Drs. DarmoDrs. Darmo

Definisi:Susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur dalam baris dan kolom.

Contoh:

710234

A

1331

B

Bentuk umum suatu matriks:

Elemen kolom ke-1 =

Elemen baris ke-1 =

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

21

22221

11211

1

21

11

ma

aa

naaa 11211

aij adalah elemen baris ke-i, kolom ke-j Matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut

berordo m n. Matriks berordo mxn yang banyak baris sama dengan

banyaknya kolom disebut matriks persegi. Contoh:

Elemen 3, -6, -1 disebut elemen-elemen diagonal utama.

189764123

A

Kesamaan Dua MatriksKesamaan Dua MatriksDua matriks disebut sama jika ordonya sama dan elemen-elemen yang seletak sama.

Jumlah Dua MatriksJumlah Dua MatriksDua Matriks A dan B dapat dijumlahkan jika ordonya sama.Jumlah dua matriks A dan B ialah matriks C yang ordonya sama dengan ordo matriks A maupun B, sedangkan elemen-elemen yang seletak dijumlahkan:Contoh:

32

3182

435012

Hasil Kali Matriks dengan SkalarHasil Kali Matriks dengan SkalarHasil kali matriks A dengan skalar k ialah matriks yang ordonya sama dengan ordo matriks A sedangkan elemen-elemennya dikalikan dengan k.

Hasil Kali 2 Matriks Hasil Kali 2 Matriks Jika A adalah sebuah matriks m r dan B adalah matriks r n maka hasil kali A B adalah matriks mxn yang elemen-elemennya ditentukan sbb: elemen di dalam baris ke-i, kolom ke-j dari AB, maka pilihlah baris ke-i dari matriks A dan kolom ke-j dari matriks B, kalikanlah elemen-elemen yang bersangkutan dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil perkalian yang dihasilkan.

Contoh:

2 3 3 4 2 4

(2 4) + (6 3) + (0 5) = 26

257213103414

062421

BA

...26..................

257213103414

062421

Misalkan ordo matriks-matriks berikut memenuhi syarat agar operasi-operasi berikut terdefinisi maka berlaku:1.A+B = B+A (H. Komutatif Penjumlahan)2.A+(B+C) = (A+B)+C (H. Asosiatif Penjumlahan)3.k(A+B) = kA+kB k skalar4.(k+l)A = kA + lA k dan l skalar5.(kl)A = k(lA) k dan l skalar6.k(AB) = kA(B) = A(kB) k skalar7.A(BC) = (AB)C (H. Asosiatif Perkalian)8.A(B+C) = AB + AC(H. Distributif)9.(A+B)C = AC + BC (H. Distributif)

1. Misalkan A dan B adalah matriks-matriks 45 dan misalkan C, D, dan E berturut-turut adalah matriks-matriks: 52, 42, dan 54. Tentukanlah yang mana diantara pernyataan berikut terdefinisi dan berapakah ordo hasilnya.

2. Hitunglah a, b, c dan d jika

3. Ditentukan: dan

dengan tidak menghitung hasil keseluruhan, hitunglah:

6718

423 dacdcbba

940456723

A

577310426

B

dengan tidak menghitung hasil keseluruhan, hitunglah:

4. Misalkan Q adalah matriks nn yang elemen di dalam baris ke-i, kolom ke-j adalah 1 jika i = j, dan 0 jika i ≠ j. Perlihatkan bahwa aI = Ia = a untuk setiap matriks A nn .

5. Jika A dan B matriks-matriks persegi yang ordonya sama, apakah (A+B)2=A2+2AB+B2. Mengapa?

Definisi:Jika A suatu matriks persegi didefinisikan Ao = I (matriks Identitas) An =AA A A … A sebanyak n faktor.

Jika A suatu matriks mn maka transpose matriks A ditulis At atau A’ didefinisikan sebagai matriks nxm dengan kolom ke-i diperoleh dari baris ke-i dalam A, untuk i=1,2, …, m.

Contoh:

012354

031524

tAA

Berdasarkan pengertian transpose dapat dibuktikan sifat berikut: Jika ordo matriks-matriks berikut memenuhi syarat agar operasinya terdefinisi maka:1. (At)t = A2. (A+B)t = At + Bt

3. (kA)t = k(At)4. (AB)t = Bt . At

Contoh:

222312

232212

1053

3124

)(

1503

dan 3214

1053

dan 3124

tt

t

tt

AB

BABA

Jadi (AB)t = Bt . At

222312

3214

1503

32117

1503

3214

tt

tt

AB

BA

Matriks noladalah matriks yang semua elemennya nol.Contoh:

Matriks satuan / Identitasadalah matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya satu, sedangkan elemen lainnya nol. Matriks identitas dinyatakan dengan I.Contoh:

Matriks diagonaladalah matriks persegi yang semua elemen di luar diagonal utamanya adalah nol, sedangkan elemen diagonal utamanya tidak semua nol.Contoh:

0000

100010001

400020001

Matriks segitiga atasadalah matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utama nol, sedangkan yang lain tidak semua nol.Contoh:

Matriks segitiga bawahadalah matriks persegi yang semua elemen di atas diagonal utama nol, sedangkan yang lain tidak semua nol.Contoh:

Matriks simetriadalah matriks persegi yang berlaku A = At.Contoh:

100720531

185023001

253542321

Matriks Eselonadalah matriks yang memenuhi sifat-sifat berikut:1. Jika ada baris nol maka letaknya di bawah.2. Jika suatu baris tak nol maka elemen tak nol pertama adalah satu.

Satu ini disebut satu utama / satu pemuka / leading entry.3. Satu utama pada baris yang lebih awal terletak pada kolom yang lebih awal pula.Contoh:

Matriks Eselon Tereduksiadalah matriks eselon yang pada setiap kolom yang memuat satu utama maka elemen lainnya nol.Contoh:

100011003210

A

0000310010100321

B

0000310010100001

B

Misalkan pada suatu matriks dilakukan operasi-operasi sebagai berikut:1. Saling menukar dua baris. (misalnya menukar baris ke-i dengan baris ke-j).2. Mengalikan sutu baris dengan bilangan real tak nol. (Misalnya mengalikan

baris ke-i dengan k, k ≠ 0).3. Menambahkan suatu baris dengan kelipatan baris lain (Misalnya baris ke-i

ditambah k kali baris ke-j)Setiap operasi di atas disebut: OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE) dan

berturut-turut dinyatakan dengan:1. Rij

2. Ri(k) atau k. Ri

3. Rij(k) atau Ri + k.Rj

Contoh:

Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan satu kali atau beberap kali OBE, maka dikatakan A ekuivalen baris B di tulis A B.

Jika matriks B diperoleh dari matriks A melalui suatu OBE maka dari B dapat diperoleh kembali matriks A melalui OBE sejenis.

110

201110531

770531

312531

531312

)3(122)2(211271 RRRR

Misalkan: A Rij B B Rij AA

A Ri(k) B B Ri(1/k) AA

A Rij(k) B B Rij(-k) AA

Jika A, B, dan C tiga matriks berordo sama makaJika A, B, dan C tiga matriks berordo sama maka1.1. Jika A Jika A B maka B B maka B A (sifat simetri) A (sifat simetri)2.2. Jika A Jika A B dan B B dan B C maka A C maka A C (sifat transitif) C (sifat transitif)

Matriks elementer adalah matriks identitas yang dikenai satu kali OBE.

Jika E suatu matriks elementer berordo mm, dan A suatu matriks berordo mn maka EA hasilnya akan sama dengan matriks yang diperoleh dari A dengan melakukan operasi baris elementer yang sesuai.

010100001

100010001

233 EI

Contoh:Diketahui :

407123

714023

23RA

407123

714023

010100001

010100001

23

EA

E

Definisi:matriks persegi A disebut invers B jika AB = BA = I.A disebut invers B dan B disebut invers A. invers A di tulis A-1.

Invers matriks elementer merupakan matriks elementer juga. (Iij)-1 = Iij

(Ii(k))-1 = Ii(1/k)

(Iij(k))-1 = Iij(-k) Mengapa ???

Contoh:

100010001

100010021

100010021

100010001

010100001

010100001

100010001

010100001

)2(12)2(12

2323

23

II

EE

IE

Perhatikan sekarang dengan menggunakan

beberapa kali OBE akan kita ubah metriks tersebut menjadi matriks eseleon baris tereduksi.

4332

A

10

011011

3211

3243

4332

)1(12)2(21)1(1212 RRRR

IEEEEA

EEEEA

IEEEEAEEEEEEEE

IAEEEE

I

12)1(12)2(21)1(121

112)1(12)2(21)1(12

112)1(12)2(21)1(1212)1(12)2(21)1(12

112)1(12)2(21)1(12

12)1(12)2(21)1(12

Contoh:

2334

1001

2311

1011

0111

3211

0110

3243

1001

4332

)1(12

)2(21)1(1212

R

RRR

Banyaknya permutasi dari n elemen yang berlainan ialah n!, ditulis Pn = n!Contoh:untuk n=3, misalnya {1, 2, 3} permutasinya P3 = 3! = 321 = 6; yaitu:

(1, 2, 3)(2, 1, 3)(3, 1, 2)(1, 3, 2)(2, 3, 1)(3, 2, 1)

Suatu inversi terjadi jika dalam suatu permutasi tercatat bilangan yang lebih besar mendahului yang lebih kecil.Contoh: 1 2 3 4 5 6 inversinya 0, karena tidak ada bilangan yang lebih besar menadhului

yang lebih kecil. 1 3 2 inversinya 1; yaitu 3 mendahului 2. 6 5 4 3 2 1 inversinya 15 (selidiki sendiri!)

Permutasi genap permutasi yang banyak inversinya genap. Permutasi ganjil permutasi yang banyak inversinya ganjil.

Permutasi Banyaknya inversi Klasifikasi(1, 2, 3) 0 Genap

(1, 3, 2) 1 Ganjil

(2, 1, 3) 1 Ganjil

(2, 3, 1) 2 Genap

(3, 1, 2) 2 Genap

(3, 2, 1) 3 Ganjil

Perkalian elementer dari Ann ialah hasil kali n elemen dari A yang tidak sebaris dan tidak sekolom.Contoh:

Yaitu:

Perkalian elementer bertanda dari Ann adalah perkalian elementer dari A dikalikan (-1) berpangkat jumlah inversinya.

Contoh: di atas

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

332211 aaa 322311 aaa 332112 aaa

312312 aaa 312213 aaa 322113 aaa

332211 aaa 322311 aaa 332112 aaa

312312 aaa 312213 aaa 322113 aaa

Determinan matriks Ann ditulis det A atau |A| didefinisikan sebagai jumlah semua perkalian elementer bertanda dari A.

Contoh:

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A322311332112

312213322113312312332211

aaaaaa

aaaaaaaaaaaaA

2221

1211

aaaa

A21122211 aaaaA

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

A Dapat dihitung dengan cara sebagai berikut:

32

22

12

31

21

11

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaaaaaaaa

31

21

11

333231

232221

131211

33

23

13

aaa

aaaaaaaaa

aaa

−− −− −− ++ ++ ++ ++ ++ ++−− −− −−

Determinan yang terjadi jika baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan disebut MINOR unsur aij; ditulis Mij

Contoh:

Kofaktor elemen aij ditulis Kij=(-1)(i+j)Mij

maka K23=(-1)2+3M23 = 1

195674321

A 11099521

23 M

11099521

23 M

Determinan matrik A dapat Juga dihitung dengan :

(diuraikan atas baris ke i)

Atau(diuraikan atas kolom ke j)

MaMaMa inin

ni

ii

i

ii

i

A

)1(....)1()1(22

2

11

1

KaKaKa njnjjjjjA ....2211

Contoh :

195674321

195674321

195674321

Tuliskan sifat-sifat determinan beserta contohnya. Jangan lupa tuliskan referensi yang Anda pakai. Tugas ditulis tangan dengan rapi dalam kertas folio. Dikumpulkan satu minggu setelah tugas ini diberikan.

Jika A adalah sebarang matriks n × n maka matriks kofaktor A adalah matriks yang berbentuk

Transpose matriks kofaktor A disebut matriks adjoin A dan dinyatakan dengan adj(A)

nnnn

n

n

KKK

KKKKKK

AK

21

22221

11211

)(

nnnn

n

n

KKK

KKKKKK

Aadj

21

22212

12111

)(

Contoh:

042361123

A Carilah K(A) = …? dan adj(A) = …?

120436

11 K 4

0412

21

K 16

4223

23

K

3331

22

1312

10164

12)(

KKK

KKAK10

3113

32

K

Invers matriks A dihitung menggunakan matriks adjoint adalah sebagai berikut.

Contoh:

801352321

A ?...1 A

)1(3

)3(23

)9(13

)3(32

)2(12

)1(31

)2(21

125012025

100310

901

101012001

520310

321

100010001

801352321

RRR

RR

RR

1253513

91640

100010001

Jadi

1253513

916401A

Menggunakan Operasi Baris Elementer:

Menggunakan matriks adjoint

801352321

A

139251651340

)(AKJadi dan

125351391640

)(Aadj

1320150640015221

801352321

A

1253513

91640

125351391640

11)(11 Aadj

AA

Bentuk umum :

dimana x1, x2, . . . , xn variabel tak diketahui, aij , bi, i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui. Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel.

SPLMempunyai penyelesaiandisebut KONSISTEN

Tidak mempunyai penyelesaiandisebut TIDAK KONSISTEN

TUNGGAL

BANYAK

SPL 2 persamaan 2 variabel:

Masing-masing pers berupa garis lurus. Penyelesaiannya adalah titik potong kedua garis ini.

kedua garis sejajar kedua garis berpotongankedua garis berhimpitan

SPL BENTUK MATRIKS

STRATEGI MENYELESAIKAN SPL:mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyaipenyelesaian sama (ekuivalen) tetapi dalam bentuk yanglebih sederhana.

SPL1. Mengalikan suatu

persamaan dengan konstanta tak nol.

2. Menukar posisi dua persamaan sebarang.

3. Menambahkan kelipatan suatu

persamaan ke persamaan lainnya.

MATRIKS1. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol.

2. Menukar posisi dua baris sebarang.

3. Menambahkan kelipatan suatu

baris ke baris lainnya.

Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)

SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk seder-hana sehingga tercapai 1 elemen tak nol pada suatu baris

DIKETAHUI

kalikan pers (i) dengan (-2), kemu-dian tambahkan kepers (ii).

kalikan baris (i)dengan (-2), lalutambahkan kebaris (ii).

…………(i)…………(ii)…………(iii)

kalikan pers (i) dengan (-3), kemu-dian tambahkan kepers (iii).

kalikan baris (i)dengan (-3), lalutambahkan kebaris (iii).

kalikan pers (ii) dengan (1/2).

kalikan baris (ii)dengan (1/2).

kalikan pers (iii)dengan (-2).

kalikan brs (iii) dengan (-2).

kalikan pers (ii) dengan (1/2).

kalikan baris (ii)dengan (1/2).

kalikan pers (ii) dengan (-3), lalutambahkan ke pers(iii).

kalikan brs (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke brs (iii).

kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i).

kalikan brs (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke brs (i).

kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i).

kalikan brs (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke brs (i).

kalikan pers (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke pers (i) dan kalikan pers (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke pers (ii)

kalikan brs (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke brs (i) dan kalikan brs (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke brs (ii)

Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Terdapat kaitan menarik antara bentuk SPL dan representasimatriksnya. Metoda ini berikutnya disebut denganMETODA ELIMINASI GAUSS.

KERJAKAN EXERCISE SET 1.1

Misalkan SPL disajikan dalam bentuk matriks berikut:

maka SPL ini mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.Matriks ini disebut bentuk echelon-baris tereduksi.

Untuk dapat mencapai bentuk ini maka syaratnya adalah sbb:1. Jika suatu brs matriks tidak nol semua maka elemen tak nol pertama adalah 1. Brs ini disebut mempunyai leading

1.2. Semua brs yg terdiri dari nol semua dikumpulkan di bagian

bawah.3. Leading 1 pada baris lebih atas posisinya lebih kiri daripada

leading 1 baris berikut.4. Setiap kolom yang memuat leading 1, elemen lain semuanya

0.

Matriks yang memenuhi kondisi (1), (2), (3) disebut

bentuk echelon-baris. CONTOH bentuk echelon-baris tereduksi:

CONTOH bentuk echelon-baris:

dimana lambang ∗dapat diisi bilananga real sebarang.

dimana lambang ∗dapat diisi bilangan real sebarang.

Ide pada metoda eliminasi Gauss adalah mengubah

matriks ke dalam bentuk echelon-baris tereduksi.

CONTOH: Diberikan SPL berikut.

Bentuk matriks SPL ini adalah:

-2B1 + B2B2

5B2+B3 B3

6 18 0 8 4 0 00 0 0 0 0 0 01- 3- 0 2- 1- 0 00 0 2 0 2- 3 1B4 B4+4B2

B3 ⇄ B4 B3B3/3

-3B3+B2B2

2B2+B1B1

Akhirnya diperoleh:

Akhirnya, dengan mengambil x2:= r, x4:= s dan x5:= t maka diperolehpenyelesaian:

dimana r, s dan t bilangan real sebarang. Jadi SPL ini mempunyai takberhingga banyak penyelesaian.

Misalkan kita mempunyai SPL dalam matriks berikut:Bentuk ini ekuivalen dengan:

LANGKAH 1: selesaikan variabel leading, yaitu x6. Diperoleh:

LANGKAH 2: mulai dari baris paling bawah subtitusi ke atas, diperoleh

LANGKAH 3: subtitusi baris 2 ke dalam baris 1, diperoleh:

LANGKAH 4: Karena semua persamaan sudah tersubstitusi maka peker-jaan substitusi selesai. Akhirnya dengan mengikuti langkah pada metoda Gauss-Jordan sebelumnya diperoleh:

Mengubah menjadi bentuk echelon-baris (tidak perlu direduksi), kemudian menggunakan substitusi mundur.

CONTOH: Selesaikan dengan metoda eliminasi GaussianPENYELESAIAN: Diperhatikan bentuk matriks SPL berikut:

Dengan menggunakan OBE diperoleh bentuk echelon-baris berikut: