Sistem Persamaan Linear dalam Matriks

Created by :Desi Apriani Silaen (14-115-006)Malida Hola Aprilyani (14-115-016)Nurazizah (14-115-020)Rafilita Susanti (14-115-022)

Assalammualaikum . Wr . wb 

1

ELIMINASI GAUSSProsedur untuk mereduksi suatu matriks menjadi bentuk

baris-eselon tereduksi disebut eliminasi Gauss-Jordan, sedangkan prosedur untuk mereduksi suatu matriks menjadi bentuk baris-eselon disebut elimininasi Gaussian.

Metode ini pada prinsipnya terdiri dari dua bagian :Bagian A : (Eliminasi Maju) Reduksi beratahap dari suatu sistem persamaan degenerasi tanpa solusi (yang berarti bahwa sistem tidak memliki solusi) atau suatu sistem ekuivalen yang lebih sederhana berbentuk segitiga atau esselon

2

Disini kita mengilustrasikan secara terperinci mengenai eliminasi gaus dengan menggunakan sistem persamaan linear berikut ini : x – 3x -2z = 6 2x – 4y – 3z = 8 -3x + 6y + 8z = -5Bagian A . Kita menggunakan koefisien l dari x persamaan pertama L sebagai pivot untuk mengeliminasi x dari persamaan kedua dan dari persamaan ketiga , ini dilakukan dengan cara sebagai berikut :Kalikan dengan pengali m = -2 dan kemudian tambahkan ke : dengan kata lain , “gantilah dengan -2 + ” .Kalikan dengan pengali m = 3 dan kemudian tambahkan ke : dengan kata lain :. “Gantilah dengan 3 + ” . kedua langkah ini menghasilkan 3

4

(-2)𝑙1 : -2x + 6y + 4z = -12 3𝑙1: 3x – 9y – 6z = 18

𝑙2 : 2x – 4y – 3z = 8 + 𝑙3 : -3x + 6y + 8z = -5 +

𝑙2 baru : 2y + z = -4 𝑙3 baru: -3y + 2z = 13

Maka sistem aslinya digantikan dengan sistem baru berikut ini :

𝑙1 = x-3y-2z = 6 𝑙2 = 2y + z = -4 𝑙3 = -3y +2z = 13

(perhatikan bahwa persamaan 𝑙2 dan 𝑙3 membentuk subsistem dengan satu

persamaan lebih sedikit dan juga satu variabel tidak-diketahui lebih sedikit

dan juga satu variabel tidak-diketahui lebih sedikit disbanding sistem

aslinya)

5

Selanjutnya kita menggunakan koefisien 2 dari y pada

persamaan kedua (baru) 𝑙2 sebagai pivot untuk

mengeliminasi y dari persamaan ketiga (baru) 𝑙3. Ini

dilakukan dengan cara sebagai berikut :

(1) Kalikan 𝑙2 dengan pengali m = 3/2 dan kemudian

tambahkan ke 𝑙3; dengan kata lain, “gantilah 𝑙3

dengan ½𝑙2 + 𝑙3" (atau, “gantilah 𝑙3 dengan 3𝑙2 + 2𝑙3”, yang akan menghindari munculnya pecahan)

Langkah ini mmenghasilkan :

½ 𝑙2 : 3y + 1/2z = -6 3𝑙2 : 6y + 3z = -12 𝑙3 : -3y + 2z = 13 atau 2𝑙3 : -6y + 4 z = 26 𝑙3 baru : 7/2 z = 7 𝑙3 baru : 7 z = 14

6

Penerapan Matriks

2.2.1 Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua

Variabel dengan Matriks

Bentuk umum = ൜ 𝑎𝑥+ 𝑏𝑦= 𝑝𝑐𝑥+ 𝑑𝑦= 𝑞ൠ

Sistem persamaan linear diatas bila dinyatakan dalam

notasi matriks :

ቀ𝑎 𝑏𝑐 𝑑ቁ ቀ

𝑥𝑦ቁ = ቀ𝑝𝑞ቁ

Penyelesaiannya adalah :

ቀ𝑥𝑦ቁ = ቀ𝑎 𝑏𝑐 𝑑ቁ−1 ቀ

𝑝𝑞ቁ

ቀ𝑥𝑦ቁ = 1𝑎𝑑−𝑏𝑐 ቆ𝑑 – 𝑏 – 𝑐 𝑎 ቇቀ𝑝𝑞ቁ

7

Contoh soal :

Tentukan penyelesaian sistem sistem persamaan linear ൜2𝑥 – 𝑦= 2 3𝑥+ 2𝑦= 17 dengan menggunakan matriks.

Penyelesaian :

൜2𝑥− 𝑦 = 2 3𝑥+ 2𝑦= 17

ቀ2 − 13 2 ቁ ቀ𝑥𝑦ቁ = ቀ 217 ቁ

ቀ𝑥𝑦ቁ = ቀ2 − 13 2 ቁ−1

ቀ 217 ቁ

= ቀ17ቁ ቀ 2 1−3 2 ቁ ቀ 217 ቁ

= ቀ17ቁ ቀ2128ቁ

= ቀ34ቁ

Jadi, x = 3 dan y = 4

8

1.2.2 Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan

Determinan

Perhatikan sistem persamaan linear :

൜𝑎𝑥+ 𝑏𝑦= 𝑝 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑞

Sistem persamaan diatas dapat ditulis sebagai :

ቀ𝑎 𝑏𝑐 𝑑 ቁ ቀ

𝑥𝑦ቁ = ቀ𝑝𝑞ቁ

Untuk mendapatkan penyelesaiannya, dihitung dulu ∇,∇𝑥,𝑑𝑎𝑛 ∇𝑦 dengan :

∇ = ቚ𝑎 𝑏𝑐 𝑑ቚ ; ∇x = ฬ𝑝 𝑏𝑞 𝑑 ฬ ; ∇y = ቚ𝑎 𝑝𝑐 𝑞ቚ

Selanjutnya

x = ∇𝑥∇ dan y = ∇𝑦∇

contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari :

൜𝑥+ 𝑦= −12𝑥− 𝑦= 7 ൠ

Solusi :

ቀ12− 1ቁ ቀ

𝑥𝑦ቁ=ቀ−17 ቁ

∇= ቚ1 12− 1ቚ= -3 ; ∇𝑥= ቚ

−1 17 − 1ቚ= -6

∇𝑦= ቚ1 − 12 7ቚ = 9

9

Y = ∇𝑦∇ = 9−3 = -3

Jadi, himpunan penyelesaian

= {(2,-3)}.

1.2.2 Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

dengan matriks

Bentuk umum : ൝𝑎𝑥+ 𝑏𝑦+ 𝑐𝑧= 𝑝𝑑𝑥+ 𝑒𝑦+ 𝑓𝑧= 𝑞𝑔𝑥+ ℎ𝑦+ 𝑖𝑧= 𝑟ൡ

Sistem persamaan linear diatas bila dinyatakan dalam notasi matriks :

൭𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖൱ ቆ

𝑥𝑦𝑧ቇ =ቆ𝑝𝑞𝑟ቇ

Penyelesaiannya adalah :

ቆ𝑥𝑦𝑧ቇ = ൭

𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖൱−1ቆ𝑝𝑞𝑟ቇ

10

Contoh :

൝𝑥+ 𝑦+ 3𝑧= −12𝑥− 𝑦+ 5𝑧 = 71𝑥+ 2𝑦+ 7𝑧= 9ൡ

ቆ𝑥𝑦𝑧ቇ = ൭

𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖൱−1ቆ𝑝𝑞𝑟ቇ

= 1

อ𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖อ

. adj. ൭𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖൱ ቆ𝑝𝑞𝑟ቇ

= ቮ𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖ቮ𝑎 𝑏𝑑 𝑒𝑔 ℎ

= aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi

= 1.-1.7 + 1.5.1 + 3.2.2 – 3.-1.1 + 1.5.2 + 1.2.7

= -7 + 5 + 12 + -3 +10 + 14

= -11

= −11 . ൭−17 −19 5−1 4 −12 −4 −3൱

11

= ۉ����������

BBBBۈBBBBۇ

−1731 −1931 531− 131 431 − 131231 − 431 − 331BBBBBیBBBBۋۊ����������

.൭−179 ൱

=

ۉ����������

BBBBۈBBBBۇ

1731 + 133131 + 45931131 + 2831 + − 931− 231 + −2831 + −2731BBBBBیBBBBۋۊ����������

=

ۉ����������

BBBBۈBBBBۇ

609312031−2731BBBBBیBBBBۋۊ����������

X = 609/31

Y = 20/31

Z = -57/31

12