Bab 5 RUANG HASIL KALI DALAM -...

© 2010 Didit B. Nugroho 119

Bab 5

RUANG HASIL KALI DALAM 5.1 Hasil Kali Dalam

Untuk memotivasi konsep hasil kali dalam, diambil vektor di R2 dan R3 sebagai anak panah dengan titik awal di titik asal O = (0, 0). Panjang suatu vektor x di R2 dan R3 dinamakan norm dari x dan dinotasikan ||x||. Jadi untuk suatu vektor x = (x1, x2) Î R2,

dirumuskan ||x|| = 22

21 xx + .

Gambar 5.1: Vektor x = (x1, x2)

Sejalan dengan itu, untuk vektor x = (x1, x2, x3) Î R3 didefinisikan ||x|| =

23

22

21 xxx ++ . Meskipun tidak bisa digambar di dimensi yang tinggi, generalisasi

untuk Rn adalah jelas: norm dari vektor x = (x1, x2, …, xn) Î Rn didefinisikan oleh

||x|| = 222

21 nxxx +++ ! .

Norm tidaklah linear pada Rn. Untuk memasukkan linearitas ke pembahasan, diperkenalkan hasil kali titik. Untuk x, y Î Rn, hasil kali titik (dot product) dari x dan y, dinotasikan x • y, didedifinisikan oleh

x • y = x1y1 + … + xnyn. Perlu dicatat bahwa hasil kali titik dari dua vektor di Rn adalah suatu bilangan, bukan suatu vektor. Jelasnya x • x = ||x||2 untuk semua x Î Rn. Secara khusus, x • x ³ 0 untuk semua x Î Rn, dengan kesamaan terjadi jika dan hanya jika x = 0. Selanjutnya, untuk y Î Rn, maka secara jelas pemetaan dari Rn ke R yang membawa x Î Rn ke x • y adalah linear. Lebih jauh lagi, x • y = y • x untuk semua x, y Î Rn.

Suatu hasil kali dalam adalah suatu generalisasi dari hasil kali titik.

(x1, x2)

sumbu x1

sumbu x2

x

Bab 5 Ruang Hasil Kali Dalam

© 2010 Didit B. Nugroho

120

DEFINISI 5.1.1 Suatu hasil kali dalam (inner product) pada suatu ruang vektor V atas field F adalah suatu fungsi yang membawa setiap pasang vektor (x, y) dari elemen-elemen V ke suatu bilangan áx, yñ Î F, dan dinotasikan

á . , . ñ : V ´ V ® F, sehingga aksioma-aksioma berikut dipenuhi untuk semua x, y, z Î V dan sebarang k Î F: HKD1 Simetris:

áx, yñ = áy, xñ; HKD2 Aditif-homogen:

ákx + y, zñ = káx, zñ + áy, zñ; HKD3 Positif dan terbatas:

áx, xñ ³ 0 dan áx, xñ = 0 Û x = 0V.

Suatu ruang vektor V yang dilengkapi dengan suatu hasil kali dalam disebut ruang hasil kali dalam (inner product space). Khususnya, jika F = R maka V disebut ruang hasil kali dalam real, sedangkan jika F = C maka V disebut ruang hasil kali dalam kompleks. Selanjutnya di bab ini ditetapkan hasil kali dalam yang mengacu pada field R.

Sifat-sifat yang secara cepat bisa diturunkan dari ketiga aksioma hasil kali dalam antara lain: 1. á0V, xñ = áx, 0V ñ = 0V; 2. áx, y + zñ = áx, yñ + áx, zñ; 3. áx, kyñ = káx, yñ. CONTOH 5.1.1 Diberikan vektor x = (x1, x2, …, xn) dan y = (y1, y2, …, yn) di Rn dan didefinisikan hasil kali titik dari dua vektor x dan y yaitu

áx, yñ = x1y1 + x2y2 + … + xnyn. Akan ditunjukkan bahwa hasil kali titik memenuhi semua aksioma dari hasil kali dalam. Bahasan. Diambil sebarang vektor x, y, z = (z1, z2, …, zn) Î Rn dan k ÎR. (i) áx, yñ = x1y1 + x2y2 + … + xnyn = y1x1 + y2x2 + … + ynxn = áy, xñ. (ii) ákx + y, zñ = ák(x1, x2, …, xn) + (y1, y2, …, yn), (z1, z2, …, zn)ñ

= á(kx1, kx2, …, kxn) + (y1, y2, …, yn), (z1, z2, …, zn)ñ = á(kx1 + y1, kx2 + y2, …, kxn + yn), (z1, z2, …, zn)ñ = (kx1 + y1)z1 + (kx2 + y2)z2 + … + (kxn + yn)zn = k(x1z1 + x2z2 + … + xnzn) + (y1z1 + y2z2 + … + ynzn) = káx, zñ + áy, zñ.

(iii) áx, xñ = x1x1 + x2x2 + … + xnxn = x12 + x2

2 + … + xn2 ³ 0;

áx, xñ = 0 Þ x12 + x2

2 + … + xn2 = 0 Þ x1 = x2 = … = xn = 0 Þ x = 0 Þ

áx, xñ = x1x1 + x2x2 + … + xnxn = 0. Hasil kali dalam yang didefinisikan tersebut dinamakan hasil kali dalam Euclid. CONTOH 5.1.2 Untuk setiap vektor u = (u1, u2), v = (v1, v2) Î R2 didefinisikan:

áu, vñ = 3u1v1 + 2u2v2. Akan ditunjukkan bahwa áu, vñ adalah suatu hasil kali dalam di R2. Bahasan. Diambil sebarang vektor u, v, w = (w1, w2) Î R2 dan k Î R. (i) áu, vñ = 3u1v1 + 2u2v2 = 3v1u1 + 2v2u2 = áv, uñ. (ii) áku + v, wñ = (k(u1, u2) + (v1, v2), (w1, w2)) = ((ku1, ku2) + (v1, v2), (w1, w2))

= ((ku1 + v1, ku2 + v2), (w1, w2)) = 3(ku1 + v1)w1 + 2(ku2 + v2)w2 = 3ku1w1 + 2ku2w2 + 3v1w1 + 2v2w2 = káu, wñ + áv, wñ.

(iii) áv, vñ = 3v1v1 + 2v2v2 = 3v12 + 2v2

2 ³ 0; áv, vñ = 0 Þ 3v1

2 + 2v22 = 0 Þ v1 = v2 = 0 Þ v = 0 Þ áv, vñ = 3v1v1 + 2v2v2 = 0.



121

CONTOH 5.1.3 Diberikan ruang vektor M2(R), yaitu himpunan semua matriks berukuran 2´2 dengan semua unsurnya bilangan real. Untuk vektor-vektor:

U = úû

ùêë

é

43

21

uuuu

dan V = úû

ùêë

é

43

21

vvvv

di M2(R) berlaku bahwa rumus áU, Vñ = u1v1 + u2v2 + u3v3 + u4v4

mendefinisikan suatu hasil kali dalam. CONTOH 5.1.4 Rumus

áp, qñ = a0b0 + a1b1 + a2b2 dengan p = a0 + a1x + a2x2 dan q = b0 + b1x + b2x2 adalah sebarang dua vektor di P2[x](R), mendefinisikan suatu hasil kali dalam di P2[x](R). CONTOH 5.1.5 Diberikan sebarang polinomial p = p(x) dan q = q(x) di Pn[x](R), dan didefinisikan

áp, qñ = òb

adxxqxp )()(

dengan a, b Î R dan a < b. Rumus áp, qñ mendefinisikan hasil kali dalam di Pn[x](R). Bahasan. Diambil sebarang p, q, r Î Pn[x](R) dan k Î R.

(i) áp, qñ = òb

adxxqxp )()( = ò

b

adxxpxq )()( = áq, pñ.

(ii) ákp + q, rñ = ( )ò +b

adxxrxqxkp )()()( = ò

b

adxxrxpk )()( + ò

b

adxxrxq )()(

= káp, rñ + áq, rñ.

(iii) áp, pñ = ( )[ ]òb

adxxp 2 ³ 0;

áp, pñ = 0 Þ ( )[ ]òb

adxxp 2 = 0 Þ ( )[ ] 02 =xp Þ p(x) = 0 Î Pn[x](R) Þ

( )[ ]òb

adxxp 2 = 0 Þ áp, pñ = 0.

5.2 Norm DEFINISI 5.2.1 Diberikan V adalah suatu ruang hasil kali dalam dan vektor v Î V. Norm dari vektor v, didefinisikan oleh

||v|| = vv, . Perlu dicatat bahwa ||v|| = 0 jika dan hanya jika v = 0 (sebab áv, vñ = 0 jika dan

hanya jika v = 0). Sifat mudah yang lainnya dari norm adalah ||kv|| = |k| ||v|| untuk semua k Î F dan semua v Î V. Di sini bisa dibuktikan

||kv||2 = ákv, kvñ = káv, kvñ = kkáv, vñ = |k|2 ||v||2, dan dengan pengambilan akar dua akan memberikan persamaan yang diinginkan. Bukti tersebut menggambarkan suatu prinsip umum: bekerja dengan norm kuadrat pada umumnya lebih mudah daripada bekerja secara langsung dengan norm.

Selanjutnya jarak antara dua vektor u dan v, dinotasikan dengan d(u, v), didefinisikan oleh

d(u, v) = ||u – v||.



122

CONTOH 5.2.1 Jika u = (u1, u2, …, un) dan v = (v1, v2, …, vn) adalah vektor-vektor di Rn dengan hasil kali dalam Euclid, maka

||u|| = uu, = 222

21 ... nuuu +++

dan d(u, v) = ||u – v|| = vuvu -- ,

= ( ) ( ) ( )2222

211 ... nn vuvuvu -++-+-

CONTOH 5.2.2 Pada Contoh 5.1.2, jika diambil u = (1, 0) dan v = (0, 1) maka

||u|| = )0,1(),0,1( = 0.0.21.1.3 + = 3 dan d(u, v) = ||u – v|| = ||(1, –1)|| = )1,1(),1,1( -- = )1)(1(21.31 --+

= 5 .

DEFINISI 5.2.2 Diambil vektor u, v Î V. Vektor u dikatakan ortogonal (orthogonal) terhadap v jika áu, vñ = 0. Secara simbolis dituliskan u ^ v (dibaca: u tegak lurus (perpendicular) terhadap v).

Jelas bahwa u ^ v jika dan hanya jika v ^ u. Selanjutnya, jika u ortogonal terhadap setiap vektor di suatu himpunan S, maka dikatakan bahwa u ortogonal terhadap S. Secara jelas vektor 0 ortogonal terhadap setiap vektor. Lebih jauh lagi, vektor 0 menjadi satu-satunya vektor yang tegak lurus dengan dirinya sendiri. DEFINISI 5.2.3 1. Suatu himpunan V1 dikatakan ortogonal dengan himpunan V2, dituliskan V1 ^ V2, jika

v1 ^ v2 untuk setiap v1 Î V1 dan v2 Î V2. 2. Suatu himpunan bagian U dari suatu ruang hasil kali dalam dikatakan ortogonal jika

untuk setiap u, v Î U dan u ¹ v maka áu, vñ = 0. CONTOH 5.2.3 Pada ruang vektor P2[x](R) dengan hasil kali dalam

áp, qñ = ò-1

1)()( dxxqxp ,

jika diambil p = x dan q = x2, maka

áp, qñ = ò-1

12. dxxx = 0.

Karena áp, qñ = 0, maka vektor p = x ortogonal terhadap q = x2 relatif terhadap hasil kali dalam yang diberikan.

TEOREMA 5.2.1 (Teorema Pythagoras) Jika u, v adalah vektor-vektor ortogonal di V, maka

||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2. Bukti. Diketahui u ortogonal v, berarti áu, vñ = 0 dan karena itu

||u + v||2 = á(u + v), (u + v)ñ = ||u||2 + 2áu, vñ + ||v||2 = ||u||2 + ||v||2. n Diandaikan u, v Î V. Selanjutnya dimaksudkan untuk menuliskan u sebagai

suatu kelipatan skalar dari v ditambah suatu vektor w yang ortogonal terhadap v seperti yang ditunjukkan pada Gambar 5.2.



123

Gambar 5.2: Dekomposisi ortogonal vektor u

Untuk menemukan bagaimana cara menulis u sebagai suatu kelipatan skalar v

ditambah suatu vektor ortogonal terhadap v, diambil k Î R, dan dinyatakan u = kv + (u – kv).

Jadi harus dipilih k sehingga v ortogonal terhadap (u – kv). Dengan kata lain, haruslah 0 = áu – kv, vñ = áu, vñ – k||v||2.

Persamaan tersebut menunjukkan bahwa dapat dipilih 2

,

v

vuk = (diandaikan bahwa v ¹

0V untuk menghindari pembagian oleh 0). Dari pemilihan k tersebut, dapat dituliskan

÷÷

ø

ö

çç

è

æ-+= vv

vuuv

v

vuu 22

,,.

Jika v ¹ 0V maka dari persamaan tersebut dapat dituliskan u sebagai suatu kelipatan skalar dari v ditambah suatu vektor ortogonal terhadap v.

Persamaan tersebut akan digunakan dalam pembuktian teorema di bawah ini, yang memberikan satu dari banyak ketaksamaan penting dalam matematika. TEOREMA 5.2.2 (Ketaksamaan Cauchy) Jika u, v Î V, dengan V adalah ruang hasil kali dalam, maka berlaku

|áu, vñ| £ ||u|| ||v|| dan kesamaannya terjadi jika dan hanya jika u and v adalah tidak bebas linear. Bukti. Diambil sebarang u, v Î V. Jika u and v adalah tidak bebas linear, maka dapat diambil v = ku yang mengakibatkan kedua sisi dari ketaksamaan sama dengan |k| ||u||2. Secara khusus, jika v = 0V maka kedua sisi dari ketaksamaan sama dengan 0.

Selanjutnya untuk u and v yang tidak bebas linear (disajikan seperti pada Gambar 5.2), maka dapat diandaikan bahwa v ¹ 0. Diberikan dekomposisi ortogonal

wvv

vuu += 2

,,

dengan w ortogonal terhadap v. Berdasarkan Teorema Pythagorean,

||u||2 = 22

2

,wv

v

vu+ = 2

2

2,

wv

vu+ ³

2

2,

v

vu.

Karena ||v||2 > 0 maka dengan mengalikan kedua sisi dengan ||v||2 dan mengambil akar kuadrat diperoleh ketaksamaan Cauchy seperti yang diinginkan.n

u

v

w

kv

0



124

Ketaksamaan Cauchy sering juga disebut dengan ketaksaman Cauchy-Schwarz atau Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky. Selanjutnya dengan mengingat sifat harga mutlak, ketidaksamaan Cauchy dapat ditulis menjadi

– ||u|| ||v|| £ áu, vñ £ ||u|| ||v||

atau ekuivalen dengan

1,

1 ££-vuvu

.

Dari hasil tersebut, untuk suatu ruang hasil kali dalam real didefinisikan

vuvu

θ,

)cos( = .

Dengan mengambil nilai utama q Î [0, p ] diperoleh sudut q antara vektor u dan v yang serupa dengan sudut biasa antara dua vektor di R2 maupun di R3. CONTOH 5.2.4 Diberikan vektor u = (4, 3, 1, –2) dan v = (–2, 1, 2, 3) di ruang vektor R4 dengan suatu hasil kali dalam Euclid. Diperoleh

||u|| = 2222 )2(134 -+++ = 30 ,

||v|| = 2222 321)2( +++- = 18 , áu, vñ = 4(–2) + 3.1 + 1.2 + (–2).3 = –9, dan karena itu

603

8309)cos( -=

-=θ

atau

÷÷ø

öççè

æ-=÷÷

ø

öççè

æ-=

603arccos

603arccos pq .

CONTOH 5.2.5 Pada Contoh 5.1.3, jika diambil

úû

ùêë

é=

1101

U dan úû

ùêë

é=

0020

V ,

maka sudut antara matriks U dan V sama dengan p21 karena

00.10.12.00.1,)cos( =

+++==

VUVUVU

θ .

Hasil berikut ini dinamakan ketaksamaan segitiga sebab dari interpretasi

geometrisnya bahwa panjang suatu sisi segitiga adalah kurang dari jumlahan panjang kedua sisi lainnya.

Gambar 5.3: Jumlahan vektor u dan v dengan aturan segitiga

u

v u + v



125

LEMMA 5.2.3 (Ketaksamaan Segitiga) Jika u, v Î V, maka ||u + v|| £ ||u|| + ||v||.

Ketaksamaan menjadi kesamaan jika dan hanya jika satu dari u atau v adalah kelipatan tak negatif dari yang lainnya. Bukti. Diambil u, v Î V, maka ||u + v||2 = áu + v, u + vñ = áu, uñ + áv, vñ + áu, vñ + áv, uñ = ||u||2 + ||v||2 + 2áu, vñ £ ||u||2 + ||v||2 + 2|áu, vñ|

£ ||u||2 + ||v||2 + 2||u|| ||v|| = (||u|| + ||v||)2.

Dengan mengambil akar kuadrat dari kedua sisi akan diperoleh ||u + v|| £ ||u|| + ||v||.n

Hasil berikutnya dinamakan kesamaan jajaran genjang sebab interpretasi

geometrisnya adalah bahwa dalam suatu jajaran genjang, jumlah dari kuadrat panjang diagonal-diagonal sama dengan jumlah dari kuadrat panjang keempat sisinya.

Gambar 5.4: Jumlahan vektor u dan v dengan aturan jajaran genjang

LEMMA 5.2.4 (Kesamaan Jajaran Genjang) Jika u, v Î V, maka ||u + v||2 + ||u – v||2 = 2(||u||2 + ||v||2).

Bukti. Diambil u, v Î V, maka ||u + v||2 + ||u – v||2 = áu + v, u + vñ + áu – v, u – vñ = ||u||2 + ||v||2 + áu, vñ + áv, uñ + ||u||2 + ||v||2 – áu, vñ – áv, uñ = 2(||u||2 + ||v||2).n 5.3 Basis Ortonormal dan

Ortogonalisasi Gram-Schmidt Dalam banyak persoalan yang berkenaan dengan ruang vektor, pemilihan suatu basis untuk ruang tergantung pada kemauan penyelesai masalah. Tentu saja strategi yang terbaik adalah memilih basis untuk menyederhanakan dengan mudah penyelesaian dari suatu persoalan. Di ruang hasil kali dalam, seringkali terjadi bahwa pilihan terbaik adalah suatu basis yang semua vektornya saling ortogonal. Di sini akan dibahas bagaimana basis-basis tersebut dapat dibentuk. DEFINISI 5.3.1 Suatu himpunan ortogonal yang setiap vektornya mempunyai norm 1 dikatakan ortonormal. Dengan kata lain, {v1, v2, …, vn} dari vektor-vektor di V adalah ortonormal jika

îíì

==¹

=)...,,1,(,1

,0,

nkjkjkj

vv kj .

u

v u + v

u

v u - v



126

CONTOH 5.3.1 Diberikan himpunan V = {v1, v2, v3} dengan

v1 = (0,1,0), v2 = ÷÷ø

öççè

æ

21,0,

21 , v3 = ÷÷

ø

öççè

æ-

21,0,

21

adalah vektor-vektor di R3 yang dilengkapi hasil kali dalam Euclid. Diperoleh

áv1, v2ñ = 21.00.1

21.0 ++ = 0,

áv1, v3ñ = 21.00.1

21.0 ++÷÷ø

öççè

æ- = 0,

áv2, v3ñ = 21.

210.0

21

21

++÷÷ø

öççè

æ- = 0.

Selanjutnya dihitung norm dari setiap vektor di V sebagai berikut:

||v1|| = 1010 222 =++ ,

||v2|| = 1210

21

22

2

=÷÷ø

öççè

æ++÷÷

ø

öççè

æ ,

||v3|| = 1210

21

22

2

=÷÷ø

öççè

æ++÷÷

ø

öççè

æ- .

Karena setiap vektor di V adalah ortogonal dan mempunyai norm 1 maka V adalah ortonormal.

Jika v adalah vektor tak nol dalam suatu ruang hasil kali dalam, maka vektor

vv1 mempunyai norm 1 karena

vv1 = v

v1 = 1.

DEFINISI 5.3.2 Proses perkalian suatu vektor tak nol v dengan kebalikan panjangnya (norm) untuk memperoleh suatu vektor dengan norm 1 disebut dengan normalisasi (normalizing) v. TEOREMA 5.3.1 Jika {v1, v2, …, vn} adalah ortonormal, maka

||k1v1 + k2v2 + … + knvn||2 = |k1|2+ |k2|2 + … + |kn|2 untuk v1, v2, …, vn Î V dan k1, k2, …, kn Î F. Bukti. Karena setiap vj (j = 1, …, n) mempunyai norm 1, ini mengikuti dengan mudah aplikasi yang diulang pada Teorema Pythagoras.n AKIBAT 5.3.1 Setiap vektor di himpunan ortonormal adalah bebas linear. Bukti. Diandaikan {v1, v2, …, vn} adalah ortonormal dengan v1, v2, …, vn Î V dan k1, k2, …, kn Î F sehingga

k1v1 + k2v2 + … + knvn = 0. Selanjutnya berdasarkan Teorema 5.3.1, maka |k1|2+ |k2|2 + … + |kn|2 = 0, yang berarti bahwa semua ki sama dengan 0. n



127

Suatu basis dari ruang hasil kali dalam V yang ortonormal disebut basis ortonormal atau basis satuan dari V. Jika basisnya hanya ortogonal maka disebut basis ortogonal.

Teorema berikut ini memperlihatkan bahwa sederhana sekali untuk menyatakan suatu vektor dalam suku-suku dari suatu basis ortonormal. TEOREMA 5.3.2 Jika {v1, v2, …, vn} adalah suatu basis ortonormal untuk suatu ruang hasil kali dalam V, dan u adalah sebarang vektor di V, maka

u = áu, v1ñv1 + áu, v2ñv2 + … + áu, vnñvn dan

||u||2 = |áu, v1ñ|2+ |áu, v2|2 + … + |áu, vnñ|2. Bukti. Karena {v1, v2, …, vn} adalah basis, maka u bisa dinyatakan dalam bentuk

u = k1v1 + k2v2 + … + knvn. Untuk melengkapi bukti ini akan ditunjukkan bahwa untuk i = 1, 2, …, n, berlaku

ki = áu, viñ. Setiap vektor vi akan mempunyai bentuk áu, viñ = ák1v1 + k2v2 + … + knvn, vi ñ = k1áv1, vi ñ + k2áv2, vi ñ + … + knávn, vi ñ. Karena himpunannya adalah ortonormal, berarti ávi, viñ = ||vi|| 2 = 1, dan ávi, vjñ = 0 untuk i ¹ j, dan karena itu áu, viñ = ki. Selanjutnya dengan menggunakan Teorema 5.3.1, diperoleh ||u||2 = ||áu, v1ñv1 + áu, v2ñv2 + … + áu, vnñvn||2

= |áu, v1ñ|2+ |áu, v2|2 + … + |áu, vnñ|2.n CONTOH 5.3.2 Diberikan vektor-vektor

v1 = (0,1,0), v2 = ÷øö

çèæ-

53,0,

54 , v3 = ÷

øö

çèæ

54,0,

53 .

Mudah diperiksa bahwa himpunan S = {v1, v2, v3} adalah basis ortonormal untuk R3 dengan hasil kali dalam Euclid. Selanjutnya diambil suatu vektor u = (1,1,1) dan akan dicari kombinasi linearnya dari vektor-vektor di S.

áu, v1ñ = 1.0 + 1.1 + 1.0 = 1,

áu, v2ñ = 51

5310.1

541 -=÷

øö

çèæ++÷

øö

çèæ- ,

áu, v3ñ = 57

5410.1

531 =÷

øö

çèæ++÷

øö

çèæ .

Berdasarkan Teorema 5.3.2 diperoleh

321 57

51 vvvu +-= .

TEOREMA 5.3.3 Diberikan himpunan ortonormal {v1, v2, …, vn} di suatu ruang hasil kali dalam V. Jika W adalah ruang yang direntang oleh v1, v2, …, vn maka setiap vektor u Î V bisa dinyatakan dalam bentuk

u = w1 + w2 dengan w1 Î W dan w2 ortogonal terhadap W yang dirumuskan oleh

w1 = áu, v1ñv1 + áu, v2ñv2 + … + áu, vnñvn, w2 = u – w1 = u – áu, v1ñv1 – áu, v2ñv2 – … – áu, vnñvn.



128

Berikut ini ilustrasi dari Teorema 5.3.3 di ruang R3.

Gambar 5.5: Proyeksi vektor u

Berdasarkan gambar di atas, vektor w1 disebut proyeksi ortogonal dari u pada W, disingkat uWproy , sedangkan vektor w2 disebut komponen dari u yang ortogonal terhadap W. CONTOH 5.3.3 Diberikan ruang vektor R3 dengan hasil kali dalam Euclid dan ruang vektor W yang direntang oleh vektor-vektor ortonormal v1 = (0,1,0) dan

÷øö

çèæ-=

53,0,

54

2v .

Proyeksi ortogonal dari vektor u = (1,1,1) pada W adalah

uWproy = áu, v1ñv1 + áu, v2ñv2 = 1(0,1,0) – ÷øö

çèæ-

53,0,

54

51 = ÷

øö

çèæ -

253,1,

254 ,

sedangkan komponen dari u yang ortogonal terhadap W adalah

u – uWproy = (1,1,1) – ÷øö

çèæ -

253,1,

254 = ÷

øö

çèæ -

2528,0,

2521 .

AKIBAT 5.3.2 Setiap ruang hasil kali dalam tak nol yang berdimensi berhingga mempunyai suatu basis ortonormal. Bukti. Diambil ruang hasil kali dalam tak nol V yang berdimensi n, dan suatu himpunan U = {u1, u2, …, un} sebagai basis untuk V. Langkah-langkah berikut ini, dikenal dengan nama ortogonalisasi Gram-Schmidt, akan menghasilkan suatu basis ortogonal {v1, v2, …, vn} untuk V. Langkah 1. Mengambil v1 = u1. Langkah 2. Membentuk vektor v2 yang ortogonal terhadap v1 dengan cara menghitung

komponen dari u2 yang ortogonal terhadap ruang W1 yang direntang oleh v1, yaitu

v2 = u2 – 21proy u

W = u2 – kv1 = u2 – 12

1

12 , vv

vu.

[Untuk mendapatkan 2

1

12 ,

v

vuk = , lihat kembali pembahasan dekomposisi

ortogonal pada halaman 187 – 188.] Langkah 3. Membentuk vektor v3 yang ortogonal terhadap v1 dan v2 dengan cara

menghitung komponen dari u3 yang ortogonal terhadap ruang W2 yang direntang oleh v1 dan v2, yaitu

v3 = u3 – 32proy uW = u3 – 12

1

13 , vv

vu – 22

2

23 , vv

vu.

u

w1

w2

W



129

Langkah 4. Membentuk vektor v4 yang ortogonal terhadap v1, v2, dan v3 dengan cara menghitung komponen dari u4 yang ortogonal terhadap ruang W3 yang direntang oleh v1, v2, dan v3, yaitu

v4 = u4 – 43proy uW = u4 – 12

1

14 , vv

vu – 22

2

24 , vv

vu – 32

3

34 , vv

vu.

Proses dilanjutkan sampai vn. Dihasilkan himpunan ortogonal {v1, v2, …, vn} yang terdiri dari n vektor bebas linear di V dan merupakan suatu basis ortogonal untuk V. Penormalan vektor-vektor di basis ortogonal akan menghasilkan basis ortonormal. n

Rumus Gram-Schmidt dapat dinyatakan secara umum sebagai berikut:

å-

=

-=1

12

,k

jj

j

jkkk v

v

vuuv , k = 1, …, n.

CONTOH 5.3.4 Diberikan V = R3 dengan hasil kali dalam Euclid, dan akan diterapkan algoritma Gram-Schmidt untuk mengortogonalkan basis

{(1, –1,1), (1, 0, 1), (1, 1, 2)}. Langkah 1. v1 = (1, –1,1).

Langkah 2. v2 = (1, 0, 1) – ( )( )( )

( )1,1,11,1,1

1,1,1.1,0,12 -

-

- = (1, 0, 1) – ( )1,1,132

- = ÷øö

çèæ

31,

32,

31 .

Langkah 3. v3 = (1, 1, 2) – ( )( )( )

( )1,1,11,1,1

1,1,1.2,1,12 -

-

- – ( )( )( )

÷øö

çèæ

31,

32,

31

,,

,,.2,1,12

31

32

31

31

32

31

= (1, 0, 1) – ( )1,1,132

- – ÷øö

çèæ

31,

32,

31

25 = ÷

øö

çèæ-

21,0,

21 .

Selanjutnya, dengan menormalkan vektor-vektor v1, v2, dan v3 akan diperoleh basis ortonormal

ïþ

ïýü

ïî

ïíì

÷÷ø

öççè

æ-÷

÷ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ-

22,0,

22,

66,

36,

66,

33,

33,

33 .

Seringkali diperlukan untuk mengetahui tidak hanya adanya suatu basis

ortonormal, tetapi juga vektor-vektor ortonormal yang dapat diperluas ke suatu basis ortonormal. Pada akibat berikut ini, algoritma Gram-Schmidt menunjukkan bahwa suatu perluasan adalah mungkin.

AKIBAT 5.3.3 Setiap vektor-vektor ortonormal di V dapat diperluas ke suatu basis ortonormal untuk V. Bukti. Diandaikan bahwa {v1, v2, …, vm} adalah suatu himpunan vektor-vektor ortonormal di V, maka {v1, v2, …, vm} adalah bebas linear dan karena itu dapat diperluas ke suatu basis {v1, …, vm, u1, …, un} untuk V. Sekarang diaplikasikan algoritma Gram-Schmidt untuk {v1, …, vm, u1, …, un} yang menghasilkan suatu vektor-vektor ortonormal

{v1, …, vm, w1, …, wn}. Jelas bahwa himpunan tersebut adalah suatu basis ortonormal untuk V karena bebas linear dan rentangannya sama dengan V. Oleh karena itu dipunyai perluasan dari {v1, v2, …, vm} ke suatu basis ortonormal untuk V. n



130

5.4 Perubahan Basis DEFINISI 5.4.1 Jika B = {v1, v2, …, vn} adalah suatu basis untuk ruang vektor V berdimensi berhingga, maka untuk setiap v Î V dapat dinyatakan:

v = k1v1 + k2v2 + … + knvn. Skalar-skalar k1, k2, …, kn disebut koordinat-koordinat dari v relatif terhadap B, sedangkan vektor koordinat dari v relatif terhadap B, dinyatakan dengan (v)B, didefinisikan oleh

(v)B = (k1, k2, …, kn). Matriks koordinat dari v relatif terhadap B, dinyatakan oleh [v]B, didefinisikan oleh

[v]B =

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

nk

kk

!2

1

.

CONTOH 5.4.1 Diberikan basis B = {v1, v2, v3} untuk R3 dengan

v1 = (1, 2, 1), v2 = (2, 9, 0), dan v3 = (3, 3, 4). (a) Tentukan vektor koordinat dan matriks koordinat dari vektor v = (5, –1, 9) yang

relatif terhadap basis B. (b) Tentukan suatu vektor v di R3 yang vektor koordinat relatif terhadap B adalah (v)S =

(–1, 3, 2). Penyelesaian. (a) Dibentuk kombinasi linear

k1(1, 2, 1) + k2(2, 9, 0) + k3(3, 3, 4) = (5, –1, 9) dengan k1, k2, k3 Î R. Dengan menyelesaikan sistem tersebut, maka akan diperoleh k1 = 1, k2 = –1, dan k3 = 2. Jadi,

(v)B = (1, –1, 2) dan [v]B = úúú

û

ù

êêê

ë

é-211

.

(b) Dengan menggunakan Definisi 5.4.1, diperoleh v = –1(1, 2, 1) + 3(2, 9, 0) + 2(3, 3, 4) = (11, 31, 7).

Vektor koordinat dan matriks koordinat ditentukan oleh urutan bagaimana

vektor-vektor basis ditulis. Perubahan urutan dari vektor-vektor basis menghasilkan perubahan yang bersesuaian dari urutan untuk unsur-unsur matriks koordinat dan vektor koordinat. CONTOH 5.4.2 Diberikan basis B = {1, x, x2} untuk P2[x](R). Vektor koordinat dan matriks koordinat yang relatif terhadap B untuk p = a0 + a1x + a2x2 adalah

(p)S = (a0, a1, a2) dan [p]B = úúú

û

ù

êêê

ë

é

2

1

0

aaa

.

CONTOH 5.4.3 Jika B = {v1, v2, …, vn} adalah suatu basis ortonormal untuk suatu ruang hasil kali dalam V, maka berdasarkan Teorema 5.3.2 untuk sebarang u Î V diperoleh

(u)B = (áu, v1ñv1, áu, v2ñv2, …, áu, vnñvn)



131

dan

[u]B =

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

><

><><

nvu

vuvu

,

,,

1

1

!.

Selanjutnya diandaikan {w1, w2, …, wk} dan {v1, v2, …, vk} adalah dua basis untuk suatu ruang bagian B dari Rn. Bagaimanakah mereka berhubungan?

Dibentuk matriks W = [w1, w2, …, wk] dan V = [v1, v2, …, vk] berukuran n´k. Diklaim bahwa terdapat suatu matriks inversibel R berukuran k´k sehingga

V = WR.

CONTOH 5.4.4 Diberikan matriks

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

=

3341193333111341

A yang mempunyai basis

(tunjukkan sebagai latihan) {w1, w2, w3} dan {v1, v2, v3} dengan

w1 =

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

1001

, w2 =

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

3040

, w3 =

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

-1400

dan v1 =

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

1311

, v2 =

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

4314

, v3 =

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

3131

.

Dari situ dibentuk matriks

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

-

=

131400040001

W dan

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

=

341133311141

V .

Benarkah bahwa V = WR untuk suatu matriks inversibel R berukuran 3´3? Jika ya, harus dipunyai WTV = (WTW)R, dan karena itu R = (WTW)-1WTV. Jika dihitung, akan didapatkan bahwa WTW adalah inversibel, dan

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

1333114164

41R .

Dapat diperiksa bahwa V = WR.

Jika basis B untuk suatu ruang vektor diubah ke basis B¢ , bagaimanakah matriks koordinat [v]B dihubungkan dengan matriks koordinat [ ]Bv ¢?

Berikut ini akan difokuskan pada vektor-vektor di R2 yang dapat

digeneralisasikan ke Rn. Basis baku di R2 adalah þýü

îíì

úû

ùêë

éúû

ùêë

é10

,01

dan ditentukan basis lain

dengan acuan sistem koordinat kartesius. Diberikan basis B = {u, w} dan { }wuB ¢¢=¢ , untuk R2. Diandaikan bahwa vektor

basis u¢ dan w¢ untuk B¢ mempunyai koordinat relatif untuk basis B sebagai berikut:

[ ] úû

ùêë

é=¢ba

u B , [ ] úû

ùêë

é=¢dc

w B ,



132

yang mempunyai arti bahwa u¢ = au + bw, w¢ = cu + dw.

Untuk sebarang vektor v Î V, dimisalkan

[ ]Bv ¢ = úû

ùêë

é

2

1

kk

yang mempunyai arti v = 22111 ukuk ¢+¢ .

Dengan mensubstitusikan u¢ dan w¢ ke v akan diperoleh v = k1(au + bw) + k2(cu + dw) = (k1a + k2c)u + (k1b + k2d)w. Dengan kata lain, matriks koordinat dari v terhadap basis B adalah

[v]B = úû

ùêë

é++

21

21

dkbkckak

= úû

ùêë

éúû

ùêë

é

2

1

kk

dbca

= [ ]Bvdbca

¢úû

ùêë

é.

Persamaan tersebut menyatakan bahwa jika matriks koordinat dari v relatif terhadap basis B¢ sudah diketahui, maka matriks koordinat [ ]Bv ¢ dikalikan dari sebelah kiri dengan matriks

úû

ùêë

é=

dbca

P

akan menghasilkan matriks koordinat dari v relatif terhadap basis B. Matriks P disebut matriks perubahan koordinat (matriks transisi) dan bersifat inversibel. Oleh karena itu, jika P adalah matriks perubahan koordinat dari B¢ ke B maka P-1 adalah matriks perubahan koordinat dari B ke B¢ dan

[ ]Bv ¢ = P-1[v]B.

CONTOH 5.4.5 Diberikan basis þýü

îíì

úû

ùêë

éúû

ùêë

é=

10

,01

B dan þýü

îíì

úû

ùêë

é-úû

ùêë

é=¢

12

,13

B . Matriks

transisi dari B¢ ke B adalah

úû

ùêë

é -=

1123

P .

Jika diketahui [ ]Bv ¢ = úû

ùêë

é12

, maka vektor v mempunyai koordinat

[v]B = úû

ùêë

éúû

ùêë

é -12

1123

= úû

ùêë

é34

yang relatif terhadap basis B. Karena

úúû

ù

êêë

é

-=-

53

51

52

51

1P ,

maka dapat dinyatakan bahwa

[ ]Bv ¢ = úû

ùêë

é12

= úû

ùêë

é

úúû

ù

êêë

é

- 34

53

51

52

51

.



133

Contoh berikut ini memperkenalkan suatu basis ketiga untuk melihat hubungan antara dua basis tak baku.

CONTOH 5.4.6 Diberikan þýü

îíì

úû

ùêë

éúû

ùêë

é=¢¢

41

,12

B . Untuk menemukan matriks

perubahan koordinat dari basis B¢ pada Contoh 5.4.5 ke basis B ¢¢ , pertama kali

dinyatakan vektor basis úû

ùêë

é13

dan úû

ùêë

é-12

di B¢ sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor

basis úû

ùêë

é12

dan úû

ùêë

é41

di B ¢¢ :

úû

ùêë

é13

= a úû

ùêë

é12

+ b úû

ùêë

é41

, úû

ùêë

é-12

= c úû

ùêë

é12

+ d úû

ùêë

é41

.

Dengan menyelesaikan sistem-sistem di atas akan diperoleh

a = 711 , b =

71

- , c = 79

- , d = 74 .

Jadi, matriks transisi dari B¢ ke B ¢¢ adalah

úúû

ù

êêë

é

--

74

71

79

711

.

Vektor v dengan koordinat úû

ùêë

é12

relatif terhadap basis B¢ mempunyai koordinat

úúû

ù

êêë

é

--

74

71

79

711

úû

ùêë

é12

= úúû

ù

êêë

é

72713

yang relatif terhadap basis B ¢¢ . CONTOH 5.4.7 (Rotasi Sumbu Koordinat) Diandaikan diperoleh sistem koordinat baru dari sistem koordinat kartesius baku dengan rotasi berlawanan arah jarum jam bersudut q. Basis baru { }vuB ¢¢=¢ , dari vektor satuan sepanjang sumbu x¢ dan sumbu y¢ , berturut-turut mempunyai koordinat

[ ] úû

ùêë

é=¢

)sin()cos(θθ

u B , [ ] úû

ùêë

é-=¢

)cos()sin(θθ

v B .

Diperoleh

úû

ùêë

é -=

)cos()sin()sin()cos(

θθθθ

P dan úû

ùêë

é-

=-

)cos()sin()sin()cos(1

θθθθ

P .

Jadi, suatu vektor By

xúû

ùêë

é pada sistem koordinat awal mempunyai koordinat By

x

¢úû

ùêë

é¢¢

yang

dirumuskan oleh

Byx

¢úû

ùêë

é¢¢

= úû

ùêë

é- )cos()sin(

)sin()cos(θθθθ

Byxúû

ùêë

é

pada sistem koordinat rotasi.



134

Gambar 5.6: Rotasi sumbu koodinat kartesius

Misalnya, jika vektor [v]B = úû

ùêë

é23

pada sistem koordinat awal dirotasikan sebesar

q = 45°, maka koordinat barunya adalah

[ ]Bv ¢¢ = úúû

ù

êêë

é

- )45cos()45sin()45sin()45cos(!!

!!

úû

ùêë

é23

= úúû

ù

êêë

é

- 22

22

22

22

úû

ùêë

é23

= úúû

ù

êêë

é

- 22

225

.

Berikut ini diberikan definisi yang umum untuk memudahkan dalam memperoleh

suatu matriks transisi dari dua basis. DEFINISI 5.4.2 Diberikan B¢ = {u1, u2, …, un} dan B ¢¢ = {v1, v2, …, vn} sebagai basis untuk suatu ruang vektor V. Diberikan A Î Mn(F) sebagai matriks yang mempunyai ui sebagai kolom-kolomnya, dan B Î Mn(F) sebagai matriks yang mempunyai vi sebagai kolom-kolomnya. Matriks P = B–1A dinamakan matriks transisi dari B¢ ke B ¢¢ , sedangkan matriks P–1 = A–1B dinamakan matriks transisi dari B ¢¢ ke B¢ . CONTOH 5.4.8 Diberikan basis untuk R3

B¢ = ïþ

ïý

ü

ïî

ïí

ì

úúú

û

ù

êêê

ë

é

úúú

û

ù

êêê

ë

é

úúú

û

ù

êêê

ë

é

001,

011,

111

, dan B ¢¢ = ïþ

ïý

ü

ïî

ïí

ì

úúú

û

ù

êêê

ë

é

úúú

û

ù

êêê

ë

é-

úúú

û

ù

êêê

ë

é

- 002

,011

,111

.

Tentukan matriks transisi dari B¢ ke B ¢¢ dan juga matriks transisi dari B ¢¢ ke B¢ .

Tentukan juga koordinat dari

B¢úúú

û

ù

êêê

ë

é

321

relatif terhadap basis B2.

Penyelesaian. Diambil

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

001011111

A , úúú

û

ù

êêê

ë

é

--=

001011211

B .

Matriks transisi dari B¢ ke B ¢¢ adalah P = B–1A,

yaitu

x

y x¢ y¢

q q

u

u¢ v v¢



135

úúú

û

ù

êêê

ë

é

úúú

û

ù

êêê

ë

é

--=

-

001011111

001011211 1

P = úúú

û

ù

êêê

ë

é

úúú

û

ù

êêê

ë

é

---

001011111

1110100

21

21

= úúú

û

ù

êêê

ë

é

---

2112012001

.

Matriks transisi dari B ¢¢ ke B¢ adalah

úúú

û

ù

êêê

ë

é-

-=

úúú

û

ù

êêê

ë

é

---

=

-

-

220012001

12012001

1

21

1P .

Diperoleh koordinat dari

B¢úúú

û

ù

êêê

ë

é

321

relatif terhadap basis B ¢¢ yaitu

úúú

û

ù

êêê

ë

é

---

2112012001

úúú

û

ù

êêê

ë

é

321

= úúú

û

ù

êêê

ë

é

--

21141

.



136

SOAL-SOAL UNTUK BAB 5

1. Diberikan V = Cn, F = C, áx, yñ = x • y. Diambil x = (x1, x2, …, xn) dengan xj = j, dan y = (y1, y2, …, yn) dengan yj = (1 + i)j dan i2 = –1. Hitung áx, yñ, áy, xñ, áx, xñ, dan áy, yñ.

2. Diambil

úû

ùêë

é=

3113

A dan áx, yñ = Ax • y

untuk semua x, y Î R2. Tunjukkan bahwa á , ñ mendefinisikan suatu hasil kali dalam pada R2.

3. Diambil A sebagai matriks real m´n dan AT sebagai transposnya. Tunjukkan bahwa Ax • y = x • ATy untuk semua x Î Rn dan y Î Rm.

4. Pada setiap rumus di bawah ini, tentukan apakah á , ñ adalah suatu hasil kali dalam

atas ruang vektor yang diberikan: (a) áu, vñ = 2u1v1 – u2v2; R2 (b) áu, vñ = u1v1 + 2u1v2 + u2v2; R2 (c) áu, vñ = 3

333

22

22

21

21 vuvuvu ++ ; R3

5. Buktikan apakah

ò=1

0)()(, dttgtfgf

adalah suatu hasil kali dalam pada C0[–1, 1].

6. Tunjukkan apakah rumus yang didefinisikan berikut ini adalah suatu hasil kali dalam pada R3: (a) áa, bñ = a1b1 – a2b2 + 3a3b3 (b) áa, bñ = a1b1 + 2a2b2 + 3a3b3.

7. Tunjukkan bahwa áu, vñ = 2

412

41 vuvu --+ untuk sembarang u dan v dalam

suatu ruang hasil kali dalam real.

8. Didefinisikan 23

22

21 3aaaa +-= pada R3. Tunjukkan bahwa ini sebenarnya

tidak terdefinisi dengan baik (not well-defined), dan tentu saja bukan suatu norm.

9. Didefinisikan 23

22

21 32 aaaa ++= pada R3. Tunjukkan bahwa ini terdefinisi

dengan baik (well-defined) dan merupakan suatu norm. 10. Diambil V sebagai suatu ruang hasil kali dalam dan v1, v2, v3 Î V dengan

áv1, v2ñ = 3, áv2, v3ñ = –2, áv1, v3ñ = 1, dan áv1, v1ñ = 1. Hitung áv1, 2v2 + 3v3ñ dan á2v1 – v2, v1 + v3ñ. Jika diandaikan bahwa áv2, v1 + v2ñ = 13, maka hitunglah ||v2||.



137

11. Diambil V sebagai suatu ruang hasil kali dalam dan u, v Î V, a Î R. Buktikan bahwa (a) á0V, uñ = 0 (b) ||au|| = |a| ||u|| (c) ||u|| = ||–u|| (d) ||u + v||2 + ||u – v||2 = 2(||u||2 + ||v||2)

12. Diandaikan u, v Î V. Buktikan bahwa

áa, bñ = 0 jika hanya jika ||u|| ≤ ||u + av|| untuk semua a Î F.

13. Diandaikan u, v Î V. Hitung ||v|| jika diketahui ||u|| = 3, ||u + v|| = 4, ||u –v|| = 6.

14. Diandaikan u, v Î V dan k Î F. Buktikan bahwa áu, vñ = 0 jika dan hanya jika

||u|| £ ||u + kv||

15. Diandaikan bahwa vektor-vektor u, v, w di suatu ruang hasil kali dalam V memenuhi áu, vñ = 2, áv, wñ = –3, áu, wñ = 5, ||u|| = 1, ||v|| = 2, dan ||w|| = 7. Hitung: (a) áu + v, v + wñ (b) á2v – w, 3u + 2wñ (c) áu – v – 2w, 4u + vñ (d) ||u + v|| (e) ||2w – v|| (f) ||u – 2v + 4w||

16. Buktikan bahwa jika V adalah suatu ruang hasil kali dalam real, maka

áu, vñ = 4

22 vuvu --+

untuk semua u, v Î V.

17. Diambil V sebagai suatu ruang hasil kali dalam dan u, v1, v2, …, vn Î V. Buktikan bahwa jika u ortogonal terhadap v1, v2, …, vn, maka u ortogonal terhadap rentangan {v1, v2, …, vn}.

18. Menggunakan ketaksamaan Cauchy-Scharwz, tunjukkan bahwa jika a1, a2, …, an adalah bilangan-bilangan real positif, maka

( ) 2

2121

1...11... naaa

aaan

n ³÷÷ø

öççè

æ++++++ .

19. Nyatakan (1, 2, 3) sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor dalam basis

ortogonal {(1, –2, 1), (2, 1, 0), (–1, 2, 5)}.

20. Tunjukkan bahwa v1 = (2, –2, 1), v2 = (2, 1, –2), dan v3 = (1, 2, 2) membentuk suatu

basis ortogonal untuk R3 terhadap hasil kali dalam Euclid. Selanjutnya tuliskan u = (–1, 0, 2) sebagai kombinasi linear dari v1, v2, v3.

21. Diperhatikan P2[x](R) sebagai ruang bagian dari C[–1, 1]. Periksalah bahwa {1, x,

322 -x } adalah suatu basis ortogonal terhadap hasil kali dalam

áf, gñ = f(–1)g(–1) + f(0)g(0) + f(1)g(1).



138

22. Diambil {u1, u2, …, un} sebagai suatu keluarga vektor-vektor ortonormal dalam suatu ruang hasil kali dalam V. Buktikan bahwa

||u1 + u2 + … + un|| = n .

23. Tentukan basis ortonormal di R4 untuk rentangan {(1, 0, 1, 0), (1, 1, 2, 0), (0, 2, 0, 1)}.

24. Tentukan suatu basis ortogonal untuk R4 yang memuat vektor-vektor (2, 1, –5, 0)

dan (3, –1, 1, 0). 25. Diberikan S yang menotasikan keluarga vektor-vektor di R3 yang berkorespondensi

dengan titik-titik pada bidang 2x – y + z = 0. (a) Tentukan suatu basis ortonormal {u1, u2} untuk S. (b) Tentukan u3 sehingga {u1, u2, u3} adalah basis ortonormal untuk R3.

26. Diambil V = R3 dan v1 = (1, 1, 0), v2 = (0, 1, 1), v3 = (1, 0, 1) Î V. Tentukan basis

ortonormal untuk V dengan menerapkan algoritma Gram-Schmidt. 27. Diberikan u1 = (2, 2, –1), u2 = (4, 1, 1), dan u3 = (1, 10, –5). Tunjukkan bahwa {u1,

u2, u3} adalah suatu basis untuk R3, dan aplikasikan proses Gram-Schmidt untuk basis tersebut agar menemukan suatu basis ortonormal untuk R3.

28. Tunjukkan bahwa vektor-vektor u1 = (0, 2, 1, 0), u2 = (1, –1, 0, 0), u3 = (1, 2, 0, –1),

dan u4 = (1, 0, 0, 1) membentuk suatu basis untuk R4. Selanjutnya aplikasikan proses Gram-Schmidt untuk menemukan suatu basis ortogonal bagi R4. Tentukan juga basis ortonormal yang berkorespondensi.

29. Gunakan algoritma Gram-Schmidt pada u = (1, 0, 0), v = (1, 2, 0), dan w = (1, 2, 3),

untuk memperoleh suatu basis ortonormal bagi R3. Ulangi masalah tersebut dengan u = (1, 2, 3), v = (1, 2, 0), w = (1, 0, 0). Apa yang bisa disimpulkan?

30. Diambil V = C3 dan v1 = (i, 1, 0), v2 = (0, i, 1), v3 = (i, 0, 1) Î V. Tentukan basis

ortonormal untuk V dengan menerapkan algoritma Gram-Schmidt. 31. Pada P2[x](R), diberikan hasil kali dalam

áp, qñ = ò1

0)()( dxxqxp .

Aplikasikan algoritma Gram-Schmidt untuk basis {1, x, x2} untuk menghasilkan suatu basis ortonormal dari P2[x](R).

32. Periksa bahwa vektor-vektor

(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), dan (1, 1, 1, 1) membentuk suatu basis untuk R4. Gunakan algoritma Gram-Schmidt untuk mengubah vektor-vektor tersebut menjadi suatu basis ortonormal.



139

33. Diberikan vektor-vektor bebas linear di R4

a1 =

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

1111

, a2 =

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

--1111

, a3 =

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

-

-

1111

, a4 =

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

--

1111

.

(a) Tentukan koordinat dari

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

1121

terhadap basis {a1, a2, a3, a4}.

(b) Tentukan koordinat dari

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

1121

terhadap basis {a1, a3, a2, a4}.

34. Diandaikan bahwa

B¢ =

ïïþ

ïïý

ü

ïïî

ïïí

ì

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é--

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é-

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é-

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

-1011

,

1121

,

1111

,

0121

dan B ¢¢ =

ïïþ

ïïý

ü

ïïî

ïïí

ì

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é-

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

2131

,

2112

,

2210

,

1012

adalah basis-basis untuk R4 . Tentukan matriks transisi dari B¢ ke B ¢¢ . 35. Diandaikan bahwa

B¢ = ïþ

ïý

ü

ïî

ïí

ì

úúú

û

ù

êêê

ë

é

úúú

û

ù

êêê

ë

é

úúú

û

ù

êêê

ë

é

100,

110,

111

dan B ¢¢ = ïþ

ïý

ü

ïî

ïí

ì

úúú

û

ù

êêê

ë

é

úúú

û

ù

êêê

ë

é

úúú

û

ù

êêê

ë

é

100,

111,

110

adalah basis-basis untuk R3 . Tentukan matriks transisi dari B¢ ke B ¢¢ dan

selanjutnya tentukan koordinat dari úúú

û

ù

êêê

ë

é

021

terhadap B ¢¢ .

INDEKS

Bbasis

ortogonal,127ortonormal,127

Hhasilkali

dalam,120dalamEuclid,120titik,119

Kkesamaan

jajarangenjang,125ketaksamaan

Cauchy,123segitiga,124,125

koordinat,130

Mmatriks

koordinat,130transisi,134

Nnorm,119,121normalisasi,126

Oortogonal,122ortogonalisasi

Gram-Schmidt,128ortonormal,125

Rruang

hasilkalidalam,120

TTeorema

Pythagoras,122

Vvektor

koordinat,130

Bab 5 RUANG HASIL KALI DALAM -...

Documents

Transcript of Bab 5 RUANG HASIL KALI DALAM -...