ALJABAR LINEAR

Materi :

1. Matriks2. Sistem Persamaan Linear (SPL)3. Vektor di bidang dan ruang4. Ruang Vektor5. Ruang Hasil Kali Dalam 6. Nilai dan vektor Eigen7. Transformasi Linier

DAFTAR PUSTAKA

• Anton, Howard, 1981, Elementary Linear Algebra, Third edition, John Wiley and Sons Inc.

• Anton, Howard & Rorres, Chris, Penerapan Aljabar Linear.

• Leon, Steven J., 2001, Aljabar Linear dan Aplikasinya, Edisi kelima, Erlangga, Jakarta.

MATRIKS

• TIK : Menjelaskan operasi aljabar matriks• Sub Pokok Bahasan– Definisi matriks– Jenis-jenis matriks– Operasi aljabar matriks dan sifatnya

DEFINISI MATRIKS

Susunan segiempat yang terdiri atas bilangan – bilangan real yang tersusun atas baris dan kolom

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

m baris

n kolom

di katakan matriks A berukuran m x n

• Baris ke-i dari A adalah :

• Kolom ke-j dari A adalah :

• Matriks A dapat juga ditulis :A = [aij]

• Jika m = n maka dikatakan A matriks Bujur sangkar, dan bilangan a11, a22, …, ann disebut dengan diagonal utama

)1(21 miaaa inii

)1(2

1

nj

a

a

a

mj

j

j

Jenis – jenis Matriks1. Matriks bujur sangkar

Matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama. Pada diagonal utama terdapat elemen-elemen yang mempunyai nomor baris=nomor kolom.

Contoh :

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Jenis – jenis Matriks

2. Matriks Diagonal Matriks bujur sangkar dengan elemen diluar diagonal utama

adalah nol, yaitu aij = 0 untuk i j

contoh :3.Matriks Skalar Matriks diagonal dengan elemen pada diagonal utama adalah

sama, yaitu aij = c untuk i = j dan aij = 0 untuk i j

Contoh :

700

070

000

A

700

070

007

A

Jenis – jenis Matriks4.Matriks Segitiga Atas Matriks bujur sangkar dengan elemen dibawah diagonal

utama adalah nolContoh :

5.Matriks Segitiga Bawah Matriks bujur sangkar dengan elemen diatas diagonal utama

adalah nol

Contoh :

700

500

231

A

200

075

000

A

Jenis – Jenis Matriks6.Matriks Identitas

Matriks diagonal dengan elemen pada diagonal utama adalah 1 , yaitu aij = 1 untuk i = j dan aij = 0 untuk i jcontoh:

7.Matriks Nol Matriks yang seluruh elemennya adalah nol.

Contoh :

100

010

001

A

000

00023o

Operasi Matrik

1. Penjumlahan matrik2. Perkalian dengan Skalar3. Perkalian dua Matrik4. Transpos matrik5. Trase matrik

1. Penjumlahan matrik

• Misalkan A = [aij], B = [bij] dengan i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., m

• Jumlah matrik A dan B dinyatakan oleh C = A + B, yang memenuhi:

• Syarat: ordo A = ordo B• Aturan: cij=aij+bij {entri yang seletak dijumlahkan}

Contoh

• Diberikan Matriks A dan B adalah

• maka

312

421A

131

421B

423

002BA

2. Perkalian dengan Skalar

• Misalkan A = [aij] dengan i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., m

• Perkalian matrik A dengan skalar k dinyatakan oleh C=kA, yang memenuhi:

• Syarat: tidak ada• Aturan: cij=k aij {setiap entri pada matrik A dikalikan

dengan skalar k}

Contoh

• Jika k = -3 dan

• Maka

421 A

1263 kA

3. Perkalian dua Matrik

• Jika A = [aij] dengan i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., m dan B = [bjk] dengan k=1, 2, ..., p

•perkalian matrik A dan B yang dinyatakan oleh, C=AB memenuhi:

•Syarat: banyak kolom A = banyak baris B•Aturan :

• {jumlah dari semua perkalian antara elemen A pada baris ke-i dengan elemen B pada kolom ke-k}

jk

m

jijik bac

1

3. Perkalian dua Matriklanjutan

• Dengan aturan ini, dikaitkan dengan vektor kolom dan vektor baris, jika ai vektor baris

• ke-i dari matrik A dan bk vektor kolom ke-k dari matrik B, maka elemen-elemen matrik

• C adalah:kiik bac

4. Transpos matrik

• Misalkan A = [aij] dengan i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., m.

• Transpos matrik A, yang dinyatakan oleh B=AT, didefinisikan sebagai:

• Syarat: tidak ada• Aturan: bji=aji {kolom matrik A menjadi baris matrik AT}

Contoh

• Matrik

Maka

250

324A

23

52

04TA

5. Trase matrik

• Misalkan A = [aij] dengan i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., n.

• Trase dari matrik A yang dinyatakan oleh trase(A), didefinisikan sebagai:

• Syarat: matrik bujursangkar• Aturan: trase(A)=a11 + a22 + …+ ann

{penjumlahan semua entri diagonal utama}

Contoh trase matrik

• Diketahui matrik A kemudian hitung trase (A):

1122)(

:

114

523

302

ATrase

jawab

A

Sifat-sifat Matrik

1. Terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar

2. Terhadap operasi perkalian, penjumlahan, dan perkalian dengan skalar

3. Terhadap operasi penjumlahan, perkalian dengan skalar, dan trase

1. Terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar

• Pada sifat berikut, ordo matrik dianggap telah sesuai, sehingga operasi dapat dilakukan:a. A+B=B+A {sifat komutatif}b. (A+B)+C=A+(B+C) {sifat asosiatif}c. A+O=O+A=A {sifat matrik nol, identitas penjumlahan}d. A+(-A)= -A+A=O {sifat negatif matrik}e. k(A+B)=kA+kB {sifat distributif terhadap skalar k}f. (k+l)A=kA+lA {sifat distributif terhadap skalar k dan l}g. (kl)A=k(lA) {sifat asosiatif terhadap perkalian skalar}h. A=A {sifat perkalian dengan skalar 1 (satu)}i. (A+B)T = AT + BT {sifat transpos matrik terhadap

penjumlahan}

2. Terhadap operasi perkalian, penjumlahan, dan perkalian dengan skalar

• Pada sifat berikut, ordo matrik dianggap telah sesuai, sehingga operasi dapat dilakukan:a. Pada umumnya berlaku sifat AB≠BA {tidak bersifat

komutatif}b. (AB)C=A(BC) {sifat asosiatif}c. AI=IA=A {sifat matrik satuan, identitas perkalian}d. AO=OA=O {sifat matrik nol}e. (kA)B=k(AB)=A(kB)f. (A+B)C=AC+BCg. C(A+B)=CA+CBh. (AB)T = BTAT {urutan operasi dibalik}i. (kA)T=kAT

3. Terhadap operasi penjumlahan, perkalian dengan skalar, dan trase

a. trase(A+B) = trase(A) + trase(B)b. trase(AT) = trase(A)c. trase(kA) = k trase(A)

Latihan Soal1. Diberikan matriks – matriks sebagai berikut:

Jika mungkin, maka hitunglaha. AB d. CB + D g. BA + FDb. BA e. AB + DF h. A(BD)c. A(C + E) f. (D + F)A i. trase (C + E)j. (AC)T = BTCT

204

321A

51

42

13

B

211

543

132

C

21

32D

243

512

301

E

14

32F

Terima kasih

• Tetap semangat belajar

• Sampai jumpa di pertemuan selanjutnya

• Wassalam