Slide 1

Matriks & Ruang VektorPendahuluan

Oleh BAMBANG SUGENG, MT

Sekolah Tinggi Teknologi Minyak dan Gas BumiBalikpapan

SilabiSistem Persamaan LinierInvers MatriksDeterminan MatriksVektor Vektor diruang R dan RRuang Vektor EquclidienNilai Eigen dan Vektor Eigen

Evaluasi

PenilaianTugas Tugas mandiri : 10 %Kuis: 20 %Midel Test: 20 %Diskusi: 20 %Final Test: 30 %

NilaiA: 80 100 %B: 65 79 %C: 55 64 %D: 41 54 %E: 0 40 %

Daftar PustakaHoward Anton & Chris Rorres, 2005, Elementary Linier Algebra, Drexel UniversityHeri Andrianto, Agus Prijono, 2006, Matriks dan Vektor, Rekayasa sains, BandungHandly G, 2004, Liniar Algebra, Addison Westly publisherR.Gunawan Santosa, 2009, Aljabar Linier, Andi JogyakartaSpiegel MR, 2000, Vector AnalysisT. Sutojo, Bowo, 2010, Aljabar Linier & Matriks, ANDY Publisher, Jogyakarta

Rencana Urutan PembelajaranMatrik, meliputi Denisi, Jenis Matrik, Operasi Matrik, dan Sifat-sifatnya.Eliminasi Gauss yang digunakan untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linier umum, Sistem Persamaan Linier homogenInvers matrik dengan menggunakan matrik elementer, Pencarian solusi Sistem Persamaan Linier dengan matrik invers, Hasil lebih lanjut matrik invers terhadap Sistem Persamaan LinierDeterminan, meliputi determinan dengan ekspansi kofaktor, Sifat-sifat determinan terhadap Operasi Baris Elementer, Matrik Adjoin, Matrik Invers dengan Matrik Adjoin, Aturan Cramer

Rencana Urutan PembelajaranVektor di R dan R meliputi Operasi Vektor dan Sifat-sifatnya, Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang di R3 , dan Persamaan Garis dan Bidang di R.Ruang Vektor, meliputi Ruang n Euclides, Denisi Ruang Vektor, Sub Ruang, Bebas Linier, Membangun, Basis, dan DimensiRuang Hasil Kali Dalam, meliputi Denisi, Panjang dan Sudut di Ruang Hasil Kali Dalam, Ortonormalisasi BasisNilai dan Vektor Eigen, meliputi Persamaan Karakteristik, Diagonalisasi, dan Diagonalisasi secara OrtogonalTransformasi Linier, meliputi Denisi, Kernel, Rank, Koordinat sebagai bentuk Transformasi dari Ruang vektor sebarang ke Rn , Matrik Transformasi

MatriksMatriks merupakan suatu susunan angka yang berbentuk segiempat, angka angka dalam susunan itu disebut anggota dalam matriks.Ukuran matriks dinyatakan oleh jumlah baris dan jumlah kolom yang terdapat didalamnya atau sering disebut dengan ordo matriksContoh :

Jenis Matriks

Berdasarkan ordonya terdapat jenis matriks sebagai berikut :Matriks bujur sangkar / matriks persegi yaitu matriks berordo n x n atau banyaknya baris sama dengan bayaknya kolom disebut juga sebagai matriks persegi berordo nContoh :

Maka angka 1 dan 12 dikatakan berada pada diagonal utama B

Jenis Matriks

Matriks baris yaitu matriks berordo 1 x n atau hanya memiliki satu barisContoh

Matriks Kolom yaitu matriks yang hanya memiliki satu kolomContoh :

Jenis MatriksMatriks tegak yaitu matriks berordo m x n dengan m > n, seperti contoh dibawah A matriks berordo 3 x 2 sehingga matriks A tampak tegak

Matriks datar yaitu matriks berordo m x n dengan m n, seperti contoh F matriks 2 x 3 sehingga matriks F tampak datar

Jenis MatriksBerdasarkan elemen - elemen penyusunannya terdapat jenis matriks sebagai berikut :Matriks Nol yaitu matriks yang semua elemen penyusunannya adalah nol dan dinotasikan sebagai OContoh :

Jenis MatriksMatriks diagonal yaitu matriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah diagonalnya adalah nol dan dinotasikan sebagai DContoh :

Jenis MatriksMatriks skalar yaitu matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya samaContoh :

Jenis MatriksMatriks simetri yaitu matriks persegi yang setiap elemennya, selain elemen diagonal adalah simetri terhadap diagonal utamanya Contoh :

Matriks simetri miring yaitu matriks simetri yang elemen elemennya selain elemen diagonal , saling berlawanan Contoh :

Jenis MatriksMatriks identitas / satuan yaitu matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya adalah 1 dan dinotasikan sebagai I Contoh :

Matriks segitiga atas yaitu matriks persegi yang elemen elemen dibawah diagonal utamanya adalah nol Contoh :

Jenis MatriksMatriks segitiga bawah yaitu matriks persegi yang elemen elemen diatas diagonal utamanya adalah nolContoh :

Jenis MatriksMatriks transpose yaitu matriks yang diperoleh dari memindahkan elemen elemen baris menjadi elemen pada kolom atau sebaliknyaTranspose matriks A digambarkan sebagai A

Perhatikan bahwa ordo dari A adalah 2 x 3

Kesamaan Matriks

Dua buah matriks atau lebih dikatakan sama bila dan hanya bila mempunyai sama dan elemen elemen yang seletak juga samaContoh

Karena ada elemennya yang seletak dan nilainya tidak sama

Karena ordo kedua matriks tidak sama

Operasi Matriks & Sifat - sifatnyaPengertian penjumlahan matriks : Jika A + B = C , maka elemen elemen C diperoleh dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak yaitu untuk elemen C pada baris ke i dan kolom ke j, akibatnya matriks A dan B dapat dijumlahkan apabila kedua matriks memiliki ordo yang sama Contoh :

Penjumlahan Matriks

Sifat Sifat Matriks

Pengurangan MatriksPengurangan matriks, Jika A B = C, nilai C diperoleh dari pengurangan elemen elemen A dan B yang seletak , Yaitu atau pengurangan dua matriks ini dapat dipandang sebagai penjumlahan matrik A + ( -B )

Contoh

Contoh

Perkalian Matriks dng Bilangan SkalarJika matriks A dikalikan dengan bilangan real k maka kA diperoleh dari hasil kali tiap elemen A dengan k

Perkalian Matriks dng Bilangan SkalarJika a dan b adalah bilangan real dan B dan C dua matriks dengan ordo sedemikian sehingga dapat dilakukan operasi hitung sebagai berikut maka, berlaku sifat sifat perkalian matriks dengan skalar

Perkalian Dua MatriksDua matriks A dan B dapat dikalikan bila dan hanya bila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B, Jadi Amxn Bnxp bisa didifinisikan tetapi kalau Bnxp Amxn tidak dapat didifinisikan.

Elemen dari AB diperoleh dari hasil kali tiap baris pada matriks A dengan setiap kolom pada matriks B, kemudian dijumlahkan menjadi satu elemen

Contoh

Contoh

Contoh

Contoh

Perhatikan Hal Hal BerikutPada umumnya AB BA ( tidak Komunikatif )Apabila A suatu matriks persegi maka : A = A.A, A = A.A dan A = A.A dan seterusnyaApa bila AB = BC maka tidak dapat disimpulkan bahwa B = C ( tidak berlaku sifat penghapusan )Apabila AB = 0, maka tidak dapat disimpulkan bahwa A = 0 dan B = 0

Sifat Perkalian Matriks

Matriks DiagonalMatriks satuan dinyatakan dengan IMatriks satuan adalah matriks diagonal yang semua elemen diagonalnya sama dengan satu

Contoh

Matriks NolMatriks nol adalah matriks yang semua elemennya sama dengan nol dan dinyatakan dengan 0 atau cukup 0 saja, jika A.B = 0, kita tidak dapat menarik kesimpulan bahwa A = 0 atau B = 0

Contoh

Transpose MatriksJika baris dan kolom suatu matriks dipertukarkan maksudnya :-Baris pertama menjadi kolom pertama-Baris kedua menjadi kolom kedua-Baris ke tiga menjadi kolom ke tiga,dan seterus nya.Maka matriks baru yang terbentuk disebut dengan transpose dari matriks semula, jika matriks semula adalah A, maka transposenya dinyatakan dengan atau A

Sifat Matriks Transpose

Contoh

Contoh

Jawaban

Latihan Soal

Soal Latihan

TERIMA KASIH