PENERAPAN MATRIKS HOUSEHOLDER PADA SISTEM

PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN

SKRIPSI

Diajukan sebagai salah satu prasyarat

untuk meraih gelar Sarjana (S1) Pendidikan

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Muhammadiyah Malang

Disusun oleh :

Adytia Ari Setiawan

03320033

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

JURUSAN MATEMATIKA DAN KOMPUTASI

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG

2010

ii

iii

iv

v

MOTTO & PERSEMBAHAN

Tugas kita bukanlah untuk berhasil. Tugas kita adalah untuk mencoba,

karena didalam mencoba itulah kita menemukan dan belajar membangun

kesempatan untuk berhasil.

( Mario Teguh )

Orang-orang yang berhenti belajar akan menjadi pemilik masa lalu. Orang-

orang yang masih terus belajar, akan menjadi pemilik masa depan.

( Mario Teguh )

Yang terpenting dari kehidupan bukanlah kemenangan, namun

bagaimana bertanding dengan baik.

( Baron Pierre De Coubertin )

Jangan takut dengan kesalahan.

Kebijaksanaan biasanya lahir dari kesalahan.

(Paul Galvin, founder Motorola)

vi

Skripsi ini kupersembahkan kepada :

1. Ibu dan Bapak yang telah banyak berkorban demi penulis,

memberikan dukungan moral dan material, nasihat, motivasi,

perhatian, do’a dengan kesabaran dan kelapangan dada

serta kasih sayang yang tak ternilai harganya. Terimakasih

atas semua pengorbanannya.

2. Yang tercinta dan terkasih Laily Ayu Rahmadhani yang

dengan setia selalu memberi motivasi dan dukungan di saat

aku lelah. Terimakasih atas semua pengorbanannya ya

sayank…

3. Adikku Singgih Heru Samudro, Heru Prabowo, dan

adikku yang paling cantik Widya Pratiwi yang selalu

mendo’akan dan membantuku, serta memberi support.

4. Seluruh teman-teman MatKom. Perjuangan kita tidak

hanya sampai di sini, terus berjuang dan berkarya ya….

vii

KATA PENGANTAR

Assalamua’alaikum Wr.Wb.

Puji syukur kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan

hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul

“Penerapan Matriks Householder Pada Sistem Persamaan Linear Tak

Konsisten” yang merupakan syarat untuk memperoleh gelar sarjana di

Universitas Muhammadiyah Malang.

Keberhasilan penulisan skripsi ini tentu tidak terlepas dari bantuan

berbagai pihak. Untuk itu dengan setulus hati penulis mengucapkan rasa terima

kasih yang sedalam-dalamnya kepada :

1. Bapak dan Ibu yang telah banyak berkorban demi penulis, memberikan

dukungan moral dan material, nasehat, motivasi, perhatian, do’a dengan

kesabaran dan kelapangan dada serta kasih sayang yang tak ternilai

harganya.

2. Bapak Dr. Yus M Cholily, M.Si, selaku dosen pembimbing I yang dengan

penuh kesabaran memberikan bimbingan, dorongan, dan nasehat sehingga

skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik.

3. Bapak Drs. Hendarto Cahyono, M.Si, selaku dosen pembimbing II yang

telah memberikan dorongan, masukan, dan bimbingan selama penyusunan

skripsi ini.

4. Seluruh dosen Jurusan Matematika dan Komputasi yang telah memberikan

bekal ilmu pengetahuan, pengalaman dan motivasi belajar sehingga penulis

dapat menyelesaikan studi.

viii

5. Bapak / Ibu dewan penguji yang telah memberikan masukan demi

sempurnanya skripsi ini.

6. Seluruh pihak yang telah membantu penulis dalam penyusunan skripsi ini

yang tak dapat disebutkan satu per satu.

Semoga Allah SWT membalasnya dengan sesuatu yang lebih baik.

Penulis menyadari bahwa karya tulis ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh

karena itu, saran dan kritik yang bersifat membangun sangat penulis harapkan

demi kesempurnaan karya tulis ini. Penulis berharap semoga karya tulis ini

dapat bermanfaat. Amin Ya Robbal’alamin.

Malang, Februari 2010

Penulis

ix

ABSTRAK

Sistem persamaan linear dapat dituliskan dalam bentuk matriks

dengan merupakan matriks koefisien berukuran , matriks kolom

yang elemennya merupakan peubah berukuran dan matriks yang

elemennya merupakan konstanta berukuran . Matriks kolom dan

pada sistem dapat dianggap sebagai vektor kolom.

Sistem persamaan linear dapat dibedakan menjadi dua sistem yaitu

sistem konsisten dan sistem tak konsisten. Sistem konsisten merupakan sistem

yang memiliki penyelesaian dan sistem tak konsisten merupakan sistem yang

tidak memiliki penyelesaian. Pada penulisan skripsi ini difokuskan pada sistem

persamaan linear tak konsisten yang memiliki jumlah persamaan lebih banyak

dari pada jumlah peubahnya atau yang disebut dengan sistem kelebihan

persamaan.

Pada sistem tak konsisten kelebihan persamaan tidak dapat

mencari vektor sehingga sama dengan . Namun dapat dicari sebuah

vektor sehingga mendekati . Penyelesaian tersebut dinamakan

dengan solusi kuadrat terkecil. Mencari solusi kuadrat terkecil dari

ekivalen dengan mencari solusi dari dengan sebagai matriks

Householder berukuran yang didefinisikan sebagai

dengan vektor bukan nol di dalam dan matriks identitas.

Kata kunci : matriks Householder, solusi kuadrat terkecil.

x

ABSTRACTION

System of linear equations can be written in matrix form where

is a coefficient matrix order , is a column matrix which its element

represent variable with order , and is a column matrix which its

element represent constanta with order . Column matrix and on the

system can be regarded as a column vector.

System of linear equations can be divided into two systems that is

consistent system and inconsistent systems. Consistent system is a system that

has a solution and inconsistent systems is a system which does not have a

solution. At the writing of this skripsi focused on the inconsistent systems was

to amount of equation more than its amount of variable.

In inconsistent system can not find a vector such that

equal to . But can be searched a vector such that approaches .

That solution is called the least squares solution. Searching squares solutions

from equivalent to finding solutions of with as

Householder matrix order which defined as

with as column vector non zero in and as identity matrix.

Keyword : Householder matrix, least squares solutions.

xi

DAFTAR ISI

Halaman judul........................................................................................ i

Lembar Persetujuan .............................................................................. ii

Lembar Pengesahan............................................................................... iii

Surat Pernyataan ................................................................................... iv

Motto dan Persembahan ....................................................................... v

Kata Pengantar ...................................................................................... vii

Abstrak ................................................................................................... ix

Daftar Isi ................................................................................................. xi

BAB I : PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang .................................................. 1

1.2. Rumusan Masalah............................................. 4

1.3. Tujuan Masalah ................................................ 5

1.4. Batasan Masalah ............................................... 5

BAB II : KAJIAN TEORI

2.1. Matriks .............................................................. 7

2.2. Sistem Persamaan Linear .................................. 13

2.3. Ruang Vektor .................................................... 15

2.4. Ruang Bagian Vektor ....................................... 17

2.5. Rentang ............................................................. 17

2.6. Kebebasan Linear ............................................. 19

2.7. Basis Ruang Vektor .......................................... 20

2.8. Hasil Kali Skalar ............................................... 21

xii

2.9. Hasil Kali Dalam .............................................. 22

2.10. Ruang Bagian Ortogonal .................................. 23

2.11. Himpunan Ortonormal ...................................... 24

2.12. Transformasi Similar ........................................ 26

2.13. Transformasi Hessenberg ................................. 26

BAB III : PEMBAHASAN

3.1. Matriks Householder ........................................ 30

3.2. Operasi Perkalian Matriks Householder ........... 32

3.3. Matriks Householder Pada

Transformasi Similar ........................................ 36

3.4. Mengkonstruksi Matriks Householder.............. 39

3.5. Mencari Solusi Kuadrat Terkecil ...................... 46

BAB IV : PENUTUP

4.1. Kesimpulan ....................................................... 62

4.2. Saran ................................................................. 64

DAFTAR PUSTAKA

xiii

65

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard. 1991. Aljabar Linear Elementer. Jakarta : Erlangga.

Johnson, Lee. 1989. Introduction To Linear Algebra. Canada : Addison and

Wesley Company.

Leon, Steven. 2001. Aljabar Linear Dan Aplikasinya. Jakarta : Erlangga.

Lipschutz, Seymour. 2006. Aljabar Linear. Jakarta : Erlangga.

Suryadi. 1991. Pengantar Aljabar Linier Dan Geometri Analitik. Jakarta :

Gunadarma.