Aljabar LinearAljabar Linear

Pertemuan 1Pertemuan 1

Pengenalan Konsep Aljabar LinearPengenalan Konsep Aljabar Linear

.:: Erna Sri Hartatik ::..:: Erna Sri Hartatik ::.

PembahasanPembahasan

Kontrak PerkuliahanKontrak Perkuliahan Pemahaman Tujuan PerkuliahanPemahaman Tujuan Perkuliahan

VektorVektor

Definisi vektor -Definisi vektor -

Aljabar vektor : -Aljabar vektor : -

- Penjumlahan dan pengurangan vektor- Penjumlahan dan pengurangan vektor

Kontrak PerkuliahanKontrak Perkuliahan

Kontrak kuliah alin.docKontrak kuliah alin.doc

GBPP.docGBPP.doc

Berisi:Berisi:

-Materi kuliah-Materi kuliah

-aturan perkuliahan-aturan perkuliahan

-aturan penilaian-aturan penilaian

-daftar pustaka-daftar pustaka

Pemahaman Tujuan PerkuliahanPemahaman Tujuan Perkuliahan

Mengapa kita perlu belajar aljabar linear?? Mengapa kita perlu belajar aljabar linear?? Padahal kita bukan berada di jurusan statistik tapi Padahal kita bukan berada di jurusan statistik tapi

Jaringan dan Multimedia?Jaringan dan Multimedia?

Ada beberapa alasan:Ada beberapa alasan:1. Melatih penganalisaan mahasiswa untuk konversi kondisi 1. Melatih penganalisaan mahasiswa untuk konversi kondisi

real ke dalam kalimat matematisreal ke dalam kalimat matematis2. Mengetahui konsep penyelesaian persamaan aljabar linear2. Mengetahui konsep penyelesaian persamaan aljabar linear3. Mampu membuat coding programming dalam 3. Mampu membuat coding programming dalam

menyelesaikan permasalahan2 aljabar linearmenyelesaikan permasalahan2 aljabar linear

DEFINISI VEKTORDEFINISI VEKTOR

Definisi vektorDefinisi vektor

Apa beda vektor dengan skalar?Apa beda vektor dengan skalar?

Skalar : Skalar :

besaran yang dinyatakan dengan bilangan tunggal dan hanya besaran yang dinyatakan dengan bilangan tunggal dan hanya memiliki nilaimemiliki nilai

ex: panjang meja=20cm , luas, volume dsbex: panjang meja=20cm , luas, volume dsb

Vektor:Vektor:

besaran yang dinyatakan dalam dua bilangan tunggal, yang besaran yang dinyatakan dalam dua bilangan tunggal, yang pertama menyatakan nilai dan yang kedua menyatakan arahpertama menyatakan nilai dan yang kedua menyatakan arah

ex: gaya=10N ke arah kanan, kecepatan=5 m/s arah baratex: gaya=10N ke arah kanan, kecepatan=5 m/s arah barat

Deklarasi VektorDeklarasi Vektor

Simbol vektor:Simbol vektor:

- huruf kecil- huruf kecil

- huruf kecil,tebal,ada tanda diatasnya- huruf kecil,tebal,ada tanda diatasnya

Gambar vektor:Gambar vektor:

vektor digambarkan sebagai garis dengan anak panah vektor digambarkan sebagai garis dengan anak panah sebagai arah.sebagai arah.

a

Vektor a; simbol:a atau a atau aa

a

Piranti VektorPiranti Vektor

Komponen vektor:Komponen vektor:vektor 2 dimensi vektor 2 dimensi : : aa (3,2) (3,2)

3 ‘n 2 merupakan komponen vektor3 ‘n 2 merupakan komponen vektora a merupakan nama vektormerupakan nama vektor3 merepresentasikan nilai pada sumbu x (horisontal)3 merepresentasikan nilai pada sumbu x (horisontal)2 merepresentasikan nilai pada sumbu y (vertikal)2 merepresentasikan nilai pada sumbu y (vertikal)

vektor 3 dimensi : a (2,3,4)vektor 3 dimensi : a (2,3,4)

Panjang vektor:Panjang vektor:suatu vektor memiliki panjang vektor yang disimbolkan suatu vektor memiliki panjang vektor yang disimbolkan dengan |a|dengan |a|

Visualisasi VektorVisualisasi Vektor 2 vektor dikatakan sama,jika panjang dan arahnya sama2 vektor dikatakan sama,jika panjang dan arahnya sama

Vektor a dan b dikatakan sama, sebab1. Arah kedua vektor sama

2. |a| = |b|

Vektor a dan b dikatakan tidak sama, Sebab1. Arah kedua vektor tidak sama

2. Meskipun, |a| = |b|

Vektor a dan b dikatakan tidak sama, Sebab1. Meskipun, Arah kedua vektor sama

2. |a| != |b|

Vektor dalam sistem koordinat kartesian diantaranya:Vektor dalam sistem koordinat kartesian diantaranya:

1. Koordinat kartesian dua dimensi1. Koordinat kartesian dua dimensi

a=(a1, a2)a=(a1, a2)

dalam vektor a terdapat dalam vektor a terdapat

dua komponen vektor,dua komponen vektor,

2. Koordinat kartesian tiga dimensi2. Koordinat kartesian tiga dimensi

b=(b1,b2,b3)b=(b1,b2,b3)

dalam vektor b terdapat dalam vektor b terdapat

tiga komponen vektortiga komponen vektor

Penggambaran vektor 2 dimensiPenggambaran vektor 2 dimensi

1. Gambar vektor m (3,-2) dalam sumbu koordinat dengan 1. Gambar vektor m (3,-2) dalam sumbu koordinat dengan pangkal vektor di (0,0) !!pangkal vektor di (0,0) !!

y

x3

-2

m (3,-2)

2. Gambar vektor s (2,4) dalam sumbu koordinat 2. Gambar vektor s (2,4) dalam sumbu koordinat dengan pangkal vektor di (1,-2) !!dengan pangkal vektor di (1,-2) !!

y

x1

-2

s (3,-2)

2

3

pangkal

Langkah:1. Cari titik pangkal2. Cari titik ujung3. Tarik garis vektor antara

pangkal dan ujung

Dari contoh diperoleh :Dari contoh diperoleh :

- mx adalah panjang vektor terhadap mx adalah panjang vektor terhadap sumbu x = 3sumbu x = 3

- my adalah panjang vektor terhadap my adalah panjang vektor terhadap sumbu y = 2sumbu y = 2

y

x3

-2

m (3,-2)

mx = 3

my = 2

1323||

||

22

22

=+=

+=

m

mymxm

- Sehingga untuk mencari panjang Sehingga untuk mencari panjang vektor m, vektor m, digunakan rumus digunakan rumus pytagoras :pytagoras :

Panjang vektorPanjang vektor

Panjang vektor a yang berpangkal pada (0,0) Panjang vektor a yang berpangkal pada (0,0) didefinisikan sebagaididefinisikan sebagai

Disebut sebagai vektor nol, jika |a|=0 yang berarti Disebut sebagai vektor nol, jika |a|=0 yang berarti a1=a2=0a1=a2=0

Contoh : Contoh :

Cari panjang vektor a (5,-3) !Cari panjang vektor a (5,-3) !

636925)3(5|| 22 ==+=−+=a

Panjang vektor a (x1,y1,z1) yang berpangkal pada Panjang vektor a (x1,y1,z1) yang berpangkal pada (x2,y2,z2) didefinisikan sebagai(x2,y2,z2) didefinisikan sebagai

Contoh : Contoh :

Cari panjang vektor a (5,-3,1) dengan titik pangkal Cari panjang vektor a (5,-3,1) dengan titik pangkal (1,1,1) !(1,1,1) !

243201616)11()13()15(|| 222 ==++=−+−−+−=a

Latihan (1) :Latihan (1) :

1. Gambarkan dalam satu koordinat, vektor-vektor berikut :1. Gambarkan dalam satu koordinat, vektor-vektor berikut :

s s (5,-4) dengan titik pangkal (0,0)(5,-4) dengan titik pangkal (0,0)

g g (2,1) dengan titik pangkal (-3,-2)(2,1) dengan titik pangkal (-3,-2)

j j (-3,2) dengan titik pangkal (5,-2)(-3,2) dengan titik pangkal (5,-2)

m m (3,2,1) dengan titik pangkal (1,2,1)(3,2,1) dengan titik pangkal (1,2,1)

b b (3,-2,-1) dengan titik pangkal (-1,1,-3)(3,-2,-1) dengan titik pangkal (-1,1,-3)

2. Cari panjang dari masing2 vektor yang ada pada soal no 12. Cari panjang dari masing2 vektor yang ada pada soal no 1

ALJABAR VEKTOR :ALJABAR VEKTOR :

Penjumlahan dan Pengurangan Penjumlahan dan Pengurangan VektorVektor

Metode Metode penjumlahan ‘n pengurangan vektorpenjumlahan ‘n pengurangan vektor

1. Cara Segitiga1. Cara Segitiga

Jumlahan 2 vektor a dan b adalah suatu vektor c yang Jumlahan 2 vektor a dan b adalah suatu vektor c yang berawal dari titik pangkal vektor a menuju ujung vektor b, berawal dari titik pangkal vektor a menuju ujung vektor b, setelah ujung vektor a ditempelkan dengan pangkal vektor bsetelah ujung vektor a ditempelkan dengan pangkal vektor b

2. Cara Jajaran Genjang2. Cara Jajaran Genjang

Untuk memperoleh hasil vektor penjumlahan dari vektor a dan Untuk memperoleh hasil vektor penjumlahan dari vektor a dan b, maka vektor a dan b harus diposisikan pada 1 titik dan b, maka vektor a dan b harus diposisikan pada 1 titik dan masing-masing vektor diproyeksikan sehingga menghasilkan 1 masing-masing vektor diproyeksikan sehingga menghasilkan 1 titik potong antar kedua vektor. Vektor hasil dihubungkan dari titik potong antar kedua vektor. Vektor hasil dihubungkan dari titik awal dan titik potong akhir.titik awal dan titik potong akhir.

Hasil dari aljabar tersebut dengan menggunakan 2 Hasil dari aljabar tersebut dengan menggunakan 2 metode hasilnya sama, yaitu :metode hasilnya sama, yaitu :

Beda Penjumlahan Pengurangan vektorBeda Penjumlahan Pengurangan vektor

22 )()(|| dbcavu

db

ca

d

c

b

avu

d

cvdan

b

auJika

nPenjumlaha

+++=+

++

=

+

=+

=

=

22 )()(|| dbcavu

db

ca

d

c

b

avu

d

cvdan

b

auJika

nPenguranga

−+−=−

−−

=

−

=−

=

=

Sifat Penjumlahan VektorSifat Penjumlahan Vektor

Latihan (2) :Latihan (2) :

SummarySummary

Arah vektor dilihat dari tanda negatif didepan nama Arah vektor dilihat dari tanda negatif didepan nama vektor, sehingga:vektor, sehingga:

v + (-v) = v + (-v) = 00 Elemen-elemen vektor merupakan panjang vektor Elemen-elemen vektor merupakan panjang vektor

untuk basis koordinat tertentuuntuk basis koordinat tertentu Metode yang digunakan untuk penjumlahan dan Metode yang digunakan untuk penjumlahan dan

pengurangan vektor adalah samapengurangan vektor adalah sama Pangkal vektor tidak selalu diawali dari pusat Pangkal vektor tidak selalu diawali dari pusat

koordinat (0,0,0)koordinat (0,0,0)

Tugas (1)Tugas (1)

Tugas 1.docTugas 1.doc

Materi tugas :Materi tugas :

Definisi vektor .1Definisi vektor .1

Gambar vektor .2Gambar vektor .2

Analisa vektor .3Analisa vektor .3

Panjang vektor .4Panjang vektor .4

Daftar PustakaDaftar Pustaka

Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 1 Edisi 7. 2000. Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 1 Edisi 7. 2000.

Penerbit Interaksara. JakartaPenerbit Interaksara. Jakarta Noor Ifada. Bahan Kuliah Aljabar LinearNoor Ifada. Bahan Kuliah Aljabar Linear

Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 2 Edisi 7. 2000. Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 2 Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. JakartaPenerbit Interaksara. Jakarta