Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.

Aljabar Linear dan Matriks

(Transformasi Linier dan Matriks)

Ch2_2

2.1 Penjumlahan, Perkalian Skalar,

dan Perkalian Matriks• aij: unsur dari matriks A di baris i dan kolom j.

Definisi

Dua matriks adalah sama jika keduanya mempunyai ukuran yang sama dan

jika unsur terkaitnya juga sama.

Lalu A = B jika aij = bij i, j. ( untuk setiap atau untuk semua)

Ch2_3

Penjumlahan Matriks

DefinisiUntuk A dan B berupa matriks dengan ukuran yang sama.

sum A + B adalah matriks diperoleh dari penjumlahan unsur A dan B.

Matriks A + B akan berukuran sama sebagai A dan B.

Jika A dan B tidak sama ukurannya, maka kedua matriks tersebut tidak dapat

dijumlahkan.

. maka , jikaLalu i,jbacBAC ijijij

Ch2_4

Contoh

.72

45dan ,

813

652 ,

320

741Untuk

CBA

Tentukan A + B dan A + C, jika dapat dijumlahkan.

Solusi

.1113193

831230675421

813652

320741

)1(

BA

(2) A dan C tidak sama ukurannya, A + C tidak dapat dijumlahkan.

Ch2_5

Perkalian Skalar dari matriks

DefinisiUntuk A berupa matriks dan c berupa skalar. Perkalian skalar dari A oleh c,

didenotasikan cA, merupakan matriks yang didapatkan dari perkalian setiap

unsur dari A oleh c. Matrix cA akan mempunyai ukuran yang sama sebagai A.

Contoh

.027

421Untuk

A

.0921

126303)3(373

43)2(3133

A

Amati bahwa A dan 3A keduanya merupakan matriks 2 3.

., maka , jikaLalu jicabcAB ijij

Ch2_6

Negasi dan Pengurangan

DefinisiMatriks (1)C dituliskan –C dan disebut negatif dari C.

Contoh

.640

182dan

563

205 Diketahui

BA

.1123

183654603

)1(28025

BA

Definisi pengurangan dalam penjumlahan dan perkalian adalah :

A – B = A + (–1)B

Contoh

263

701lalu ,

263

701CC

., , maka , jikaLalu jibacBAC ijijij

Ch2_7

Perkalian Matriks

26

12

)54()23(

)52()21(

5

2 43

5

2 21

5

2

43

21

Contoh

2010

19614

6

102

2

002

3

5 02

6

131

2

031

3

5 31

623

105

02

31

Ch2_8

Contoh 1

ada. tidak produk bahwan Menunjukka

.36

27 ,

514

213Untuk

AB

BA

36

27

514

213AB

3

2 514

6

7 514

3

2 213

6

7 213

AB tidak ada.

Solusi

Catatan. Umumnya, ABBA.

Ch2_9

njinjiji

nj

j

j

iniiij bababa

b

b

b

aaac

2211

2

1

21

DefinisiUntuk jumlah kolom dalam matriks A berupa sama sebagaimana jumlah dari

baris di matriks B. Produk AB ada.

Jika jumlah kolom dalam A tidak sama dengan jumlah baris B,

dikatakan bahwa produk tidak ada.

Untuk A: matriks mn , B: matriks nk ,

Matriks produk C=AB mempunyai unsur

C merupakan matriks mk .

Ch2_10

Contoh 2

ada.produk jika ,dan Tentukan

.623

105 ,

02

31Untuk

BAAB

BA

623105

0231

AB .2010

91614

Solusi

Catatan. Umumnya, ABBA.

BA tidak ada.

2)14()23(12

43

23c

105

237dan

43

12BA

Contoh3

Untuk C = AB, Tentukan c23.

Ch2_11

Ukuran dari Matriks Produk

Jika A merupakan matriks m r dan B merupakan matriks r n, maka AB akan

berupa matriks m n.

A

m r

B

r n

= AB

m n

Contoh

Jika A merupakan matriks 5 6 dan B merupakan matriks 6 7.

Karena A mempunyai enam kolom dan B mempunyai enam baris, maka ABada.

AB akan menjadi matriks 5 7.

Ch2_12

DefinisiMatriks nol merupakan matriks yang semua unsurnya nol.

Matriks diagonal merupakan matriks bujur sangkar yang semua unsurnya

yang tidak ada di bagian diagonalnya adalah nol.

Matriks identitas merupakan matriks diagonal yang setiap unsur diagonalnya

adalah 1.

nol matriks

000

000

000

mn0

A diagonal matriks

00

00

00

22

11

nna

a

a

A

identitas matriks

100

010

001

nI

Matriks Khusus

Ch2_13

Teorema 2.1Untuk A adalah matriks m n dan Omn adalah matriks nol m n. Untuk B adalah

matriks bujur sangkar n n. On dan In adalah matriks nol dan n n matriks

identitas. Maka,

A + Omn = Omn + A = ABOn = OnB = On

BIn = InB = B

Contoh 4

.43

12dan

854

312Untuk

BA

AOA

854

312

000

000

854

31223

2200

00

00

00

33

12OOB

BBI

43

12

10

01

43

122

Ch2_14

(a) A: mn, B: nrUntuk kolom B adalah matriks B1, B2, …, Br.

Tulis B=[B1 B2 … Br].

Lalu AB=A[B1 B2 … Br]=[AB1 AB2 … ABr].

120

314dan

51

02BA

Perkalian matriks dalam kolom

Contoh

1

3 ,

2

1 ,

0

4321 BBB

2114

628AB dan

2

6 ,

11

2 ,

4

8321 ABABAB

Ch2_15

(b)

A: mn, B: n1, dimana A=[A1 A2 … An] dan .

Didapatkan,

5

2

3

dan 584

132BA

Perkalian Matriks terkait dengan kolom

Contoh

5

1 ,

8

3 ,

4

2321 AAA

3

5

5

15

8

32

4

23AB

nb

b

B 1

nn

n

n AbAbAb

b

b

AAAAB

2211

1

21

Ch2_16

Partisi MatriksMatriks dapat disub-bagikan menjadi jumlah sub-matriks.

Contoh

SR

QPA

152

413

210

dimana 15dan 2 ,41

21 ,

3

0

SRQP

SNRM

QNPM

N

M

SR

QPAB

Contoh

N

MB

SR

QPA

45

12

01

dan

234

203

121

Ch2_17

Contoh 5

Untuk

SJRH

QJPH

J

H

SR

QPAB

.131

121dan

42

03

11

BA

Sebagaimana dengan matriks A.

SR

QPA

42

03

11

Partisi matriks A diinterpretasikan sebagai matriks 22. Untuk produk AB sehingga ada,

maka B harus dipartisi menjadi matriks yang mempunyai dua baris.

Untuk .131

121

J

HB

2166

363

210

13141212

1310

1121

3

1

Ch2_18

2.2 Sifat-sifat Aljabar Operasi

Matriks

Teorema 2.2 -1

Untuk A, B, dan C berupa matriks dan a, b, dan c berupa skalar. Asumsikan bahwa

ukuran matriks merupakan operasi yang dapat ditampilkan.

Sifat-sifat penjumlahan matriks dan perkalian skalar

1. A + B = B + A Sifat komutatif dari penjumlahan

2. A + (B + C) = (A + B) + C Sifat asosiatif dari penjumlahan

3. A + O = O + A = A (dimana O merupakan matriks nol yang sesuai)

4. c(A + B) = cA + cB Sifat distributif darri penjumlahan

5. (a + b)C = aC + bC Sifat distributif dari penjumlahan

6. (ab)C = a(bC)

Ch2_19

Untuk A, B, dan C berupa matriks dan a, b, dan c berupa skalar. Asumsikan bahwa

ukuran matriks merupakan suatu operasi yang dapat ditampilkan.

Sifat-sifat perkalian matriks

1. A(BC) = (AB)C Sifat asosiatif dari perkalian

2. A(B + C) = AB + AC Sifat distributif dari perkalian

3. (A + B)C = AC + BC Sifat distributif dari perkalian

4. AIn = InA = A (dimana In merupakan matriks nol yang sesuai)

5. c(AB) = (cA)B = A(cB)

Catatan: AB BA umumnya, perkalian matriks bukan komutatif.

Teorema 2.2 -2

Ch2_20

13

205

12

733

54

312

.1817

2511

53101568

10216092

CBA 532

.13

20 and ,

12

73 ,

54

31Let

CBA

Contoh 1

BuktikanThm 2.2 (A+B=B+A)

.)()( ijijijijijij ABabbaBA

Menurut unsur (i,j)th dari matriks A+B dan B+A:

A+B=B+A

Ch2_21

Contoh 2

.1131112

201310

1321

AB

.19

014

1131112

)(

CAB

.

0

1

4

dan ,201

310 ,

13

21Untuk

CBA Hitung ABC.

Solusi

A B C = D22 23 31 21

ABC = (AB)C = A(BC)

Ch2_22

Dalam aljabar diketahui bahwa hukum pembatalan berlaku.

Jika ab = ac dan a 0 maka b = c.

Jika pq = 0 maka p = 0 atau q = 0.

Bagaimanapun hasil yang sesuai tidak benar untuk matriks.

AB = AC tidak berimplikasi dengan B = C.

PQ = O tidak berimplikasi dengan P = O atau Q = O.

Perhatian

Contoh

. tetapi,86

43 bahwa Amati

.23

83dan ,

12

21 ,

42

21 matriks aSebagaiman (1)

CBACAB

CBA

.dan tetapi, bahwa Amati

.31

62dan ,

42

21 matriks aSebagaiman (2)

OQOPOPQ

QP

Ch2_23

Pangkat Matriks

Teorema 2.3

Jika A merupakan sebuah matriks bujur sangkar n n dan r dan smerupakan integer bukan negatif, maka

1. ArAs = Ar+s.

2. (Ar)s = Ars.

3. A0 = In (secara definisi)

Definisi

Jika A merupakan matriks bujur sangkar, maka

kali k

k AAAA

Ch2_24

Contoh 3

. hitung ,01

21 Jika 4AA

21

23

01

21

01

212A

.65

1011

21

23

21

234

A

Solusi

2

2222

22

463

57362

57)2(3)2(

BBAAB

ABBABBAABA

ABBABABBAA

Contoh 4 Sederhanakan ungkapan matriks berikut

ABBABABBAA 57)2(3)2( 22 Solusi

Ch2_25

Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear m dalam n variabel sebagaimana berikut

mnmnm

nn

bxaxa

bxaxa

11

11111

Untuk

mnmnm

n

b

b

B

x

x

X

aa

aa

A

11

1

111

dan , ,

Dapat dituliskan sistem persamaan dalam bentuk matriks

AX = B

Ch2_26

Solusi Persamaan Linear

Sesuai dengan sistem persamaan linear homogen AX=0.

Untuk X1 dan X2 berupa solusi. Maka

AX1=0 and AX2=0

A(X1 + X2) = AX1 + AX2 = 0 X1 + X2 juga merupakan solusi

Catatan.

Himpunan solusi untuk sistem persamaan linear merupakan himpunan tertutup

dari penjumlahan dan perkalian skalar, yang merupakan sub-ruang.

Jika c merupakan skalar,

A(cX1) = cAX1 = 0 cX1 juga merupakan solusi

Ch2_27

Contoh 5

Sesuai sistem persamaan linear homogen berikut.

05

03

082

321

32

321

xxx

xx

xxx

Dapat ditunjukkan bahwa ada banyak solusi,

x1=2r, x2=3r, x3 = r.

Solusi merupakan vektor dalam R3

dari bentuk (2r, 3r, r) or r(2, 3, 1).

Solusi membentuk sub-ruang R3 dari

dimensi 1.

Gambar 2.4

Catatan. x1=0, …, xn = 0, merupakan

solusi sampai setiap sistem homogen.

Himpunan solusi untuk setiap sistem

melewati asalnya.

Ch2_28

Solusi untuk sistem Nonhomogen

Untuk AX=Y berupa sistem persamaan linear, sehingga Y0.

Untuk X1 dan X2 berupa dua solusi, maka

AX1=Y dan AX2=Y

A(X1 + X2) = AX1 + AX2 = 2Y X1 + X2 bukan sebuah solusi.

Jika c adalah skalar,

A(cX1) = cAX1 = cY cX1 bukan solusi.

Latihan 41

Tunjukkan bahwa himpunan solusi untuk sistem persamaan linear nonhomogen

tidak tertutup pada penjumlahan dan perkalian skalar, dan bahwa bukan sub-

ruang dari Rn..

Bukti

Himpunan solusi bukan sub-ruang dari Rn.

Contoh

Ch2_29

65

23

882

321

32

321

xxx

xx

xxx

Menurut sistem persamaan linear nonhomogen berikut.

Solusi umum dari sistem ini adalah (2r+4, 3r+2, r).

(2r+4, 3r+2, r) = r(2, 3, 1)+(4, 2, 0)

Catatan bahwa r(2, 3, 1)

merupakan solusi umum

dari sistem homogen

terkait. Vektor (4, 2, 0)

merupakan solusi khusus

untuk sistem nonhomogen

terkait dengan r=0.

Gambar 2.5

Ch2_30

Matriks Idempotent dan Nilpotent

Definisi

(1) Matriks bujur sangkar A dikatakan idempotent jika A2=A.

(2) Matriks bujur sangkar A dikatakan nilpotent jika ada integer positif pdimana A

p=0. Integer terendah p pada A

p=0 disebut derajat nilpotency

dari matriks.

.21

63 ,

21

63 (1) 2 AAA

Contoh

2 :nilpotencyderajat .00

00 ,

31

93 (2) 2

BB

Ch2_31

2.3 Matriks Simetris

DefinisiTranspose matriks A, didenotasikan A

t, merupakan matriks yang

mempunyai kolom dari baris matriks A.

Contoh

.431dan ,654

721 ,

08

72

CBA

0782tA

675241

tB .431

tC

jiAAmnAnmA jiij

tt ., )( ,: : yaitu,

Ch2_32

Teorema 2.4 Sifat-sifat transpos

Untuk A dan B berupa matriks dan c berupa skalar. Asumsikan bahwa ukuran

matriks merupakan matriks yang dapat ditampilkan.

1. (A + B)t = At + Bt Transpos dari penjumlahan

2. (cA)t = cAt Transpos dari perkalian skalar

3. (AB)t = BtAt Transpos dari produk

4. (At)t = A

Ch2_33

nijnijij

ni

i

i

jnjjjiijt

bababa

b

b

b

aaaABAB

2211

2

1

21

)()(

Teorema 2.4 Sifat-sifat TransposBuktikan nomor 3. (AB)t = BtAt

nijnijij

jn

j

j

niii

tttt

ij

tt

bababa

a

a

a

bbb

AjBiAjBiAB

2211

2

1

21

] dari [baris ] dari kolom[] dari [kolom ] dari baris[)(

Ch2_34

Matriks Simetris

6394323293704201

384871410

4552

sesuai

sesuai

DefinisiMatriks simetris merupakan matriks yang sama dengan transpos-nya.

jiaaAA jiij

t , i.e., ,

Contoh

Ch2_35

Contoh 3

UntukC = aA+bB, dimana a dan b merupakan skalar.

Ct = (aA+bB)t

= (aA)t + (bB)t Teorema 2.4 (1)

= aAt + bBt Teorema 2.4 (2)

= aA+ bB karena A dan B adalah simetris

= C

Lalu C adalah simetris.

Buktikan

Untuk A dan B berupa matriks simetris dari ukuran yang sama. Untuk C berupa

kombinasi linear dari A dan B. Buktikan bahwa produk C adalah simetris.

Ch2_36

Contoh 4

*Harus menunjukkan (a) AB merupakan simetris AB = BA,

dan sebaliknya, (b) AB merupakan simetris AB = BA.

() Untuk AB berupa simetris, maka

AB= (AB)t definisi dari matriks simetris

= BtAt Teorema 2.4 (3)

= BA karena A dan B merupakan simetris

() Untuk AB = BA, maka

(AB)t = (BA)t

= AtBt Teorema 2.4 (3)

= AB karena A dan B merupakan simetris

Buktikan

Untuk A dan B berupa matriks simetris dari ukuran yang sama. Buktikan

bahwa produk AB merupakan simetris jika dan hanya jika AB = BA.

Ch2_37

Contoh 3

Buktikan

Untuk A berupa matriks simetris. Buktikan bahwa A2 merupakan simetris.

tA )( 2 tAA)( )( tt AA 2AAA

Ch2_38

DefinisiUntuk A berupa matriks bujur sangkar. Trace dari A, didenotasikan tr(A)

merupakan jumlah unsur diagonal dari A. Lalu jika merupakan matriks n x n.

tr(A) = a11 + a22 + … + ann

Contoh 5

Tentukan trace dari matriks .037652214

A

Solusi

Sehingga,

.10)5(4)( Atr

Trace matriks

Ch2_39

Teorema 2.5 Sifat-sifat TraceUntukA dan B berupa matriks dan c berupa skalar. Asumsikan bahwa ukuran

dari matriks merupakan operasi yang dapat ditampilkan.

1. tr(A + B) = tr(A) + tr(B)

2. tr(AB) = tr(BA)

3. tr(cA) = c tr (A)

4. tr(At) = tr(A)

Karena unsur diagonal dari A + B are (a11+b11), (a22+b22), …, (ann+bnn), maka

tr(A + B) = (a11 + b11) + (a22 + b22) + …+ (ann + bnn)

= (a11 + a22 + … + ann) + (b11 + b22 + … + bnn)

= tr(A) + tr(B).

Buktikan dari (1)

Ch2_40

Contoh (2) tr(AB)=tr(BA)

101

123 ,

21

02

31

BA

52

118 ,

121

246

220

BAAB

)( 3)( BAtrABtr

Ch2_41

Matriks dengan unsur-unsur kompleks

Unsur matriks dapat berupa bilangan kompleks. Bilangan kompleks berbentuk

z = a + bi

Dimana a dan b merupakan bilangan real dan a disebut bagian real dan bbagian imajiner dari z.

.1i

Konjugasi dari bilangan kompleks z = a + bi didefinisikan dan ditulis z = a bi.

Ch2_42

Contoh 7

.321

23dan

54

232Untuk

ii

iB

i

iiA

Hitung A + B, 2A, dan AB.

Solusi

ii

i

iii

iii

ii

i

i

iiBA

825

35

32514

22332

321

23

54

232

i

ii

i

iiA

108

4624

54

23222

ii

ii

iiiii

iiiiiii

ii

i

i

iiAB

181557

910411

)32)(5()2(4)1)(5()3)(4(

)32)(23()2)(2()1)(23(3)2(

321

23

54

232

Ch2_43

Definisi(i) Istilah konjugasi dari matriks A didenotasikan A dan diperoleh dengan

mengambil konjugasi setiap unsur matriks.

(ii) Transpos konjugasi dari A sditulis dan didefinisikan oleh A*=A t.

(iii) Matriks bujur sangkar C dikatakan hermitian jika C=C*.

i

iiA

76

4132

Contoh (i), (ii)

i

iiA

76

4132

ii

iAA

t

741

632*

Contoh (iii)

*

643

432C

i

iC

Ch2_44

2.4 Invers Matriks

DefinisiUntuk A berupa matriks n n . Jika matriks B ditemukan pada AB = BA = In, maka

A dikatakan invertible dan B disebut invers dari A. Jika suatu matriks B tidak ada,

maka A tidak mempunyai invers. (didenotasikan B = A1, dan Ak=(A1)k )

4321

A

Contoh 1

Buktikan bahwa matriks mempunyai invers .12

2

1

2

3

B

Bukti

22

1

2

3 100112

4321

IAB

22

1

2

3 1001

432112

IBA

Lalu AB = BA = I2, buktikan bahwa matriks A mempunyai invers B.

Ch2_45

Teorema 2.7

Jika matriks mempunyai invers, maka invers-nya unik.

Bukti

Untuk B dan C berupa invers dari A.

Lalu AB = BA = In, dan AC = CA = In.

Kalikan kedua sisi persamaan AB = In dengan C.

C(AB) = CIn(CA)B = C

InB = C

B = C

Lalu matriks dapat diinvers hanya mempunyai satu invers.

Teorema2.2

Ch2_46

Untuk A berupa matriks nn yang

dapat diinvers, Cari A-1?

. ,Untuk 2121

1

nnn CCCIXXXA

Pencarian A1 dengan mencari X1, X2, …, Xn.

Karena AA1 =In, maka .2121 nn CCCXXXA

.,, , yaitu, 2211 nn CAXCAXCAX

Selesaikan sistem tersebut dengan menggunakan Eliminasi Gauss-Jordan

.:

::penambahan matriks

21

21

nn

n

XXXI

CCCA

.:: 1 AIIA nn

Ch2_47

Eliminasi Gauss-Jordan untuk

mencari Invers MatriksUntuk A berupa matriks n n.

1. Adjoin matriks identitas In n n dari A untuk membentuk matriks [A : In].

2. Hitung bentuk baris tereduksi dari [A : In].

Jika bentuk barisam tereduksi berupa [In : B], maka B adalah invers dari A.

Jika bentuk barisan tereduksi tidak berupa [In : B], pada sub-matriks n ntidak In, maka A tidak mempunyai invers.

Matriks A n n dapat diinvers jika dan hanya jika direduksi bentuk barisannya,

yaitu In.

Ch2_48

Contoh 2

Tentukan invers matriks

531532211

A

Solusi

100531010532001211

]:[ 3IA

101320012110001211

1R

R1R3

2)(R2

101320012110001211

R2)1(

123100012110013101

R2)2(R3R2R1

.

123

135

110

Lalu, 1

A

123100135010010001

R3)1(R2R3R1

1

Ch2_49

135000011210012301

3R2R3

R2)1(R1

Contoh 3Tentukan invers matriks berikut, jika ada.

412721511

A

Solusi

100412010721001511

]:[ 3IA

102630011210001511

R1)2(R3

1)R1(R2

Tidak diperlukan untuk meneruskan lebih lanjut.

Bentuk barisan tereduksi tidak dapat mempunyai satu di lokasi (3, 3).

Bentuk barisan tereduksi tidak dapat berbentuk [In : B].

Lalu A–1 tidak ada.

Ch2_50

Sifat-sifat Invers MatriksUntuk A dan B dapat diinvers matriksnya dan c merupakan skalar bukan nol, Lalu

AA 11)( 1.11 1

)( .2 Ac

cA

111)( .3 ABAB

nn AA )()( .4 11

tt AA )()( .5 11

Buktikan

1. Dengan definisi, AA1=A1A=I.

))(())(( .2 11 11cAAIAcA

cc

))(( )())(( .3 1111111 ABABIAAABBAABAB

nn

nn

nn AAIAAAAAA )( )( .4 1

kali

11

kali

1

,)( )( ,

,)( )( , .5

111

111

IAAAAIAA

IAAAAIAA

ttt

ttt

Ch2_51

Contoh 4

.)( menghitunguntuk tersebut informasiGunakan

.43

11 bahwadiperoleh maka ,

13

14 Jika

1

1

tA

AA

Solusi

.)()(41

31

43

1111

t

tt AA

Ch2_52

Teorema 2.8

Untuk AX = Y berupa sistem persamaan linear dalam n variabel.

Jika A–1 ada, solusinya unik dan diberikan oleh X = A–1Y.

Buktikan

(X = A–1Y merupakan solusi.)

Substitusikan X = A–1Y menjadi persamaan matriks.

AX = A(A–1Y) = (AA–1)Y = InY = Y.

(Solusinya unik.)

Untuk X1 merupakan suatu solusi, maka AX1 = Y. Kalikan kedua sisi

persamaan tersebut dengan A–1 sehingga,

A–1AX1= A–1YInX1 = A–1YX1 = A–1Y.

Ch2_53

Contoh 5

Selesaikan sistem persamaan

253

3532

12

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Solusi

Sistem tersebut dapat dituliskan dalam bentuk matriks :

231

531532211

3

2

1

x

x

x

Jika matriks koefisien dapat diinvers, solusi uniknya berupa

231

531532211

1

3

2

1

x

x

x

Inversnya dapat ditemukan di contoh 2, sehingga didapatkan,

121

231

123135110

3

2

1

x

x

x

.1 ,2 ,1 : uniknya Solusi 321 xxx

Ch2_54

Matriks Dasar

DefinisiMatriks dasar salah satunya dapat diperoleh dari matriks identitas In melalui

operasi baris dasar tunggal.

Contoh

100

010

001

3I

010

100

001

1ER2 R3

100

050

001

2E5R2

100

012

001

3ER2+ 2R1

Ch2_55

Matriks Dasar

ihg

fed

cba

A

AEA

fed

ihg

cba

1

010

100

001

R2 R3

AEA

ihg

fed

cba

2

100

050

001

555

5R2

AEA

ihg

cfbead

cba

3

100

012

001

222

R2+ 2R1

Operasi baris dasar，Matriks dasar。

Ch2_56

Catatan untuk matriks dasar

Setiap matriks dasar adalah bujur sangkar dan dapat diinvers.

Contoh

Jika A dan B merupakan matriks ekuivalen baris dan

A dapat diinvers, maka B dapat diinvers.

Bukti

Jika A … B, maka

B=En … E2 E1 A untuk beberapa matriks dasar En, … , E2 dan E1.

Sehingga B1 = (En … E2 E1A)1 =A1E11 E2

1 … En1.

1221EI

RR

100

010

021

1E

100

010

001

I

100

010

021

2E

, 221

1 IERR

IEE 12 i.e.,

Terima Kasih