APLIKASI ALJABAR LINEAR PADA KRIPTOGRAFI Makalah …ini pokok-pokok aljabar linear, seperti sistem...
Transcript of APLIKASI ALJABAR LINEAR PADA KRIPTOGRAFI Makalah …ini pokok-pokok aljabar linear, seperti sistem...
i
APLIKASI ALJABAR LINEAR PADA KRIPTOGRAFI
Makalah
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Matematika
Program Studi Matematika
Oleh:
Lyawati
NIM: 153114025
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2020
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
APPLICATION OF LINEAR ALGEBRA IN CRYPTOGRAPHY
Paper
Presented as Partial Fulfillment of the
Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Matematika
Mathematics Study Program
Written by:
Lyawati
Student ID: 153114025
MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2020
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
MOTTO
“Berusaha, kerja keras, tidak mudah menyerah serta selalu bersyukur”
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
HALAMAN PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk:
Kedua orang tuaku, keluargaku, serta sahabat-sahabatku
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
ABSTRAK
Kriptografi adalah ilmu dan seni untuk menjaga keamanan pesan
ketika pesan dikirim dari suatu tempat ke tempat lain. Dalam tugas akhir
ini pokok-pokok aljabar linear, seperti sistem persamaan linear, matriks,
operasi matriks, operasi baris elementer, eliminasi Gauss-Jordan, matriks
invers, determinan matriks, matriks adjoin, dan aritmetika modular diap-
likasikan pada kriptografi dalam proses enkripsi dan dekripsi sandi dengan
menggunakan algoritma sandi Hill.
Kata kunci: Aljabar Linear, aritmetika modular, kriptografi, algoritma
sandi Hill
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
ABSTRACT
Cryptography is the science and art of maintaining message securi-
ty when messages are sent from one place to other place. In this final paper
topics of linear algebra, such as system of linear equations, matrices, ma-
trix operations, elementary row operations, Gauss-Jordan elimination, in-
verse of matrices, determinant of a matrix, adjoin matrices, and modular
arithmetic are applied to cryptography in the cipher encryption and decryp-
tion processes using Hill cipher algorithm.
Keywords: Linear algebra, modular arithmetic, cryptography, Hill cipher
algorithm
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ............................................ ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... iii
HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .................................................................. v
MOTTO ................................................................................................................. vi
HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................... vii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN .................................................... viii
ABSTRAK ............................................................................................................. ix
ABSTRACT ............................................................................................................. x
KATA PENGANTAR ........................................................................................... xi
DAFTAR ISI ........................................................................................................ xiii
BAB I PENDAHULUAN ........................................................................................ 1
A. Latar Belakang ............................................................................................. 1
B. Rumusan Masalah ........................................................................................ 1
C. Batasan Masalah ........................................................................................... 2
D. Tujuan Penulisan .......................................................................................... 2
E. Manfaat Penulisan ........................................................................................ 2
F. Metode Penulisan ......................................................................................... 2
G. Sistematika Penulisan ................................................................................... 2
BAB II ALJABAR LINEAR ELEMENTER .......................................................... 4
A. Sistem Persamaan Linear ............................................................................. 4
B. Matriks ......................................................................................................... 5
C. Sifat-sifat Operasi Matriks ........................................................................... 6
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
D. Matriks Transpos ........................................................................................ 14
E. Operasi Baris Elementer ............................................................................. 17
F. Bentuk Eselon Baris ................................................................................... 18
G. Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss-Jordan ............................................ 19
H. Matriks Invers ............................................................................................ 21
I. Determinan Matriks .................................................................................... 29
J. Matriks Adjoin ........................................................................................... 43
BAB III APLIKASI ALJABAR LINEAR PADA KRIPTOGRAFI ..................... 45
A. Aritmetika Modular .................................................................................... 45
B. Kriptografi .................................................................................................. 56
C. Sandi Hill .................................................................................................... 56
D. Penguraian Sandi ........................................................................................ 60
BAB IV PENUTUP ............................................................................................... 68
A. Kesimpulan ................................................................................................. 68
B. Saran ........................................................................................................... 70
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................ 71
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Kriptografi merupakan suatu studi tentang membuat kode (encoding) dan
menerjemahkan kode (decoding) atas pesan-pesan rahasia. Kriptografi telah
digunakan sejak empat abad yang lalu dan berkembang pesat hingga
sekarang. Pada zaman dahulu kriptografi digunakan untuk mengirimkan pe-
san-pesan yang bersifat rahasia dan hanya penerima yang memiliki kunci
yang dapat menerjemahkan pesan rahasia tersebut. Namun, seiring berkem-
bangnya informasi dan teknologi di dunia, kegunaan kriptografi semakin
berkembang. Misalnya, untuk pengamanan pada ATM (Automatic Teller Ma-
chine) dengan mencegah terjadinya serangan terhadap ATM, internet bank-
ing, pay TV, dll.
Dalam bahasa kriptografi, sandi disebut cipher, pesan yang belum
disandikan disebut plaintext, dan pesan yang telah disandikan disebut cipher-
text. Proses mengubah plaintext menjadi ciphertext disebut encipher, dan se-
baliknya proses mengubah ciphertext menjadi plaintext disebut decipher. Sa-
lah satu bidang matematika yang digunakan dalam proses kriptografi adalah
aljabar linear. Dalam tugas akhir ini, penulis akan membahas bagaimana ap-
likasi aljabar linear dalam kriptografi dengan menggunakan algoritma Sandi
Hill.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan pembahasan di atas, penulis dapat merumuskan masalah da-
lam tugas akhir sebagai berikut :
1. Bagaimana penerapan aljabar linear pada kriptografi ?
2. Bagaimana menentukan kunci yang tepat untuk menerjemahkan pesan
rahasia agar tidak diketahui oleh orang lain ?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
C. Batasan Masalah
Algoritma yang dibahas pada tugas akhir ini adalah algoritma Sandi
Hill yang menggunakan aritmetika modular untuk membuat dan mener-
jemahkan sandi atau pesan rahasia.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan tugas akhir ini adalah untuk:
1. Mengetahui cara membuat pesan rahasia dan cara menerjemahkan pe-
san rahasia tersebut.
2. Menemukan kunci yang tidak dapat dipecahkan oleh orang lain selain
penerima pesan.
E. Manfaat Penulisan
Manfaat penulisan tugas akhir ini adalah:
1. Mendapatkan pengetahuan mengenai kriptografi.
2. Mendapatkan pengetahuan mengenai penerapan aljabar linear dalam
kriptografi.
F. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah metode
studi pustaka, yaitu dengan membaca serta mempelajari buku-buku yang
berhubungan dengan aljabar linear dan penerapannya pada kriptografi.
G. Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
BAB II ALJABAR LINEAR
A. Sistem Persamaan Linear
B. Matriks
C. Sifat-sifat Operasi Matriks
D. Matrik Transpos
E. Operasi Baris Elementer
F. Bentuk Eselon Baris
G. Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss-Jordan
H. Matriks Invers
I. Determinan Matriks
J. Matriks Adjoin
BAB III ALJABAR LINEAR PADA KRIPTOGRAFI
A. Aritmetika Modular
B. Kriptografi
C. Sandi Hill
D. Penguraian Sandi
BAB IV PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
BAB II
ALJABAR LINEAR ELEMENTER
A. Sistem Persamaan Linear
Persamaan linear dalam variabel adalah persamaan dalam ben-
tuk polinomial yang variabelnya berderajat satu atau nol dan tidak terjadi
perkalian antara variabelnya,
.
Sedangkan sistem persamaan linear adalah himpunan berhingga
banyak persamaan linear. Sistem persamaan linear disebut konsisten jika
sistem persamaan tersebut mempunyai penyelesaian. Jika sistem tak
mempunyai penyelesaian, maka sistem itu disebut tak konsisten. Contoh
sistem persamaan linear dua variabel dengan dua persamaan, yaitu
{
dengan adalah bilangan real.
Definisi 2.1.1
Sistem persamaan linear yang ruas kanannya semuanya sama dengan 0
disebut sistem persamaan linear homogen.
Contoh 2.1.2
{
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
B. Matriks
Matriks merupakan susunan bilangan berbentuk persegi panjang.
Bentuk atau ukuran matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom.
Matriks yang mempunyai baris dan kolom dikatakan berukuran
Matriks biasanya dinyatakan dengan huruf besar seperti dll.
Bilangan yang terdapat pada matriks disebut elemen matriks. Ele-
men yang terletak pada baris ke- dan kolom ke- dari matriks dinya-
takan dengan
( ) .
Dua matriks dikatakan sama jika kedua matriks tersebut mempunyai uku-
ran yang sama dan elemen-elemen yang bersesuaian di dalam matriks juga
sama.
Definisi 2.2.1
Jika matriks dan keduanya berukuran maka adalah
matriks berukuran yang elemen-elemennya memenuhi
dengan dan .
Definisi 2.2.2
Jika adalah matriks dan adalah skalar, maka hasil kali ada-
lah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen dari
dengan dan dinotasikan dengan
( ) ( )
Definisi 2.2.3
Jika adalah matriks berukuran dan adalah matriks berukuran
, maka hasil kali adalah matriks berukuran yang ele-
men-elemennya adalah
∑ .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
Contoh 2.2.4
Diberikan matriks [
] dan matriks 0
1.
[
] 0
1
[
( ) ( )
]
[
].
Karena matriks berukuran dan matriks berukuran , maka
matriks berukuran
C. Sifat-sifat Operasi Matriks
Operasi matriks memiliki beberapa sifat sebagai berikut:
Teorema 2.3.1
Jika , dan adalah matriks dan adalah skalar, maka berla-
ku
a. (sifat komutatif pada penjumlahan)
b. ( ) ( ) (sifat asosiatif pada penjumlahan)
c. ( ) ( ) (sifat asosiatif untuk perkalian dengan skalar)
d. ( ) (sifat distributif)
e. ( ) (sifat distributif)
f. (sifat identitas perkalian)
Bukti :
a. Misalkan dan adalah matriks :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
[
]
[
]
[
] [
]
[
]
[
]
[
] [
]
Jadi terbukti bahwa .
b. Misalkan , dan adalah matriks :
[
]
[
]
[
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
( ) ([
] [
],
[
]
([
], [
]
[
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
]
[
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
]
[
]
([
] [
],
( )
Jadi terbukti bahwa ( ) ( )
c. Misalkan matriks dan sebarang skalar ,
[
]
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
[
]
[
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
]
[
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
]
[
]
( [
],
( )
Jadi terbukti ( ) ( )
d. Misalkan matriks dan sebarang skalar :
( ) ([
] [
],
[
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
]
[
]
[
] [
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
[
] [
]
e. Misalkan matriks dan sebarang skalar ,
Misalkan ( ) dan , maka
( ) dan untuk dan
Karena dan adalah bilangan real dan
( ) maka untuk dan
Jadi, atau ( )
f. Misalkan adalah matriks :
[
]
= 1 [
] [
]
Jadi terbukti bahwa ■
Teorema 2.3.2
Jika dan adalah matriks dengan operasi penjumlahan dan perkalian
yang terdefinisi dan sebarang skalar , maka berlaku
a. ( ) ( ) (sifat asosiatif perkalian)
b. ( ) (sifat distributif kiri)
c. ( ) (sifat distributif kanan)
d. ( ) ( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Bukti:
a. Misalkan matriks , matriks , dan matriks
Misalkan dan . Berdasarkan definisi perkalian
matriks:
∑
∑
Elemen ke- dari adalah ∑ ∑ (∑
)
dan elemen ke- dari adalah
∑ ∑
(∑
).
Karena
∑ (∑ )
∑ ∑
∑
(∑
),
maka ( ) ( )
b. Misalkan matriks dan matriks .
( ( )) ( ) ( ) (
) ( )
( ) ( ) (
)
( ) (
)
( ) ( ) ; .
Jadi terbukti ( )
c. Misalkan dan matriks matriks :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
(( ) ) ( ) ( ) (
) ( )
( ) ( ) ( )
( ) (
)
( ) ( )
; .
Jadi terbukti ( ) .
d. Misalkan matriks dan matriks dan
( ) (∑ )
∑ ( )
(( ) )
Jadi terbukti ( ) ( )
( ) (∑ )
∑ ( )
∑ ( )
( ( ))
Jadi terbukti ( ) ( ). ■
Definisi 2.3.3
Matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama disebut matriks persegi.
Elemen-elemen baris ke- dan kolom ke- merupakan diagonal utama
matriks persegi
Matriks persegi yang elemen-elemen pada diagonal utamanya adalah 1 dan
elemen-elemen lainnya adalah 0 disebut matriks identitas. Matriks identi-
tas dinotasikan dengan dan berbentuk sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
[ ]
.
Teorema 2.3.4
Jika adalah matriks , maka .
Bukti:
[
]
[ ]
[
]
[ ]
[
]
.
[ ]
[
]
[
]
. ■
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Teorema 2.3.5
Jika adalah matriks , maka dan jika adalah matriks
, maka
Bukti:
[
]
[ ]
[
]
.
[ ]
[
]
[
]
■
D. Matriks Transpos
Matriks yang diperoleh dengan mengganti baris menjadi kolom
dan kolom menjadi baris disebut dengan matriks transpos. Lebih lanjut
akan dibahas pada subbab berikut ini.
Definisi 2.4.1
Jika adalah matriks , maka transpos (dinotasikan dengan )
adalah matriks yang diperoleh dengan menukar baris menjadi ko-
lom dari . Jika
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
[
]
maka
[
]
Teorema 2.4.2
Jika dan adalah matriks-matriks dengan operasi penjumlahan dan
perkalian yang terdefinisi dan sebarang skalar , maka berlaku
a. ( )
b. ( )
c. ( )
d. ( )
Bukti:
a. Misalkan adalah matriks .
Karena matriks maka berukuran dan
( ) berukuran . Misalkan adalah elemen ke- dari
maka adalah elemen ke- dari dan elemen ke- dari
( ) Jadi ( )
b. Misalkan dan adalah matriks , dan .
Misalkan adalah elemen ke- dari Elemen
ke- dari adalah yang merupakan elemen
ke- dari .
Jadi, ( ) .
c. Misalkan matriks dan ( ) Maka ( ( ))
(( ) ) .
Jadi, ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
d. Misalkan matriks dan matriks .
Maka adalah matriks dan adalah matriks
sehingga adalah matriks berukuran . Misalkan
( ) dan ( ) Menurut definisi perkalian
matriks, elemen ke- dari adalah
∑
yang merupakan elemen ke- dari ( ) . Dengan
menggunakan definisi perkalian matriks, elemen ke- dari
adalah
∑ ( ) ( ) ∑
di mana adalah elemen ke- pada dan adalah ele-
men ke- pada
Jadi, ( ) . ■
Teorema 2.4.3
Jika adalah matriks yang mempunyai invers, maka juga mempunyai
invers dan
( ) ( )
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa ( ) ( ) .
Dari Teorema 2.4.2 bagian d dan fakta bahwa , didapat
( ) ( )
( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
E. Operasi Baris Elementer
Terdapat tiga operasi yang dapat dilakukan pada sistem persamaan
linear tanpa mengubah penyelesaiannya. Ketiga operasi tersebut adalah
menukar urutan persamaan, mengalikan suatu persamaan dengan bilangan
taknol, dan mengganti suatu persamaan dengan persamaan tersebut dit-
ambah dengan kelipatan dari persamaan lain. Ketiga operasi ini disebut
operasi baris elementer.
Definisi 2.5.1
Operasi baris elementer pada suatu matriks adalah salah satu operasi:
a. Menukar elemen-elemen baris ke- dengan elemen-elemen baris
ke- , yang dinotasikan dengan
b. Mengalikan elemen-elemen baris ke- dengan konstanta taknol
yang dinotasikan dengan
c. Mengganti suatu baris ke- dengan elemen-elemen baris ke- dit-
ambah dikalikan dengan elemen-elemen baris ke- , yang
dinotasikan dengan
Contoh 2.5.2
Diberikan matriks [
]
a. Menukarkan baris kedua dengan baris ketiga:
[
] → [
] .
b. Mengalikan baris kedua dengan
:
[
]
→ [
]
c. Mengganti baris ketiga dengan elemen pada baris ketiga ditambah
dikalikan dengan baris pertama:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
[
] ( ) → [
].
F. Bentuk Eselon Baris
Dengan melakukan operasi baris elementer, dapat mengubah
matriks lengkap dari system persamaan linear menjadi suatu matriks dari
sistem persamaan linear yang mudah dicari jawabnya. Matriks ini disebut
dengan matriks eselon baris.
Definisi 2.6.1
Suatu matriks disebut matriks eselon baris jika mempunyai sifat-sifat
berikut.
a. Setiap baris yang hanya terdiri dari bilangan nol terletak sesudah
baris yang memuat elemen taknol.
b. Pada setiap baris yang mempunyai elemen taknol, elemen taknol
yang pertama harus terletak di kolom sebelah kanan elemen taknol
dari baris sebelumnya.
Definisi 2.6.2
Elemen taknol yang pertama dari suatu baris dalam suatu matriks eselon
baris disebut elemen utama.
Definisi 2.6.3
Suatu matriks disebut matriks eselon baris tereduksi jika mempunyai sifat-
sifat berikut.
a. Merupakan matriks eselon baris.
b. Setiap elemen utamanya adalah satu.
c. Setiap elemen utama merupakan satu-satunya elemen taknol pada
kolom tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
G. Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss-Jordan
Sebarang matriks dapat diubah menjadi matriks eselon dengan
menggunakan operasi baris elementer. Dengan demikian jika sistem
mempunyai penyelesaian, maka akan selalu dapat mencari penyelesaiann-
ya. Algoritma untuk mengubah sebarang matriks menjadi matriks eselon
dengan menggunakan operasi baris elementer disebut eliminasi Gauss.
Proses untuk mengubah suatu matriks menjadi matriks eselon tereduksi
disebut eliminasi Gauss-Jordan
Algoritma Eliminasi Gauss
a. Jika elemen pertama baris pertama sama dengan nol, tukarlah baris
pertama dari matriks dengan baris lain yang elemen pertamanya
taknol.
b. Setelah elemen pertama baris pertama tidak sama dengan nol,
dengan operasi baris elementer elemen-elemen di bawahnya dibuat
menjadi nol.
c. Kemudian elemen utama pada baris kedua harus terletak di sebelah
kanan elemen utama baris pertama, dan dengan operasi baris ele-
menter elemen-elemen di bawahnya dibuat menjadi nol.
d. Setiap elemen utama pada baris ke- terletak di sebelah kanan ele-
men utama baris sebelumnya, dan dengan operasi baris elementer
elemen-elemen di bawahnya dibuat menjadi nol, sehingga
menghasilkan matriks eselon baris.
Contoh 2.7.1
Diberikan matriks [
]
[
] ( ) → [
] ( ) → [
]
[
]
→ [
] ( ) → [
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
[
] → [
]
Algoritma Eliminasi Gauss-Jordan
a. Ubah matriks menjadi matriks eselon baris.
b. Bagilah elemen pada baris yang mempunyai elemen utama dengan
besarnya nilai elemen utama tersebut.
c. Dengan operasi baris elementer, elemen di atas elemen utama
dibuat menjadi nol.
Contoh 2.7.2
Diberikan matriks [
]
[
] → [
] ( ) → [
]
[
] → [
]
→ [
]
→ [
]
[
] → [
] ( ) → [
] ( ) → [
].
Teorema 2.7.3
Jika adalah matriks eselon baris tereduksi dari matriks berukuran
, maka mempunyai baris nol atau adalah matriks identitas
Bukti:
Dengan eliminasi Gauss-Jordan matriks eselon baris tereduksi dari matriks
berukuran adalah
[
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Dapat terjadi bahwa baris (baris-baris) terakhir matriks seluruhnya ada-
lah nol. Jika tidak, matriks tidak mengandung baris nol, dan akibatnya
setiap baris mempunyai elemen utama 1. Karena elemen-elemen lain yang
berada di kolom yang sama dengan elemen utama 1 adalah nol, maka
Jadi mempunyai baris nol atau . ■
H. Matriks Invers
Jika adalah matriks persegi, dan ada matriks dengan ukuran
yang sama sedemikian sehingga , maka dikatakan
mempunyai invers dan disebut invers dari Jika matriks tidak
ditemukan, maka disebut matriks singular.
Teorema 2.8.1
Jika dan adalah invers dari matriks maka . Dengan kata lain
matriks invers dari suatu matriks adalah tunggal.
Bukti:
Karena dan adalah invers dari maka dan sehingga
( ) . Tetapi ( ) ( ) sehingga ■
Jadi, jika mempunyai invers, maka inversnya tunggal. Invers dari di-
notasikan dengan
Definisi 2.8.2
Jika adalah matriks persegi, maka didefinisikan pangkat bilangan bulat
taknegatif dari yaitu
dan ⏟
. ( bilangan bulat positif)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Jika mempunyai invers, maka didefinisikan pangkat bilangan bulat
negatif dari , yaitu
⏟
( bilangan bulat negatif)
Teorema 2.8.3
Jika matriks mempunyai invers, dan skalar , maka berlaku
a. ( )
b. ( )
c. ( )
d. ( ) ( )
Bukti:
a. Karena merupakan matriks invers dari maka
.
Dengan demikian adalah matriks invers dari yaitu
( )
b. ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
Jadi, adalah invers dari yaitu ( ) .
c. ( )( )= ( )
dan ( )( ) ( )
Jadi, merupakan invers dari yaitu ( )
.
d. Untuk
Langkah awal: Pernyataan tersebut benar untuk karena
( ) ( ) .
Jadi ( ) ( ) .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Langkah induksi: Misalkan pernyataan tersebut benar untuk
yaitu
( ) ( )
maka untuk diperoleh:
( ) ( )
( )
( )
( )
yang memperlihatkan bahwa pernyataan tersebut juga benar
untuk
Jadi, terbukti bahwa pernyataan tersebut benar untuk setiap
Untuk .
Langkah awal: Pernyataan tersebut benar untuk kare-
na
( )
Langkah induksi: Misalkan pernyataan tersebut benar untuk
yaitu
( ) ( )
Maka untuk diperoleh:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
yang memperlihatkan bahwa pernyataan tersebut juga benar
untuk
Jadi, terbukti bahwa pernyataan tersebut benar untuk setiap
■
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Definisi 2.8.4
Matriks berukuran disebut matriks elementer jika matriks tersebut
dapat diperoleh dari matriks identitas dengan melakukan satu kali
operasi baris elementer.
Contoh 2.8.5
[
] ( )→ [
]
[
] → [
]
[
] → [
]
Definisi 2.8.6
Dua matriks disebut ekivalen baris jika salah satu matriks dapat diperoleh
dengan melakukan operasi baris elementer sebanyak berhingga kali pada
matriks yang lain.
Definisi 2.8.7
Matriks yang semua elemennya adalah 0 disebut matriks nol.
Teorema 2.8.8
Jika satu operasi baris elementer dilakukan pada matriks berukuran
maka hasilnya adalah matriks dengan adalah matriks ele-
menter yang diperoleh dengan melakukan satu operasi baris elementer
yang sama pada matriks identitas
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Bukti:
Misalkan matriks [
] Dengan melakukan satu
kali operasi baris elementer didapat
[
] → [
]
[
] → [
]
[
] → [
]
Misalkan [
] Dengan melakukan satu kali operasi baris
elementer yang sama seperti pada di atas didapat
[
] → [
]
[
] → [
]
[
] → [
] .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Maka
[
] [
]
[
].
[
] [
]
[
]
[
] [
]
[
]. ■
Teorema 2.8.9
Setiap matriks elementer mempunyai invers, dan inversnya adalah matriks
elementer.
Bukti:
a. Misalkan matriks elementer diperoleh dengan melakukan
operasi baris elementer dengan . Matriks invers dari
matriks elementer ini adalah matriks elementer yang diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
dengan melakukan operasi baris elementer
pada matriks iden-
titas.
b. Misalkan matriks elementer yang diperoleh dengan melakukan
operasi baris elementer Matriks invers dari matriks ele-
menter ini adalah matriks elementer yang diperoleh dengan
melakukan operasi baris elementer ( ) pada matriks
identitas.
c. Misalkan matriks elementer yang diperoleh dengan menukar ba-
ris ke- dan ke- Matriks invers dari matriks elementer tersebut
adalah matriks elementer yang diperoleh dengan melakukan
operasi baris elementer yang sama pada matriks identitas. Dengan
kata lain ■
Teorema 2.8.10
Jika adalah matriks , maka pernyataan-pernyataan berikut ekiva-
len:
a. mempunyai invers.
b. hanya mempunyai penyelesaian trivial, di mana vektor
( ) dan vektor ( ).
c. ekivalen baris dengan
Bukti:
( ) Misalkan mempunyai invers dan misalkan adalah
penyelesaian dari yaitu . Dengan mengalikan kedua ruas
dengan didapat
( )
( )
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Jadi hanya mempunyai penyelesaian trivial.
( ) Misalkan yaitu sistem persamaan linear homogen:
{
hanya mempunyai penyelesaian trivial, yaitu
Maka matriks koefisien dari sistem persamaan linear homogen tersebut
adalah
[
]
sehingga dapat disimpulkan bahwa matriks ekivalen baris dengan
( ) Misalkan ekivalen baris dengan matriks identitas . Berarti
dengan mengoperasikan sejumlah kali operasi baris elementer pada akan
diperoleh matriks . Menurut Teorema 2.8.8, hal tersebut berarti
dengan adalah matriks elementer.
Menurut Teorema 2.8.9, matriks-matriks elementer tersebut mempunyai
invers, yaitu
. Maka
(
)( )
sehingga , yaitu matriks A mempunyai invers. ■
Dengan demikian, matriks dapat diperoleh dengan mengerjakan
operasi-operasi baris elementer pada dengan operasi-operasi baris ele-
menter yang digunakan untuk mengubah menjadi .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
Contoh 2.8.11
Diberikan matriks [
]
(
|
+ → (
|
+
(
|
+ ( ) → (
|
+
(
|
+
→ (
|
⁄
⁄
⁄)
(
|
⁄
⁄
⁄) ( ) → (
|
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
,
(
|
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
, →
(
||
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄ )
Jadi,
[
⁄ ⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄ ]
I. Determinan Matriks
Fungsi yang mengaitkan setiap matriks persegi dengan sebuah
bilangan yang memenuhi sifat tertentu disebut determinan matriks. De-
terminan memiliki beberapa sifat, yang lebih lanjut akan dibahas sebagai
berikut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
Definisi 2.9.1
Determinan dari matriks 0
1 berukuran adalah
( ) |
| .
Teorema 2.9.2
Matriks 0
1 mempunyai invers, yaitu
0
1 ji-
ka dan hanya jika .
Bukti:
( ) Diketahui matriks 0
1 mempunyai invers, yaitu
0
1. Akan ditunjukkan
Karena invers dari matriks adalah
0
1, maka harus-
lah , karena jika maka
0
1
tidak terdefinisi.
( ) Karena maka
terdefinisi, sehingga
.
|
/ ( ) → .
|
/
.
|
/
→ (
|
)
(
|
) ( ) → (
|
+
(
|
+
→ (
|
+.
Jadi [
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
0
1. ■
Teorema 2.9.3 (untuk matriks berukuran )
a. Jika matriks diperoleh dari matriks dengan mengalikan suatu
baris dari matriks dengan konstanta maka ( ) ( )
Bukti:
Misalkan 0
1 dan 0
1 maka
( ) 0
1 ( )
0
1 ( ).
b. Jika matriks diperoleh dari matriks dengan menukar dua baris
maka
( ) ( )
Bukti:
Misalkan 0
1 dan 0
1, maka
( ) ( ) ( )
c. Jika dua baris dari matriks sama, maka ( ) .
Bukti:
Misalkan matriks mempunyai dua baris yang sama. Dengan me-
nukar kedua baris itu diperoleh matriks juga. Tetapi karena pe-
nukaran baris itu diperoleh ( ) ( ), sehingga
( ) Jadi ( )
d. Jika dan adalah tiga matriks yang baris pertama (atau ba-
ris keduanya) sama tetapi elemen baris kedua (atau baris pertaman-
ya) dari matriks merupakan jumlah elemen seletak dari matriks
, maka
( ) ( ) ( ).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
Bukti:
Misalkan [
] [
] dan
[
], maka
( ) [
] ( ) ( )
( ) ( ) [
] [
]
( ) ( ).
e. Jika matriks diperoleh dari matriks dengan menambah suatu
baris dengan kali baris yang lain, maka ( ) ( )
Bukti:
Misalkan 0
1 dan 0
1 maka
( ) ( ) ( )
( ) .
f. Determinan matriks identitas adalah 1.
Bukti:
( ) 0
1 .
g. ( ) ( )
Bukti:
Misalkan 0
1 dan 0
1, maka
( ) ( ). ■
Definisi 2.9.4
Determinan matriks berukuran adalah fungsi yang mengaitkan
matriks itu ke bilangan real ( ) dengan sifat:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
a. Jika matriks diperoleh dari matriks dengan cara mengalikan
sebuah baris dengan bilangan maka ( ) ( ).
b. Jika matriks diperoleh dari matriks dengan cara menukar dua
baris, maka ( ) ( ).
c. Jika diketahui tiga matriks dan yang mempunyai elemen
sama kecuali pada baris ke- , yaitu elemen baris ke- dari matriks
merupakan jumlah dari elemen baris ke- dari matriks dan
maka ( ) ( ) ( ).
d. Determinan matriks identitas adalah 1.
e. ( ) ( )
Teorema 2.9.5
Jika matriks mempunyai dua baris yang elemennya sama, maka
( ) .
Bukti:
Misalkan matriks mempunyai dua baris yang elemennya sama dan
matriks yang diperoleh dari matriks dengan cara menukar dua baris yang
elemennya sama tersebut. Dengan demikian . Oleh karena itu
( ) ( ). Tetapi berdasarkan sifat b, ( ) ( ), sehing-
ga ( ) ( ). Akibatnya ( ) sehingga ( ) ■
Teorema 2.9.6
Jika matriks diperoleh dari matriks dengan cara mengganti sebuah
barisnya dengan baris itu ditambah kali baris lain dari , maka ( )
( )
Bukti:
[
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
[
]
Kemudian dengan sifat c (Definisi 2.9.4) diperoleh
( ) [
] [
]
Dengan sifat a (Definisi 2.9.4), determinan yang kedua dapat diganti men-
jadi
( )
[
] [
]
Karena determinan kedua adalah determinan matriks yang mempunyai dua
baris yang sama yaitu baris pertama dan baris ke- , maka nilainya sama
dengan nol (Teorema 2.9.5). Oleh karena itu, ( ) ( )
Definisi 2.9.7
Elemen-elemen baris ke- dan kolom ke- dalam suatu matriks persegi
disebut elemen diagonal. Matriks persegi yang semua elemennya di bawah
elemen diagonalnya adalah nol disebut matriks segitiga atas, sedangkan
matriks persegi yang semua elemennya di atas elemen diagonalnya adalah
nol disebut matriks segitiga bawah.
Contoh 2.9.8
Berikut contoh matriks segitiga atas
[
]
dan matriks segitiga bawah
[
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
Contoh 2.9.9
Menghitung determinan matriks segitiga atas
[
]
Dengan sifat a (Definisi 2.9.4)
( ) [
] *
+
kemudian dengan Teorema 2.9.6, yaitu mengganti baris kedua dengan ba-
ris kedua ditambah kali baris ketiga diperoleh
( ) *
+.
Dengan sifat a (Definisi 2.9.4) diperoleh
( ) *
+
kemudian dengan Teorema 2.9.6, yaitu mengganti baris pertama dengan
baris pertama ditambah kali baris kedua diperoleh
( ) [
]
dengan Teorema 2.9.6, yaitu mengganti baris pertama dengan baris per-
tama ditambah kali baris ketiga diperoleh
( ) [
]
Dengan sifat a dan sifat d (Definisi 2.9.4) diperoleh
( ) [
] .
Jadi, determinan matriks segitiga atas adalah hasil kali dari elemen-elemen
diagonalnya.
Contoh 2.9.10
Menghitung determinan matriks segitiga bawah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
[
].
Dengan sifat a (Definisi 2.9.4)
( ) [
] [
]
Kemudian dengan Teorema 2.9.6, yaitu mengganti baris kedua dengan ba-
ris kedua ditambah kali baris pertama diperoleh
( ) [
]
Dengan sifat a (Definisi 2.9.4) diperoleh
( ) [
]
Kemudian dengan Teorema 2.9.6, yaitu mengganti baris ketiga dengan ba-
ris ketiga ditambah kali baris pertama diperoleh
( ) [
]
Kemudian dengan Teorema 2.9.6, yaitu mengganti baris ketiga dengan
baris ketiga ditambah kali baris kedua diperoleh
( ) [
]
Dengan sifat a dan sifat d (Definisi 2.9.4) diperoleh
( ) [
]
Jadi, determinan matriks segitiga bawah adalah hasil kali dari elemen-
elemen diagonalnya.
Definisi 2.9.11
Misalkan matriks berukuran . Minor adalah determinan dari
matriks berukuran ( ) ( ) yang diperoleh dari matriks
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
dengan menghapus baris ke- dan kolom ke- . Sedangkan kofaktor
( )
Contoh 2.9.12
Menghitung determinan matriks
[
].
Dengan sifat c (Definisi 2.9.4),
( ) [
]
[
] [
] [
]
( ) ( ) ( )
Dengan sifat a (Definisi 2.9.4)
( ) [
] [
]
Kemudian dengan Teorema 2.9.6,
( ) [
] [
].
Dengan Teorema 2.9.6, yaitu mengganti baris ketiga dengan baris ketiga
ditambah dengan
kali baris kedua dengan asumsi diperoleh
( ) *
+
( .
/) ( )
0
1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
Jika , maka ( ) [
], dengan sifat b
(Definisi 2.9.4) yaitu menukar baris kedua dan ketiga diperoleh
( ) [
] ( )
[
]
Dengan sifat e (Definisi 2.9.4) diperoleh
( ) [
] [
]
Dengan sifat b (Definisi 2.9.4), yaitu menukar baris pertama dengan baris
kedua diperoleh
( ) [
] [
]
dengan sifat e (Definisi 2.9.4) diperoleh
( ) [
] [
]
Dengan sifat a (Definisi 2.9.4) diperoleh
( ) [
] [
]
Kemudian dengan Teorema 2.9.6, determinan ini dapat diubah menjadi
( ) [
]
Dengan Teorema 2.9.6, yaitu mengganti baris ketiga dengan baris ketiga
ditambah
kali baris kedua dengan asumsi diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
( ) [
]
( (
*) ( )
0
1
Jika , maka ( ) [
], dengan sifat b
(Definisi 2.9.4), yaitu menukar baris kedua dan ketiga diperoleh
( ) [
] ( )
0
1
Dengan sifat e (Definisi 2.9.4) diperoleh
( ) [
] [
]
Dengan sifat b (Definisi 2.9.4), yaitu menukar baris ketiga dan pertama di-
peroleh
( ) [
] [
]
Dengan sifat a (Definisi 2.9.4) diperoleh
( ) [
] [
]
Dengan sifat e (Definisi 2.9.4) diperoleh
( ) [
] [
]
Kemudian dengan Teorema 2.9.6, determinan ini dapat diubah menjadi
( ) [
] [
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Dengan Teorema 2.9.6, yaitu mengganti baris ketiga dengan baris ketiga
ditambah
kali baris kedua dengan asumsi diperoleh
( ) *
+
( ) 0
1 0
1.
Jika , maka ( ) [
], dengan sifat b
(Definisi 2.9.4), yaitu menukar baris kedua dan ketiga diperoleh
( ) [
] ( )
[
].
Dengan sifat a (Definisi 2.9.4) dan Teorema 2.9.6, yaitu mengganti baris
kedua dengan baris kedua ditambah dengan kali baris ketiga di-
peroleh diperoleh ( ) [
]
Dengan demikian
( ) 0
1 0
1 0
1
( ) ( )
( )
Bentuk terakhir ini disebut perluasan kofaktor determinan sepanjang baris
pertama. Dengan cara yang sama determinan di atas dapat ditulis sebagai
perluasan kofaktor sepanjang baris atau kolom yang lain serta akan mem-
berikan nilai yang sama. Perluasan kofaktor determinan matriks ter-
sebut dapat diperluas untuk perluasan kofaktor determinan matriks
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Teorema 2.9.13
Jika matriks berukuran , maka
a. Perluasan kofaktor determinan sepanjang baris ke- adalah
( )
b. Perluasan kofaktor determinan sepanjang kolom ke- adalah
( ) .
Contoh 2.9.14
Diberikan matriks [
].
Dengan menggunakan perluasan kofaktor sepanjang baris pertama di-
peroleh
( ) ( ) |
| ( ) |
|
( ) ( )
.
Teorema 2.9.15
Misalkan matriks elementer .
a. Jika hasil dari mengalikan baris pada dengan bilangan taknol
maka ( )
b. Jika hasil dari menukar dua baris pada maka ( ) .
c. Jika hasil dari mengganti sebuah baris dengan baris itu ditambah
kali baris lain pada , maka ( )
Bukti:
a. Berdasarkan Definisi 2.9.4 bagian a, maka ( ) ( ) dan
berdasarkan Definisi 2.9.4 bagian d, yaitu ( ) maka
( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
b. Berdasarkan Definisi 2.9.4 bagian b, maka ( ) ( ) dan
berdasarkan Definisi 2.9.4 bagian d, yaitu ( ) maka
( ) ( )
c. Karena matriks elementer yang diperoleh dari matriks identitas
dengan mengganti suatu baris dengan baris itu ditambah kali baris
lain, maka berdasarkan Teorema 2.9.6, ( ) ( ) dan ber-
dasarkan Definisi 2.9.4 bagian d, yaitu ( ) maka ( )
. ■
Teorema 2.9.16
Jika elemen-elemen dalam baris (atau kolom) matriks persegi berukuran
dikalikan dengan kofaktor dari elemen-elemen yang sesuai dalam
baris (atau kolom) yang berbeda, maka jumlahan dari perkalian tersebut
adalah nol.
Bukti:
Misalkan adalah matriks yang diperoleh dari dengan menambahkan
baris ke- ke baris ke- pada matriks , maka ( ) ( ). Perlua-
san kofaktor sepanjang baris ke- dari matriks adalah
( ) ( ) ∑( )
∑ ∑
( ) ∑ .
Dari Teorema 2.9.13, penjumlahan pertama pada ruas sebelah kanan ada-
lah ( ), sehingga ∑ untuk ■
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
J. Matriks Adjoin
Matriks adjoin merupakan transpos dari matriks kofaktor. Adjoin dari
matriks dinotasikan dengan adj ( )
Definisi 2.10.1.
Misalkan matriks dan adalah kofaktor dari , maka matriks
[
]
disebut matriks kofaktor dari .
Transpos matriks kofaktor dari disebut adjoin dan dinotasikan dengan
adj ( ),
adj ( ) [
].
Contoh 2.10.2
Tentukan adjoin dari matriks [
].
Penyelesaian:
Kofaktor dari adalah
( ) |
|
( ) |
|
( )( )
( ) |
|
( ) |
|
( )( )
( ) |
|
( ) |
|
( )( ( ))
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
( ) |
|
( ) |
|
( )( ( ))
( ) |
|
Jadi, adj ( ) [
]
[
].
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
BAB III
APLIKASI ALJABAR LINEAR PADA KRIPTOGRAFI
A. Aritmetika Modular
Aritmetika modular adalah sistem aritmetika untuk bilangan bulat, yang
dapat didefinisikan secara matematis dengan menggunakan relasi kongru-
ensi pada bilangan bulat. Jika n adalah suatu bilangan bulat positif, maka
bilangan bulat dan dikatakan kongruen modulo jika adalah
bilangan bulat kelipatan Aritmetika modular digunakan dalam kripto-
grafi dan akan dibahas pada subbab berikut ini.
Definisi 3.1.1
Jika dan adalah bilangan bulat dan maka dikatakan habis
dibagi oleh (dilambangkan dengan ) jika dan hanya jika terdapat
bilangan bulat sedemikian sehingga Jika habis dibagi oleh
maka juga dikatakan bahwa adalah faktor atau pembagi dari , atau
adalah kelipatan
Prinsip Terurut Baik (Well Ordering Principle)
Jika adalah himpunan bagian takkosong dari himpunan semua bilangan
asli, maka mempunyai elemen terkecil, yaitu ( )( )
Contoh 3.1.2
Jika diberikan * +, maka elemen terkecil dari adalah , sebab
dan
Teorema 3.1.3 (Algoritma Pembagian)
Untuk setiap bilangan bulat dan bilangan bulat positif , terdapat dengan
tunggal bilangan bulat dan sedemikian sehingga
dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
Bukti:
Misalkan adalah himpunan semua bilangan bulat taknegatif dengan ben-
tuk
di mana adalah bilangan bulat. Himpunan ini takkosong karena
a. Jika taknegatif, maka sehingga (
) .
b. Jika negatif, maka ( ) se-
hingga
( ) . .
Berdasarkan prinsip terurut baik, mempunyai elemen terkecil yaitu
ada bilangan bulat sedemikian sehingga
.
Kemudian dengan menambahkan pada kedua ruas persamaan tersebut
diperoleh
.
Andaikan , maka
( )
.
Bilangan bulat ( ) dan ( ) . Tetapi adalah
bilangan bulat terkecil di sehingga pengandaian tidak benar. Ter-
bukti bahwa ada bilangan bulat dan sedemikian sehingga
dan
Untuk membuktikan ketunggalan dan dimisalkan terdapat bilangan
bulat dan sedemikian sehingga
(1)
(2)
Karena salah satunya akan lebih besar atau sama dengan yang
lainnya, misalkan . Dari (1) diperoleh dan dari (2) di-
peroleh . Kemudian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
( )
( )
Di sisi lain dan kurang dari dan sudah dimisalkan maka
. Dengan demikian,
( )
( ) .
Tetapi ( ) merupakan bilangan bulat. Jadi ketidaksamaan ini berlaku
hanya jika Dengan kata lain, sehingga mengakibatkan
■
Definisi 3.1.4
Jika adalah bilangan bulat positif serta dan adalah sebarang bilangan
bulat, maka dikatakan kongruen modulo , ditulis
( )
jika dan hanya jika adalah bilangan bulat kelipatan
Contoh 3.1.5
a. ( ), karena yang merupakan kelipatan dari
4.
b. ( ) karena yang merupakan kelipatan dari
5.
Definisi 3.1.6
Jika dan adalah bilangan bulat dengan , maka ( ) adalah
sisa taknegatif kurang dari n yang diperoleh jika dibagi oleh Him-
punan bilangan bulat * + disebut himpunan bilangan
bulat modulo
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Contoh 3.1.7
a. ( ) 11.
b. ( ) 16.
Definisi 3.1.8
Misalkan dan bilangan bulat taknol. Pembagi persekutuan terbesar
dari dan , yang dinotasikan dengan ( ) adalah bilangan bulat
dengan sifat berikut:
a. adalah pembagi persekutuan dari dan , yaitu dan
b. Untuk semua bilangan bulat , jika adalah pembagi perseku-
tuan dari dan maka Dengan kata lain, untuk semua
bilangan bulat , jika dan , maka .
Teorema 3.1.9
Untuk setiap bilangan bulat positif dan jika adalah pembagi dari ,
maka
Bukti:
Misalkan dan bilangan bulat positif dan adalah pembagi dari
Maka terdapat bilangan bulat jadi Bilangan bulat haruslah
positif karena dan positif, sehingga karena setiap bilangan bulat
positif lebih besar atau sama dengan satu. Dengan mengalikan kedua sisi
pertidaksamaan tersebut dengan diperoleh
Jadi ■
Definisi 3.1.10
Bilangan bulat dan dikatakan relatif prima jika dan hanya jika
( ) Bilangan-bilangan bulat adalah pasangan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
relatif prima jika dan hanya jika ( ) untuk setiap dan
dengan
Definisi 3.1.11
Bilangan bulat dikatakan merupakan kombinasi linear dari bilangan bu-
lat dan jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat dan sedemikian
sehingga
Teorema 3.1.12
Untuk semua bilangan bulat taknol dan jika ( ) maka
merupakan kombinasi linear dari dan
Bukti:
Diberikan bilangan bulat taknol dan dan misalkan ( ) dan
* +.
adalah himpunan takkosong karena
a. Jika maka ( ) .
b. Jika maka ( ( ) )
Berdasarkan prinsip terurut baik, terdapat elemen terkecil . Dari defin-
isi ,
untuk bilangan bulat dan
Akan ditunjukkan bahwa
1)
Karena ( ), maka menurut Definisi 3.1.8, dan
yaitu dan untuk bilangan bulat dan se-
hingga
( ) ( )
( ).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
Tetapi adalah bilangan bulat karena merupakan jumlahan
dan perkalian bilangan-bilangan bulat (Teorema 3.1.9).
2)
Gunakan Algoritma pembagian untuk memperoleh di
mana dan bilangan bulat dengan sehingga
.
Karena maka
( )
( ) ( )
Jadi adalah kombinasi linear dari dan . Jika maka
dan . Pernyataan tersebut kontradiksi dengan pern-
yataan bahwa adalah elemen terkecil di . Jadi sehingga
dan oleh karena itu
Kemudian di mana dan bilangan bulat dengan
sehingga
Karena maka
( )
( ) ( )
Jadi adalah kombinasi linear dari dan . Jika maka
dan . Pernyataan tersebut kontradiksi dengan pern-
yataan adalah elemen terkecil di . Jadi sehingga
dan oleh karena itu
Karena dan berarti adalah pembagi persekutuan dari
dan . Karenanya karena ( ).
Dari 1) dan 2) dapat disimpulkan sehingga
untuk bilangan bulat dan , yaitu merupakan kombinasi linear
dari dan ■
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
Akibat 3.1.13
Jika dan adalah bilangan bulat relatif prima, maka ada bilangan bulat
dan sedemikian sehingga
Bukti:
Karena ( ) maka berdasarkan Teorema 3.1.12, ada bilangan
bulat dan sedemikian sehingga ■
Definisi 3.1.14
Invers (mod n) dari bilangan bulat a adalah bilangan bulat sedemikian
sehingga ( )
Teorema 3.1.15
Untuk semua bilangan bulat dan jika ( ) dan maka
Bukti:
Diketahui dan adalah bilangan bulat, ( ) dan
Akan dibuktikan bahwa
Berdasarkan Teorema 3.1.12, terdapat bilangan bulat dan sedemikian
sehingga
Kemudian dengan mengalikan kedua ruas persamaan tersebut dengan
diperoleh
Karena , berdasarkan definisi pembagian terdapat bilangan bulat
sedemikian sehingga
sehingga didapat
( )
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
Misalkan maka adalah bilangan bulat (karena dan
adalah bilangan-bilangan bulat), dan , yang berarti ■
Contoh 3.1.16
Karena 9 dan 26 relatif prima, maka 9 mempunyai invers (mod 26). Invers
(mod 26) dari 9 adalah 3 karena ( )
Definisi 3.1.17
Misalkan ( ) dan ( ) adalah matriks berukuran
dengan elemen-elemen bilangan-bilangan bulat dan adalah bilangan bu-
lat positif. Matriks dikatakan kongruen dengan matriks modulo , di-
notasikan
(mod )
jika dan hanya jika (mod ) untuk setiap pasangan ( ) dengan
dan
Contoh 3.1.18
Jika matriks 0
1 dan 0
1 maka (mod ),
sebab (mod ), (mod ) (mod ),
(mod ).
Definisi 3.1.19
Jika dan adalah matriks-matriks berukuran dengan elemen-
elemen bilangan bulat dan adalah bilangan bulat positif, maka ada-
lah invers dari (mod ) jika (mod )
Contoh 3.1.20
Jika matriks 0
1 maka 0
1 adalah invers dari A (mod
) sebab 0
1 0
1 0
1 0
1 ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
0
1 0
1 0
1 0
1 ( )
Teorema 3.1.21
Jika adalah bilangan bulat positif dan adalah bilangan bulat modulo ,
maka mempunyai invers ( ) jika dan hanya dan relatif prima.
Bukti:
(⇐) Diketahui dan relatif prima, maka berdasarkan Akibat 3.1.13 ter-
dapat bilangan bulat dan sedemikian sehingga sehingga
( ) .
Dari Definisi 3.1.4 didapat ( ). Berdasarkan definisi 3.1.14,
adalah invers ( ) dari Jadi mempunyai invers ( ).
( ) Diketahui mempunyai invers ( ). Misalkan adalah invers
( ) dari sehingga ( ), dan misalkan ( ).
Akan dibuktikan bahwa dan misalkan adalah
bilangan prima pembagi Karena d adalah pembagi a dan n, maka ju-
ga pembagi dari dan Karena ( ) maka berdasarkan
Definisi 3.1.4 sehingga untuk suatu bilangan
bulat Karena dan maka ( ), sehingga Ini kontra-
diksi dengan adalah bilangan prima, yaitu . Jadi yaitu
( ) sehingga berdasarkan Definisi 3.1.10, dan relatif prima.
■
Teorema 3.1.22
Jika adalah matriks persegi dengan elemen-elemen bilangan bulat dan
adalah bilangan bulat positif sedemikian sehingga ( ) ( ) dan
relatif prima, maka A mempunyai invers ( ) yaitu
( ( )) ( ) ( ).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
Bukti:
Karena ( )( ) dan relatif prima, maka berdasarkan Teorema
3.1.21, ( )( ) mempunyai invers (mod n),
ga ( )( ) Selanjutnya, elemen baris ke- dan kolom ke-
dari ( ) adalah
(1)
Jika , maka jumlahan (1) adalah perluasan kofaktor dari matriks
sepanjang baris ke- sehingga jumlahan (1) sama dengan det( ) (Teorema
2.9.13).
Jika , maka jumlahan (1) sama dengan nol (Teorema 2.9.16). Jadi
adj ( ) [
( ) ( ) ( )
] ( )
Demikian pula, elemen baris ke- dan kolom ke- dari adj ( ) adalah
(2)
Jika , maka jumlahan (2) adalah perluasan kofaktor dari matriks
sepanjang baris ke- sehingga jumlahan (2) sama dengan det( ) (Teorema
2.9.13).
Jika , maka jumlahan (2) sama dengan nol (Teorema 2.9.16). Jadi
adj ( ) [
( ) ( ) ( )
] ( )
maka adj ( ) adj ( ) ( ) .
Berdasarkan Teorema 3.1.21 karena ( ) ( ) dan relatif prima,
maka ( ) ( ) mempunyai invers (mod ), yaitu
( ( )) ( )
Dengan demikian
,( ( )) ( )- ( ( )) ( ) ( ( )) ( )
(mod )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
dan
,( ( )) ( )- ( ( )) ( ) ( ( )) ( )
(mod ).
Ini menunjukkan bahwa ( ( )) ( ) ( ) adalah invers
( ) dari
Teorema 3.1.23
Matriks persegi dengan elemen-elemen di mempunyai invers (mod
) jika dan hanya jika ( )( ) mempunyai invers di .
Bukti:
( ) Diketahui matriks persegi dengan elemen-elemen di mempu-
nyai invers (mod n), yaitu . Maka (mod n), sehingga
( ) ( ) (mod n). Jadi
, ( )( )-,( ( )) ( )- .
Berarti ( )( ) mempunyai invers di .
( ) Diketahui ( )( ) mempunyai invers di . Berdasarkan
Teorema 3.1.21, ( )( ) dan relatif prima, dan berdasarkan Te-
orema 3.1.22, karena ( )( ) dan relatif prima, maka matriks
mempunyai invers (mod n). ■
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
B. Kriptografi
Kriptografi berasal dari bahasa Yunani, crypto dan graphia. Crypto be-
rarti rahasia dan graphia berarti tulisan. Menurut terminologinya, kripto-
grafi adalah ilmu dan seni untuk menjaga keamanan pesan ketika pesan
dikirim dari suatu tempat ke tempat lain.
Di masa lalu, kriptografi digunakan oleh pemerintahan dan militer.
Banyak sistem untuk mengirim pesan rahasia membutuhkan pengirim dan
penerima untuk mengetahui prosedur enkripsi dan dekripsi.
Dalam mengirim pesan, pengirim terlebih dahulu harus mengubah pe-
san tersebut agar tidak diketahui oleh orang lain, sehingga pesan tersebut
dapat aman hingga sampai ke penerima. Proses mengubah teks-biasa men-
jadi teks-sandi disebut enkripsi. Kemudian penerima yang telah menerima
pesan rahasia tersebut harus dapat membuka pesan tersebut agar menjadi
pesan yang dapat dimengerti. Proses dalam mengubah teks-sandi menjadi
teks-biasa disebut dekripsi.
C. Sandi Hill
Sandi Hill merupakan salah satu algoritma kriptografi yang diciptakan
pada tahun 1929 oleh Lester S. Hill. Algoritma Sandi Hill menggunakan
matriks persegi sebagai kunci untuk mengubah teks-biasa, yaitu teks yang
belum dikodekan menjadi teks-sandi dan sebaliknya. Persamaan sandi Hill
adalah
( )
di mana adalah pesan yang sudah disandikan (teks-sandi), adalah
kunci berbentuk matriks persegi dengan elemen-elemen bilangan bulat
dan mempunyai invers (mod n), adalah pesan yang belum
disandikan (teks biasa), dan adalah bilangan bulat positif yang menya-
takan banyaknya huruf atau lambang yang digunakan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
d. Masing-masing kelompok nilai numerik teks-biasa tersebut disusun
menjadi vektor-vektor kolom
[ ] [
] [
] [
] [
]
[ ] [
] [
] [
].
e. Lakukan perkalian (mod ), yang menghasilkan vektor-vektor
kolom yang memuat nilai-nilai numerik teks-sandi.
(mod ) =
[
] [ ] ( ) [
]
[
] [ ] ( ) [
]
[
] [ ] ( ) [
]
[
] [ ] ( ) [
]
[
] [ ] ( ) [
]
[
] [ ] ( ) [
]
[
] [ ] ( ) [
]
[
] [ ] ( ) [
]
f. Konversikan masing-masing nilai numerik teks-sandi tersebut ke hu-
ruf/lambang sesuai dengan tabel yang telah ditentukan.
4 11 20 20 23 17 21 24 28
28 29 29 23 11 11 4 13 25
21 7 16 25 1 22 14 6 11
D,U K?G T?P TWY WKA QKV UDN XMF ,YK
Maka didapat teks-sandi sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
D,UK?GT?PTWYWKAQKVUDNXMF,YK
D. Penguraian Sandi
Dalam proses penguraian sandi, penerima yang menerima teks-sandi
harus mengubah teks-sandi itu menjadi teks-biasa.
Pada algoritma Sandi Hill, penguraian sandi dilakukan dengan
menggunakan matriks invers ( ) sebagai kunci penguraian. Jika
adalah sebuah bilangan bulat > 1, maka matriks persegi dengan elemen-
elemen di dikatakan mempunyai invers ( ) jika terdapat matriks
dengan elemen-elemen di sedemikian sehingga
( )
Persamaan yang digunakan dalam penguraian sandi dalam algoritma
Sandi Hill adalah
( )
di mana adalah pesan yang belum disandikan (teks-biasa), adalah
matriks invers (mod n) dari matriks A sebagai matriks kunci untuk men-
guraikan sandi, dan adalah pesan yang sudah disandikan (teks-sandi).
Teorema 3.4.1
Misalkan vektor-vektor kolom nilai numerik teks-biasa dan
vektor-vektor kolom nilai numerik teks-sandi dalam sandi
Hill. Jika adalah matriks persegi dengan vektor-vektor kolom
dan adalah matriks persegi dengan vektor-vektor kolom
maka barisan operasi baris elementer yang mereduksi
menjadi mereduksi menjadi ( )
Bukti:
Misalkan , adalah matriks-matriks elementer dari operasi ba-
ris elementer untuk mereduksi menjadi , yaitu
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Karena untuk setiap , maka
sehingga
.
Kemudian dengan mengalikan kedua ruas persamaan tersebut dengan
diperoleh
( )
Hal ini menunjukkan bahwa mempunyai invers, yaitu ( ) . Menurut
Teorema 2.4.3, ( ) ( ) sehingga
( )
Artinya operasi baris elementer yang bersesuaian dengan
mereduksi menjadi ( ) ■
Contoh 3.4.2
Teks-sandi: AHQ.KHEYKQ
Diketahui teks-biasa diawali dengan kata HOWA.
a. Kelompokkan huruf/lambang dari teks-sandi dan teks-biasa, masing-
masing kelompok terdiri dari 2 huruf/lambang, karena jumlah hu-
ruf/lambang dalam teks-sandi dan teks-biasa adalah genap.
Pengelompokan huruf/lambang dari teks-sandi:
AH Q. KH EY KQ
Pengelompokan huruf/lambang dari teks-biasa:
HO WA
b. Konversikan huruf/lambang dalam tiap kelompok tersebut ke nilai
numeriknya sesuai dengan tabel yang telah ditentukan.
Nilai numerik teks-sandi:
AH Q. KH EY KQ
1 17 11 5 11
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
8 27 8 25 17
Nilai numerik teks-biasa:
HO WA
8 23
15 1
c. Masing-masing kelompok nilai numerik teks-sandi dan teks-biasa
tersebut disusun menjadi vektor-vektor kolom.
Vektor-vektor kolom teks-sandi:
0 1, 0
1, 0
1, 0
1, 0
1
Vektor-vektor kolom teks-biasa:
0 1, 0
1
Dengan menggunakan Teorema 3.4.1, operasi baris elementer yang
mereduksi menjadi akan mereduksi menjadi ( )
*
+ 0
1
*
+ 0
1
( ) .
|
/ Bentuk matriks ( )
.
|
/ Kalikan baris kedua dengan
( )
.
|
/ Ganti baris kedua dengan 30
.
|
/ ( )
.
|
/ Kalikan baris kedua dengan
( )
.
|
/ Ganti baris kedua dengan 30
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
( ) 0
1
sehingga
0
1.
d. Lakukan perkalian ( ) untuk menghasilkan vektor-
vektor kolom [
] yang memuat nilai-nilai numerik teks-
biasa.
( )
0
1 0 1 ( ) 0
1
0
1 0 1 ( ) 0
1
0
1 0 1 ( ) 0
1
0
1 0 1 ( ) 0
1
0
1 0 1 ( ) 0
1
e. Konversikan masing-masing nilai numerik teks-biasa tersebut ke hu-
ruf/lambang sesuai dengan tabel yang telah ditentukan.
8 23 18 25 21
15 1 5 15 29
HO WA RE YO U?
.
|
/ ( )
.
|
/
= ( ( ) ).
Maka diperoleh:
Ganti baris pertama dengan mod 30
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
Jadi huruf/lambang hasil penguraian teks-sandi menjadi teks-biasa
adalah HOWAREYOU?
Contoh 3.4.3
Diberikan teks-sandi: D,UK?GT?PTWYWKAQKVUDNXMF,YK
dan matriks kunci: [
]
Untuk mengubah teks-sandi menjadi teks-biasa dilakukan langkah-langkah
berikut:
a. Kelompokkan huruf-huruf dan lambang-lambang teks-sandi tersebut
secara terurut, tiap kelompok terdiri dari 3 huruf/lambang sesuai
dengan ukuran matriks kunci yang dipilih.
D,U K?G T?P TWY WKA QKV UDN XMF ,YK
b. Konversikan huruf/lambang dalam tiap kelompok tersebut ke nilai
numerik sesuai dengan tabel yang telah ditentukan.
D,U K?G T?P TWY WKA QKV UDN XMF ,YK
4 11 20 20 23 17 21 24 28
28 29 29 23 11 11 4 13 25
21 7 16 25 1 22 14 6 11
c. Masing-masing kelompok nilai numerik teks-sandi tersebut disusun
menjadivektor-vektor kolom.
[ ] [
] [
] [
] [
]
[ ] [
] [
] [
].
d. Mencari matriks invers (mod ) dari matriks A sebagai matriks kunci
untuk menguraikan sandi dengan menggunakan Teorema 3.1.22, yaitu
( ( )) adj ( )( ).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
Terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa ( )( ) dan ada-
lah relatif prima.
Menghitung ( ) ( ) dengan
[
]
dengan menggunakan perluasan kofaktor sepanjang baris pertama:
( ) ( ) ( )( ) 0
1 ( )( ) 0
1
( )( ) 0
1 ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
( )
Karena ( ) maka berdasakan Definisi 3.1.10,
( ) ( ) adalah relatif prima.
Menghitung ( )( )
Kofaktor dari adalah
( )( ) [
]
[
]
( ( )) adj ( )( )
[
] ( ) [
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
e. Lakukan perkalian ( ), yang menghasilkan vektor-vektor
kolom
[
] yang memuat nilai-nilai numerik teks-biasa.
( )
[
] [ ] ( ) [
] [
] [ ] ( ) [
]
[
] [ ] ( ) [
] [
] [ ] ( ) [
]
[
] [ ] ( ) [
] [
] [ ] ( ) [
]
[
] [ ] ( ) [
] [
] [ ] ( ) [
]
[
] [ ] ( ) [
]
f. Konversikan masing-masing nilai numerik teks-biasa tersebut ke hu-
ruf/lambang sesuai dengan tabel yang telah ditentukan.
1 25 7 4 7 4 5 1 14
16 1 19 1 1 1 18 11 29
1 14 5 14 14 11 10 1 16
APA YAN GSE DAN GAN DAK ERJ AKA N?P
Maka didapat teks-biasa, yaitu: APAYANGSEDANGANDAKERJAKAN?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
BAB IV
PENUTUP
A. Kesimpulan
Kriptografi merupakan ilmu dan seni dalam sistem penyandian, dari
mengubah teks-biasa menjadi teks-sandi ataupun sebaliknya. Ada banyak
algoritma yang dapat dipakai dalam kriptografi. Namun, pada makalah ini
penulis hanya membahas mengenai algoritma Sandi Hill, yang dikem-
bangkan oleh Lester S. Hill dengan menggunakan teori-teori dalam aljabar
linear, yaitu sistem persamaan linear, matriks, operasi matriks, matriks
transpos, operasi baris elementer, eliminasi Gauss, eliminasi Gauss-Jordan,
matriks invers, determinan matriks, matriks adjoin, dan aritmetika modu-
lar. Persamaan yang digunakan untuk mengubah teks-biasa menjadi teks-
sandi adalah sebagai berikut:
( )
di mana adalah pesan yang sudah disandikan, adalah kunci berbentuk
matriks persegi dengan elemen-elemen bilangan bulat dan
mempunyai invers (mod n), adalah pesan yang belum disandikan, dan
adalah bilangan bulat positif yang menyatakan banyaknya huruf atau lam-
bang yang digunakan.
Persamaan yang digunakan untuk mengubah teks-sandi menjadi teks-
biasa adalah sebagai berikut:
( )
di mana adalah pesan yang belum disandikan, adalah matriks invers
(mod n) dari matriks A sebagai matriks kunci untuk menguraikan sandi,
dan adalah pesan yang sudah disandikan.
Teks-biasa dalam kriptografi dapat berupa kalimat yang dilengkapi
dengan tanda baca, seperti titik, koma, tanda seru, tanda tanya, spasi dan
lain sebagainya. Untuk mengubah teks-biasa menjadi teks-sandi digunakan
kunci berupa matriks persegi yang mempunyai invers. Ukuran matriks
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
yang digunakan ditentukan oleh pengirim. Kunci hanya diketahui oleh
pengirim dan penerima untuk menjaga keamanan pesan rahasia tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
B. Saran
Pada makalah ini, penulis hanya membahas aplikasi aljabar linear
pada kriptografi dalam algoritma Sandi Hill. Proses enkripsi dan dekripsi
pada kriptografi dapat diperluas dengan berbagai algoritma lain, seperti al-
goritma RSA dan Elgamal, yang merupakan algoritma asimetri, dengan
kunci yang digunakan untuk mengenkripsi dan mendekripsi berbeda. Al-
goritma RSA menggunakan konsep bilangan prima dan aritmetika modu-
lar, sedangkan algoritma Elgamal menggunakan konsep logaritma diskret.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H and Busby, R. C. (2003). Contemporary Linear Algebra. New
York: John Wiley and Sons.
Anton, H. and Rorres, C. (2000). Elementary Linear Algebra. Applications
Version. (8th Edition). New York: John Wiley and Sons.
Ariyus, Dony. (2008). Pengantar Ilmu Kriptografi. Teori, Analisis, dan
Implementasi. Yogyakarta: ANDI.
Budhi, Wono Setya. (1995). Aljabar Linear. Jakarta: Gramedia Pustaka
Utama.
Epp, Susanna. S. (2011). Discrete Mathematics with Applications (4th
Edition). Boston: Brooks/Cole Cencage Learning.
Leon, Steven J. (2001). Aljabar Linear dan Aplikasinya. Jakarta: Erlangga.
Mullen, Gary L. and James A. Sellers. (2016). Abstract Algebra: A Gentle
Introduction. (1st Edition). New York: CRC Press.
Sukirman. (2013). Teori Bilangan. Yogyakarta: UNY Press.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI