Ppt aljabar matriks
-
Upload
malida-hola -
Category
Education
-
view
285 -
download
20
Transcript of Ppt aljabar matriks
Sistem Persamaan Linear dalam Matriks
Created by :Desi Apriani Silaen (14-115-006)Malida Hola Aprilyani (14-115-016)Nurazizah (14-115-020)Rafilita Susanti (14-115-022)
Assalammualaikum . Wr . wb
1
ELIMINASI GAUSSProsedur untuk mereduksi suatu matriks menjadi bentuk
baris-eselon tereduksi disebut eliminasi Gauss-Jordan, sedangkan prosedur untuk mereduksi suatu matriks menjadi bentuk baris-eselon disebut elimininasi Gaussian.
Metode ini pada prinsipnya terdiri dari dua bagian :Bagian A : (Eliminasi Maju) Reduksi beratahap dari suatu sistem persamaan degenerasi tanpa solusi (yang berarti bahwa sistem tidak memliki solusi) atau suatu sistem ekuivalen yang lebih sederhana berbentuk segitiga atau esselon
2
Disini kita mengilustrasikan secara terperinci mengenai eliminasi gaus dengan menggunakan sistem persamaan linear berikut ini : x – 3x -2z = 6 2x – 4y – 3z = 8 -3x + 6y + 8z = -5Bagian A . Kita menggunakan koefisien l dari x persamaan pertama L sebagai pivot untuk mengeliminasi x dari persamaan kedua dan dari persamaan ketiga , ini dilakukan dengan cara sebagai berikut :Kalikan dengan pengali m = -2 dan kemudian tambahkan ke : dengan kata lain , “gantilah dengan -2 + ” .Kalikan dengan pengali m = 3 dan kemudian tambahkan ke : dengan kata lain :. “Gantilah dengan 3 + ” . kedua langkah ini menghasilkan 3
4
(-2)𝑙1 : -2x + 6y + 4z = -12 3𝑙1: 3x – 9y – 6z = 18
𝑙2 : 2x – 4y – 3z = 8 + 𝑙3 : -3x + 6y + 8z = -5 +
𝑙2 baru : 2y + z = -4 𝑙3 baru: -3y + 2z = 13
Maka sistem aslinya digantikan dengan sistem baru berikut ini :
𝑙1 = x-3y-2z = 6 𝑙2 = 2y + z = -4 𝑙3 = -3y +2z = 13
(perhatikan bahwa persamaan 𝑙2 dan 𝑙3 membentuk subsistem dengan satu
persamaan lebih sedikit dan juga satu variabel tidak-diketahui lebih sedikit
dan juga satu variabel tidak-diketahui lebih sedikit disbanding sistem
aslinya)
5
Selanjutnya kita menggunakan koefisien 2 dari y pada
persamaan kedua (baru) 𝑙2 sebagai pivot untuk
mengeliminasi y dari persamaan ketiga (baru) 𝑙3. Ini
dilakukan dengan cara sebagai berikut :
(1) Kalikan 𝑙2 dengan pengali m = 3/2 dan kemudian
tambahkan ke 𝑙3; dengan kata lain, “gantilah 𝑙3
dengan ½𝑙2 + 𝑙3" (atau, “gantilah 𝑙3 dengan 3𝑙2 + 2𝑙3”, yang akan menghindari munculnya pecahan)
Langkah ini mmenghasilkan :
½ 𝑙2 : 3y + 1/2z = -6 3𝑙2 : 6y + 3z = -12 𝑙3 : -3y + 2z = 13 atau 2𝑙3 : -6y + 4 z = 26 𝑙3 baru : 7/2 z = 7 𝑙3 baru : 7 z = 14
6
Penerapan Matriks
2.2.1 Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua
Variabel dengan Matriks
Bentuk umum = ൜ 𝑎𝑥+ 𝑏𝑦= 𝑝𝑐𝑥+ 𝑑𝑦= 𝑞ൠ
Sistem persamaan linear diatas bila dinyatakan dalam
notasi matriks :
ቀ𝑎 𝑏𝑐 𝑑ቁ ቀ
𝑥𝑦ቁ = ቀ𝑝𝑞ቁ
Penyelesaiannya adalah :
ቀ𝑥𝑦ቁ = ቀ𝑎 𝑏𝑐 𝑑ቁ−1 ቀ
𝑝𝑞ቁ
ቀ𝑥𝑦ቁ = 1𝑎𝑑−𝑏𝑐 ቆ𝑑 – 𝑏 – 𝑐 𝑎 ቇቀ𝑝𝑞ቁ
7
Contoh soal :
Tentukan penyelesaian sistem sistem persamaan linear ൜2𝑥 – 𝑦= 2 3𝑥+ 2𝑦= 17 dengan menggunakan matriks.
Penyelesaian :
൜2𝑥− 𝑦 = 2 3𝑥+ 2𝑦= 17
ቀ2 − 13 2 ቁ ቀ𝑥𝑦ቁ = ቀ 217 ቁ
ቀ𝑥𝑦ቁ = ቀ2 − 13 2 ቁ−1
ቀ 217 ቁ
= ቀ17ቁ ቀ 2 1−3 2 ቁ ቀ 217 ቁ
= ቀ17ቁ ቀ2128ቁ
= ቀ34ቁ
Jadi, x = 3 dan y = 4
8
1.2.2 Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan
Determinan
Perhatikan sistem persamaan linear :
൜𝑎𝑥+ 𝑏𝑦= 𝑝 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑞
Sistem persamaan diatas dapat ditulis sebagai :
ቀ𝑎 𝑏𝑐 𝑑 ቁ ቀ
𝑥𝑦ቁ = ቀ𝑝𝑞ቁ
Untuk mendapatkan penyelesaiannya, dihitung dulu ∇,∇𝑥,𝑑𝑎𝑛 ∇𝑦 dengan :
∇ = ቚ𝑎 𝑏𝑐 𝑑ቚ ; ∇x = ฬ𝑝 𝑏𝑞 𝑑 ฬ ; ∇y = ቚ𝑎 𝑝𝑐 𝑞ቚ
Selanjutnya
x = ∇𝑥∇ dan y = ∇𝑦∇
contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari :
൜𝑥+ 𝑦= −12𝑥− 𝑦= 7 ൠ
Solusi :
ቀ12− 1ቁ ቀ
𝑥𝑦ቁ=ቀ−17 ቁ
∇= ቚ1 12− 1ቚ= -3 ; ∇𝑥= ቚ
−1 17 − 1ቚ= -6
∇𝑦= ቚ1 − 12 7ቚ = 9
9
Y = ∇𝑦∇ = 9−3 = -3
Jadi, himpunan penyelesaian
= {(2,-3)}.
1.2.2 Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
dengan matriks
Bentuk umum : ൝𝑎𝑥+ 𝑏𝑦+ 𝑐𝑧= 𝑝𝑑𝑥+ 𝑒𝑦+ 𝑓𝑧= 𝑞𝑔𝑥+ ℎ𝑦+ 𝑖𝑧= 𝑟ൡ
Sistem persamaan linear diatas bila dinyatakan dalam notasi matriks :
൭𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖൱ ቆ
𝑥𝑦𝑧ቇ =ቆ𝑝𝑞𝑟ቇ
Penyelesaiannya adalah :
ቆ𝑥𝑦𝑧ቇ = ൭
𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖൱−1ቆ𝑝𝑞𝑟ቇ
10
Contoh :
൝𝑥+ 𝑦+ 3𝑧= −12𝑥− 𝑦+ 5𝑧 = 71𝑥+ 2𝑦+ 7𝑧= 9ൡ
ቆ𝑥𝑦𝑧ቇ = ൭
𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖൱−1ቆ𝑝𝑞𝑟ቇ
= 1
อ𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖อ
. adj. ൭𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖൱ ቆ𝑝𝑞𝑟ቇ
= ቮ𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖ቮ𝑎 𝑏𝑑 𝑒𝑔 ℎ
= aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi
= 1.-1.7 + 1.5.1 + 3.2.2 – 3.-1.1 + 1.5.2 + 1.2.7
= -7 + 5 + 12 + -3 +10 + 14
= -11
= −11 . ൭−17 −19 5−1 4 −12 −4 −3൱
11
= ۉ����������
BBBBۈBBBBۇ
−1731 −1931 531− 131 431 − 131231 − 431 − 331BBBBBیBBBBۋۊ����������
.൭−179 ൱
=
ۉ����������
BBBBۈBBBBۇ
1731 + 133131 + 45931131 + 2831 + − 931− 231 + −2831 + −2731BBBBBیBBBBۋۊ����������
=
ۉ����������
BBBBۈBBBBۇ
609312031−2731BBBBBیBBBBۋۊ����������
X = 609/31
Y = 20/31
Z = -57/31
12