Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks

7/23/2019 Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks

http://slidepdf.com/reader/full/topik-bahasan-dalam-aljabar-linear-dan-matriks 1/42

MAKALAH

TOPIK BAHASAN DALAM ALJABAR LINEAR DAN

MATRIKS

OLEH:

DARA NADINDA

D1041141015

Disusun untuk memenuhi Ujian Tengah Semester Mata

Kuliah Aljabar Linear dan Matriks

PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS TANJUNGPURA

2015



KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan Kepada Tuhan Yang Maha

Esa, karena berkat karunia!ya, penulis dapat menyelesaikan

makalah ini yang berjudul " T#pik $ahasan dalam Aljabar Linear dan

Matriks "% Makalah ini dibuat #leh penulis untuk memenuhi Ujian

Tengah Semester Aljabar Linear dan Matriks %

Penulisan makalah ini tidak lepas dari bantuan berbagai

pihak, #leh karena itu dalam kesempatan ini penulis ingin

menyampaikan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada&

'% (bu Yulianti, S%K#m, MMS(, selaku D#sen Pengampu mata kuliah

Aljabar Linear dan Matriks%

)% *rang tua, keluarga dan saudara penulis yang sangat penulis

sayangi%

+% Teman dan sahabat penulis%

% Pihakpihak lain yang se-ara langsung atau tidak, yang

membantu penulis baik dalam bentuk m#ril maupun materidalam menyusun makalah ini%

Penulis menyadari terdapat kekurangan dalam tulisan ini,

#leh karena itu dengan segenap kerendahan hati penulis

mengharapkan kritik dan saran yang membangun demi

kesempurnaan makalah ini% Sem#ga makalah ini dapat berman.aat

bagi perkembangan ilmu pengetahuan% Amin%

P#ntianak, ' /uli )0'1

Penulis

'



DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR i

DAFTAR ISI ii

DAFTAR GAMBAR iv

DAFTAR TABEL v

ABSTRAK viBAB I PENDAHULUAN1

(%' Latar $elakang '

(%) 2umusan Masalah '

(%+ Tujuan )

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 3

((%' 3ekt#r+

((%) 4impunan +((%+ Matriks +

((% Sistem Persamaan Linear

BAB III METODOLOGI PENELITIAN 5

(((%' Met#de Penelitian 1

(((%) Teknik Pengumpulan Data 1

(((%+ Data dan Sumber Data 1

(((%+%' Data 1(((%+%) Sumber Data 1

(((% Teknik Pengujian Data 5

BAB IV HASIL DAN ANALISIS 7

(3%' 3ekt#r 6

(3%'%' De7nisi 6

(3%'%) 3ekt#r di R2

6

(3%'%)%' *perasi pada 3ekt#r 8

)



(3%'%)%) 3ekt#r P#sisi '0

(3%'%)%+ Perkalian Skalar Dua 3ekt#r dalam $idang ''

(3%'%)% 3ekt#r $asis dalam $idang ''

(3%'%+ 3ekt#r di R3

')

(3%'%+%' *perasi 3ekt#r pada 2uang ')

(3%'%+%) Si.atsi.at 3ekt#r pada 2uang ')

(3%'%+%+ 2umus Perbandingan 3ekt#r '+

(3%'%+% $esar Sudut Antara Dua 9ekt#r '+

(3%'%+%1 Si.atsi.at Perkalian Skalar Dua 3ekt#r '+

(3%'% Pr#yeksi *rt#g#nal Suatu 3ekt#r pada 3ekt#r Lain '

(3%) 4impunan '1

(3%)%' De7nisi '1

(3%)%) *perasi Terhadap 4impunan '5

(3%)%+ Diagram 3enn':

(3%)% Si.atsi.at *perasi 4impunan ':

(3%+ Matriks )0(3%+%' De7nisi )0

(3%+%) /enisjenis Matriks )0

(3%+%+ Kesamaan Dua Matriks )'

(3%+% *perasi#perasi Aljabar pada Matriks )'

(3%+%1 Determinan Matriks ))

(3%+%5 (n9ers Matriks)+

(3% Aljabar Linear )1(3%%' De7nisi Sistem Persamaan Linear )1

(3%%) Penyelesaian Persamaan Sederhana )1

(3%%+ Persamaan Linear Simultan dengan Dua 3ariabel )1

(3%% Persamaan Linear Simultan dengan Tiga 3ariabel )6

BAB V PENUTUP 2

3%' Kesimpulan ):

3%) Saran ):

+



DAFTAR PUSTAKA 30

DAFTAR GAMBAR

;ambar ' 3ekt#r A$ 7

;ambar ) 3ekt#r pada $idang 7

;ambar + Perbandingan 3ekt#r 13

;ambar Pr#yeksi *rt#g#nal 14



DAFTAR TABEL

Tabel ' Penjumlahan 3ekt#r !

Tabel ) Si.at Penjumlahan 3ekt#r

Tabel + Pengurangan 3ekt#r

Tabel Perkalian Suatu 3ekt#r dengan Skalar 10

Tabel 1 Si.at 3ekt#r pada 2uang 12

Tabel 5 Si.at Perkalian 3ekt#r Skalar Dua 3ekt#r 13

Tabel 6 Perbandingan dari Dua 4impunan 1"

Tabel 8 *perasi Terhadap 4impunan 17

Tabel : Si.at Penjumlahan Matriks 21

Tabel '0 Si.at Perkalian Matriks 22

1



ABSTRAK

T#pik $ahasan dalam Aljabar Linear dan Matriks merupakan

.#kus yang akan dibahas pada makalah ini%

Tujuan penulisan makalah adalah untuk membahas dan

mempelajari t#pik bahasan dalam aljabar linear dan matriks yang

terdiri atas 9ekt#r, himpunan <set=, matriks, dan aljabar linear

<sistem persamaan linear=%

4asil pembahasan menunjukkan bah>a 9ekt#r, himpunan,

matriks dan sistem persamaan linear memiliki keterkaitan% $aik

dari segi materi maupun dengan -ara peme-ahan atau pengerjaansuatu kasus atau s#al yang diberikan%

Kata Kun-i & Vektor, Himpunan, Matriks, Aljabar Linear

5



6



BAB I

PENDAHULUAN

(%' Latar $elakangSe-ara etim#l#gi, pengertian matematika berasal dari

bahasa latin manthanein atau mathemata yang berarti

?belajar atau hal yang dipelajari% Dalam bahasa $elanda

disebut wiskunde atau ilmu pasti, yang kesemuanya berkaitan

dengan penalaran% Dalam bahasa Yunani& μαθηματι!

math"matik#= adalah studi besaran,struktur, ruang, dan

perubahan%De>asa ini, bagi sebagian besar #rang, matematika

merupakan ilmu yang sangat rumit untuk dipelajari% 4al ini

dikarenakan keakuratan dari ilmu itu sendiri% padahal,

matematika sering kita jumpai pada kehidupan seharihari%(lmu matematika dibagi menjadi banyak -abang, salah

satunya adalah aljabar linear dan matriks% Aljabar linear adalah

bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan

linear dan s#lusinya, 9ekt#r, serta trans.#rmasi

linear%Matriks dan #perasinya juga merupakan hal yang

berkaitan erat dengan bidang aljabar linear%Aljabar linear dan matriks merupakan .#kus yang akan

dibahas dalam makalah ini% Subbab dari aljabar linear dan

matriks tersebut adalah 3ekt#r, 4impunan, Matriks dan Aljabar

linear <Sistem Persamaan Linear=% Masingmasing subbab akan

dibahas se-ara mendetail, khususnya rumusrumus yangdigunakan, -ara penyelesaian, dan juga akan di-antumkan

berbagai -#nt#h s#al yang berkaitan dengan materi ini%

(%) 2umusan Masalah'% Apa pengertian 9ekt#r @)% $agaimana #perasi aritmetika pada 9ekt#r @+% Apa pengertian himpunan @% $agaimana #perasi aritmetika pada himpunan @1% Apa pengertian matriks @

5% $agaimana #perasi aritmetika pada matriks @6% Apa pengertian sistem persamaan linear @

'

https://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Yunani

https://id.wikipedia.org/wiki/Besaran

https://id.wikipedia.org/wiki/Struktur

https://id.wikipedia.org/wiki/Ruang

https://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus

https://id.wikipedia.org/wiki/Matematika

https://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_linear


https://id.wikipedia.org/wiki/Vektor

https://id.wikipedia.org/wiki/Matriks

https://id.wikipedia.org/wiki/Besaran

https://id.wikipedia.org/wiki/Struktur

https://id.wikipedia.org/wiki/Ruang

https://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus

https://id.wikipedia.org/wiki/Matematika



https://id.wikipedia.org/wiki/Vektor

https://id.wikipedia.org/wiki/Matriks

https://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Yunani



8% $agaimana #perasi aritmetika pada sistem persamaan

linear @(%+ Tujuan

'% Mengetahui dan mengerti de7nisi pengertian 9ekt#r

beserta #perasi aritmetikanya%)% Mengetahui dan mengerti de7nisi pengertian himpunan

beserta #perasi aritmetikanya%+% Mengetahui dan mengerti de7nisi pengertian matriks

beserta #perasi aritmetikanya%% Mengetahui dan mengerti de7nisi pengertian sistem

persamaan linear beserta #perasi aritmetikanya%

)



BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

((%' 3ekt#r3ekt#r adalah suatu besaran yang memiliki besar dan

arah tertentu <Sulistiy#n#, )006=%Kuantitas 9ekt#r dide7nisikan se-ara lengkap apabila

kita mengetahui bukan saja magnitud#nya <dengan satuan=

tetapi juga arah ke mana 9ekt#r itu ber#perasi, sebagai

-#nt#h, gaya, ke-epatan, per-epatan% Kuantitas 9ekt#r perlu

melibatkan arah dan juga magnitud#nya <BulkiCi,)00'=%3ekt#r adalah besaran yang mempunyai panjang

<besar= dan arah <Tary#,)0'+=%

((%) 4impunan4impunan adalah kumpulan dari #byek#byek yang

mempunyai si.at tertentu dan dide7nisikan se-ara jelas

<!#eryanti=%4impunan adalah kumpulan #bjek#bjek <bendabenda

real atau abstrak= yang dide7nisikan dengan jelas <Kustia>an=Suatu himpunan merupakan kumpulank#leksi elemen

elemen <!ugr#h#,)0'0=%

((%+ MatriksMatriks adalah susunan beberapa bilangan dalam

bentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan k#l#m

<Sulistiy#n#,)006=%Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi

panjang yang diatur dalam baris dan k#l#m <Tary#,)0'+=%Matriks adalah set bilangan real atau bilangan

k#mpleks <atau elemenelemen= yang disusun dalam baris

dan k#l#m sehingga membentuk jajaran persegi panjang

<re-tangular array= <BulkiCi,)00'=%

+



((% Sistem Persamaan LinearPersamaan linear dengan suatu 9ariabel <anu= tunggal

melibatkan pangkatpangkat 9ariabel yang tidak lebih tinggi

dari pada pangkat pertama <BulkiCi,)00'=%Suatu persamaan linear dalam dua 9ariabel memiliki

sejumlah penyelesaian yang tak terhingga <BulkiCi,)00'=%Dengan tiga anu dan tiga persamaan, met#de

penyelesaian hanyalah merupakan perluasan dari -ara yang

dilakukan untuk dua anu <BulkiCi,)00'=%Penyelesaian himpunan persamaan simultan dapat

diselesaikan dengan dua met#de, yaitu met#de reduksi baris

atau eliminasi ;auss, dan kaidah ramer <$ambang,)0''=%



BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

(((%' Met#de Penelitian$erdasarkan pada masalah yang diteliti, met#de yang

digunakan dalam penelitian ini adalah met#de deskripti.

dengan pendekatan kuantitati.% Menurut hidayat syah,

penelitian deskripti. adalah met#de penelitian yang

digunakan untuk menemukan pengetahuan yang seluas

luasnya terhadap #bjek penelitian pada suatu masa tertentu% Dan menurut A7d $urhanuddin, met#de penelitian

kuantitati. merupakan salah satu jenis penelitian yang

spesi7kasinya adalah sistematis, teren-ana, dan terstruktur

dengan jelas sejak a>al hingga pembuatan desain

penelitiannya% De7nisi lain menyebutkan baha>a penelitian

kuantitati. adalah penelitian yang banyak menuntut

penggunaan angka, mulai dari pengumpulan data, pena.siran

terhadap data tersebut, serta penampilan dari hasilnya%

(((%) Teknik Pengumpulan DataDalam pengumpulan datadata yang dibutuhkan,

penulis menggunakan met#de studi literatur <library

resear-h= yaitu in.#rmasi yang didapat dari bukubuku

-atatan dan sumbersumber lain yang berhubungan dengan

masalah yang diteliti%

(((%+ Data dan Sumber Data(((%+%' DataData yang diperlukan dalam penelitian ini berupa literatur

mengenai aljabar linear dan matriks% Khususnya adalah

materi mengenai 9ekt#r, himpunan <set=, matriks, dan

persamaan sistem linear%

(((%+%) Sumber Data

Sumber data dalam penelitian ini adalah bukubuku berikut &

1



'% Erlangga #kus U! (lmu Pengetahuan Alam yang

diterbitkan #leh Erlangga dan disusun #leh Tim Erlangga

#kus SMA%

)% Matematika Diskrit dan Aplikasinya yang diterbitkan #leh

MediaK#m dan disusun #leh !ugr#h# Agus 4%, M%Si%

beserta Dra% Fidi 4apsari, M% T%+% Matematika Teknik edisi kelima jilid ' yang diterbitkan #leh

Erlangga dan di alih bahasakan #leh BulkiCi 4arahap%% Matematika untuk (lmu isika dan Teknik yang diterbitkan

#leh A!D( dan disusun #leh $ambang Murdaka Eka /ati

beserta Tri Kunt#r# Priyamb#d#%

1% Seri Pendalaman Materi Matematika Pr#gram (PA yangditerbitkan #leh esis dan disusun #leh Sulistiy#n#%

5% $eberapa eb##k%

(((% Teknik Pengujian Data3aliditas instrumen penelitian adalah kemampuan

instrumen penelitian untuk mengukur apa yang seharusnya

diukur% Dalam makalah ini, penulis menguji data dengan -ara

men-antumkan berbagai -#nt#h s#al yang berhubungan

dengan materi yang dibahas pada makalah ini%

BAB IV

HASIL DAN ANALISIS

5



(3%' 3ekt#r

(3%'%' De7nisi

3ekt#r adalah suatu besaran yang memiliki besar dan

arah tertentu%

;ambar berikut disebut juga gambar 9ekt#r AB dan biasa

ditulis AB %

(3%'%) 3ekt#r di R2

3ekt#r pada R2

biasanya digambarkan dalam

k##rdinat artesius%

6

G#$%#& 1 V'()*&AB

G#$%#& 2 V'()*& +#,#Bi,#-.



• 3ekt#r p#sisi adalah 9ekt#r yang pangkalnya di titik *% 3ekt#r

p#sisi titik A

( x

1, y

1

) adalah

OA=

( x

1

y1

) dan 9ekt#r p#sisi titik

B ( x2, y

2) adalahOB=( x2

y2) %

• Dua 9ekt#ra=( x1

y1) dan

b=( x2

y2) dikatakan sama jika dan

hanya jika x

1= x2 dan

y1= y

2 , dan arah kedua 9ekt#r itu

sama%

• !egati.a=( x1

y1) adalah

(−a )=(− x1

− y1) yaitu 9ekt#r a

dengan arah berla>anan%

• 3ekt#r (0

0) disebut 9ekt#r n#l, yaitu 9ekt#r yang

panjangnya 0 dan berupa titik%

• $esar panjang <m#dulus= 9ekt#r

Misalkan a=( x y ) , maka |a|=√ x2+ y2

%

#nt#h& Diketahui a=(6

8) maka |a|=√ 62+82=√ 100=10 %

• 3ekt#r unit <satuan= adalah 9ekt#r yang besarnya satu unit%

3ekt#r unit yang searah dengan 9ekt#r v (v ≠ 0 ) adalah

v= v

|v| %

#nt#h& 3ekt#r satuan a=(6

8) adalah a= 1

10 (6

8)=

(

6

10

8

10

)%

8



(3%'%)%' *perasi pada 3ekt#r

'% Penjumlahan 9ekt#r

S'/#&# G'*$')&i S'/#&# A#%#&Menjumlahkan 9ekt#r dengan

menggunakan aturan segitiga

dimana penjumlahan dilakukan

dengan membuat ujung satu

9ekt#r berimpit dengan pangkal

9ekt#r yang lain%

Misalkana=( x1

y1) dan

b=( x2

y2) ,

maka

a+b=( x1

y1)+( x2

y2)

¿

(

x1+ x

2

x2+ y2

)

T#%' 1 P'-$##- V'()*&

Si.atsi.at penjumlahan 9ekt#r adalah sebagai berikut%

Si#) B'-)(

K#mutati. a+b=b+a

As#siati. (a+b )+c=a+ (b+c )

Elemen identitas 0 , di mana 0+a=a+0

!egati.

−a , di mana

−a+a=a+(−a )=0

T#%' 2 Si#) P'-$##- V'()*&

)% Pengurangan 9ekt#r

Pengurangan 9ekt#r a danb dide7nisikan #leh

a−b=a+(−b ) %

S'/#&# G'*$')&i S'/#&# A#%#&

Misalkana=( x1

y1) dan

b=( x2

y2) ,

:



Pengurangan 9ekt#r a danb

digambarkan seperti

penjumlahan 9ekt#r dengan arah

9ekt#r b berla>anan%

makaa−b=( x1

y1)−( x2

y2)=( x1

− x2

y1− y

2)

T#%' 3 P'-.&#-.#- V'()*&

#nt#h& Diketahui a=(13

23) danb=(0

8) ,

maka a+b=(13

23)−(0

8)=(13−0

23−8)=(13

15)

+% Perkalian suatu 9ekt#r dengan skalar

/ika k bilangan p#siti., maka k a adalah 9ekt#r yang

arahnya sama dengan a dan besarnya k |a| % Sementara

itu −k a adalah 9ekt#r yang arahnya berla>anan dengan

a dan besarnya k |a| %

S'/#&# G'*$')&i S'/#&# A#%#&

Perkalian 9ekt#r a dengan

skalar digambarkan sebagai

berikut%

Misalkan k adalah suatu

skalar dana=( x1

y1) ,

Makak a=k ( x1

y1)=(kx

1

ky1)

'0

a

2 a

−3



T#%' 4 P'&(#i#- S#) V'()*& ,'-.#- S(##&

IV.1.2.2 Vektor Posisi

Vektor posisi adalah vektor yang pangkalnya di titik (0,0). Vektor

Posisi adalah suatu vektor satuan yang menyatakan posisi atau kedudukan

suatu suatu partikel pada suatu bidang atau suatu ruang. Untuk suatu titik

yang terletak di dalam ruang dengan koordinat (!, y, "). Vektor posisi titik

terhadap pusat koordinat # (0,0,0) dide$inisikan sebagai vektor # yang dapat

ditulis sebagai berikut.

i, %, dan k menyatakan vektor satuan yang searah dengan sumbu &,

sumbu ', dan sumbu dengan besarpan%ang vektor sebagai berikut.

Untuk suatu titik yang terletak dalam bidang dengan koordinat (!, y).

Vektor posisi titik terhadap pusat koordinat # (0,0) dide$inisikan sebagai

vektor # yang dapat ditulis sebagai berikut.

i dan % menyatakan vektor satuan yang searah dengan sumbu & dan

sumbu ' dengan besarpan%ang vektor sebagai berikut.

Perpindahan (displa*ement) adalah besaran vektor. Perpindahan

dide$inisikan sebagai perubahan posisi atau kedudukan suatu partikel terhadap

suatu titik a*uan. +isalkan partikel ( x A , y A , z A ) ke titik ( xB , y B , zB ) ,

maka perpindahan partikel tersebut adalah -

atau

''

a=OA= xi+ yj+ zk

S=|a|=√ x2+ y2+ z

2

a=OA= xi+ yj

S=|a|=√ x2+ y2

∆ S=S AB= AB=SB−S A=( xB− x A ) i+ ( yB− y A ) j+( zB− z A ) k

AB=[ x B− x A

y B− y A

z B− z A]



(3%'%)%+ Perkalian Skalar Dua 3ekt#r dalam $idang

4asil kali skalar dua 9ekt#r a dan b a ≠ 0

¿ dan

b ≠ 0¿ din#tasikan #leh a . b % Misalkan a dan b

membentuk sudut θ , maka perkalian skalar dua 9ekt#r

dide7nisikan sebagai berikut&

Sehingga rumus besar sudut antara dua 9ekt#r a dan b

adalah &

(3%'%)% 3ekt#r $asis dalam $idang

3ekt#r unit yang searah dengan sumbu G p#siti. adalah (1

0)

ditulis i %

3ekt#r unit yang searah dengan sumbu Y p#siti. adalah (1

0)

ditulis j %

')

a ∙ b=|a||b|cos θ , dengan

cos θ= a ∙ b

|a|∙|b|



Dengan demikian setiap 9ekt#r p#sisi dapat ditulis dalam

bentuk i dan j % Se-ara umum, jika k##rdinat titik

P ( x , y ) , maka OP= x i+ y j %

(3%'%+ 3ekt#r di R3

(3%'%+%' *perasi 3ekt#r pada 2uang

'% Penjumlahan dan Pengurangan

Misalkana= x

1i+ y

1 j+ z

1k

danb= x

2i+ y

2 j+ z

2k

, maka&

a% a+b=(

x1

y1

z1

)+( x

2

y2

z2

)=( x

1+ x

2

y1+ y

2

z1+ z

2

)

b% a−b=

(

x1

y1

z1

)−

(

x2

y2

z2

)=

(

x1− x

2

y1− y

2

z1− z2

))% Perkalian suatu 9ekt#r dengan skalar

Misalkan k ∈ R dan a=( x

y

z) , maka k a=k ( x y

z)=(kx

ky

kz) %

IV.1..2 /i$at/i$at Vektor pada uang

+isalkana

,b

, danc

merupakan vektor dank , l∈ R

,

maka berlaku si$atsi$at berikut.

Sifat Bentuk

erhadap pen%umlahan-

1. 3omutati$ a+b=b+a

2. sosiati$ (a+b )+c=a+ (b+c )

. 4lemen nol a+0=0+a=a

'+



5. Invers a+(−a )=0

erhadap perkalian skalar-

1. sosiati$ k ( l a)=( kl )a

2. 6istributi$ k (a+b )=k a+k b

(k +l ) a=k a+l a

k (−a )=−(k a )=−k a

T#%' 5 Si#) V'()*& +#,# R#-.

IV.1.. umus Perbandingan Vektor

Perhatikan gambar berikut.

7ika diketahui AP : PB=m : n , maka

vektor posisi untuk titik P

adalah

p=n a+mb

m+n .

IV.1..5 esar /udut ntara 6ua Vektor

6ari de$inisi a ∙ b=|a||b|cos θ , didapat besar sudut antara dua vektor

berikut.

IV.1..8 /i$at/i$at Perkalian /kalar 6ua Vektor

'

G#$%#& 3 P'&%#-,i-.#-V'()*&

b P

a

A

$P nm

*

cosθ=|a||b|

a ∙ b

¿ |a||b|

x1 x

2+ y

1 y

2+ z

1 z

2



+isalkana

,b

, danc

merupakan vektor danm∈ R

, maka

berlaku si$atsi$at berikut.

Sifat Bentuk

1. 3omutati$ a ∙ b=b∙ a

2. 6istributi$ a ∙ (b+c )=( a∙ b )+ ( a∙ c )

. idak sosiati$ a ∙ (b ∙c ) ≠ (a∙ b )∙ c

5. idak memiliki elemen identitas idak terdapat x sehinggaa ∙ x=a

8. idak memiliki invers 3arena tidak memiliki elemen identitas,

akibatnya perkalian skalar tidak memiliki

invers.

9. idak tertutup :asil kali dua vektor menghasilkan skalar,

bukan vektor.

;. :asil kali skalar dua vektor yang

sama, sama dengan kuadrat modulus

vektor tersebut

a ∙ a=|a||a|=|a|2

<. :asil kali skalar dua vektor dengan

skalar

m ( a∙ b )=m a ∙ b

T#%' " Si#) P'&(#i#- S(##& D# V'()*&

IV.1.5 Proyeksi #rtogonal /uatu Vektor pada Vektor =ain

/e*ara geometris, proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain

digambarkan sebagai berikut.

'1

G#$%#& 4 P&*6'(i O&)*.*-#



Proyeksi ortogonal vektora

padab

, yaituc

dirumuskan oleh

c=

a ∙ b

|b|2 b

/ementara itu, proyeksi skalar ortogonal vektor a pada b adalah

|c|=|a∙ b

|b| |

(3%) 4impunan

(3%)%' De7nisi

Suatu himpunan merupakan kumpulank#leksi elemen

elemen% 4impunan dapat dide7nisikan dengan menda.tarkan

semua elemenelemennya, sebagai -#nt#h, diberikan

himpunan S yang merupakan kumpulan dari bilangan natural

<natural number = yang lebih besar dari + dan kurang dari atau

sama dengan :, dapat din#tasikan dengan menggunakan

tanda kurung kura>al, seperti berikut &

S 84959"979!9 859"949!979

'5



<-atatan & urutan penulisan tidak berpengaruh, hanya untuk

memudahkan saja=% Atau dengan menyatakan elemenelemen

yang memenuhi si.atsi.at tertentu, -#nt#h &

S 8; ∈ N < 3 ¿ ; ≤

Simb#l ∈ digunakan untuk menunjukkan keangg#taan&

; ∈ S, jika ; angg#ta S, dan

;

∉

S, jika ; bukan angg#ta S=

Ada beberapa -ara untuk menyajikan suatu himpunan &

'% Menggunakan n#tasi himpunan yang dispesi7kasi #leh

suatu persyaratan tertentu&

S 8; ∈ D < + >;? 8; < +>;?

S berangg#takan semua elemen dalam D yang memenuhi

persyaratan + >;?% Dalam kasus ini, penulisan dengan

menghilangkan himpunan D diperb#lehkan asalkan sudah

disepakati bersama dengan menganggap D sebagai

himpunan uni9ersal atau semesta pembi-araan yang telah

dimengerti bersama%@*-)* : S 8; < ; #,## ,*'- ,i )'(-i(

i-*&$#)i(# U-)#-Di%#/#: S adalah himpunan semua ;, sehingga ; adalah

d#sen teknik in.#rmatika Untan% Tentunya dalam hal ini D adalah himpunan #rang%

)% Menggunakan tanda kurung kura>al dan dilanjutkan

dengan ellipsis%@*-)* 1=14 : S 8192939 === %i#-.#- %#) +*i)i Pemberian nama suatu himpunan dimaksudkan untuk

memberi gambaran mengenai angg#tanya% $eberapa

himpunan bilangan mempunyai simb#l tersendiri,

misalnya&R, men#tasikan himpunan semua bilangan riil%

'6



, men#tasikan himpunan semua bilangan rasi#nal%, men#tasikan himpunan semua bilangan bulat%N, men#tasikan himpunan semua bilangan natural% ! H

I',),+, %%%J∅ , men#tasikan himpuan k#s#ng, yaitu himpunan yang

tidak mempunyai elemen%

#nt#h '%'1 &

' ∈ !, berarti bilangan ' merupakan angg#ta b#langan

natural%π ∉ , berarti π H +,''1:)51%%%, bukan bilangan

rasi#nal%

Kardinalitas suatu himpuan S adalah banyaknya angg#ta

<yang berbeda= dalam himpunan S, din#tasikan dengan <S<%

/ika kardinalitas suatu himpunan S berhingga, maka S disebut

himpunan berhingga <$nite set =, jika tidak, dinamakan

himpunan tak hingga <in$nite set =%

(3%)%) *perasi Terhadap 4impunan

Perbandingan dari dua himpunan A dan $ diberikan pada

tabel%

N*)#i Di%#/# A&)i

A ⊆ $ atau $

⊇ A

A himpunan

bagian <subset o% =

$

Setiap elemen

dari A juga

merupakan

elemen dari $%

∈ A →

∈ $, ∀

A H $ A sama dengan $

<A euals $=

A dan $

mempunyai

dengan tepat

elemenelemen

'8



yang sama%

A ⊂ $ atau $

⊃ A

A himpunan

bagian sejati

< proper subset o% =

$

A subset $ tetapi

tidak sama

dengan $%

T#%' 7 P'&%#-,i-.#- ,#&i D# Hi$+-#-

Setiap himpunan selalu merupakan himpunan bagian

dari dirinya sendiri% 4impunan k#s#ng selalu menjadi

himpunan bagian setiap himpunan setiap himpunan%

4impunan bagian seperti ini seringkali disebut dengan

himpunan bagian tak sejati% 4impunan kuasa < power set = darihimpunan A, din#tasikan dengan +>A?, adalah himpunan

semua himpunan bagian dari himpunan A% Suatu himpunan A

yang mempunyai angg#ta sebanyak -9 <A< -, mempunyai

himpunan bagian sebanyak )n, 6#i) <+>A?< 2<A< 2-%

@*-)* 1=1" :Diberikan A 8192, maka &

<i= 4impunan kuasa dari A adalah &

P>A? 8 ∅ 9 819 829 8192

<ii= Kardinalitas & <A< 2, dan <+>A?< 22 4<iii= /adi A berhingga, demikian juga +>A? berhingga%

Pembentukan suatu himpunan yang baru dari himpunan

yang sudah ada dapat dilakukan dengan #perasi#perasi yang

diberikan pada tabel%

N*)#i Di%#/# A&)iA- K#mplemen dari A

<-#mplement=

4impunan semua

elemen dalam

semesta

pembi-araan yang

tidak berada di A%

A- H I ∉ AJ

A

∪

$

A gabungan $

<union=

4impunan yang

terdiri dari semua

':



elemen A

ditambah dengan

semua elemen $

<kalau ada yang

sama, salah satu

saja yang

dimasukkan=%

A ∪ $ H I

∈ A ∨ ∈

$J

A ∩ $ A irisan $

<interse&t =

4impunan semua

elemen yang

berada di A dan

sekaligus juga

berada di $%

A ∩ $ H I

∈ A ∧ ∈

$JA N $ atau

A O $ atau

A ∩ $-

A dikurang $

<minus= atau

k#mplemen $ relati.

terhadap A%

4impunan semua

elemen yang

berada di A tetapi

tidak ada di $%

A O $ H I ∈

A ∧ ∉ $J%

A ⨁ $ atau

<A O $= ∪ <$ O

A=

A beda simetrik $

<s'mmetri&

di(eren&e=

4impunan yang

terdiri dari semua

elemen A yang

tidak berada di $

atau semua

elemen $ yang

)0



tidak berada di A%A $ A hasil kali $

<&artesian produ&t =

4impunan semua

pasangan <a,b=

dengan a diambil

dari A dan b

diambil dari $%

A $ H I<a,b= a

∈ A ∧ b ∈

$JT#%' ! O+'&#i T'&#,#+ Hi$+-#-

@*-)* 1=17 :

Diberikan ∪ 8#9%9/9,9'99.99i9, A 8#9%9/9,, dan B

8%9/9,9', maka &

<i= A- H Ie,.,g,h,i,jJ

<ii= A ∪ $ H Ia,b,-,d,eJ

<iii= A

∩

$ H Ia,eJ<i9= A O $ H IaJ

<9= A ⨁ $ H Ia,eJ

<9i= A $ H I<a,b=, <a,-=, <a,d=, <a,e=, <b,b=, %%%%%%%%%, <d,e=J

(3%)%+ Diagram 3enn

Diagram 3enn adalah salah satu -ara untuk

menggambarkan hubungan di antara dua himpunan atau tiga

himpunan% Semesta pembi-araan digambarkan dengan

menggunakan k#tak persegi panjang% Setiap himpunan yang

akan di#perasikan digambarkan menggunakan lingkaran%

Daerah yang diarsir menggambarkan himpunan yang

memenuhi #perasi yang diberikan%

(3%)% Si.atsi.at *perasi 4impunan

)'



Diberikan semesta pembi-araan sebagai himpunan

uni9ersal, ∪ , dan diberikan himpunanhimpunan bagiannya,

A, $, dan , maka berlaku beberapa si.at dalam #perasi

himpunan, antara lain &

a% (dentitas & A ∪ ∅ H A A ∩ $ H $

b% D#minasi & A ∪ U H U A ∩

∅ H ∅

-% (demp#ten & A ∪ A H A A ∩ A

H Ad% K#mplemen & <A-=- H A

e% K#mutati. & A ∪ $ H $ ∪ A A

∩ $ H $ ∩ A

.% Ass#siati. & A ∩ <$ ∩ = H <A ∩ $=

∩

A∪

<$∪

= H <A∪

$=

∪

g% Distributi. & A ∪ <$ ∩ = H <A ∪ $=

∩ <A ∪ =

$ ∩ <$ ∪ = H <$ ∩ =

∪ <$ ∩ =

h% 4ukum De M#rgan & <A ∪ $=- H A- ∩ $-<A

∪ $=- H A- ∪ $-

(3%+ Matriks

))



(3%+%' De7nisi

Matriks adalah susunan beberapa bilangan dalam bentuk

persegi panjang yang diatur menurut baris dan k#l#m%

#nt#h &

A H (23 12

48 83

59 44)

A adalah matriks ber#rd# + ), ditulis A+)% $ilanganbilangan

)+, '), 8, 8+, 1:, dan adalah elemenelemen dari matriks

A%

(3%+%) /enis/enis Matriks

/enisjenis matriks yang biasa digunakan adalah &

'% Matriks baris, yaitu matriks yang terdiri dari satu baris atau

ber#rd# ' n%#nt#h & <1 ': 0 ')=

)% Matriks k#l#m, yaitu matriks yang terdiri dari satu k#l#m atau

ber#rd# m '%

#nt#h & (98

21)+% Matriks persegi, yaitu matriks yang banyak baris dan

k#l#mnya sama%

#nt#h & ( 1 6

14 8

)% Matriks transp#s, yaitu matriks yang diper#leh dengan

mengubah setiap baris dari sebuah matriks menjadi k#l#m%

#nt#h & A H (23 12

48 83

59 44) ⟹ At H (23 48 59

12 83 44)1% Matriks n#l, yaitu matriks yang setiap elemennya adalah 0

din#tasikan dengan *%

)+



#nt#h & *)+ H (0 0 0

0 0 0)

(3%+%+ Kesamaan Dua Matriks

Dua matriks A dan $ dikatakan sama jika dan hanya jika

#rd# kedua matriks dan elemenelemen yang bersesuaian

sama%

#nt#h & (a b

c d

) H ( 1 6

14 8

) , maka a H ', b H 5, - H ', d H

8%

(3%+% *perasi#perasi Aljabar pada Matriks

'% Penjumlahan /ika A dan $ dua matriks ber#rd# sama, maka jumlah

keduanya ditulis A Q $ adalah matriks yang diper#leh dengan

menjumlahkan setiap elemen A dengan elemen $ yang

bersesuaian <seletak=%#nt#h &

A H (a b

c d ) dan $ H ( k l

m n)

A Q $ H (a b

c d ) Q ( k l

m n) H ( a+k b+l

c+m d+n)Misalkan A, $, matriksmatriks ber#rd# m n, berlaku si.at

si.at berikut%

Si#) B'-)( K#mutati. A+B=B+ A

As#siati. ( A+B )+ = A+(B+ )

Matriks n#l A+0=0+ A= A

(n9ers <terhadap

penjumlahan=

A+(− A )=− A+a=0

T#%' Si#) P'-$##- M#)&i()



)% Pengurangan /ika A dan $ dua matriks ber#rd# sama, maka selisih

keduanya ditulis A O $ adalah matriks yang diper#leh dengan

mengurangkan setiap elemen A dengan elemen $ yang

bersesuaian <seletak=%#nt#h &

A H (a b

c d ) dan $ H ( k l

m n)

A O $ H (a b

c d )−( k l

m n)=( a−k b−l

c−m d−n)

+% Perkalian dengan skalar /ika matriks A dikalikan dengan skalar a, maka diper#leh

matriks dengan elemennya adalah hasil perkalian setiap

elemen A yang bersesuaian dengan skalar a%#nt#h &

8(1 −2

3 4 )=( 8 −16

24 32 )% Perkalian matriks

Syarat & dua matriks A dan $ dapat dikalikan, yaitu A$, jika

banyak k#l#m matriks A sama dengan banyak baris pada

matriks $%#nt#h &

A H (a b

c d ) dan $ H ( k l

m n)

A$ H (ak +bm al+bn

ck +dm cl+dn)

Si#) B'-)( As#siati. ( AB ) = A(B )

Distributi. A (B+ )= AB+ A

Matriks (dentitas A! = !A= A

(n9ers <terhadap perkalian= A A−1= A

−1 A= !

T#%' 10 Si#) P'&(#i#- M#)&i(

)1



(3%+%1 Determinan Matriks

Determinan matriks A din#tasikan dengan det A atau A%'% Matriks ber#rd# ) )

Diberikan matriks A)) H (a b

c d ) maka A H |a b

c d| H ad O

b-

)% Matriks ber#rd# + +

Diberikan matriks A++ H (a

11 a

12 a

13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

)

(3%+%5 (n9ers Matriks

Matriks A dikatakan memiliki in9ers jika terdapat matriks A '

sehingga AA' H A'A H (%

'% A H (a b

c d

)⇒ A

−1

=

1

d"# A

( d −b

−c a

)= 1

ad−bc

( d −b

−c a

), ad−bc ≠ 0 %

/ika ,') A H ad O b- H 0, maka matriks tersebut tidak

mempunyai in9ers dan dinamakan matriks singular%)% (n9ers matriks ber#rd# + +

A−1=

1

d"# A adj A ,d"n$anadj A=(

% 11

% 12

% 13

% 21

% 22

% 23

% 31

% 32

% 33

) ,% ij=(−1 )i+ j

| & ij|,

| &

ij| atau min#r%

ij adalah determinan matriks A dengan

menghilangkan baris kei dan k#l#m kej%

Misalkan, diketahui matriks (%

11 %

12 %

13

% 21

% 22

% 23

% 31

% 32

% 33

) ,

maka

| & 13|=|a

21 a

22

a31

a32|=a

21a

32−a

31−a

22

)5



Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan matriks

Sistem persamaan linear <dua 9ariabel atau tiga 9ariabel= dapat

dituliskan dalam bentuk berikut%

AG H $ ⇒ G H A'$

GA H $ ⇒ G H $A'

dengan A adalah matriks yang elemennya berupa k#e7sien

k#e7sien 9ariabel dan $ adalah matriks yang elemennya berupa

k#nstantak#nstanta pada persamaan%

#nt#h &

{5 x+7 y+ z=33

x+3 y+ z=13

x−4 y+2 z=−6

Sistem persamaan linear di atas dapat ditulis &

(5 7 1

1 3 1

1 −4 2)( x

y

z)=( 33

13

−6)⇒( x y

z)=(5 7 1

1 3 1

1 −4 22)−1

( 33

13

−6)

)6



(3% Aljabar Linear

(3%%' De7nisi Persamaan Linear

Persamaan linear dengan suatu 9ariabel tunggal

melibatkan pangkatpangkat 9ariabel yang tidak lebih tinggi

daripada pangkat pertama% Suatu persamaan linear disebut

juga sebagai persamaan sederhana%

(3%%) Penyelesaian Persamaan Sederhana

Penyelesaian persamaan sederhana pada dasarnyaberupa penyederhanaan pernyataan pada setiap sisi

persamaan tersebut untuk memper#leh suatu persamaan yang

berbentuk a Q b H - Q d yang menghasilkan a O - H d O b

dan #leh karenannya Hd−b

a−c asalkan a ≠ c %

#nt#h &

)8



/ika 6 x+7+5 x−2+4 x−1=36+7 x

Maka 15 x+4=7 x+36

/adi 8 x=32 #leh sebab itu H

(3%%+ Persamaan Linear Simultan dengan Dua 3ariabel

Suatu persamaan linear dalam dua 9ariabel memiliki

sejumlah penyelesaian yang tak terhingga% Sebagai -#nt#h,

persamaan linear dua 9ariabel y O H + dapat ditransp#s

menjadi y H Q +%

Salah satu dari sejumlah nilai yang tak terhingga itu

dapat disubstitusikan ke dalam persamaan ini dan masing

masing memiliki nilai y yang berk#resp#ns% Akan tetapi, untuk

dua persamaan yang seperti itu mungkin saja terdapat

sepasang nilai dan y yang memenuhi kedua persamaan

se-ara simultan%

'% Penyelesaian dengan substitusiUntuk menyelesaikan sepasang persamaan&1 Q )y H ' <'=+ O y H ) <)=

Dari <'= & 1 Q )y H ' ∴ )y H ' O 1 ∴ y H 6

5 x

2

/ika kita substitusikan persamaan ini untuk y pada <)=, kita

per#leh &

+ O (7−5 x

2 ) H )

∴ + O )8 Q '0 H )

'+ H 1) ∴ H

):



/ika sekarang kita substitusikan nilai ini untuk dalam

persamaan asli lainnya, yaitu <'=, kita per#leh &1 <= Q )y H '

)0 Q )y H '∴

)y H 5∴

y H +∴ kita per#leh H , y H +

Sebagai pemeriksaan, kita dapat mensubstitusikan nilai

nilainya pada <'= dan <)=&<'=1 Q )y H 1 <= Q ) <+= H )0 O 5 H'<)=+ O y H + <= O <+= H ') Q ') H )

∴ H , y H + merupakan penyelesaian yang

diinginkan%

)% Penyelesaian dengan menyamakan k#e7sienUntuk menyelesaikan + Q )y H '5 <'=

O +y H '0 <)= /ika kita kalikan kedua sisi <'= dengan + <k#e7sien y pada

<)== dan kita kalikan kedua sisi <)= dengan ) <k#e7sien y

pada <'== maka kita per#leh9 x+6 y=48

8 x−6 y=20

/ika sekarang kita tambahkan kedua baris ini, suku y akan

hilang &∴17 x=68 ∴ x=4

Substitusikan hasil ini, H , ke dalam persamaan aslinya,

akan memberikan nilai y &

Pada <'= 3 ( 4 )+2 y=16∴12+2 y=16∴ y=2

∴ x=4 , y=2

Pemeriksaan pada <)= & 4 ( 4 )−3 ( 2 )=16−6=10 R

Tentu saja, apabila sukusuku y mempunyai tanda yang

sama, kita dapat mengurangkan satu baris dari baris lainnya

untuk menghilangkan salah satu 9ariabelnya%

(3%% Persamaan Linear Simultan dengan Tiga 3ariabel

+0



Dengan tiga 9ariabel dan tiga persamaan, met#de

penyelesaian hanyalah merupakan perluasan dari -ara yang

dilakukan untuk dua 9ariabel%

#nt#h &

Untuk menyelesaikan 3 x+2 y− z=19 <'=

4 x− y+2 z=4 <)=

2 x+4 y−5 z=32 <+=

Kita ambil sepasang persamaan di atas dan menghilangkan

salah satu 9ariabelnya dengan menggunakan met#de eliminasi

dan substitusi%

3 x+2 y− z=19 <'=

4 x− y+2 z=4 <)=

( 1 ) ' 2 6 x+4 y−2 z=38

(2 ) 4 x− y+2 z=4

Tambahkan& 10 x+3 y=42 <=

Sekarang ambillah pasangan lain, misalnya <'= dan <+= &

(1 ) ' 5 15 x+10 y−5 z=95

( 2 )2 x+4 y−5 z=32

Kurangkan& 13 x+6 y=63 <1=

Kita sekarang dapat menyelesaikan persamaan <= dan <1=

untuk memper#leh nilai dan y dengan -ara yang sama%10 x+3 y=42 | ' 2|

+'



13 x+6 y=63

20 x+6 y=84

13 x+6 y=63

Kurangkan & 7 x=21∴ x=3

Substitusikan pada <= & +0 Q +y H ) ∴3 y=12∴ y=4

Kemudian kita substitusikan nilainilai ke dalam salah satu dari

persamaan aslinya untuk memper#leh nilai &

Misalnya <)= 4 x− y+2 z=12−4+2 z=4

∴2 z=−4∴ z=−2

∴ x=3, y=4, z=−2

Akhirnya, substitusikan ketiga nilai tersebut pada dua

persamaan asli lainnya sebagai pr#sedur pemeriksaan &

( 1 ) 3 x+2 y− z=9+8+2=19

( 3 ) 2 x+4 y−5 z=6+16+10=32

∴ semuanya benar

+)



BAB V

PENUTUP

3%' KES(MPULA!

'% abang (lmu matematika yaitu aljabar linear dan matriks

memiliki empat sub p#k#k bahasan yaitu, 9ekt#r,himpunan, matriks, dan sistem persamaan linear%

)% 3ekt#r, himpunan, matriks, dan sistem persamaan linear

memiliki keterkaitan baik dari segi materi maupun dari

-ara penyelesaian -#nt#h s#al%

3%) SA2A!

'% Penulis menyarankan untuk semakin mendalami materi

yang dibahas tidak terbatas hanya bersumber dari

makalah ini demi pemahaman materi se-ara lebih

mendalam%)% Penulis menyarankan untuk sering melakukan

pembahasan atau pengerjaan s#als#al agar materi dalam

makalah ini dapat dikuasai se-ara #ptimal%

++



DAFTAR PUSTAKA

4apsari, Fidi dan !ugr#h# Agus 4% )0'0% Matematika Diskrit dan

Aplikasinya% Y#gyakarta& MediaK#m

/ati, $ambang Eka Murdaka dan Tri Kunt#r# Priyamb#d#%

Matematika untuk (lmu isika dan Teknik% Y#gyakarta& A!D(

Str#ud, K%A% )00+% Matematika Teknik% Edisi ke 1% Diterjemahkan

#leh& BulkiCi 4arahap% /akarta& Erlangga

Sulistiy#n#% )006% Seri Pendalaman Materi Matematika Pr#gram (PA%

/akarta& Esis Erlangga

Tim Erlangga #kus SMA% )0'% Erlangga #kus U! (lmu

Pengetahuan Alam% /akarta& Erlangga

Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks

Documents

Transcript of Topik Bahasan dalam Aljabar Linear Dan Matriks