materi aljabar linear
-
Upload
ahmad-syaifuddin -
Category
Documents
-
view
265 -
download
0
Transcript of materi aljabar linear
-
7/23/2019 materi aljabar linear
1/14
MAKALAH MATERI
ALJABAR LINEAR
Disusun oleh :
Muhammad Riza Al Firdaus
UNIVERSITAS ISLAM MAJAPAHIT
-
7/23/2019 materi aljabar linear
2/14
KATA PENGANTAR
Dengan mengucapkan Alhamdulillah dan puji syukur kehadirat
Tuhan Yang Maha Esa, akhirnya Tugas Materi Makalah Aljabar
Linear ini dapat diselesaikan dengan penuh kesungguhan. Buku
ini merupakan rangkuman kegiatan perkuliahan dari penulis
selama penulis menuntut ilmu di Universitas Islam
Majapahit(UNIM), Mojokerto. Tujuan dari pembuatan buku ini
adalah supaya pembaca bisa memahami materi tentang aljabar
linier materi materi lain yang menggunakan aljabar linear.
Penulis menyadari bahwa buku ini massih belum sempurna dan
masih banyak kesalahan kesalahan yang terjadi. Untuk itu, perlu
adanya saran da kritik dari pembaca untuk perbaikan makalah ini.
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada pihak pihak yangikut berpartisipasi dalam pembuatan buku ini. Kita semua
berharap semoga Materi Makalah aljabar linear ini bisa
bermanfaat bagi kita semua.
Mojokerto, 17 juli 2012
-
7/23/2019 materi aljabar linear
3/14
Penulis
DAFTAR ISI
1. VEKTOR...............................................................0
1
2. MATRIKS DAN OPERASINYA.............04
-
7/23/2019 materi aljabar linear
4/14
BAB 1
VEKTORDefinisiVektor didefinisikan sebagai besaran yang memiliki arah. Kecepatan, gaya
dan pergeseran merupakan contoh contoh dari vektor karena semuanya
memiliki besar dan arah walaupun untuk kecepatan arahnya hanya positif
dan negatif. Vektor dikatakan berada di ruang n ( Rn ) jika vektor
tersebut mengandung n komponen. Jika vektor bearada di R2
maka dikatakan vektor berada di bidang, sedangkan jika vektor berada diR3 maka dikatakan vektor berada di ruang. Secara geometris, di bidang
dan di ruang vektor merupakan segmen garis berarah yang memiliki titik
awal dan titik akhir. Vektor biasa dinotasikan dengan huruf kecil tebal atau
huruf kecil dengan ruas garis .
Contoh :4.1.1
Dari gambar diatas terlihat beberapa segmen garis berarah ( vektor )
seperti AB , AC dan AD dengan A disebut sebagai titik awal ,
sedangkan titik B, C dan D disebut titik akhir. Vektor posisi didefinisikan
sebagai vektor yang memiliki titik awal O ( untuk vektor di bidang , titik O
adalah ( 0,0 )).
Operasi operasi pada vektor
A. Penjumlahan dua vektor
Misalkan u dan v adalah vektor vektor yang berada di ruang yang
sama , maka vektor ( u + v ) didefinisikan sebagai vektor yang titik
awalnya = titik awal u dan titik akhirnya = titik akhir v .
Contoh 4.2.1
-
7/23/2019 materi aljabar linear
5/14
Perhatikan gambar pada contoh 4.1.1 . Misalkan u = AB dan v BC ,
jika vektor w didefinisikan sebagai w = u + v , maka w akan memiliki
titik awal = A dan titik akhir = C, jadi w merupakan segmen garis berarah
AC.
B. Perkalian vektor dengan skalar
Vektor nol didefinisikan sebagai vektor yang memiliki panjang = 0.
Misalkan u vektor tak nol dan k adalah skalar , k R . Perkalian vektor u
dengan skalar k , k u didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya u
kali panjang u dengan arah : Jika k > 0 searah dengan u Jika k < 0
berlawanan arah dengan u
Contoh :4.2.1
C. Perhitungan vektor
Diketahui a dan b vektorvektor di ruang yang komponen komponennya
adalah a = ( a1,a2,a3 ) dan b = ( b1,b2,b3 )
Maka
a + b = (a1 +b1, a2+b2, a3+b3 )a b = (a1 b1, a2 b2, a3 b3 )
k . a = ( ka1, ka2, ka3 )
Jika c = AB kemudian titik koordinat A = ( a1,a2,a3 ) dan B = ( b1,b2,b3
)
maka
c= (b1 a1 , b2 a2, b3 a3 )
-
7/23/2019 materi aljabar linear
6/14
Hasil kali titik , panjang vektor dan jarak antara dua vektor
Hasil kali titik dua vektor jika diketahui komponennya Diketahui
a = ( a1,a2,a3 ) dan b = ( b1,b2,b3 ) , Hasil kali titik antara vektor
a dan b didefinisikan sebagai :
a . b =(a1.b1)+ (a2.b2) +(a3.b3)
Hasil kali titik dua vektor jika diketahui panjang vektor dan sudut
antara
dua vektor
Diketahui a dan b dua buah vektor yang memiliki panjang berturut turut
a dan b sedangkan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor adalah,
sudut ini terbentuk dengan cara menggambarkan kedua vektor pada
titik awal yang sama.
Hasil kali titik antara vektor a dan b didefinisikan sebagai :
a . b = a b cos , [ 0, ]
Jadi hasil kali titik dua buah vektor berupa skalar.
Dengan mengetahui besarnya , akan diketahui apakah hasil kali titikakan bernilai positif atau negatif
a . b > 0 lancip , 0 < 90o
a . b = 0 = 90o , a dan b saling tegak lurus
a . b < 0 tumpul, 90o
-
7/23/2019 materi aljabar linear
7/14
Panjang ( norm ) vektor dan jarak antara dua vektor Panjang vektor
Dengan menggunakan operasi hasil kali titik jika diketahui komponen
a = ( a1,a2,a3 ) didapatkan bahwa
Dari definisi hasil kali titik lainnya , didapatkan bahwa
, dalam hal ini sudut antara dan pastilahbernilai 0 karena keduanya
saling berhimpit.
Dari persamaan 1 dan 2 , didapatkan persamaan berikut :
Jarak antara dua vektor
Jarak antara vektor adan b didefinisikan sebagai panjang dari vektor
dan biasa dinotasikan dengan
Secara geometris , dapat digambarkan seperti berikut ini :
Misalkan , maka jarak antara dan merupakan
panjang dari ruas garis berarah .
Contoh 4.3.2
Diketahui = ( 2,1,1 ) dan = ( 1,1,2 ) Tentukan besar sudut yangdibentuk oleh dan !
Jawab
-
7/23/2019 materi aljabar linear
8/14
Jadi sudut yang dibentuk antara dan adalah 60
0
Beberapa sifat yang berlaku dalam hasil kali titik
Proyeksi orthogonal
Diketahui vektor a dan b adalah vektor vektor pada ruang yang sama
seperti terlihat pada gambar dibawah ini :
Vektor a disusun dari dua vektor yang saling tegak lurus yaitu dan
, jadi dapat dituliskan ,Dari proses pembentukannya
juga disebut sebagai vektor proyeksi orthogonal terhadap
karena merupakan hasil proyeksi secara orthogonal vektor terhadap
, sedangkan disebut sebagai komponen dari a yang tegak lurus
terhadap . Karena merupakan hasil proyeksi di maka dapat
dituliskan , nilai k ini akan menentukan arah dan panjang dari
. Jika sudut antara dan adalah tumpul , maka tentunya nilai k
akan negatif ini juga berarti arah akan berlawanan dengan arah .
Menghitung
Untuk menghitung , harus dihitung terlebih dahulu nilai k. Dengan
-
7/23/2019 materi aljabar linear
9/14
menggunakan aturan hasil kali titik , diperoleh :
Perkalian silang vektor
Sebelum membahas ke masalah perkalian silang dari dua buah vektor,
akan dijelaskan beberapa definisi terlebih dahulu
Vektor satuan
Vektor satuan didefinisikan sebagai vektor yang memiliki panjang satu
satuan. Di bidang , vektor satuan yang searah dengan sumbu x dan y
dinyatakan sebagai = ( 1,0 ) dan = ( 0,1 ), sedangkan pada ruang (
R3) , vektor satuan yang searah sumbu x,y dan z adalah = ( 1,0,0 ) ,
= ( 0,1,0 ) dan = ( 0,0,1 ). Penulisan komponen dari vektor juga dapatmenggunakan vektor satuan .
Misalkan
Perkalian silang antara dua vektor di R3
Diketahui dan
-
7/23/2019 materi aljabar linear
10/14
Perkalian silang antara dan didefinisikan sebagai :
Hasil kali silang dari dua buah vektor akan menghasilkan suatu vektor
tegak lurus terhadap dan . Sedangkan untuk mengetahui panjang
dari vektor ini, akan dilakukan analisa yang lebih jauh untuk
mengetahuinya .
Kuadrat dari norm adalah
Atau
Nilai ini merupakan luas segi empat yang dibentuk dan seperti
ditunjukkan dari gambar berikut :
-
7/23/2019 materi aljabar linear
11/14
-
7/23/2019 materi aljabar linear
12/14
BAB 2
MATRIKS DAN
OPERASINYA
1. PENJUMLAHAN MATRIKS
CONTOH PROGRAM
#include #include #include int A[2][2],B[2][2],C[2][2];void inputmatriksA()
{cout
-
7/23/2019 materi aljabar linear
13/14
void tampilB(){cout
-
7/23/2019 materi aljabar linear
14/14
cout