Aljabar Linear 1
-
Upload
nuri-simarona -
Category
Documents
-
view
4.434 -
download
6
description
Transcript of Aljabar Linear 1
ALJABAR LINEAR
PENGAJAR: NURI SIMARONA, ST
Jurusan: Manajemen InformatikaSEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER
WIDYA DHARMA PONTIANAK
1Presented by Nuri Simarona, ST
SASARANMahasiswa memahami dan menguasai konsepsi dasar Aljabar Linear; terdiri dari pokok bahasan matriks, determinan, sistem persamaan linear, vektor dan transformasi linear sebagai pendukung ilmu pengetahuan dan terampil menggunakannya, khususnya dalam komputasi dan komputer
Presented by Nuri Simarona, ST 2
Materi:Matriks
Konsepsi MatriksJenis-Jenis MatriksOperasi Aljabar MatriksOperasi Baris Elementer
DeterminanKonsepsi DeterminanSifat DeterminanMinor dan KofaktorEkspansi Baris/KolomInvers Matriks
Sistem Persamaan LinearKonsepsi SPLSPL HomogenSPL NonhomogenPenyelesaian SPL
3Presented by Nuri Simarona, ST
Daftar PustakaAnton, Howard, (2004), Aljabar Linear
Elementer versi Aplikasi, Edisi ke-8, Jilid 1, Erlangga, Jakarta;
Spiegel, Murray R, (1983), Theory and Problems of Advanced Mathematics for Engineers and Scientists, Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill, Singapore;
Ayres, F., Linear Algebra, Schaum’s Outline Series;
Kaw, Autar K., Introduction to MATRIX ALGEBRA, http://www.eng.usf.edu/~kaw, 21 Descember 2006, 22:49 WIB 4Presented by Nuri Simarona, ST
MatriksKonsepsi MatriksJenis-Jenis MatriksOperasi Aljabar MatriksOperasi Baris Elementer
5Presented by Nuri Simarona, ST
Konsepsi MatriksPerhatikan tabel berikut:
Harga peralatan TI di atas dapat dituliskan dalam bentuk berikut:
Merk X Merk Y Merk Z Merk P Merk Q Merk E
Flashdisk $ 3 $ 2 $ 4 $ 3 $ 4 $ 2CD $ 1 $ 1.5 $ 2 $ 1 $ 1 $ 2Printer $ 20 $ 25 $ 30 $ 20 $ 35 $ 25Modem $ 15 $ 30 $ 25 $ 35 $ 20 $ 25
3 2 4 3 4 2
1 1.5 2 1 1 2
20 25 30 20 35 25
15 30 25 35 20 25
Baris / row
Kolom / column
Matriks / matrix
6Presented by Nuri Simarona, ST
Matriks merupakan sekumpulan bilangan-bilangan atau ekspresi simbol-simbol yang terdiri dari sejumlah baris (rows) dan kolom (columns) dan berbentuk persegi panjang.
11 12 13 14 1
21 22 23 24 2
31 32 33 34 3
1 2 3 4
n
n
m n n
m m m m mn
a a a a a
a a a a a
A a a a a a
a a a a a
Ukuran sebuah matriks
Nama matriks
Elemen matriksElemen baris kedua kolom keempat
7Presented by Nuri Simarona, ST
Matriks yang hanya memiliki sebuah baris disebut matriks baris atau vektor baris dan berordo 1 x n, sedangkan matriks yang hanya memiliki sebuah kolom disebut matriks kolom atau vector kolom dan berordo m x 1.
Contoh:
5
1
3 2 4 1 2 1 0
3
4
A B
8Presented by Nuri Simarona, ST
Jenis-Jenis MatriksMatriks Persegi
Matriks Diagonal
Matriks Identitas
Matriks Segitiga atas
Matriks Segitiga bawah
Matriks Nol
Matriks Tridiagonal / Pita
Matriks Simetri
Matriks Singular
Matriks Non Singular
Matriks Partisi
a b c d
e f g h
i j k l
m n o p
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
a
f
k
p
0
0 0
0 0 0
a b c d
f g h
k l
p
0 0 0
0 0
0
a
e f
i j k
m n o p
0 0
0
0
0 0
a b
e f g
j k l
o p
a b c d e
f g h i j
k l m n p
q r s t u
v w x y z
a b c d
b f g h
c g k l
d h l p
Determinan matriks = nolDeterminan matriks ≠ nol
9Presented by Nuri Simarona, ST
ALJABAR MATRIKSKesamaan Matriks (Equality of matrices) Penjumlahan matriks (Addition of
matrices)Pengurangan matriks (Subtrction of
matrices) Perkalian matriks dengan scalar
(Multiplication of a matrix bay a scalar)Perkalian matriks (Multiplication of
matrices) Matriks TransposeTrace Matriks Presented by Nuri Simarona, ST 10
Presented by Nuri Simarona, ST 11
Invers Matriks
Suatu matriks persegi A dikatakan memiliki invers (kebalikan) atau non singular, jika dinyatakan sebuah matriks B sedemikian hingga
AB = I = BAMaka, matriks B disebut invers dari A dan ditulis A-1 . Jika A tidak memiliki invers, maka A disebut singular
Menentukan invers sebuah matriks dapat diperoleh dengan metode:1. Matriks Adjoint: A-1 = adj A / det A2. Gauss: ( A : I ) →( I : A )
Presented by Nuri Simarona, ST 12
Contoh:
Presented by Nuri Simarona, ST 13
Soal: (Determinan dan Invers Matriks)
Tentukan determinan setiap matriks berikut dan hitung nilai t untuk memperoleh matriks singular.
2 4 3 1 3 3 3 1 1
( ) 1 1 2 ( ) 3 5 3 ( ) 7 5 1
0 0 4 6 6 4 6 6 2
t t t
a t b t c t
t t t
1 2 2 3 2 1 3 2
1 0 2 0 3 0 1 2( ) ( )
3 1 1 2 1 1 4 3
4 3 0 2 2 2 1 1
a b
Tentukan matriks adjoint dari setiap matriks berikut:
Kemudian tentukan invers dari kedua matriks tersebut
Presented by Nuri Simarona, ST 14
Teorema: Rank baris A = rank kolom ARank A + nullity A = n
RANK DAN NULLITY SUATU MATRIKSDefinisi:Jika A adalah suatu matriks berordo m x n, makaRank kolom A = dim C(A)Rank baris A = dim R(A)Nullity A = dim N(A)Rank matriks A ditulis rank A merupakan nilai utama dari rank baris dan rank kolomnya.
Presented by Nuri Simarona, ST 15
2 1
3 7( )
6 1
5 8
a
1 1 2
4 5 5( )
5 8 1
1 2 2
b
1 2 3 2 3
1 3 2 0 4( )
3 8 7 2 11
2 1 9 10 3
c
1 3 2 5 4
1 4 1 3 5( )
1 4 2 4 3
2 7 3 6 13
d
Contoh:Tentukan rank matriks berikut:
Soal:Untuk setiap matriks berikut, hitung rank dan tentukan inversnya jika ada.
1 2 1 0 2 4 1 2 11 2 1 2
( ) ( ) ( ) 1 3 4 ( ) 1 1 1 ( ) 1 1 21 1 2 4
2 3 1 2 4 5 1 0 2
a b c d e
Presented by Nuri Simarona, ST 16
Soal Test:
1. Cari nilai k yang menunjukkan bahwa matriks berikut adalah singular.
1 2
3 1 1
5 3 5
k
A
2. Buktikan bahwa
3
1 1 1 1
1 1 1(1 )
1 1
1
rr
r r
r r r
3. Diketahui
1 2 2
3 1 0
1 1 1
A
Cari adj A dan A-1
Presented by Nuri Simarona, ST 17
4. Tentukan manakah maktriks yang merupakan matriks non-singular dan tentukan inversnya bila mungkin.
1 1 1 2 2 4 4 6 3
( ) 1 1 0 ( ) 1 0 1 ( ) 0 0 7
2 0 0 0 1 0 0 0 5
1 2 4 62 0 0 1 2 3
0 1 2 0( ) 0 5 0 ( ) ( ) 4 5 6
0 0 1 20 0 7 5 7 9
0 0 0 2
a b c
d e f
Presented by Nuri Simarona, ST 18
Presented by Nuri Simarona, ST 19
Presented by Nuri Simarona, ST 20
Presented by Nuri Simarona, ST 21