , maka diperoleh persamaan berikut

Namun, karena , maka

. ∎

Proposisi 3.3


serta ditentukan jumlah jarak yang tetap . Maka titik

dan terletak pada elips tersebut.

Bukti.

Perhatikan titik-titik , , , dan pada

Gambar 3.10. Perlu diingat dari Proposisi 3.2, bahwa . Untuk

titik , berlaku persamaan

.


63

Jadi titik terletak pada elips.

Untuk titik , berlaku persamaan

Jadi titik terletak pada elips.

Perhitungan serupa berlaku untuk titik-titik dan . ∎

Contoh 3.9

Lukis elips yang memiliki titik-titik fokus dan , serta

melalui titik .

Pembahasan.

Dari informasi tersebut, dapat ditarik kesimpulan bahwa dan titik

terletak pada elips. Karena , maka . Hal itu

berarti elips tersebut memotong sumbu-y di titik dan

Selanjutnya, persamaan elips tersebut adalah

| | | | | |

Elips tersebut dilukiskan pada Gambar 3.12.


64


melalui titik .

Proposisi 3.4


serta ditentukan jumlah jarak yang tetap . Maka sisi-sisi miring elips

tersebut memiliki kemiringan atau

Bukti.

Perhatikan ilustrasi pada Gambar 3.13. Pertama-tama akan diperlihatkan

bahwa titik-titik dan

adalah titik-titik sudut.


65


Perhatikan titik , . Maka

dan

.

Jadi

+ .

Sebagai konsekuensi, titik tidak terletak pada elips.

Jadi titik adalah satu-satunya titik dalam elips yang memiliki

absis , dan titik merupakan satu-satunya titik yang memiliki

absis

Perhatikan titik , . Maka

dan

.

Jadi


66

+ .

Sebagai konsekuensi, titik , tidak terletak pada elips.

Dengan argumen-argumen tersebut, maka titik-titik

dan adalah

titik-titik sudut.

Perhatikan sisi miring yang menghubungkan titik dan titik

. Karena = , maka garis memiliki

kemiringan Dengan argumen yang sama, garis juga memiliki

kemiringan , dan garis-garis dan memiliki kemiringan . Jadi

sisi-sisi miring elips memiliki kemiringan atau - ∎

Seperti dalam pembahasan tentang lingkaran, menarik untuk ditinjau

keliling dan luas elips.

Teorema 3.7


serta ditentukan jumlah jarak yang tetap . Maka keliling elips adalah

dan luas elips adalah .

Bukti.

Perhatikan Gambar 3.14.


67


Panjang sisi . Panjang sisi

Jadi keliling elips adalah

Luas elips dapat dinyatakan dengan luas persegi panjang . Dengan

demikian, luas elips adalah

∎

Elips yang dibahas di atas adalah elips dengan titik-titik fokus berada pada

sumbu- dan pusat elips adalah titik asal . Bagaimana dengan elips

yang berpusat di titik pusat tetapi titik-titik fokusnya berada pada

sumbu- , misalkan dan .

Teorema 3.8


68

Persamaan elips dalam Geometri Taxicab yang memiliki pusat

dan dengan jumlah jarak tetap adalah

| | | | | | .

Bukti.

Diberikan titik-titik fokus dan dan ditentukan jumlah

jarak yang tetap adalah . Perhatikan ilustrasi pada Gambar 3.14 . Jika

P adalah titik pada elips, maka diperoleh persamaan sebagai berikut.

| | | | | | | |

| | | | | | | |

| | | | | |

∎

Proposisi 3.5


serta ditentukan jumlah jarak yang tetap . Maka elips memotong

sumbu-y di titik-titik

Bukti.

Dalam Gambar 3.14, perhatikan titik


69

Jadi titik terletak pada elips. Bukti serupa berlaku untuk titik .

∎


dengan jumlah jarak

Elips seperti diperlihatkan dalam Gambar 3.15 memiliki pusat

Ruas garis merupakan sumbu utama, dan ruas garis adalah

sumbu sekawan elips tersebut. Titik-titik puncak elips adalah

dan


70

Proposisi 3.6


serta ditentukan jumlah jarak yang tetap . Jika elips memotong

sumbu di titik-titik dan , maka .

Bukti:

Misalkan, elips memotong sumbu-y positif di . Karena titik E

terletak pada elips maka

Tetapi karena , maka diperoleh persamaan berikut

Namun, karena , maka

. ∎

Contoh 3.10


71

Lukis elips yang memiliki titik-titik fokus dan , serta

melalui titik .

Pembahasan.

Dari informasi tersebut, dapat ditarik kesimpulan bahwa dan

karena titik terletak pada elips. Karena , maka

Hal itu berarti elips tersebut memotong sumbu-y di titik dan

. Selanjutnya, persamaan elips tersebut adalah

| | | | | | .

Elips tersebut dilukiskan pada Gambar 3.16


72

Gambar 3.16. Elips dengan titik fokus dan , dan melalui titik .

Proposisi 3.7


serta ditentukan jumlah jarak yang tetap . Maka titik-titik

dan adalah titik-titik pada elips. Lebih

dari itu, titik-titik dan

merupakan titik-titik sudut pada elips.

Bukti.


73

Bagian pertama akan diperlihatkan bahwa titik-titik

dan terletak pada elips. Perhatikan Gambar 3.17.


jumlah jarak

Perhatikan titik .

Jadi titik terletak pada elips. Untuk titik-titik yang lain, bukti

dengan perhitungan serupa.


74

Akan diperlihatkan bahwa titik merupakan titik sudut. Perhatikan

titik , dengan . Karena dan

, maka

atau

Jadi, titik tidak pada elips. Konsekuensinya, titik adalah

titik sudut. Untuk titik-titik dan menggunakan

bukti serupa.

Akan diperlihatkan bahwa titik adalah titik sudut. Perhatikan titik

, dengan | | Karena dan ,

maka

atau


75

Jadi titik tidak pada elips. Konsekuensinya, titik adalah

titik sudut. Dengan cara yang sama, dapat diperlihatkan bahwa titik

juga merupakan titik sudut. ∎

Seperti pada kasus elips dengan sumbu utama pada sumbu , sisi-sisi

miring elips dengan sumbu utama sumbu juga memiliki kemiringan

atau Hal itu didiskusikan dalam Proposisi 3.8 berikut.

Proposisi 3.8


serta ditentukan jumlah jarak yang tetap . Maka sisi-sisi miring elips

tersebut memiliki kemiringan atau

Bukti.

Perhatikan sisi miring yang menghubungkan titik dan titik

. pada Gambar 3.16. Karena = , maka garis

AB memiliki kemiringan . Dengan argumen yang sama, garis juga

memiliki kemiringan , dan garis-garis dan memiliki kemiringan

. Jadi sisi-sisi miring elips memiliki kemiringan atau . ∎


76

Elips yang memiliki sumbu utama vertikal memiliki keliling dan luas yang

serupa dengan elips dengan sumbu utama horisontal. Secara rinci dibahas

dalam Teorema berikut.

Teorema 3.9


serta ditentukan jumlah jarak yang tetap . Maka keliling elips adalah

dan luas elips adalah .

Bukti.



77


Panjang sisi . Panjang


Luas elips dapat dinyatakan dengan luas persegi panjang . Dengan

demikian, luas elips adalah


78

∎

Telah dibahas dua jenis elips, yaitu elips yang memiliki sumbu utama

horisontal dan elips dengan sumbu utama vertikal. Namun keduanya

berpusat di titik pusat . Bagaimana dengan elips yang memiliki

sumbu-sumbu sejajar sumbu koordinat tetapi titik pusat tidak di ?

Hal itu akan didiskusikan dalam pembahasan berikut.

Teorema 3.10

Persamaan elips dalam Geometri Taxicab yang berpusat di titik

dan memiliki titik-titik fokus pusat dan dengan

jumlah jarak tetap adalah

| | | | | | .


79

Bukti.

Teorema ini akan dibuktikan dengan menggunakan konsep translasi

(Gambar 3.19).

Perlu diingat bahwa transformasi geometris translasi tidak mengubah

bangun geometris, hanya menggeser posisi.

Gambar 3.19. Elips dengan titik pusat dan memiliki titik-titik

fokus dan

Diketahui sebuah elips yang berpusat di titik dan memiliki titik-

titik fokus pusat dan dengan jumlah jarak tetap

. Dengan transformasi translasi terhadap vektor ( ), bayangan

titik adalah titik , dan titik-titik fokus

serta ditranslasikan ke dan

. Berdasarkan


80

Teorema 3.6, misalkan titik adalah titik pada elips yang berpusat di

titik dan memiliki fokus dan

, maka diperoleh

persamaan

| | | | | | .

Sekarang elips yang berpusat di titik ditranslasikan dengan vektor

translasi ( ). Jika titik-titik adalah titik-titik hasil translasi oleh

vektor translasi tersebut, maka diperoleh persamaan berikut

( ) (

)

atau ekuivalen dan . Jadi persamaan elips hasil

translasi adalah

| | | | | |

| | | | | |

| | | | | |

Jadi persamaan elips yang berpusat di titik dan memiliki titik-titik

fokus pusat dan dengan jumlah jarak tetap

adalah

| | | | | | ∎


81

Contoh 3.11

Tentukan persamaan elips dengan titik-titik fokus dan ,

dengan jarak tetap . Selanjutnya tentukan keliling dan luas elips

tersebut.


Pembahasan.

Gambar 3.20 memperlihatkan elips dengan titik-titik fokus dan

dengan Pusat elips tersebut adalah titik dan

. Jadi persamaan elips tersebut adalah

| | | | | |


82

| | | | | |

Dengan mengamati Gambar 3.20, keliling elips adalah 28 satuan panjang

dan luas elips adalah 32 satuan luas.

Perlu dicatat bahwa keliling dan luas elips dapat ditentukan dengan

menggunakan Teorema 3.7. Teorema tersebut juga berlaku untuk elips

dengan pusat tidak di titik , karena nilai a dan c sama. Dimanapun

pusat elips, jika nilai a dan c sama, maka keliling dan luas elips juga sama.

Selanjutnya, akan dibahas elips yang berpusat di titik dengan

sumbu utama vertikal. Hal ini akan dibahas dalam Teorema 3.11. Bukti

detail tidak akan dibahas karena sangat mirip dengan bukti dalam Teorema

3.10.

Teorema 3.11

Diberikan elips dengan pusat titik , dan titik-titik fokus

dan dengan jumlah jarak tetap . Maka persamaan elips

tersebut adalah

| | | | | | .


83

Contoh 3.12

Tentukan persamaan elips yang memiliki titik-titik fokus dan

, serta jumlah jarak tetap adalah 8. Tentukan keliling dan luas elips

tersebut.

Pembahasan.

Perhatikan Gambar 3.21. Karena titik-titik fokusnya adalah dan

, maka titik pusatnya adalah dan nilai . Dengan

demikian persamaan elips tersebut adalah

| | | | | |

| | | | | | .

Keliling elips tersebut adalah 24 satuan panjang dan luasnya adalah 24

satuan luas.


84


.

Keliling dan luas elips untuk Contoh 3.12 juga dapat dihitung dengan

menggunakan Teorema 3.7. Meskipun elips dalam Contoh 3.12 tidak

berpusat di titik , nilai-nilai a dan c adalah sama.

Elips yang dibicarakan dalam pembahasan sebelumnya adalah

elips dengan sumbu utama sejajar sumbu-x atau sumbu-y. Bagaimana

dengan elips dengan sumbu utama tidak horisontal maupun tidak vertikal.

Sebagai ilustrasi, Gambar 3.20 memperlihatkan elips yang berpusat di titik


85

dengan titik fokus dan dengan jumlah jarak

tetap


dengan

Teorema 3.12

Diketahui elips yang berpusat di titik dengan salah satu titik fokus

, dengan , , | | | | , dan jumlah jarak tetap

, dengan . Maka persamaan elips tersebut adalah

| | | | | | | |


86

Bukti.

Pertama-tama perlu disepakati bahwa karena titik pusat elips adalah

dan salah satu titik fokus elips tersebut adalah , maka

.


titik fokus

Perhatikan Gambar 3.23. Misalkan titik terletak pada elips

tersebut. Maka berlaku persamaan-persamaan berikut.

| | | | | | | |

| | | | | | | | ■


87

Contoh 3.13

Tentukan persamaan elips yang berpusat di titik dengan salah satu

titik fokus dan jumlah jarak tetap 8 satuan panjang. Tentukan

keliling dan luas elips tersebut.

Pembahasan.

Karena salah satu titik fokus elips tersebut adalah , maka

. Persamaan elips tersebut adalah

| | | | | | | |

| | | | | | | |

Elips tersebut diilustrasikan pada Gambar 3.24.

Gambar 3.24. Elips yang berpusat di dengan salah satu titik fokus


88

Dengan mengamati Gambar 3.24, keliling elips tersebut adalah

Luas elips adalah luas persegi panjang + 2 luas persegi panjang

+ 4 luas segitiga .

(

) .

Teorema 3.13

Diberikan sebuah elips yang berpusat di titik , dengan salah satu

titik fokus , dengan , , | | | | , dan jumlah

jarak tetap , dengan . Maka keliling elips tersebut adalah

| | | |

dan luas elips tersebut adalah

| | [ | | | | ].


89

Bukti.

Gambar 3.25. Ilustrasi Keliling dan Luas elips yang berpusat

di dengan salah satu titik fokus

Perhatikan Gambar 3.25. Akan dihitung panjang serta . Karena

titik A terletak pada elips maka berlaku persamaan

| | | |

| | | |

| | | |

.

Dengan perhitungan yang sama,

.


90

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa panjang , , dan ,

berturut-turut adalah , , dan .


| | | |

| | | | .

Luas elips adalah luas persegi panjang + 2 persegi panjang

+ 4 segitiga . Perlu diingat bahwa panjang | |, | |,

, dan . Dengan demikian,

| | | | | | (

)

| | [ | | | | ]

■

Bagaimana dengan elips yang berpusat tidak di titik seperti

yang diperlihatkan dalam Gambar 3.26? Bisakah ditentukan persamaan

elips tersebut? Hal ini akan didiskusikan dalam Teorema 3.13.


91

Gambar 3.26 Elips yang berpusat di titik dan salah satu titik

fokus dengan

Teorema 3.14

Diketahui elips yang berpusat di titik dengan salah satu titik fokus

, dengan , , | | | | , dan jumlah jarak

tetap , dengan . Maka persamaan elips tersebut adalah

| | | | | | | |

Bukti.

Teorema ini akan dibuktikan dengan menggunakan hasil pada Teorema

3.12 dan konsep translasi. Perhatikan Gambar 3.27.


92

Gambar 3.27. Elips dengan titik pusat dengan salah satu titik

fokus .

Elips yang berpusat di titik dengan salah satu titik fokus

, dengan , , | | | | , dan jumlah jarak tetap

, dengan , jika ditranslasikan dengan vektor translasi ( ),

maka elips yang berpusat dan salah satu titik fokusnya adalah

. Dengan menggunakan Teorema 3.12, maka persamaan elips

tersebut adalah

| | | | | | | |

Jika elips yang berpusat pada titik ditranslasikan oleh vektor

translasi ( ) maka diperoleh elips yang berpusat pada titik

dengan salah satu titik fokus adalah , dan persamaan

elips tersebut adalah

| | | | | | | | ■


93

Contoh 3.14

Tentukan persamaan, luas dan keliling, elips yang berpusat di titik

dengan salah satu titik fokus adalah , dengan jumlah jarak tetap 5.

Pembahasan.

Ilustrasi elips yang berpusat di titik dengan salah satu titik fokus

adalah diperlihatkan dalam Gambar 3.26. Karena salah satu titik

fokusnya adalah , maka nilai dan . Dengan

demikian, persamaan elips tersebut adalah

| | | | | | | |

| | | | | | | | .

Untuk menentukan keliling dan luas elips, bisa digunakan hasil dalam

Teorema 3.13. Teorema tersebut bisa juga dipakai untuk elips yang

berpusat tidak di titik .

Keliling elips adalah

| | | |

| | | | (

)


94

Luas elips adalah

| | [ | | | | ]

| |

[ | | | |

]

[ ]

.

3. Hiperbola

Hiperbola didefinisikan sebagai himpunan semua titik dimana selisih jarak

titik-titik tersebut dengan dua titik tertentu yang bukan anggota himpunan

adalah tetap. Kedua titik tertentu yang bukan anggota himpunan disebut

titik-titik fokus. Garis lurus yang melalui kedua titik fokus disebut sumbu

utama. Pusat hiperbola adalah titik tengah kedua titik fokus tersebut.

Diberikan dua titik fokus dan . Bagaimana

persamaan hiperbola tersebut dalam Geometri Taxicab? Perlu dicatat

bahwa hiperbola tersebut memiliki sumbu utama yang berimpit dengan

sumbu-x. Persamaan hiperbola dibahas dalam Teorema 3.15 berikut.

Teorema 3.15

Persamaan hiperbola dalam Geometri Taxicab yang memiliki titik pusat

O(0,0), dan titik-titik fokus dan , dengan selisih jarak

tetap adalah


95

|| | | || .

Bukti.

Misal titik-titik dan adalah titik-titik fokus sebuah

hiperbola, serta ditentukan selisih jarak yang tetap adalah Seperti

diilustrasikan pada gambar 3.28. Jika adalah titik yang terdapat

pada hiperbola, maka diperoleh persamaan sebagai berikut,

| |

| | | | | | | | | |

|| | | | | | | ||

|| | | ||


96

Gambar 3.28 Hiperbola dengan pusat O(0,0), dan titik-titik fokus dan

Karena titik adalah sembarang titik yang terletak pada hiperbola,

maka persamaan || | | || merupakan tempat kedudukan

titik-titik dimana selisih jarak titik-titik tersebut dengan kedua titik fokus

dan adalah . ■

Teorema 3.16 berikut membahas hiperbola dalam Geometri Taxicab yang

berpusat di titik dan memiliki titik-titik fokus dan

. Pembuktian dalam Teorema 3.16 serupa dengan pembuktian

dalam Teorema 3.15.

Teorema 3.16


O(0,0), dan titik-titik fokus dan , dengan selisih jarak

tetap adalah

|| | | || .

Bukti.

Misal titik-titik dan adalah titik-titik fokus sebuah

hiperbola, serta ditentukan selisih jarak yang tetap adalah Jika

adalah titik yang terdapat pada hiperbola, maka diperoleh persamaan

sebagai berikut,


97

| |

| | | | | | | | | |

|| | | | | | | ||

|| | | ||

Karena titik adalah sembarang titik yang terletak pada hiperbola,

maka persamaan || | | || merupakan tempat kedudukan

titik-titik dimana selisih jarak titik-titik tersebut dengan kedua titik fokus

dan adalah . ■


98

Gambar 3.29 Hiperbola dengan pusat O(0,0), dan titik-titik fokus

dan

Teorema 3.17 berikut mendiskusikan hiperbola dengan pusat di titik

tetapi memiliki titik-titik fokus yang tidak terletak pada sumbu-

sumbu koordinat.

Teorema 3.17


, dan titik-titik fokus dan , dengan | |

| | , serta selisih jarak tetap , adalah

|| | | | | | | || .

Bukti.

Perhatikan Gambar 3.30. Misalkan titik terletak pada hiperbola,

maka berdasarkan definisi hiperbola, akan diperoleh persamaan

| |

|| | | | | | | | |

|| | | | | | | ||

Karena titik adalah sebarang titik yang terletak pada hiperbola,

maka semua titik yang memenuhi persamaan || | | |

| | | || merupakan titik-titik dengan selisih jarak titik-


99

titik tersebut terhadap kedua titik fokus dan adalah

. ■

Gambar 3.30. Hiperbola dengan pusat O(0,0), dan titik-titik fokus

dan .

Contoh 3.15

Tentukan persamaan hiperbola yang berpusat di titik dan memiliki

titik-titik fokus dan dan selisih jarak tetap .

Pembahasan.

Karena titik-titik fokus hiperbola adalah dan , maka

nilai dan . Berdasarkan Teorema 3.17, persamaan parabola

tersebut adalah


100

|| | | | | | | ||

Hiperbola diilustrasikan dalam Gambar 3.31.

Gambar 3.30. Hiperbola dengan pusat O(0,0), dan titik-titik fokus

dan .

Teorema 3.15, 3.16, dan 3.17 membahas hiperbola dengan pusat .

Bagaimana dengan hiperbola yang memiliki pusat titik ? Hal ini

dibahas dalam Teorema 3.18, 3.19, dan 3.20 berikut. Pembuktian ketiga

teorema tersebut menggunakan persamaan hiperbola dengan pusat di titik

dan konsep translasi dengan vektor translasi ( ).

Teorema 3.18


101


, dan titik-titik fokus dan , dengan selisih

jarak tetap adalah

|| | | || .

Bukti.

Perhatikan Gambar 3.31. Hiperbola dengan pusat di titik , dengan

titik-titik fokus dan , jika ditranslasikan oleh

vektor translasi ( ) diperoleh hiperbola yang berpusat di titik

, dengan titik-titik fokus dan . Dengan

menggunakan hasil dalam Teorema 3.15, maka persamaan hiperbola hasil

translasi tersebut adalah || | | || . Jika persamaan tersebut

ditranslasikan dengan vektor translasi ( ), maka diperoleh persamaan

hiperbola yang berpusat di titik , dengan titik-titik fokus

dan . Persamaan hiperbola tersebut adalah

|| | | || . ■


102

Gambar 3.31 Hiperbola dengan pusat , dan titik-titik fokus

dan

Teorema 3.19


, dan titik-titik fokus dan , dengan selisih

jarak tetap adalah

|| | | || .

Bukti.


titik-titik fokus dan , jika ditranslasikan oleh

vektor translasi ( ) diperoleh hiperbola yang berpusat di titik

, dengan titik-titik fokus dan . Dengan


103

menggunakan hasil dalam Teorema 3.16, maka persamaan hiperbola hasil

translasi tersebut adalah || | | || . Jika persamaan tersebut

ditranslasikan dengan vektor translasi ( ), maka diperoleh persamaan

hiperbola yang berpusat di titik , dengan titik-titik fokus

dan . Persamaan hiperbola tersebut adalah

|| | | || . ■


dan

Teorema 3.20


, dan titik-titik fokus dan ,

dengan | | | | , serta selisih jarak tetap , adalah


104

|| | | | | | | || .

Bukti.


titik-titik fokus dan , jika

ditranslasikan oleh vektor translasi ( ) diperoleh hiperbola yang

berpusat di titik , dengan titik-titik fokus dan

. Dengan menggunakan hasil dalam Teorema 3.17, maka

persamaan hiperbola hasil translasi tersebut adalah

|| | | | | | | || .

Jika persamaan tersebut ditranslasikan dengan vektor translasi ( ),

maka diperoleh persamaan hiperbola yang berpusat di titik ,

dengan titik-titik fokus dan .

Persamaan hiperbola tersebut adalah

|| | | | | | | || . ■


105


dan

Contoh 3.16

Lukis dan tentukan persamaan hiperbola yang berpusat di titik ,

memiliki titik-titik fokus dan , dengan selisih jarak tetap .

Pembahasan.

Karena titik merupakan titik pusat dan titik-titik dan

merupakan titik-titik fokus, maka diperoleh nilai-nilai ,

, , dan . Dengan menggunakan Teorema 3.20,

diperoleh persamaan hiperbola sebagai berikut.

|| | | | | | | ||

|| | | | | | | ||


106

|| | | | | | | ||

Hiperbola diilustrasikan dalam Gambar 3.33 berikut.


dan , dengan selisih jarak tetap 6.

4. Parabola

Parabola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik sedemikian

sehingga jarak titik-titik tersebut terhadap titik fokus sama dengan jarak ke

sebuah garis yang disebut sebagai garis direktriks. Karena dalam definisi

tersebut disebutkan jarak titik ke garis, maka konsep tersebut perlu dibahas

terlebih dahulu dalam Definisi 3.3 berikut.

Definisi 3.3


107

Diberikan sebuah garis dan titik . Jarak titik A ke garis adalah

panjang ruas garis , dimana titik terletak pada garis sedemikian

rupa sehingga ruas garis tegak lurus dengan garis .

Contoh 3.17

Tentukan jarak titik-titik , , dan ke garis .

Pembahasan.

Perhatikan Gambar 3.34 berikut. Dari gambar tersebut, jarak titik A ke

garis adalah . Dengan cara yang sama, jarak titik B

ke garis adalah , dan jarak titik C ke garis

adalah .


108

Gambar 3.34 Ilustrasi Contoh 3.17.

Teorema 3.21

Diketahui sebuah parabola memiliki garis direktris dan titik fokus

. Maka persamaan parabola tersebut adalah

| | | | | |

Bukti.

Perhatikan Gambar 3.35. Misalkan titik terletak pada parabola.

Maka jarak titik P ke garis adalah | | | |, dan


109

jarak titik P ke titik fokus F adalah | | | |. Berdasarkan

definisi, parabola adalah tempat kedudukan titik-titik sedemikian sehingga

jarak titik tersebut ke titik fokus F sama dengan jarak titik tersebut ke garis

direktriks. Dengan demikian diperoleh persamaan berikut.

| |

| | | | | | ■


garis direktriks

Contoh 3.18

Tentukan persamaan parabola yang memiliki titik fokus di dan

garis direktriks .


110

Pembahasan.

Karena parabola memiliki titik fokus di dan garis direktriks

, maka nilai . Dengan demikian, berdasarkan Teorema 3.21,

persamaan parabola tersebut adalah

| | | | | |

| | | | | |

| | | | | |

Parabola tersebut diilustrasikan dalam Gambar 3.36.


garis direktriks .


111

Teorema 3.22

Diketahui sebuah parabola memiliki garis direktris dan titik fokus

. Maka persamaan parabola tersebut adalah

| | | | | |

Bukti.

Perhatikan Gambar 3.37. Misalkan titik terletak pada parabola.

Maka jarak titik ke garis adalah | | | |, dan

jarak titik ke titik fokus adalah | | | |. Berdasarkan

definisi, parabola adalah tempat kedudukan titik-titik sedemikian sehingga

jarak titik tersebut ke titik fokus sama dengan jarak titik tersebut ke

garis direktriks. Dengan demikian diperoleh persamaan berikut.

| |

| | | | | | ■


112


garis direktriks .

Contoh 3.19

Tentukan persamaan parabola yang memiliki titik fokus di dan

garis direktriks .

Pembahasan.

Karena parabola memiliki titik fokus di dan garis direktriks

, maka nilai . Dengan demikian, berdasarkan Teorema 3.22,


| | | | | |

| | | | | |


113

| | | | | |



garis direktriks .

Teorema 2.21 dan Teorema 3.22 membahas parabola dengan titik puncak

. Teorema 3.23 dan 3.24 membahas parabola yang memiliki titik

puncak .

Teorema 3.23

Diketahui sebuah parabola memiliki titik puncak dan garis

direktris . Maka persamaan parabola tersebut adalah

| | | | | |


114

Bukti.

Perhatikan Gambar 3.39. Misalkan parabola tersebut memiliki titik fokus

. Karena titik terletak pada parabola maka jarak titik ke garis

sama dengan jarak titik ke titik fokus , . Dengan

demikian, diperoleh dua kasus berikut:

1. Kasus . Maka jarak titik ke garis adalah ,

sehingga jarak titik ke titik fokus adalah .

Dengan demikian, koordinat titik adalah

.

2. Kasus . Maka jarak titik ke garis adalah

sehingga jarak titik ke titik fokus adalah

Dengan demikian, koordinat titik adalah

Jadi jika diketahui titip puncak dan garis direktriks , maka

koordinat titik fokus adalah .


115

Gambar 3.39 Ilustrasi untuk bukti Teorema 3.23.

Selanjutnya, misalkan titik terletak pada parabola yang memiliki

puncak dan garis direktriks Maka jarak titik ke garis

direktriks adalah | | dan jarak titik ke titik fokus

adalah

| | | | | | | |.

Karena parabola merupakan himpunan semua titik yang memiliki jarak

dengan fokus sama dengan jarak titik tersebut ke titik fokus, maka


| | | | | | ■


116

Contoh 3.20

Tentukan persamaan parabola yang memiliki puncak dan garis

direktriks .

Pembahasan.

Parabola dengan puncak dan garis direktriks memiliki

nilai , , dan . Dengan menggunakan hasil dalam

Teorema 3.23, maka persamaan parabola tersebut adalah

| | | | | |

| | | | | |

| | | | | |


Gambar 3.39 Hiperbola dengan pusat dan garis direktriks


117

.

Teorema 3.24

Diketahui sebuah parabola memiliki titik puncak dan garis

direktris . Maka persamaan parabola tersebut adalah

| | | | | |

Bukti.

Perhatikan Gambar 3.40. Dengan argumen yang sama seperti dalam bukti

Teorema 3.23, koordinat titik fokus adalah Misalnya titik

terletak pada parabola. Jarak titik ke garis adalah |

| dan jarak titik ke titik adalah

| | | | | | | |

Karena titik terletak pada parabola, maka berdasarkan definisi, jarak

titik ke garis sama dengan jarak titik ke titik fokus . Dengan

demikian diperoleh persamaan

| |

| | | | | | ■


118

Gambar 3.40 Ilustrasi bukti Teorema 3.24

Contoh 3.21

Tentukan persamaan parabola yang memiliki puncak dan garis

direktriks .

Pembahasan.

Parabola dengan puncak dan garis direktriks memiliki

nilai , , dan . Dengan menggunakan hasil dalam

Teorema 3.24, maka persamaan parabola tersebut adalah

| | | | | |

| | | | | |


119

| | | | | |


Gambar 3.41 Hiperbola dengan pusat dan garis direktriks


121

Bab IV

Memperkenalkan Geometri Taxicab Pada Siswa Kelas X

Pada bab ini akan dibahas bagaimana memperkenalkan Geometri Taxicab

pada siswa sekolah menengah atas. Bab ini meliputi tiga bagian. Bagian pertama

secara khusus memperkenalkan perangkat lunak Geogebra yang akan

dipergunakan oleh siswa dalam proses pembelajaran. Bagian kedua akan

mendiskusikan materi-materi yang dipelajari oleh siswa kelas X berkaitan dengan

nilai mutlak, dan bagaimana pengayaan materi nilai mutlak untuk mengantar pada

Irisan Kerucut pada Geometri Taxicab. Bagian ketiga akan membahas proses

pembelajaran Problem Based Learning (PBL) guna memperkenalkan Geometri

Taxicab pada siswa kelas X.

A. Geogebra

Berdasarkan penjelasan dalam Laman https://www.geogebra.org/about,

Geogebra adalah perangkat lunak matematik dinamik (dynamic mathematics

software) yang dapat dipakai untuk semua tingkat pendidikan. Perangkat

lunak ini merupakan software untuk melukis grafik dan menyatukan geometri,

aljabar, statistika, dan kalkulus dalam satu paket yang mudah untuk

dipergunakan. Geogebra merupakan perangkat lunak tidak berbayar dan telah

dipergunakan oleh jutaan pengguna di berbagai negara. Geogebra telah

membantu pengembangan pendidikan sains, teknologi, dan matematika.


https://www.geogebra.org/about

122

Perangkat lunak Geogebra dapat diunduh dari Laman

https://www.geogebra.org/download. Perangkat lunak yang seharusnya

diunduh adalah Geogebra Classic 5 atau Geogebra Classic 6.

Setelah diunduh, diinstal, dan dijalankan, maka tampilan utama ditunjukkan

dalam Gambar 4.1 berikut.

Gambar 4.1 Tampilan Utama Geogebra

Skripsi ini tidak akan membahas semua fitur perangkat lunak Geogebra. Fitur-

fitur yang akan dibahas hanya yang berkaitan dengan pembelajaran untuk

memperkenalkan Geometri Taxicab, khususnya nilai mutlak. Bagian penting

yang perlu diketahui adalah bagian yang disebut dengan “Input Bar” yang


https://www.geogebra.org/download

123

terletak pada bagian bawah. Pada bagian ini pengguna akan memasukkan

perintah-perintah yang dikenali oleh perangkat lunak Geogebra. Misalnya

pada bagian input diketik ). Setelah ditekan “ENTER” maka

Geogebra akan menggambarkan titik . Perhatikan Gambar 4.2.

Gambar 4.2 Kolom input dalam Geogebra

Jika pengguna memasukkan “ ” pada Input Bar, maka Geogebra

akan melukis garis . Perhatikan Gambar 4.3.


124

Gambar 4.3 Melukis garis dengan Geogebra

Perintah yang digunakan untuk nilai mutlak adalah perintah “abs(x)”.

Misalnya, jika pada Input Bar ditulis “y=abs(x-2)”, maka Geogebra akan

melukis grafik | |. Perhatikan Gambar 4.4.


125

Gambar 4.3 Melukis garis | | dengan Geogebra

Jika perintah “abs(x-2) + abs(y-3) = 4” dimasukkan dalam Input

Bar,Geogebra akan melukis grafik persamaan | | | | .

Perhatikan Gambar 4.5. Untuk shortcut, bisa juga perintah “abs(x-2)” diganti

dengan “|x – 2|”.

Gambar 4.3 Melukis bangun | | | | dengan Geogebra


126

B. Memperkenalkan Irisan Kerucut kepada siswa

Sebelum memulai memperkenalkan siswa pada irisan kerucut

dalam Geometri Taxicab, terlebih dahulu siswa akan diperkenalkan kepada

irisan kerucut, yang meliputi lingkaran, elips, hiperbola, dan parabola.

Kegiatan tersebut terdapat dalam aktivitas 4.1.

Aktivitas 4.1

Gunakan Geogebra untuk melukis persamaan-persamaan yang terdapat pada

soal di bawah ini dan jawab pertanyaan:

1. Lukislah persamaan . Diketahui titik pusatnya

a. Berapakah jarak titik pusat dengan salah satu titik yang terdapat pada

bangun tersebut?

b. Apakah setiap titik pada bangun tersebut memiliki jarak yang sama

dengan titik pusat?

Pembahasan:

a. Misalkan titik , maka jarak titik dan titik pusat,

| | √

√

b. Misalkan titik , dan

| | √

√

| | √

√


127

| | √

√

2. Lukislah persamaan

. Diketahui dan

a. Ambil 3 sembarang titik dalam bangun tersebut, lalu beri nama titik

. hitung berapa jumlah jarak antara ketiga titik tersebut dengan

dua titik yang diketahui diatas! Apa yang dapat kalian simpulkan?


. Diketahui dan

a. Ambil 3 sembarang titik dalam bangun tersebut, lalu beri nama titik

. hitung berapa selisih jarak antara ketiga titik tersebut dengan

dua titik yang diketahui diatas! Apa yang dapat kalian simpulkan?


. Diketahui garis adalah , , dan

a. Hitunglah jarak antara titik ke garis dan jarak titik ke !

b. Ambil 3 sembarang titik dalam bangun tersebut, lalu beri nama titik

. Hitung jarak antara titik ke garis dan jarak titik ke titik

. Dengan cara yang sama kerjakan titik dan !

c. Apa yang dapat kamu simpulkan dari soal a diatas?

C. Materi Nilai Mutlak Kelas X dalam Kurikulum 2013 dan Aktivitas Untuk

Pengayaan

Menurut Peraturan Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan No. 24

Tahun 2016 (Permendikbud, 2016), salah satu Kompetensi Dasar yang harus


128

dikuasai oleh siswa kelas X adalah menyelesaikan masalah yang berkaitan

dengan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu

variabel (Kompetensi Dasar 4.1). Dengan demikian, siswa kelas X telah

mempelajari konsep-konsep yang berkaitan dengan nilai mutlak. Oleh karena

itu, para siswa seharusnya tidak akan mengalami kesulitan untuk mempelajari

Geometri Taxicab.

Pada bagian ini akan dibahas dengan singkat konsep-konsep nilai

mutlak yang seharusnya dipelajari oleh siswa kelas X, berdasarkan kurikulum

2013 (Permendikbud, 2016) dan buku siswa serta buku guru yang

dipersiapkan oleh Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan (Sinaga et.al,

2017). Konsep-konsep yang dibahas dalam bagian ini adalah konsep-konsep

nilai mutlak yang akan membantu siswa untuk dapat memahami Geometri

Taxicab.

Buku Matematika Kelas X (Sinaga et.al, 2017: 14) mendefinisikan

nilai mutlak seperti yang dibahas dalam Definisi 3.1, | | , untuk ,

atau | | , untuk . Buku paket tersebut juga membahas sifat

| | √ . Selanjutnya, buku tersebut juga memperkenalkan grafik | |

dan memberikan latihan kepada siswa untuk melukis grafik fungsi nilai

mutlak seperti | |, | |, dan | | (Sinaga et.al,

2017: 21-22). Tentu saja, dalam buku tersebut, siswa diminta untuk melukis

grafik tersebut secara manual, dengan bantuan tabel.

Buku Matematika Kelas X (Sinaga et.al, 2017) juga membahas

penyelesaian persamaan yang memuat nilai mutlak seperti | | |


129

|. Namun buku tersebut membahas penyelesaian persamaan tersebut secara

aljabar dengan menggunakan sifat | | √ .

Selanjutnya, akan dibahas pengayaan materi nilai mutlak untuk

memperkenalkan Geometri Taxicab. Pada pembelajaran pengayaan ini, fokus

tidak pada penyelesaian persamaan secara aljabar, melainkan pada grafik

persamaan yang memuat nilai mutlak. Untuk itu, perangkat lunak Geogebra

sangat diperlukan untuk membantu siswa dalam proses pembelajaran.

Aktivitas 4.2

Dengan menggunakan perangkat lunak Geogebra, siswa diminta untuk

melukis persamaan-persamaan berikut. Kemudian siswa juga diminta untuk

mengeksplorasi atau menjelaskan mengenai karakteristik dari garis yang

dibentuk oleh persamaan tersebut. Aktivitas 4.2 bertujuan untuk mempelajari

atau mengingat kembali mengenai materi grafik persaman mutlak yang sudah

dipelajari siswa.

No. Soal Jawaban

1. | |

a. Bagaimana nilai jika ?

b. Bagaimana nilai jika ?

c. Bagaimana nilai jika ?

d. Bagaimana nilai dan jika

dan ?

e. Bagaimana nilai dan jika

dan ?

f. Tentukan nilai yang menyebabkan

bernilai minimum!

g. Tentukan nilai minimum dari


130

2. | |





dan ?


dan ?


bernilai minimum!


3. | |





dan ?


dan ?


bernilai minimum!


4. | |





dan ?


dan ?


bernilai minimum!


5. Apa yang dapat kalian simpulkan tentang hubungan

grafik fungsi di nomer 2,3, dan 4?


131

Aktivitas 4.3 ini bertujuan agar siswa mampu membuat generalisasi grafik

dari persamaan yang udah diberikan.

Aktivitas 4.3

Setelah menyelesaikan Aktivitas 4.2, siswa diminta membuat generalisasi

grafik untuk persamaan | |.

Dari aktivitas 4.2 dan 4.3 siswa diharapkan dapat menyimpulkan bahwa:

- jika dan

- jika dan

- Nilai minimum grafik tersebut terjadi di

- Grafik fungsi dari | | , dengan dapat diperoleh dengan

menggeser grafik fungsi dari | | ke bawah sejauh satuan

- Grafik fungsi dari | | , dengan dapat diperoleh dengan

menggeser grafik fungsi | | keatas sejauh satuan

Dalam aktivitas 4.4 kegiatan ini dirancang untuk meninjau grafik persamaan

mutlak sehingga dapat mengasosiasikan dengan taxicab.

Aktivitas 4.4

Dalam buku siswa kelas X, siswa telah menyelesaikan secara aljabar

persamaan yang memuat nilai mutlak berikut | | | |. Bagaimana

penyelesaian itu dijelaskan secara geometris (grafis).

a. Lukis persamaan | |

b. Lukis persamaan | |

c. Apakah ada titik yang berada di | | dan di | |


132

d. Siswa mengamati titik potong kedua grafik tersebut. Berapa nilai absis

dari titik potong kedua grafik tersebut? Itulah nilai yang memenuhi

persamaan | | | |.

Aktivitas 4.5 dirancang untuk meninjau ulang mengenai materi persamaan

nilai mutlak dan grafik persamaan tersebut.

Aktivitas 4.5

Pada Aktivitas 4.3, siswa telah melukis grafik persamaan | | | |.

Gunakan Geogebra untuk melukis grafik persamaan | | | |.

Selanjutnya siswa membuat generalisasi grafik fungsi | | | |.

Aktivitas 4.6 bertujuan untuk meninjau kembali mengenai persamaan nilai

mutlak dan untuk mengarahkan siswa pada bentuk lingkaran dalam geomeri

taxicab.

Aktivitas 4.6

Gunakan Geogebra untuk melukis persamaan | | | | .

a. Bagaimanakah bentuk grafik persamaan tersebut?

b. Berapa kordinat titik potong dari kedua diagonal bangun tersebut?

c. Berapa jarak antara titik potong kedua diagonal dengan titik sudut bangun

tersebut?

d. Apa yang dapat kalian simpulkan untuk bangun yang dibuat dari

persamaan | | | | ?

Aktivitas 4.7 bertujuan untuk mengarahkan siswa pada persamaan elips dalam

geometri taxicab yang memiliki sumbu mayor di sumbu-


133

Aktivitas 4.7

Gunakan Geogebra untuk melukis persamaan | | | | | |

Diketahui dan .


b. Berapakah kordinat titik potong diagonal-diagonal pada bangun tersebut?

c. Ambil 3 sembarang titik dalam bangun tersebut, lalu beri nama titik

. hitung berapa jumlah panjang satuan antara ketiga titik tersebut

dengan dua titik yang diketahui diatas! Apa yang dapat kalian simpulkan?


persamaan | | | | | | ?

Aktivitas 4.8 bertujuan untuk mengarhakan siswa pada persamaan elips dalam

geometri taxicab yang memiliki sumbu mayor di sumbu-

Aktivitas 4.8

Gunakan Geogebra untuk melukis persamaan | | | | | | .

Diketahui dan


b. Berapakah koordinat titik potong diagonal-diagonal pada bangun tersebut?





persamaan | | | | | | ?


134

Aktivitas 4.9 bertujuan untuk mengarahkan siswa pada persamaan elips dalam

geometri taxicab yang memiliki sumbu mayor di sumbu- dan mempunyai

titik fokus

Aktivitas 4.9


. Diketahui dan




. Hitung berapa jumlah panjang satuan antara ketiga titik tersebut



persamaan | | | | | |

Aktivitas 4.10 bertujuan untukmengarahkan siswa pada persamaan elips

dalam geometri taxicab yang memiliki sumbu mayor di sumbu- dan

mempunyai titik fokus

Aktivitas 4.10


. Diketahui dan







135


persamaan | | | | | |

Aktivitas 4.11 bertujuan untuk mengarahakan siswa pada persamaan elips

dalam geometri taxicab yang salah satu titik fokusnya dan titik

pusatnya

Aktivitas 4.11


| | . Diketahui dan





c. Apa yang dapat kalian simpulkan untuk bangun yang dibuat dari

persamaan | | | | | | | |

Aktivitas 4.12 bertujuan untuk mengarahakan siswa pada persamaan elips

dalam geometri taxicab yang salah satu titik fokusnya dan titik

pusatnya

Aktivitas 4.12


| | . Diketahui dan



136





persamaan | | | | | | | | ?

Aktivitas 4.13 bertujuan untuk mengarahakan siswa pada persamaan

hiperbola dalam geometri taxicab

Aktivitas 4.13

Gunakan Geogebra untuk melukis persamaan || | | | | |

| || . Diketahui dan



. Hitung berapa selisih jarak antara ketiga titik tersebut dengan dua

titik yang diketahui diatas?


persamaan || | | | | | | ||

Aktivitas 4.14 bertujuan untuk mengarahakan siswa pada persamaan

hiperbola dalam geometri taxicab dan memiliki titik pusat di .

Aktivitas 4.14

Gunakan Geogebra untuk melukis persamaan || | | | | |

| || . Diketahui dan



137


. Hitung berapa selisih jarak antara ketiga titik tersebut dengan dua

titik yang diketahui diatas?


persamaan || | | | | | | || ?

Aktivitas 4.15 bertujuan untuk mengarahakan siswa pada persamaan parabola

dalam geometri taxicab dan memiliki titik pusat di , yang memiliki

garis direktris

Aktivitas 4.15

Gunakan Geogebra untuk melukis persamaan dan | | | |

| |. Diketahui , garis adalah



. Hitung jarak antara titik ke garis dan jarak titik ke titik .

Dengan cara yang sama kerjakan titik dan

c. Apa yang dapat Anda simpulkan untuk bangun yang dibuat dari

persamaan dan | | | | | |

Aktivitas 4.16 bertujuan untuk mengarahakan siswa pada persamaan parabola

dalam geometri taxicab dan memiliki titik pusat di dan memiliki garis

direktris


138

Aktivitas 4.16

Gunakan Geogebra untuk melukis persamaan dan | | |

| | |. Diketahui dan garis adalah



. Hitung jarak antara titik ke garis dan jarak titik ke titik .

Dengan cara yang sama kerjakan titik dan

c. Apa yang dapa Anda simpulkan untuk bangun yang dibuat dari persamaan

| | | | | |?

D. Problem Based Learning (PBL) untuk memperkenalkan Geometri Taxicab

Skripsi ini mengusulkan Problem Based Learning (PBL) sebagai

metode pembelajaran untuk memperkenalkan Geometri Taxicab kepada

siswa-siswa kelas X. Roh (2003) mengatakan bahwa Problem-Based Learning

(PBL) merupakan suatu metode pembelajaran yang distimulasi oleh sebuah

permasalahan. Menurut Barrett (2005), Problem-Based Learning (PBL) atau

Pembelajaran Berbasis Masalah (PBM) dimunculkan dalam penelitian yang

dilakukan oleh Barrows dan Tamblyn (1980) dan sebelumnya telah

diimplementasikan dalam pendidikan medis di Universitas McMaster Kanada

pada tahun enam puluhan. Barrows mendefinisikan PBL sebagai pembelajaran

yang dihasilkan dari sebuah proses menyelesaikan sebuah masalah. Dalam

PBL, pengetahuan diperoleh sebagai hasil proses menyelesaikan sebuah

masalah. Kepada siswa diberikan sebuah masalah, dan dengan menyelesaikan


139

masalah tersebut, siswa tersebut memperoleh sebuah pengetahuan. Menurut

Barrows, PBL termasuk dalam pembelajaran yang berpusat pada siswa,

dimana siswa sendiri, dengan bimbingan guru, yang menentukan apa yang

perlu untuk diketahui.

Masalah merupakan sesuatu yang fundamental dalam proses

Pembelajaran Berbasis Masalah. Bahkan Sudarman (2007) mengatakan bahwa

formulasi permasalahan merupakan tahap yang penting dalam keberhasilan

PBM. Sebelum melangkah lebih dalam diskusi tentang PBM, perlu terlebih

dahulu dibahas pengertian masalah. Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia

Online (2019), masalah adalah sesuatu yang harus diselesaikan (dipecahkan).

Hal ini senada dengan pandangan Hudoyo, seperti dirujuk oleh Lambertus

(2011), yang mengatakan bahwa “Sesuatu disebut masalah bila hal itu

mengandung pertanyaan yang harus dijawab”. Dalam konteks matematika,

Herlambang (2013) mengatakan bahwa “masalah adalah suatu situasi yang

disadari kebenarannya dan perlu dicari penyelesaiannya tetapi tidak langsung

ditemukan cara memecahkannya”. Dari ketiga definisi tersebut, dalam konteks

PBL, masalah adalah sesuatu yang mengandung pertanyaan yang harus

dijawab karena ada kebenaran yang belum ditemukan.

Masalah merupakan bagian dari hidup manusia sehari-hari. Dalam

hidup manusia ada banyak hal yang belum diketahui kebenarannya sehingga

menimbulkan pertanyaan. Misalnya, beberapa orang memiliki masalah karena

belum bekerja. Maka dalam dirinya muncul pertanyaan apakah lamarannya

diterima atau tidak. Seorang ibu rumah tangga memiliki masalah dengan


140

pendidikan anaknya, maka timbul pertanyaan bagaimana mendidik anaknya

dengan benar. Bila dikaji lebih dalam, masalah merupakan persoalan yang

harus dipecahkan dan karenanya dapat dijadikan peluang untuk memperbaiki

kemampuan diri.

Problem Based Learning (PBL) bermula dengan sebuah permasalahan

yang harus diselesaikan. Permasalahan dibuat sedemikian rupa sehingga siswa

harus mempelajari pengetahuan baru untuk dapat menyelesaikan

permasalahan tersebut. Barret (2005) menyajikan langkah-langkah PBL

sebagai berikut:

1. Pada langkah pertama, kepada siswa disajikan sebuah masalah.

2. Siswa dalam kelompok kecil mendiskusikan masalah tersebut. Mereka

menentukan fakta-fakta yang terdapat dalam masalah tersebut. Mereka

juga menentukan apa yang harus mereka selesaikan. Dalam kelompok,

mereka mendiskusikan pengetahuan-pengetahuan yang diperlukan

untuk menyelesaikan masalah tersebut. Mereka juga

mengidentifikasikan hal-hal yang diperlukan untuk menyelesaikan

masalah tersebut. Hal-hal mana yang mereka belum ketahui. Apa

perencanaan untuk menyelesaikan masalah tersebut.

3. Siswa secara mandiri mempelajari hal-hal yang diperlukan untuk

menyelesaikan masalah. Proses ini bisa terjadi di perpustakaan atau

dengan mencari data dan informasi dari internet.

4. Siswa kembali ke dalam kelompok untuk membagikan informasi-

informasi yang mereka dapatkan dalam belajar mandiri dan


141

selanjutnya kembali bekerja bersama untuk menyelesaikan

permasalahan.

5. Siswa mempresentasikan penyelesaian masalah.

6. Siswa melihat kembali apa yang telah mereka pelajari dari proses

menyelesaikan masalah tersebut.

Aktivitas-aktivitas berikut dibuat sebagai bagian dari Pembelajaran Berbasis

Masalah. Siswa disajikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang

berkaitan dengan Geometri Taxicab dan bertujuan untuk memperkenalkan

pada siswa mengenai konsep jarak pada Geometri Taxicab.

Aktivitas 4.17

Perhatikan peta pada Gambar 4.4 berikut. Adi adalah siswa kelas 5 SDN Tegal

Alur 08 pagi. Berdasarkan informasi yang ada dalam peta, tentukan jarak

terpendek yang harus ditempuh oleh Adi dari rumah ke sekolah. Apakah jalur

tersebut hanya satu-satunya?


142

Gambar 4.4 Peta untuk Aktivitas 4.17

Penyelesaian.

Salah satu jalur terpendek yang diharapkan ditemukan siswa diperlihatkan

pada Gambar 4.5 berikut.

Gambar 4.5 Salah satu jawaban untuk Aktivitas 4.17


143

Aktivitas 4.18

Perhatikan peta pada Gambar 4.6 berikut. Jika Adi menempuh jalur kuning,

merah, atau biru, apakah jarak tempuhnya berbeda?

Gambar 4.5 Ilustrasi untuk Aktivitas 4.18

Dari Aktivitas 4.18, siswa bisa diperkenalkan dengan Geometri Taxicab.

Kepada siswa bisa diberi pengantar bahwa berdasarkan Aktivitas 4.18, ada

beberapa ahli matematika yang mengembangkan sebuah geometri yang diberi

nama Geometri Taxicab. Geometri ini diperkenalkan oleh seorang

matematikawan yang bernama Hermann Minkowsky. Geometri ini juga

dikenal sebagai City-block Manhattan. Kota Manhattan, seperti diilustrasikan

dalam Gambar 4.6 ditata dengan jalan-jalan membentuk kotak-kotak (grid).

Jika seseorang mengendarai taksi dari titik A ke titik B, maka jarak tempuh

taksi tersebut bukanlah jarak ruas garis lurus dari titik A ke titik B, melainkan

jarak melalui jalan-jalan di kota tersebut yang salah satunya diilustrasikan

dalam Gambar 4.6. Geometri yang selama ini dipelajari biasa disebut dengan


144

Geometri Euclid. Dalam Geometri Euclid, jarak dua titik adalah panjang ruas

garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Secara matematis, jika

diberikan titik dan , maka dalam Geometri Euclid, jarak

titik A dan B adalah √ .

Gambar 4.6 Peta sebagian kota Manhattan, New York.

Aktivitas 4.19

Aktivitas ini siswa mulai mengerjakan soal yang berkaitan dengan

Geometri Taxicab, Dalam Geometri Taxicab jarak dari ke , ditulis

, dan didefinisikan sebagai berikut | |

| |


i. Dalam Geometri Taxicab, tentukan jarak titik A dan B.


145

ii. Selanjutnya, jika diberikan titik dan , dengan

menggunakan konsep nilai mutlak, tentukan jarak titik P dan Q dalam

Geometri Taxicab.

Gambar 4.7 Ilustrasi untuk Aktivitas 4.19.

Aktivitas 4.20

Diberikan sebuah titik A(2,1).

i. Tentukan dua belas titik yang berjarak 3 satuan panjang dari titik A.

Kemudian hubungkanlah titik-titik tersebut dengan ruas garis lurus.

ii. Tentukan Luas bangun yang terbentuk

iii. Tentukan keliling bangun yang terbentuk.


146

Pembahasan.

Gambar 4.7 Ilustrasi untuk Aktivitas 4.20.

Setelah siswa menyelesaikan Aktivitas 4.20, siswa bisa diberikan penjelasan

tentang konsep lingkaran dalam Geometri Taxicab. Lingkaran adalah

himpunan titik-titik yang berjarak sama dengan sebuah titik tetap yang disebut

titik pusat lingkaran. Dalam Geometri taxicab, himpunan titik-titik tersebut

diperlihatkan dalam Aktivitas 4.20. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik

dan berjari-jari memiliki persamaan | | | | .

Aktivitas 4.6 di atas adalah melukis lingkaran dalam Geometri Taxicab.

Selanjutnya siswa bisa melakukan Aktivitas 4.21 berikut.

Aktivitas 4.21

Diberikan sebuah lingkaran dengan jari-jari r. Dalam Geometri Taxicab,

tentukan keliling dan luas lingkaran tersebut. Perhatikan ilustrasi Gambar 4.8.


147

Gambar 4. 8 Ilustrasi untuk Aktivitas 4.21.


149

BAB V

KESIMPULAN

Bab ini akan menyajikan kesimpulan temuan-temuan penelitian yang

berkaitan dengan Irisan Kerucut pada Geometri Non-Euclid Taxicab. Bab ini

juga akan menyajikan beberapa saran bagi guru dan para peneliti untuk

mengembangkan lebih lanjut topik penelitian ini.

A. Kesimpulan

1. Irisan kerucut pada Geometri Taxicab.

Irisan kerucut yang dibahas dalam penelitian ini adalah

lingkaran, elips, parabola dan hiperbola. Definisi yang dipakai pada

irisan-irisan kerucut pada Geometri Taxicab persis sama dengan

definisi yang dipergunakan dalam Geometri Euclid. Meski demikian,

karena konsep jarak yang dipergunakan dalam Geometri Taxicab

berbeda dengan dalam Geometri Euclid, penelitian ini menemukan

bahwa benda-benda geometris tersebut memiliki bentuk yang berbeda

antara Geometri Taxicab dan Geometri Euclid. Tabel berikut

menyajikan lingkaran, elips, hiperbola, dan parabola pada Geometri

Euclid dan Geometri Taxicab.


150


Euclid dan Geometri Taxicab.

Geometri Non-Euclid

Taxicab

Geometri Euclid

1 Lingkaran Lingkaran yang berpusat di dan berjari-jari .

| | | |

2

Elips Elips dengan titik-titik fokus dan .

a. Untuk , , dan .

| | | | | | | |

b. Untuk , , dan .

| | | | | | | |


151

c. Untuk dan .

| | | | | |

d. Untuk , dan .

| | | | | |

3 Hiperbola Dengan titik-titik fokus dan

a. , , dan

|| | | | | | | ||


152

b. , , dan

|| | | ||

4 Parabola Parabola dengan titik fokus dan garis

direktriks .

| | | | | |

Parabola dengan titik fokus dan garis

direktriks .

| | | | | |


153

Penelitian ini juga membahas keliling dan luas lingkaran dan elips

pada Geometri Taxicab seperti disajikan dalam Tabel 4.2 berikut ini.

Tabel 4.2 Keliling dan luas lingkaran dan elips pada Geometri

Taxicab.

Keliling Luas

1

. Lingkaran

2

. Elips

.

2. Memperkenalkan konsep-konsep irisan kerucut pada Geometri

Taxicab tersebut kepada siswa sekolah menengah atas.

Peneliti memiliki keyakinan bahwa konsep Geometri Taxicab

bisa diperkenalkan kepada siswa sekolah menengah atas. Konsep yang


154

diperlukan untuk mempelajari Geometri Taxicab adalah konsep

persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak. Berdasarkan Peraturan

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan No 24, tahun 2016, salah

satu Kompetensi Dasar mata pelajaran Matematika di kelas X adalah

menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak

(Permendikbud, 2016). Dengan demikian, siswa sekolah menengah

atas sudah memiliki dasar untuk mempelajari Geometri Taxicab.

Untuk memperkenalkan konsep Geometri Taxicab kepada

siswa sekolah menengah, peneliti menggunakan perangkat lunak

Geogebra dan memakai pendekatan Problem Based Learning (PBL)

atau Pembelajaran Berbasis Masalah (PBM). Dengan pendekatan ini,

pada awalnya para siswa diberikan sebuah masalah yang mengarah

kepada pemahaman tentang Geometri Taxicab. Selanjutnya, para siswa

yang sudah memiliki pemahaman persamaan nilai mutlak diharapkan

mampu melakukan pembelajaran mandiri untuk menjawab

permasalahan tersebut. Para siswa juga diminta untuk melakukan

eksplorasi dengan menggunakan perangkat lunak Geogebra.

Berikut merupakan langkah-langkah yang digunakan untuk

memperkenalkan Geometri Taxicab kepada siswa:

1. Memperkenalkan siswa dengan perangkat lunak Geogebra,

perangkat lunak ini yang akan digunakan untuk membantu siswa

menggambar persamaan-persamaan yang diberikan


155

2. Memperkenalkan siswa pada irisan kerucut, yaitu lingkaran, ellips,

hiperbola, parabola. Langkah ini pada aktivitas 4.1.

3. Meninjau kembali mengenai grafik persamaan mutlak yang telah

dipelajari oleh siswa. Langkah ini terdapat pada aktivitas 4.2

sampai dengan aktivitas 4.5

4. Meninjau kembali mengenai grafik persamaan mutlak dan untuk

mengarahkan siswa pada bentuk-bentuk irisan kerucut dalam

Geometri Taxicab. Langkah ini terdapat dalam aktivitas 4.6 sampai

dengan aktivitas 4.16.

5. Dalam aktivitas berikutnya disajikan masalah dalam kehidupan

sehari-hari yang berkaitan dengan Geometri Taxicab. Langkah ini

terdapat dalam aktivitas 4.17 sampai dengan 4.21.

B. Saran

Berdasarkan hasil penelitian ini, peneliti memiliki beberapa saran sebagai

berikut.

1. Bagi guru

a. Guru dapat memperkenalkan konsep Geometri Taxicab, khususnya

pada benda geometris lingkaran, elips, hiperbola, dan parabola

kepada siswa sekolah menengah atas karena mereka telah belajar

konsep persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak. Penelitian ini

mengusulkan cukup banyak kegiatan yang dapat dilakukan oleh


156

guru untuk keperluan tersebut. Guru bisa memilih kegiatan-

kegiatan yang sesuai dengan situasi dan kondisi siswa.

b. Selain itu, melaui kegiatan-kegiatan seperti dibahas dalam skripsi

ini, guru juga akan memperkenalkan kepada para siswa perangkat

lunak Geogebra. Perangkat lunak Geogebra merupakan perangkat

lunak yang berguna bagi siswa dan guru, tidak hanya untuk

pembahasan Geometri Taxicab tetapi juga untuk mempelajari

materi-materi lain dalam Geometri, Aljabar, dan Kalkulus.

2. Bagi peneliti selanjutnya

1. Penelitian ini hanya membahas irisan kerucut pada Geometri

Taxicab. Dengan kata lain, penelitian ini masih mengulas benda

geometri dalam dua dimensi. Penelitian ini masih terbuka

terhadap penelitian geometri tiga dimensi. Salah satunya adalah

pembahasan benda-benda geometris seperti bola, elipsoida,

hiperboloida berdaun satu, hiperboloida berdaun dua, atau

kerucut dalam Geometri Taxicab.

2. Penelitian ini juga hanya membahas salah satu pendekatan

dalam teori pembelajaran, yaitu Problem Based Learning (PBL)

atau Pembelajaran Berbasis Masalah (PBM). Penelitian masih

terbuka untuk pendekatan-pendekatan lain sehingga siswa

semakin mampu untuk mempelajari Geometri Taxicab.


157

DAFTAR PUSTAKA

Barrett, T. 2005. Understanding Problem-based Learning dalam Handbook of

Enquiry & Problem Based Learning. Barrett, T., Mac Labhrainn, I.,

Fallon, H. (Eds). Galway: CELT. Diunduh dari http://www.nuigalway.ie/

celt/pblbook/

Barrows, H. & Tamblyn, R. (1980). Problem-based Learning: An Approach to

Medical Education. New York: Springer.

Casey, J. (1890). The first six books of the elements of Euclid; and propositions I.-

XXI. of Book XI., and an appendix on the cylinder, sphere, cone, etc.

Dublin: Hodges, Figgis. Diunduh dari http://www.gutenberg.org/files/

21076/21076-pdf

Chandrupatla, T. R. & Osler, T. J. (2010). The Perimeter of an Ellipse. Math.

Scientitst. Vol 35, hal. 122-131.

Golland, L. (1990). Karl Menger and Taxicab Geometry. Mathematics Magazine,

Vol. 63, No. 5, pp. 326-327

Greeberg, M. J. (1993). Euclidean and Non-Euclidean Geometries. New York:

W.H. Freeman and Company.

Herlambang, (2013). Analisis Kemampuan Pemecahan Masalah Matematika

Siswa Kelas VII-A SMP Negeri 1 Kepahiang Tentang Bangun Datar

Ditinjau Dari Teori Van Hielle. Tesis. Bengkulu: PPS Universitas

Bengkulu.

Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI) Online. (2019). Diakses pada laman

https://kbbi.web.id/masalah.

Peraturan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia

(Permendikbud), (2016). Peraturan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan

Nomer 24 Tahun 2016 Tentang Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar

Pelajaran Pada Kurikulum 2013 Pada Pendidikan Dasar dan Pendidikan

Menengah.


158

Lambertus. (2011). Pengaruh Pembelajaran Berbasis Masalah terhadap

Kemampuan Pemecahan Masalah, Komunikasi dan Representasi

Matematis Siswa SMP. Disertai FPMIPA UPI : Tidak Diterbitkan

Reinhardt, C. (2005). "Taxi Cab Geometry: History and Applications!," The

Mathematics Enthusiast: Vol. 2 : No. 1 , Article 6. Diunduh dari

https://scholarworks.umt.edu/tme/vol2/iss1/6

Riddle, D.F. (1996). Analytic Geometry, 6th edition. Boston, MA: PWS

Publishing Company.

Roh, K. H. 2003. Problem-based Learning in Mathematics. Educational Resources

Information Center. Diunduh https://www.researchgate.net/publication/

320685522_Problem-based_learning_in_mathematics.

Wolfe, H. E. (1945). Introduction to Non-Euclidean Geometry. Dryden Press:

New York.


IRISAN KERUCUT PADA GEOMETRI NON-EUCLID TAXICAB...

Documents

Transcript of IRISAN KERUCUT PADA GEOMETRI NON-EUCLID TAXICAB...