Definisi Basis

Jika V adalah sembarang ruang vektor dan S = { ū1, ū2,

… , ūn } merupakan himpunan berhingga dari vektor –

vektor di V, maka S dinamakan basis bagi V Jika

kedua syarat berikut dipenuhi :

• S membangun V

• S bebas linear

Contoh:

Tunjukkan bahwa himpunan 𝑆 = {𝒗𝟏, 𝒗𝟐, 𝒗𝟑} dengan

𝒗𝟏 = 1, 2, 1 , 𝒗𝟐 = (2, 9, 0) dan 𝒗𝟑 = (3, 3, 4) adalah suatu

basis untuk 𝑹𝟑.

Definsi

Suatu ruang vektor tak nol 𝑉 disebut berdimensi

terhingga jika terdiri dari himpunan terhingga vektor-

vektor { ū1, ū2, … , ūn } yang membentuk suatu basis.

Jika tidak terdapat himpunan semacam ini, 𝑉 disebut

sebagai berdimensi takterhingga. Selain itu, kita akan

menganggap vektor nol sebagai berdimensi terhingga.

Definisi Dimensi

Dimensi dari ruang vektor 𝑉 yang berdimensi terhingga,

dinotasikan dengan dim( 𝑉 ), didefinisikan sebagai

banyaknya vektor vektor pada suatu basis untuk 𝑉 .

Selain itu, kita mendefinisikan ruang vektor nol sebagai

berdimensi nol.

Contoh :

Tunjukan bahwa himpunan matriks berikut :

merupakan basis bagi matriks berukuran 2 x 2

Jawab :

Tulis kombinasi linear :

atau

1 4 1 2 3

1 2 3 4 1 3 4

3 6 8

3 12 6 4 2

k k k k k a b

k k k k k k k c d

+ − − =

− − − − − +

dengan menyamakan setiap unsur pada kedua matriks,

diperoleh SPL :

Determinan matriks koefisiennya (MK) = 48

• det(MK) 0 ➔ SPL memiliki solusi untuk setiap a,b,c,d

Jadi, M membangun 𝑀2×2

• Ketika a = 0, b = 0, c = 0, d = 0,

det(MK) 0 ➔SPL homogen punya solusi tunggal.

Jadi, M bebas linear.

Karena M bebas linear dan membangun M2 x 2maka M merupakan basis bagi M2 x 2 dan dim (M2 x 2)=4.

CATATAN:

Basis untuk setiap ruang vektor adalah tidak tunggal.

Contoh :

Untuk ruang vektor dari M2 x 2, himpunan matriks :

1 0 0 1 0 0 0 0, , ,

0 1 0 0 1 0 0 1

merupakan basisnya.

Dimensi dari Ruang solusi

Diberikan SPL homogen :

2p + q – 2r – 2s = 0

p – q + 2r – s = 0

–p + 2q – 4r + s = 0

3p – 3s = 0

Tentukan basis dan dimensi dari ruang solusi SPL diatas

Jawab :

SPL dapat ditulis dalam bentuk :2 1 2 2 0

1 1 2 1 0

1 2 4 1 0

3 0 0 3 0

− −

− − − −

−

1 0 0 1 0

0 1 2 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

−

−

1 0

0 2

0 1

1 0

p

qa b

r

s

= +

dengan melakukan OBE diperoleh :

Solusi SPL homogen tersebut adalah :

dimana a, b merupakan parameter.

Jadi, basis ruang solusi dari

SPL diatas adalah :

1 0

0 2,

0 1

1 0

Sehingga ruang solusinya

adalah berdimensi dua

Terimakasih