Aljabar matriks rev1

Click here to load reader

  • date post

    28-Jul-2015
  • Category

    Education

  • view

    140
  • download

    3

Embed Size (px)

Transcript of Aljabar matriks rev1

1. ALJABAR MATRIKS Bila kita mempunyai suatu sistem persamaan linier 2x + 3y + 3z =0 x + y + 3z =0 x + 2y z = 0Maka koefisien tersebut di atas disebut MATRIKS, dan secara umum dapat dituliskan sbb :2 3 2 1 1 3 1 2 1 2. Jajaran bilangan tersebut di atas disebut MATRIKS, dan secara umum dapat dituliskan sbb : a11 a 21 a31 . . . a i1 a m1 a12 a 22 a32a13 a 23 a33aij a2 j a3 j. . .. . .. . .ai 2 am2ai 3 a m3aij a mja1n a2n a3n . . . ain a mn m, n adalah bilangan bulat 1. aij = elemen-elemen dari matriks (i = 1, 2.......m).. (j = 1, 2 .......n) m banyak baris orde matriks mxn n banyaknya kolom Matriks biasanya ditulis dengan notasi (A) 3. Macam matriks Matriks bujur sangkar, bila m = n1 2 3 4 5 6 7 8 9 mxn Elemen-elemen a11, a22, .........., anndisebut elemen-elemen diagonal utama 4. Macam matriks Matriks baris, bila m = 11 2 3 4 5[ A ]mx1Matriks kolom, bila n = 1 1 2 3 4 5 [ A ]1x n 5. Macam matriks Matriks nol, bila aij = 0 : 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6. TYPE MATRIKS BUJUR SANGKAR Matriks Diagonal, Jika semua elemen sama dengan nol, kecuali elemen-elemen diagonal utamanya.1 0 0 00 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 4aij = 0 aii 0 7. TYPE MATRIKS BUJUR SANGKAR Matriks Satuan (unit matriks). Jika elemen-elemen diagonal sama dengan 1 dan elemen-elemen yang lain sama dengan nol. 1 0 0 00 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1= [I]Disebut juga matriks identitas = [ I ] 8. TYPE MATRIKS BUJUR SANGKAR Matriks simetris, jika aij = aji1 2 3 2 0 7 3 7 5 Matriks skew-simetris, jika aij = - aji 1 2 3 2 0 7 3 7 5 9. OPERASI MATRIKS Kesamaan matriks Dua matriks [A] dan [B] dikatakan sama bilaaij = bij [ A ] dan [ B ] harus mempunyai orde yang sama. 10. OPERASI MATRIKS Penjumlahan matriks Bila [A] dan [B] punya orde yang sama, maka kedua matriks tersebut bisa dijumlahkan menjadi matriks [C][C] = [A] + [B] cij = aij + bij Sifat-sifat penjumlahan Matriks [A]+[B]=[B]+[A] Komutatif [ A ] + [ B ] + [ C ] = ([ A ] + [ B ]) + [ C ] Assosiatif 11. EXAMPLE :[A] =1 2 3 4 5 6 [C] =1 0 2 3 3 2 4 1 5 2 6 3 [C] =1 5 5 5 7 9 [B] =0 3 2 1 2 3 12. OPERASI MATRIKS Perkalian dengan skalar : Suatu matriks [A] dapat dikalikan dengan bil.skalar k menghasilkan suatu matriks[D] = k [A]dij = k . aij Sifat-sifat perkalian skalar matriks: k ( [A] + [B] ) = k [A] + k [B] k ( [A] + [B] ) = ( [A] + [B] ) k 13. EXAMPLE :1 2 3 [A]= 4 5 6 [D]= 2 4 6 8 10 12 ; k = -2 14. OPERASI MATRIKS Perkalian matriks Matriks [A]mxp dan [B]pxn dapat dikalikan menghasilkan matriks baru[E]mxn = [A]mxp [B]pxn peij aik bkj k 1dimana : i = 1, 2, m ;j = 1, 2, n;k = 1, 2, p 15. EXAMPLE : [A] =2 1 5 1 3 2 2 x3;2 x3 1(1) 5 x 2 [E] = 1x3 3(1) 2 x 215 15 [E] = 4 12 2 x 2 3 4 [B] = 1 2 2 1 3 x 2 2 x 4 1x 2 5 x1 1x 4 3x 2 2 x1 16. Sifat-sifat perkalian matriks : [A] ( [B] + [C] ) = [A] [B] + [A] [C]; sifat distributif [A] ( [B] [C] ); sifat assosiatif= ( [A] [B] ) [C] [A] [B] [B] [A] [A] [B] = [A] [C] ; belum tentu [B] = [C] 17. TRANSPOSE MATRIKS Jika matriks [A] dengan orde m x n Transpose matriks [A]=T [A]adalah matriks berorde n x m dengan baris dan kolom matriks [A] menjadi kolom dan baris matrix [A]T EXAMPLE :1 2 3 [A] = 4 5 6 2 x31 4 [A]T =2 5 3 6 3 x 2 18. Sifat-sifat dari transpose matriks ( [A]T )T = [A] ( k [A] )T = k [A]T ( [A] + [B] )T = [A]T + [B]T ( [A] [B] )T = [B]T [A]T 19. DETERMINAN MATRIX BUJUR SANGKAR [A]2x2 = a11 a12 a a 22 21 Det. [A] = A a11 a22 a1 2 a21[B]3x3b11 b12 b21 b22 b31 b32 b13 b23 b33 B b11 b22 .b33 b23b32 b12 b21.b33 b23.b31 b13 b21.b32 b22 .b31 Co-factor bij = ( 1) i+j Minor bij 20. Untuk matriks dengan orde yang lebih tinggi ( n x n ) cara sama nA aik cik ai1ci1 ai 2 ci 2 ....... ain cin k 1dimana cik = co-factor aik 21. INVERS MATRIKS BUJUR SANGKAR Matriks tidak bisa dibagi dengan matriks lainnya. Sebagai analogi, digunakan INVERSE dari matriks tersebut. Apabila [A] dan [B] adalah matriks bujur sangkar, dan [A] [B] = [I] = [B] [A], maka matriks [B] disebut inverse dari matrix [A], dan matriks [A] adalah inverse dari matriks [B]. Selanjutnya [A] disebut matriks NON SINGULAR Bila [A] tidak punya inverse disebut matriks SINGULAR. Inverse dari matriks [A] biasa ditulis [A]-1 22. EXAMPLE : [A] = 6 2 3 1 1 0 1 0 1 [A] [A]-11 = 0 0 0 1 0; [A]-1 =0 0 1 1 1 1 2 3 23 3 4 =[I]Catatan : Untuk mencari inverse suatu matrix dapat dipakai beberapa metoda, antara lain : metode ad-joint, metode pemisahan, metode Gauss-Jordan, metode Cholesky, dsb. 23. Metode Gauss-Jordan Akan dicari inversi dari matriks [A]nxn Langkah-langkah yang dilakukan : 1) Ambil matriks satuan [I]nxn 2) Dengan cara operasi baris, ubahlah matriks [A] menjadi matriks satuan 3) Proses ke-2 juga dilakukan pada matriks [ I ], sehingga setelah proses selesai matriks [ I ] telah berubah menjadi matriks [A]-1 24. EXAMPLE : 1 3 3 [A] = 1 4 3 1 3 4 [A]-1LANGKAH KE-11 1 1 LANGKAH KE-21 3 3 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 3 4 0 0 1 LANGKAH KE-33 4 331 30 400 1 00 0 1 1 3 3 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 7 3 3 = 1 1 0 1 0 1 LANGKAH KE-41 0 3 4 3 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 LANGKAH KE-51 0 0 7 3 3 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 LANGKAH KE-nSelesai ????? 25. MATRIKS ORTHOGONAL Suatu matriks bujur sangkar [A] disebut matriks orthogonal bila [A]-1 = [A]T [A] [A]T = [A] [A]-1 = [ I ] 26. EXAMPLE : [A] = cos sin sin cos cos sin cos = sin sin cos sin cos [A]-1 =[A]TKarena [A]-1 = [A]T matriks [A] disebut matriks orthogonal[T] =[T]T = cos sin 0 cos sin 0 sin cos 0 sin cos 00 0 1 [T]-1 =cos sin 0 sin cos 00 0 1 0 0 1 Karena [T]-1 = [T]T matriks [T] disebut matriks orthogonal 27. TEORI DEKOMPOSISI MATRIKS Bila [A] = sebuah matrix bujur sangkar maka matriks tersebut dapat diekspresikan dalam bentuk : [A] = [L] [U] a11 a 21 a31 . . a n1 a12 a 22 a32 . . an2a13 a 23 a33 . . a n3...... ...... ...... ...... ...... ......a1n a2n a3n . . a nn =nxnl11 0 0 l l 21 22 0 l31 l32 l33 . . . . . . l n1 l n 2 l n3 [L] = lower triangle matriks [U] = upper triangle matriks.... 0 .... 0 .... 0 .... . .... . .... l nn nxnu11 u i 2 u13 0 u u 22 23 0 0 u 33 . . . . . . 0 0 0 .... .... .... .... .... ....u1n u 2n u 3 n. . . u nn nxn 28. EXAMPLE : 36 27 63 20 25 39 12 14 33 =[A]=9 0 0 5 2 0 3 1 7 4 3 7 0 5 2 0 0 8 [L][U]Aplikasi pada solusi persamaan linier simultan : [A] {X} = [B][L] [U] {X} = [B]misal[U] {X} = {Y}[L] {Y} = [B]{X} = [U]-1 {Y}{Y} = [L]-1 [B] dapat diperoleh tanpa inverse matriksSehingga : {X} = [U]-1 [L]-1 [B]dapat diperoleh tanpa inverse matriks 29. SOLUSI PERSAMAAN LINIER SIMULTAN Persamaan Linier Simultan dengan n buah bilangan tak diketahui dapat dituliskan sbb : a11 a21 . . . a n1x1 x1x1 a12 a 22 . . . an 2x2 x2x2 .......... a1n .......... a 2 n .......... . .......... . .......... . .......... a nn a11 a 21 a 21 a 22 . . . . a n1 a n 2 xn xnxn.... a1n x1 .... a 2 n x 2 .... . . .... . x n 1 xn .... a nn b1 b2 . . . bn b1 b 2 = . b n 1 bn Secara matriks ditulis, [A] {X} = [B] 30. EXAMPLE : 4x + 3y + z = 13 x + 2y + 3z = 14 3x + 2y + 5z = 22 4 3 1 1 2 3 3 2 5 x 13 y = 14 z 22 [A] {X} = [B] { X } = [A]-1[B] 4 3 1 x y = 1 2 3 z 3 2 5 113 14 = ..?????? 22 31. PARTISI MATRIKS Suatu matriks bisa dipartisikan menjadi SUB-MATRIKS dengan cara hanya mengikutkan beberapa baris atau kolom dari matriks aslinya. Aturan-aturan yang dipakai untuk mengoperasikan matriks partisi persis sama dengan mengoperasikan matriks biasaA a11 a12 a21 a22 a31 a32 a13 a14 a23 a24a15 a25a33a35a34a16 A11 A12 A13 a26 = A21 A22 A23 a36 dimana ; a11 A11 a 21 a12 a13 a14 A12 a 22 a 23 a 24 a15 a16 A13 a 25 a 26 A21 a31A22 a32A23 a35a33a34 a36 32. EXAMPLE : 5 A 4 10 A B3 6 31 2 4 3 x 3 A A 11 12 A21 A22 2 x 2 A11 A21A12 A22 2 x 2 5 43 6 A12 B2 1 2A21 B1 101 5 11 37 2 4 16 44 3 2 3 2 6 4 3A22 B2 4 3 14 sehingga ; [ A] [B] 22 28 39 48 40 5 B 1 4 B 2 3 X 2 2 2 x1 A B A12 B2 11 1 A21B1 A22 B2 B1 B2 2 x1A11 B1 1 B 2 3 1 2 5 16 4 2 12832 33. BEBERAPA RUMUS KHUSUS [ A ] = Matriks bujur sangkar dan simetris ; orde n x n : aij [ B ] = Matriks empat persegi panjang ; orde n x m : bij { X } = Vektor kolom ; orde n x 1 : xi { Y } = Vektor kolom ; orde m x 1 ; yi Bila ;Maka ;atau sebaliknya ;12T 1 xn{X }[ A] nxn x1 x2 .... {X } .... xn AX {X }n12n a i 1j 1ijxi y j [ A] n xn { X }n x1 ; 1{ X }T [ A]{ X } 2 34. EXAMPLE : x1 X x2 x 31 2 3 A 2 4 5 3 5 6 12{ X }T [ A]{ X } = ( x1 x2 x 3 ) 1x 4x 22112x1x2 x1 2 x 2 2 x1 4 x2 3x1 5 x21 2 3 x1 x 3 2 4 5 x 2 3 5 6 x 3 3 x3 5 x3 6 x3 6x3 4x1 x2 6x1 x3 10x2 x3 222 35. 1 22 x1 4 x2 6 x2 x1 2 x2 3x3 x1 1 28 x2 4 x1 10 x3 2 x1 4 x2 5 x3 x2 1 212 x3 6 x1 10 x2 3x1 5 x2 6 x3 x3 x1 1 2 3 x1 2 4 5 x 2 x 2 3 5 6 x 3 x3 A{ X } { X } 36. Bila ;T {X }1xnY [B] nxmmx1 Bnxm Y mx1 Maka ; X EXAMPLE : 1 2 3 4 B 3x 4 5 6 7 8 { X }3x1 = 9 10 11 12 X T B Y x1x2 x1 x2 x 3 y1 y { Y }4x1 = 2 y3 y4 y1 1 2 3 4 5 6 7 8 y 2 x3 y 9 10 11 12 3 y 4 37. x1 x2x3 y1 2 y 2 3 y3 4 y 4 5 y 6 y 7 y 8 y 2 3 4 1 9 y1 10 y 2 11y3 12 y 4 y1 2 y2 3 y3 4 y4 x1 5 y1 6 y2 7 y3 8 y4 x2 9 y1 10 y 2 11y3 12 y 4 y1 2 y 2 3 y3 4 y 4 x1 5 y1 6 y2 7 y3 8 y4 x2 9 y1 10 y2 11y3 12 y4 x3 x1 1 2 3 4 5 6 7 8 x2 9 10 11 12 x3 y1 y 2 y3 y4 B Y X x3