ALJABAR MATRIKSBila diketahui sistem persamaan linier

2x + 3y + 3z = 0x + y + 3z = 0– x + 2y – z = 0

121311332

Maka koefisien tersebut di atas disebut MATRIKS, dan secara umum dapat dituliskan :

MATRIKS, secara umum dapat dituliskan:

mxnmatriksorde

mnmjmmm

inijiii

nj

nj

nij

aaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaa

321

321

33333231

22232221

1131211

.....

.....

.....

m, n adalah bilangan bulat ≥ 1.

aij = elemen-elemen dari matriks (i = 1, 2.......m).. (j = 1, 2 .......n)m banyak baris n banyaknya kolom Matriks biasanya ditulis dengan notasi (A)

Macam matriks: Matriks bujur sangkar, bila m = n

mxn

987654321

Elemen-elemen a11, a22, .........., ann

disebut “elemen-elemen diagonal utama”

Macam matriks Matriks baris, bila m = 1

Matriks kolom, bila n = 1

54321 [ A ]mx1

54321

[ A ]1x n

Macam matriks Matriks nol, bila aij = 0 :

000000000000

JENIS MATRIKS BUJUR SANGKAR Matriks Diagonal, Jika semua elemen sama dengan nol, kecuali

elemen-elemen diagonal utamanya.

4000030000200001

aij = 0aii ≠ 0

JENIS MATRIKS BUJUR SANGKAR Matriks Satuan (unit matriks). Jika elemen-elemen diagonal sama dengan 1

dan elemen-elemen yang lain sama dengan nol.

Disebut juga matriks identitas = [ I ]

1000010000100001

= [ I ]

573702321

Matriks simetris, jika aij = aji

Matriks skew-simetris, jika aij = - aji

573702321

JENIS MATRIKS BUJUR SANGKAR

OPERASI MATRIKS Kesamaan matriks Dua matriks [A] dan [B] dikatakan sama bila

aij = bij [ A ] dan [ B ] harus mempunyai orde yang

sama.

OPERASI MATRIKS Penjumlahan matriks Bila [A] dan [B] punya orde yang sama,

maka kedua matriks tersebut bisa dijumlahkan menjadi matriks [C].

[C] = [A] + [B] cij = aij + bij

Sifat-sifat penjumlahan Matriks[ A ] + [ B ] = [ B ] + [ A ] → Komutatif[ A ] + [ B ] + [ C ] = ([ A ] + [ B ]) + [ C ] → Assosiatif

63

52

41

32

23

10

[C] =

3623

2532

1401

[A] =

[B] =

CONTOH :

95

75

51

[C] =

OPERASI MATRIKS Perkalian dengan skalar : Suatu matriks [A] dapat dikalikan dengan

bil.skalar k menghasilkan suatu matriks

[D] = k [A]

dij = k . aij ~Sifat-sifat perkalian skalar matriks:

k ( [A] + [B] ) = k [A] + k [B]k ( [A] + [B] ) = ( [A] + [B] ) k

[ A ] = ; k = -2

[ D ] =

63

52

41

126

104

82

CONTOH :

OPERASI MATRIKS Perkalian matriks Matriks [A]mxp dan [B]pxn dapat dikalikan menghasilkan matriks baru [E]mxn = [A]mxp [B]pxn

dimana :i = 1, 2, … m ; j = 1, 2, … n ; k = 1, 2, … p

p

kkjikij bae

1

3225

31

12

x

23124

21

3

x

22)1(33125)1(132

xxxx

122341152142

xxxxxx

221241515

x

[A] = ; [B] =

[E] =

[E] =

CONTOH :

Sifat-sifat perkalian matriks :

[A] ( [B] + [C] ) = [A] [B] + [A] [C] ; sifat distributif

( [A] + [B] ) + [C] = [A] [B] + [A] [C] ; sifat distributif

[A] ( [B] [C] ) = ( [A] [B] ) [C] ; sifat assosiatif

[A] [B] ≠ [B] [A]

[A] [B] = [A] [C] ; belum tentu [B] = [C]

TRANSPOSE MATRIKSJika matriks [A] dengan orde m x n

Transpose matriks [A] = [A]T adalah matriks berorde n x m dengan baris dan kolom matriks [A] menjadi kolom dan baris matrix [A]T

3263

52

41

x

23654

321

x

[A] = [A]T =

CONTOH :

Sifat-sifat dari transpose matriks( [A]T )T = [A]( k [A] )T = k [A]T

( [A] + [B] )T = [A]T + [B]T

( [A] [B] )T = [B]T [A]T

DETERMINAN MATRIKS BUJUR SANGKAR [A]2x2 =

Det. [A] =

2221

1211

aaaa

333231

232221

131211

bbbbbbbbb

3x3[B]

21212211 aaaa A

312232211331233321123223332211 ..... bbbbbbbbbbbbbbb B

26/04/23 11:03

MA-1223 Aljabar Linear

20Contoh :Tentukan determinan matriks

Jawab :

122011123

B

122011123

det

B

)1)(1)(2()2)(0)(3()2)(1)(1()2)(1)(1()2)(0)(2()1)(1)(3(

202203

1

221123

26/04/23 11:03

MA-1223 Aljabar Linear

21Determinan dengan ekspansi kofaktorMisalkan

Beberapa definisi yang perlu diketahui : Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A

dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j matriks A.Contoh :

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

...:::

......

21

22221

11211

2 1 0 1 2 1 0 1 2

A 11 0

2 1 maka 13 M

26/04/23 11:03

MA-1223 Aljabar Linear

22

Cij Matrik dinamakan kofaktor - ij yaitu (-1)i+j Mij

Contoh :

maka

= (– 1)3 .2 = – 2

2 0 1 1

1 1212

C

2 1 0 1 2 1 0 1 2

A

26/04/23 11:03

MA-1223 Aljabar Linear

23

Misalkan An x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka

dinamakan matriks kofaktor A. Transpos dari matriks ini dinamakan adjoin A, notasi adj(A).

nnnn

n

n

CCC

CCCCCC

C

22

12221

11211

TCAadj )(

nnnn

n

n

CCC

CCCCCC

21

12212

12111

26/04/23 11:03

MA-1223 Aljabar Linear

24

Invers matriks A adalah

A mempunyai invers jika dan hanya jika det (A) 0. Jika A mempunyai invers maka :

)()det(

11 AadjA

A

)det(1

)det( 1A

A

26/04/23 11:03

MA-1223 Aljabar Linear

25

Contoh :Diketahui

Tentukan matriks adjoin A Jawab :

Perhatikan bahwa

1 2 0 0 1- 1 1 0 1

A

11201

)1( 1111

c 1

1001

)1( 2112 c 2

2011

)1( 3113

c

.1dan,1,1,2,1,2 333231232221 cccccc

26/04/23 11:03

MA-1223 Aljabar Linear

26

Sehingga matriks kofaktor dari A :

Maka matriks Adjoin dari A adalah :

1- 1 1 2- 1 2 2 1- 1-

C

1- 2- 2 1 1 1- 1 2 1-

)( TCAadj

INVERSE MATRIKS

INVERS MATRIKS BUJUR SANGKAR

Matriks tidak bisa dibagi dengan matriks lainnya. Sebagai analogi, digunakan INVERS dari matriks tersebut.

Apabila [A] dan [B] adalah matriks bujur sangkar, dan [A] [B] = [I] = [B] [A], maka

matriks [B] disebut inverse dari matriks [A], dan matriks [A] adalah inverse dari matriks [B]. Selanjutnya [A] disebut matriks NON singuler Bila [A] tidak punya inverse disebut matriks

singuler. Inverse dari matriks [A] biasa ditulis [A]-1

101011326

421331321

100010001

[A] = ; [A]-1 =

[A] [A]-1 = = [ I ]

CONTOH :

Rank (Tingkat) Matriks Jika det matriks ≠ 0, maka rank r = orde

matriks (n). Jika det matriks = 0, maka harus dilihat minor

dari matrik tsb. Jika matriks bujursangkar di dalam determinan ≠ 0, maka rank =2.

Matriks bujur sangkar orde n dengan rank = n (det A≠0) disebut matiks non-singuler.

Matriks zero memiliki rank = 0. Rank matriks A adalah jumlah maksimum

kolom bebas linier dari A, atau rank matriks adalah orde matriks non singuler yang terbesar yang terdapat pada A.

PARTISI MATRIKSSuatu matriks bisa dipartisikan menjadi SUB-MATRIKS dengan cara hanya mengikutkan beberapa baris atau kolom dari matriks aslinya.

363534333231

262524232221

161514131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

A

23

13

22

12

21

11

AA

AA

AA

=

dimana ;

2625

161513 aa

aaA

21

1111 a

aA

242322

14131212 aaa

aaaA

3121 aA 34333222 aaaA 363523 aaA

Aturan-aturan yang dipakai untuk mengoperasikan matriks partisi persis sama dengan mengoperasikan matriks biasa

BA 222221

1211

xAAAA

122

1

xBB

222121

212111

BABABABA

222221

1211

xAAAA

334310264135

x

A

23234251

X

B

122

1

xBB

44163711

4251

6435

111 BA

4623

2321

212 BA

812234222 BA

32164251

310121

BA

7028][ 4822

3914[B] A

CONTOH :

sehingga ;