Aljabar linier : Notasi Matriks

20
Aljabar Linier Pertemuan 1

Transcript of Aljabar linier : Notasi Matriks

Page 1: Aljabar linier : Notasi Matriks

Aljabar Linier

Pertemuan 1

Page 2: Aljabar linier : Notasi Matriks

Jadwal Kuliah Hari : Rabo jam : 15.30

Sistem Penilaian UTS 30 % UAS 30 % Tugas 40 %

Page 3: Aljabar linier : Notasi Matriks

Silabus• Bab I Matriks dan Operasinya• Bab II Determinan Matriks• Bab III Invers Matriks• Bab IV Sistem Persamaan Linear• Bab V Sistem Persamaan Linear Homogen• Bab VI Matlab (SPL)• Bab VII Vektor• Bab VIII Perkalian Vektor• Bab IX Ruang Vektor• Bab X Proses Gram Schmidt• Bab XI Transformasi Linier Kernel• Bab XII Nilai Eigen , Vektor Eigen• Bab XIII MATLAB

Page 4: Aljabar linier : Notasi Matriks

Sub Pokok Bahasan 11. Matriks dan Operasinya

Sub Pokok Bahasan– Matriks dan Jenisnya– OperasiMatriks– Operasi Baris Elementer –Sifat OperasiMatriks

Beberapa Aplikasi Matriks– Representasi image (citra)– Chanel/Frequency assignment– Operation Researchdan lain-lain.

Page 5: Aljabar linier : Notasi Matriks

Pengertian MatrixBeberapa pengertian tentang matriks :1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang

disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.

2. Matriks adalah jajaran elemen (berupa bilangan) berbentuk empat persegi panjang.

3. Matriks adalah suatu himpunan kuantitas-kuantitas (yang disebut elemen), disusun dalam bentuk persegi panjang yang memuat baris-baris dan kolom-kolom.

Notasi yang digunakan

Atau Atau    

Page 6: Aljabar linier : Notasi Matriks

Matriks

Notasi Matriks

A =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

....

::::

....

.....

21

22221

11211

Unsur / entri /elemen ke-mn (baris m kolom n)

Baris ke -1

Kolom ke -2

Matrix A berukuran (ordo) m x n

Misalkan A dan B adalah matriks berukura sama, A dan B dikatakan sama (notasi A = B)Jika untuk setiap i dan jijij ba

Page 7: Aljabar linier : Notasi Matriks

Jenis Matriks

(i) MATRIKS NOL, adalah matriks yang semua elemennya nol

Sifat-sifat : A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0 A*0=0, begitu juga 0*A=0.

(ii) MATRIKS BUJURSANGKAR, adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama. Barisan elemen a11, a22, a33, ….ann disebut diagonal utama dari matriks bujursangkar A tersebut.

Contoh : Matriks berukuran 2x2

A =

32

41

Page 8: Aljabar linier : Notasi Matriks

Jenis Matriks

(iii) MATRIKS DIAGONAL, adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diluar diagonal utamanya nol.

Contoh :

 

(iv) MATRIKS SATUAN/IDENTITY, adalah matriks diagonal yang semua elemen diagonalnya adalah 1.

Contoh :

Sifat-sifat matriks identitas : A*I=A , I*A=A

300

050

002

100

010

001

Page 9: Aljabar linier : Notasi Matriks

Jenis Matriks(v) MATRIKS SKALAR, adalah matriks diagonal yang

semua elemennya sama tetapi bukan nol atau satu.

Contoh :   A=

(vi) MATRIKS SEGITIGA ATAS (UPPER TRIANGULAR), adalah matriks bujursangkar yang semua elemen dibawah diagonal elemennya = 0.

A =

400

040

004

400

540

123

Page 10: Aljabar linier : Notasi Matriks

(Vii) MATRIKS SEGITIGA BAWAH (LOWER TRIANGULAR), adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diatas diagonal elemennya = 0.

  A=

(viii) MATRIKS SIMETRIS, adalah matriks bujursangkar yang elemennya simetris secara diagonal. Dapat juga dikatakan bahwa matriks simetris adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri.

Contoh :A = =

496

041

003

110

132

021TA

110

132

021

TAA

Page 11: Aljabar linier : Notasi Matriks

(ix) MATRIKS ANTISIMETRIS, adalah matriks yang trnsposenya adalah negatif dari matriks tersebut. Maka AT=-A dan aij=-aij, elemen diagonal utamanya = 0

Contoh :

0120

1043

2401

0310A TA

0120

1043

2401

0310

Page 12: Aljabar linier : Notasi Matriks

TRANSPOSE MATRIKS

Jika diketahui suatu matriks A=aij berukuran mxn maka transpose dari A adalah matriks AT =nxm yang didapat dari A dengan menuliskan baris ke-i dari A sebagai kolom ke-i dari AT.

Beberapa Sifat Matriks Transpose : (A+B)T = AT + BT

(AT) T = A k(AT) = (kA)T

(AB)T = BT AT

Page 13: Aljabar linier : Notasi Matriks

Operasi Matrix• Penjumlahan Matriks

Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dijumlahkan

Contoh =

a.

b.

hdgc

fbea

hg

fe

dc

ba

67

74

14

13

53

61

Page 14: Aljabar linier : Notasi Matriks

Operasi Matrix• Pengurangan Matriks

Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dkurangkan

Contoh =

a.

b.

hdgc

fbea

hg

fe

dc

ba

41

52

14

13

53

61

Page 15: Aljabar linier : Notasi Matriks

Operasi MatrixPerkalian Matriks

• Perkalian Skalar dengan Matriks

Contoh :

• Perkalian Matriks dengan Matriks

Misalkan A berordo pxq dan B berordo mxn

Syarat : A X B haruslah q = m , hasil perkalian AB , berordo pxn

kskr

kqkp

sr

qpk

)23()32(

,

xx ut

sr

qp

Bgfe

dbaA

)22()23(

)32( ..x

x

x gufseqgtfrep

dubsaqdtbrap

ut

sr

qp

gfe

dbaBA

Page 16: Aljabar linier : Notasi Matriks

Hukum Perkalian Matriks :

Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C Tidak Komutatif, A*B B*A Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan

(i) A=0 dan B=0 (ii) A=0 atau B=0 (iii) A0 dan B0

Bila A*B = A*C, belum tentu B = C

Page 17: Aljabar linier : Notasi Matriks

Operasi Baris Elementer (OBE)Operasi baris elementer meliputi :

1. Pertukaran Baris

2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol

3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris yang lain.

Contoh : OBE 1

OBE2

420

123

321

420

321

123

21 bbA

3112

7120

1011

41

3112

7120

4044

1bA

Page 18: Aljabar linier : Notasi Matriks

OBE3

5110

7120

1011

3112

7120

101131 bbA

Page 19: Aljabar linier : Notasi Matriks

Definisi yang perlu diketahui :

0000

1300

3111

B

– Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol.– Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada baris ke-2 dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing.– Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan satu utama.– Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris ke-3 adalah nol.

Page 20: Aljabar linier : Notasi Matriks

OBE Sifat matriks hasil OBE :

1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1 (dinamakan satu utama).

2. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih ke kanan.

3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), maka ia diletakkan pada baris paling bawah.

4. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur yang lainnya adalah nol.

Matriks dinamakan esilon baris jika dipenuhi sifat 1, 2, dan 3 (Proses Eliminasi Gauss)

Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika dipenuhi semua sifat (Proses Eliminasi Gauss-Jordan)