ALJABAR LINEAR ELEMENTER

OLEH

MELSIM IMELDA LALUS

1101031030

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS NUSA CENDANA

KUPANG

2013

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena atas berkat dan

tuntunan-Nya, penulis dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “ Aljabar Linear

Elementer” ini dengan baik. Makalah ini merupakan rangkuman dari buku “Aljabar Linear

Elementer” karya Howard Anton.

Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu

sehingga makalah ini dapat diselesaikan sesuai dengan waktunya. Makalah ini masih jauh

dari sempurna. Oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat

membangun demi kesempurnaan makalah ini.

Semoga makalah ini memberikan informasi bagi masyarakat dan bermanfaat untuk

pengembangan ilmu pengetahuan bagi kita semua.

Kupang, 19 Mei 2013

Penulis

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ..................................................................................

DAFTAR ISI...............................................................................................

BAB I – PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG ..................................................................................

1.2 TUJUAN .....................................................................................................

1.3 METODE PENULISAN ...................................................................

BAB II – SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS

2.1 SISTEM PERSAMAAN LINEAR ..............................................................

2.2 ELIMINASI GAUSS ..................................................................................

2.3 SISTEM PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN..........................................

2.4 MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS ......................................................

2.5 ATURAN-ATURAN ILMU HITUNG MATRIKS .....................................

2.6 MATRIKS ELEMENTER DAN METODE UNTUK MENCARI A-1

..........

2.7 HASIL SELANJUTNYA MENGENAI SISTEM PERSAMAAN DAN

KETERBALIKAN .....................................................................................

BAB III – DETERMINAN

3.1 FUNGSI DETERMINAN ...........................................................................

3.2 MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN REDUKSI BARIS ................

3.3 SIFAT-SIFAT FUNGSI DETERMINAN ....................................................

3.4 EKSPANSI KOFAKTOR; ATURAN CRAMER ........................................

BAB VI – PENUTUP ..............................................................................

DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Banyak orang yang beranggapan bahwa Matematika itu rumit, karena alasan itulah

banyak orang yang menghindari Matematika. Padahal Matematika dapat kita jumpai di dalam

kehidupan sehari-hari, dan mau tidak mau kita pasti menggunakan Matematika. Oleh karena

itu kami membuat makalah ini dengan maksud membantu pemahaman masyarakat agar

mereka tidak menilai Matematika adalah sesuatu yang buruk.

1.2 TUJUAN

Makalah ini dibuat dengan tujuan sebagai sumber informasi yang diharapkan dapat

bermanfaat dan dapat menambah wawasan para pembaca makalah ini.

1.3 METODE PENULISAN

Penulis menggunakan metode observasi dan kepusatakaan. Cara yang digunakan dalam

penulisan adalah Studi pustaka. Dalam metode ini penulis membaca buku-buku yang

berkaitan dengan penulisan makalah ini, selain itu penulis juga mencari sumber-sumber dari

internet.

BAB II

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS

2.1 SISTEM PERSAMAAN LINIER

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...

...

2211

22222121

11212111

SPL mempunyai m persamaan dan n variable.

Matriks yang diperbesar (augmented matrix)

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

21

222221

111211

...

...

Contoh :

543

432

21

21

xx

xx

Solusi ( Pemecahan ) SPL, di bagi menjadi 2, yaitu :

1. Konsisten

Solusi Tunggal

Solusi Banyak

2. Tidak Konsisten

Definisi : Suatu sistem yang memiliki m persamaan dan n variabel.

( Bilangan yang tidak diketahui ).

Contoh : Solusi Tunggal

Contoh : Solusi Banyak

g1 = 2x - 3y = 6

g2 = 2x – 3y =6

m < n

Contoh : Tidak Konsisten

0 = Konstanta

2.2 ELIMINASI GAUSS

Pada bagian ini kita akan memberikan prosedur yang sistematik untuk memecahkan

sistem-sistem persamaan linear; prosedur tersebut didasarkan kepada gagasan untuk

mereduksi matriks yang diperbesar menjadi bentuk yang cukup sederhana sehingga sistem

persamaan tersebut dapat dipecahkan dengan memeriksa sistem tersebut.

Matriks di atas adalah contoh matriks yang dinyatakan dalam bentuk eselon baris

terreduksi (reduced row-echelon form). Supaya berbentuk seperti ini, maka matriks tersebut

harus mempunyai sifat-sifat berikut.

1. Jika baris tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka bilangan taknol pertama dalam baris

tersebut adalah 1. (Kita namakan 1 utama).

2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka semua baris seperti itu

dikelompokkan bersama-sama di bawah matriks.

3. Dalam sebarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari nol, maka

1 utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan dari 1 utama

dalam baris yang lebih tinggi.

4. Masing-masing kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol di tempat lain.

Matriks yang memiliki sifat-sifar 1,2 dan 3 dapat dikatakan dalam bentuk eselon baris

(row-echelon form).

Berikut ini adalah beberapa contoh matriks dalam bentuk seselon baris terreduksi.

Matriks-matriks berikut adalah matriks dalam bentuk eselon baris.

Prosedur untuk meredusi matriks menjadi bentuk eselon baris terreduksi dinamakan

eliminasi Gauss-Jordan, sedangkan untuk mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris

dinamakan eliminasi Gauss.

Contoh 1:

Pecahkanlah dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan.

x1 + 3x2 – 2x3 + 2x5 = 0

2x1 + 6x2 – 5x3 – 2x4 + 4x5 – 3x6 = –1

5x3 + 10x4 + 15x6 = 5

2x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6 = 6

Tidak sukar untuk memantau apabila matriks dalam bentuk eselon baris harus mempunyai

nol di bawah setiap 1 utama. Bertentangan dengan hal ini, matriks dalam bentuk eselon

baris terreduksi harus mempunyai nol di atas dan di bawah masing-masing 1 utama.

Maka matriks yang diperbesar dari sistem tersebut adalah

Dengan menambahkan -2 kali baris pertama pada baris kedua dan keempat maka akan

mendapatkan

Dengan mengalikan dengan -1 dan kemudian menambahkan -5 kali baris kedua kepada baris

ketiga dan -4 kali baris kedua kepada baris keempat maka akan memberikan

Dengan mempertukarkan baris ketiga dengan baris keempat dan kemudian mengalikan baris

ketiga dari matriks yang dihasilkan dengan 1/6 maka akan memberikan bentuk eselon baris

Dengan menambahkan -3 kali baris ketiga pada baris kedua dan kemudian menambahkan 2

kali baris kedua dari matriks yang dihasilkan pada baris pertama maka akan menghasilkan

bentuk eselon baris terreduksi

Sistem persamaan-persamaan yang bersesuaian adalah

x1 + 3x2 + 4x4 + 2x5 = 0

x3 + 2x4 = 0

x6 =

Dengan memecahkannya untuk peubah peubah utama, maka kita dapatkan

x1 = – 3x2 – 4x4 – 2x5

x3 = – 2x4

x6 =

Jika kita menetapkan nilai-nilai sebarang r, s, dan t berurutan untuk x2, x4, dan x5, maka

himpunan pemecahan tersebut diberikan oleh rumus-rumus

x1 = – 3r – 4s – 2t , x2 = r , x3 = – 2s , x4 = s , x5 = t , x6 =

Terkadang lebih mudah memecahkan sistem persamaan linear dengan menggunakan

eliminasi Gauss untuk mengubah matriks yang diperbesar menjadi ke dalam bentuk eselon

baris tanpa meneruskannya ke bentuk eselon baris terreduksi. Bila hal ini dilakukan, maka

sistem persamaan-persamaan yang bersesuaian dapat dipecahkan dengan sebuah cara yang

dinamakan substitusi balik (back-substitution). Kita akan melukiskan metode ini dengan

menggunakan sistem persamaan-persamaan pada contoh 1.

Dari perhitungan dalam contoh 1, bentuk eselon baris dari matriks yang diperbesar tersebut

adalah

Untuk memecahkan sistem persamaan-persamaan yang bersesuaian

x1 + 3x2 – 2x3 + 2x5 = 0

x3 + 2x4 + 3x6 = 1

x6 =

maka kita memprosesnya sebagai berikut :

Langkah 1.

Pecahkanlah persamaan-persamaan tersebut untuk peubah-peubah utama.

x1 = – 3x2 + 2x3 – 2x5

x3 = 1 – 2x4 – 3x6

x6 =

Dengan mensubstitusikan x6 =

ke dalam persamaan kedua maka akan menghasilkan

x1 = – 3x2 + 2x3 – 2x5

x3 = – 2x4

x6 =

Dengan mensubstitusikan x3 = – 2x4 ke dalam persamaan pertama maka akan menghasilkan

x1 = – 3x2 – 4x4 – 2x5

x3 = – 2x4

x6 =

Jika kita menetapkan nilai-nilai sebarang r, s, dan t berurutan untuk x2, x4, dan x5, maka

himpunan pemecahan tersebut diberikan oleh rumus-rumus

x1 = – 3r – 4s – 2t , x2 = r , x3 = – 2s , x4 = s , x5 = t , x6 =

Ini sesuai dengan pemecahan yang diperoleh pada contoh 1.

2.3 SISTEM PERSAMAAN LINIER HOMOGEN

Sebuah sistem persamaan-persamaan linier dikatakan homogen jika semua suku

konstan sama dengan nol; yakni sistem tersebut mempunyai bentuk

Langkah 2.

Mulailah dengan persamaan bawah dan bekerjalah ke arah atas, substitusikan secara

keseluruhan masing-masing persamaan ke dalam semua persamaan yang di atasnya.

Langkah 3.

Tetapkanlah nilai-nilai sebarang pada setiap peubah tak utama.

a11x1 + a12x2 + ……+ a1nxn = 0

a21x2 + a22x2 + ……+ a2nxn = 0

: : : :

am1x1 + am2x2 + ……+ amnxn = 0

Tiap-tiap sistem persamaan linier homogen adalah sistem yang konsisten, karena x1 =

0, x2 = 0,….., xn = 0 selalu merupakan pemecahan. Pemecahan terebut, dinamakan

pemecahan trivial (trivial solution); jika ada pemecahan lain, maka pemecahan tersebut

dinamakan pemecahan taktrivial (nontrivial solution).

Karena sistem persamaan linier homogen harus konsisten, maka terdapat satu

pemecahan atau tak terhingga banyaknya pemecahan. Karena salah satu di antara pemecahan

ini adalah pemecahan trivial, maka kita dapat membuat pernyataan berikut.

Untuk sistem persamaan-persamaan linier homogeny, maka persis salah satu di antara

pernyataan berikut benar.

1. Sistem tersebut hanya mempunyai pemecahan trivial.

2. Sistem tersebut mempunyai tak terhingga banyaknya pemecahan tak trivial

sebagai tambahan terhadap pemecahan trivial tersebut.

Terdapat satu kasus yang sistem homogennya dipastikan mempunyai pemecahan tak

trivial ; yakni, jika sistem tersebut melibatkan lebih banyak bilangan tak diketahui dari

banyaknya persamaan. Untuk melihat mengapa hanya demikian, tinjaulah contoh berikut dari

empat persamaan dengan lima bilangan tak diketahui.

Contoh :

Pecahkanlah sistem persamaan-persamaan linier homogeny berikut dengan

menggunakan eliminasi Gauss-Jordan.

2X + 2X2 – X3 + X5 = 0

-X1 – X2 + 2X3 – X4 + X5 = 0

X1 + X2 – 2X3 - 5X5 = 0

X3 + X4 + X5 = 0

Matriks yang diperbesar untuk sistem tersebut adalah

Dengan mereduksi matriks ii menjadi bentuk eselon baris tereduksi, maka kita dapatkan

Sistem persamaan yang bersesuaian adalah

X1 + X2 + X5 = 0

X3 + X5 = 0

X4 = 0

Dengan memecahkannya untuk peubah-peubah utama maka akan menghasilkan

X1 = -X2 – X5

X3 = -X5

X4 = 0

Maka himpunan pemecahan akan di berikan oleh

X1 = -s – t, X2 = s, X3 = -t , X4 = 0, X5 = t

Perhatikan bahwa pemecahan trivial kita dapatkan bila s = t = 0.

2.4 MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS

Matriks

Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan

dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks.

A =

Operasi Matriks

1. Penjumlahan :

Definisi : jika A dan B adalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka

jumlah A + B adalah matriks yang di peroleh dengan menambahkan bersama-sama

entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ukurannya

berbeda tidak dapat di tambahkan.

A =

, B =

A + B =

+

=

Contoh : A =

, B =

, C =

A + B =

Sedangkan A + C dan B + C tidak di definisikan.

2. Perkalian dengan konstanta

Definisi : Jka A adalah suatu matriks dan c adalah scalar, maka hasil kali cA adalah

matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing=masing entri dari A oleh c.

c

=

Contoh : A =

, maka 2A =

3. Perkalian, dengan syarat Am x n Bn x o = Cm x o

Definisi : Jika A adalah matriks m x r dan B matriks r x n, maka hasil kali AB adalah

matriks m x n yang entri- entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri

dalam baris I dan kolom j dari AB, pilihlah baris i dari matriks A dan kolom j dari

matriks B. Kalikanlah entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut

bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan.

A =

, B =

AB =

=

Contoh : A =

, B =

AB =

Transpose

Definisi : Jika A adalah sebarang matriks m x n, maka Transpos A dinyatakan oleh At

dan didefinisikan dengan matriks n x m yang kolom pertmanya adalah baris pertama dari A,

kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juaga dengan kolom ketiga adalah baris

ketiga dari A, dan seterusnya.

A =

At =

Contoh : A =

At =

2.5 ATURAN-ATURAN ILMU HITUNG MATRIKS

Walaupun banyak dari aturan-aturan ilmu hitung bilangan riil berlaku juga untuk

matriks, namun terdapat beberapa pengecualian. Salah satu dari pengecualian yang terpenting

terjadi dalam perkalian matriks. Untuk bilangan-bilangan rill a dan b, kita selalu mempunyai

ab = bayang sering dinamakan hukum komutatif untuk perkalian. Akan tetapi, untuk matriks-

matriks, maka AB dan BA tidak perlu sama.

Contoh

Tinjaulah matriks-matriks

Dengan mengalikannya maka akan memberikan

32

01A

03

21B

411

21AB

03

63BA

Teorema 2. Dengan menganggap bahwa ukuran-ukuran matriks adalah sedemikian

sehingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat diperagakan, maka aturan-aturan

ilmu hitung matriks berikut akan shahih.

(a) A + B = B + A (Hukum komutatif untuk penambahan)

(b) A + (B + C) = (A + B) + C (Hukum asosiatif untuk penambahan)

(c) A(BC) = (AB)C (Hukum asosiatif untuk perkalian)

(d) A(B + C) = AB + AC (Hukum distributif)

(e) (B + C)A = BA + CA (Hukum distributif)

(f) A(B - C) = AB – AC

(g) (B - C)A = BA – CA

(h) a(B + C) = aB+ aC

(i) a(B - C) = aB – aC

(j) (a + b)C = aC + bC

(k) (a - b)C = aC – bC

(l) (ab)C = a(bC)

(m) a(BC) = (aB)C = B(aC)

Jadi, AB ≠ BA

Contoh

Sebagai gambaran hukum asosiatif untuk perkalian matriks, tinjaulah

Kemudian

Sehingga

Sebaliknya

Maka

Jadi, (AB)C = A(BC), seperti yang dijamin oleh Teorema 2(c).

10

43

21

A

12

34B

32

01C

10

43

21

AB

12

34

12

1320

58

)( CAB

32

01

34

3946

1518

12

34BC

32

01

34

910

10

43

21

)(BCA

34

910

34

3946

1518

Teorema 3. Dengan menganggap bahwa ukuran-ukuran matriks adalah

sedemikian rupa sehingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat dikabulkan,

maka aturan-aturan ilmu hitung matriks yang berikut akan shahih.

(a) A + 0 = 0 + A = A

(b) A – A = 0

(c) 0 – A = -A

(d) A0 = 0; 0A = 0

Teorema 4. Setiap sistem persamaan linear tidak mempunyai pemecahan, persis

satu pemecahan, atau tak terhingga banyaknya pemecahan.

12

1320

58

Bukti. Jika AX = B adalah sistem persamaan linear, maka persis satu dari antara berikut akan

benar: (a) sistem tersebut tidak mempunyai pemecahan, (b) sistem tersebut mempunyai persis

satu pemecahan, atau (c) sistem tersebut mempunyai lebih dari satu pemecahan. Bukti

tersebut akan lengkap jika kita dapat memperlihatkan bahwa sistem tersebut mempunyai

takhingga banyaknya pemecahan dalam kasus (c).

Contoh

Tinjaulah matriks

Maka

Dan

Contoh

Matriks

adalah invers dari

karena

dan

322212

312111

aaa

aaaA

10

012 AI

322212

312111

aaa

aaaA

aaa

aaa

322212

312111

322212

312111

3aaa

aaaAI

100

010

001

Aaaa

aaa

322212

312111

Definisi. Jika A adalah matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B

sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B

dinamakan invers (inverse) dari A.

21

53B

31

52A

31

52AB

21

53I

10

01

21

53BA

31

52I

10

01

Teorema 5. Jika baik B maupun C adalah invers matriks A, maka B = C

Bukti. Karena B adalah invers A, maka BA = I. Dengan mengalikan kedua ruas dari sebelah

kanan dengan C maka akan memberikan (BA)C = IC = I. Tetapi (BA)C = B(AC) = BI = B,

sehingga B = C.

Contoh

Tinjaulah matriks 2x2

Jika ad – bc ≠ 0, maka

Bukti. Jika kita dapat memperlihatkan bahwa (AB)(A1

B1

) = (B1

A1

)(AB)=I, maka kita

telah secara serempak membuktikan bahwa AB dapat dibalik dan bahwa (AB) 1

= B1

A1

.

Tetapi (AB)(B1A

1) = AIA

1 = AA

1 = I. Demikian juga (B

1A

1)(AB) = I.

Contoh

Tinjaulah matriks-matriks

Dengan menerapkan rumus yang diberikan dalam contoh 25, kita dapatkan

Maka, (AB)-1

= B-1

A -1

seperti yang dijamin oleh Teorema 6.

dc

baA

ac

bd

bcadA

11

bcad

a

bcad

cbcad

b

bcad

d

Teorema 6. Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan yang

ukurannya sama, maka

(a) AB dapat dibalik

(b) (AB)1 = B

1A

1

Sebuah hasil kali matriks yang dapat dibalik selalu dapat dibalik, dan invers hasil

kali tersebut adalah hasil kali invers dalam urutan yang terbalik

31

21A

22

23B

89

67AB

11

231A

2

31

111B

2

7

2

9

341AB

Teorema berikut, yang kita nyatakan tanpa bukti, menunjukkan bahwa hukum-hukum yang

sudah dikenal dari eksponen adalah sah.

Teorema selanjutnya menetapkan beberapa sifat tambahan yang berguna dari eksponen

matriks tersebut.

Bukti.

a. Karena AA-1

= A-1

A = I, maka A-1

dapat dibalik dan (A-1

)-1

= A.

b. –

c. Jika k adalah sebarang scalar yang taksama dengan nol, maka hasil (l) dan (m) dari

Teorema 2 akan memungkinkan kita untuk menuliskan

(kA)

11A

k= IIAAk

kAkA

k

1

11 11

Demikian juga

11A

k(kA) = I sehingga kA dapat dibalik dan (kA)

-1 = 11 A

k.

Definisi. Jika A adalah sebuah matriks kuadrat, maka kita mendefinisikan

pangkat-pangkat bilangan bulat tak negative A menjadi

A0 = 1 A

n = AA….A (n > 0)

Akan tetapi, jika A dapat dibalik, maka kita mendefinisikan pangkat bilangan

bulat negative menjadi

A-1

= (A-1

)n = A

-1 A

-1 ….. A

-1

Factor n

Factor n

Teorema 7. Jika A adalah matriks kuadrat dan r serta s adalah bilangan bulat, maka

Ar A

s = A

r+s (A

r)

s = A

rs

Teorema 8. Jika A adalah sebuah matriks yang dapat dibalik, maka:

a) A-1

dapat dibalik dan (A-1

)-1

= A

b) An dapat dibalik dan (A

n)

-1 = (A

-1)

n untuk n = 0,1,2,…..

c) Untuk setiap skalar k yang taksama dengan nol, maka kA dapat dibalik

dan (kA)-1

= k

1 A

-1

Kita simpulkan bagian ini dengan sebuah Teorema yang menyenaraikan sifat-sifat utama dari

operasi transpose.

2.6 MATRIKS ELEMENTER DAN METODE UNTUK MENCARI A-1

Dibawah ini kita daftarkan matriks elementer dan operasi-operasi yang menghasilkannya.

(i)

30

01 (ii)

0010

0100

1000

0001

(iii)

100

010

301

(iv)

100

010

001

Operasi baris pada I yang menghasilkan E Operasi baris pada E yang menghasilkan I

Kalikanlah baris I dengan c ≠ 0. Kalikanlah baris I dengan

Pertukarkan baris I dan baris j. Pertukarkan baris i dan baris j.

Tambahkan c kali baris I ke baris j. Tambahkan – c kali baris i ke baris j.

Operasi-operasi d ruas kanan dari tabel ini dinamakan operasi invers dari operasi-operasi

yang bersesuaian di ruas kiri.

Teorema 9. Jika ukuran matriks seperti operasi yang diberikan dapat

dilakukan, maka

a. (At)

t = A

b. (A+B)t = A

t + B

t

c. (kA)t = kA

t , dimana k adalah sebarang scalar.

d. (AB)t = B

t A

t

Transpose sebuah hasil kali matriks sama dengan hasil kali transposnya

dalam urutan kebalikannya.

Ketika baris

kedua I2

dengan -3

Pertukarkan baris

kedua dan baris

keempat dari I4

Tambahkan tiga kali

baris ketiga dari I3

pada baris pertama

Kalikan baris

pertama dari I3

dengan I

Teorema 10 : Jika matriks elementer E dihasilkan dengan melakukan sebuah operasi

baris tertentu pada Im dan jika A adalah matriks m x n, maka hasil kali EA adalah

matriks yang dihasilkan bila operasi baris yang sama ini dilakukan pada A.

Bukti. Jika E adalah matriks elementer, maka E dihasilkan dari peragaan operasi baris pada I.

Misalnya Eo adalah matriks yang dihasilkan bila invers operasi ini diterapkan pada I. Baris

invers akan saling meniadakan efek satu sama lain, maka diperoleh

EoE = I dan EEo = I

Jadi, matriks elementer Eo adalah invers dari E.

A I = I A-1

Contoh :

A =

814

312

201

A-1

= . . . ?

Jawab :

A I =

=

=

=

=

I A-1

Teorema 11 : Setiap matriks elementer dapat dibalik, dan inversnya adalah juga

matriks elementer.

Baris ke 2 dikurang 2 kali baris pertama dan baris ke

3 dikurang 4 kali baris pertama untuk mendapatkan

nol.

Baris ke 2 ditukar baris

ke3.

Baris ke 3 dikalikan – baris ke 3, untuk

mendapatkan 1 utama.

Baris ke 3 dikurangi baris ke 2 untuk

mendapatkan nol.

2.7 HASIL SELANJUTNYA MENGENAI SISTEM PERSAMAN DAN

KETERBALIKAN

AX = B → X =

→ I . B = B

A . = B

A . X = B

X = A-1

. B

X . A = B

X . . . ?

Jawab:

B . I = B

. A = B

X . A = B

X = B . A-1

Teorema 13 : Jika A adalah matriks n x n yang dapat dibalik,maka untuk setiap matriks B

yang berukuran n x 1, sistem persamaan AX = B mempunyai persis satu pecahan, yakni, X

= A-1

B.

BAB III

DETERMINAN

3.1 FUNGSI DETERMINAN

Dalam bagian ini kita memulai pengkajian fungsi bernilai rill dari sebuah peubah

matriks, yakni fungsi yang mengasosiasikan sebuah bilangan riil dengan sebuah matriks

. Sebelum kita mampu mendefinisikan fungsi determinan, maka kita perlu menetapkan

beberapa hasil yang menyangkut permutasi.

Contoh :

Ada enam permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan-bilangan bulat .

Permutasi-permutasi ini adalah

(1, 2, 3) (2, 1, 3) (3, 1, 2)

(1, 3, 2) (2, 3, 1) (3, 2, 1)

Salah satu metode yang mudah secara sistematis mendaftarkan permutasi-permutasi

adalah dengan menggunakan pohon permutasi (permutation tree).

Contoh :

Untuk menyatakan permutasi umum dari himpunan , maka kita akan

menuliskan . Disini, adalah bilangan bulat pertama dalam permutasian,

adalah bilangan bulat kedua, dan seterusnya. Sebuah invers (inversion) dikatakan terjadi

dalam permutasi jika sebuah bilangan bulat yang lebih besar mendahului sebuah

Definisi : Permutasi bilangan-bilangan bulat adalah susunan bilangan-

bilangan bulat ini menurut suatu aturan tanpa menghasilkan atau mengulangi

bilangan-bilangan tersebut.

1

2 3

3 2

2

1 3

3 1

3

1 2

2 1

bilangan bulat yang lebih kecil. Jumlah invers seluruhnya yang terjadi dalam permutasi dapat

diperoleh sebagai berikut:

1) Carilah banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil dari dan yang membawa

dalam mutasi tersebut.

2) Carilah banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil dari dan yang membawa

dalam mutasi tersebut.

Teruskanlah proses penghitungan ini untuk . Jumlah bilangan-bilangan ini

akan sama dengan jumlah invers seluruhnya dalam permutasi tersebut.

Contoh :

Tentukanlah banyaknya invers dalam permutasi-permutasi berikut

a) (3, 4, 1, 5, 2)

b) (4, 2, 5, 3, 1)

Jawab:

a) Banyaknya invers adalah 2 + 2 + 0 + 1 = 5

b) Banyaknya invers adalah 3 + 1 + 2 + 1 = 7

Contoh :

Tabel berikut mengklasifikasikan berbagai permutasi dari sebagai genap atau ganjil.

Permutasi Banyaknya

Invers Klasifikasi

(1, 2, 3) 0 Genap

(1, 3, 2) 1 Ganjil

(2, 1, 3) 1 Ganjil

(2, 3, 1) 2 Genap

(3, 1, 2) 2 Genap

(3, 2, 1) 3 Ganjil

Definisi : sebuah permutasi dinamakan genap (even) jika jumlah invers seluruhnya

adalah sebuah bilangan bulat yang genap dan dinamakan ganjil (odd) jika jumlah

invers seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yang ganjil.

Fungsi Determinan

Definisi : misalkan A adalah matriks kuadrat. Fungsi determinan dinyatakan oleh det,

dan kita definiskan det(A) sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari A jumlah

det(A) kita namakan determinan A.

Contoh 5

det

=

det

=

Caranya sebagai berikut :

Dengan mengalikan entri-entri pada panah yang mengarah ke kanan dan mengurangkan hasil

kali entri-entri pada panah yang mengarah ke kiri.

Contoh 6

Hitunglah determinan-determinan dari :

A. =

B. =

Dengan menggunakan cara dari contoh 5 maka :

det(A) = (3)(-2) – (1)(4) = -10

dengan mnggunakan cara dari contoh 5 maka :

det(A) = (45) + (84) + (96) – (105) – (-48) – (-72) = 240

*Perhatian bahwa metode/cara yang digunakan pada contoh 5 dan 6 tidak berlaku

determinan matriks 4 x 4 atau untuk matriks yang lebih tinggi.

3.2 MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN REDUKSI BARIS

Matriks kuadrat kita namakan segitiga atas (upper triangular) jika semua entri di

bawah diagonal utama adalah nol. Begitu juga matriks kuadrat kita namakan segitiga bawah

(lower triangular), jika semua entri di atas diagonal utama adalah nol. Sebuah matriks baik

yang merupakan segitiga atas maupun segitiga bawah kita namakan segitiga (triangular).

Contoh:

Sebuah matriks segitiga atas 4 4 yang umum mempunyai bentuk

Sebuah matriks segitiga bawah 4 4 yang umum mempunyai bentuk

Contoh:

= 1 . 1 . 7 = 7

Teorema 1 : jika A adalah sembarang matriks kuadrat yang mengandung sebaris

bilangan nol, maka det (A) = 0

Teorema 2 : jika A adalah matriks segitiga , maka det (A) adalah hasil kali

entri-entri pada diagonal utama; yakni det (A) = .

Teorema 3: Misalkan A adalah sembarang matriks .

a) Jika adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan oleh konstanta k,

maka det = k det(A).

b) Jika adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris A dipertukarkan, maka det = -

det(A).

c) Jika adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan satu baris A ditambahkan pada baris

lain, maka det = det(A).

Contoh :

A =

= - 2

=

= 4

= 4 . (-2)

= -8

=

=

= - (-2)

= 2

=

=

= -2

Contoh :

A =

Det (A) =

Kita tidak memerlukan reduksi selanjutnya karena dari Teorema 1 kita peroleh bahwa

det (A) = 0. Dari contoh ini seharusnya sudah jelas bahwa bila matriks kuadrat mempunyai

dua baris yang terdiri dari bilangan nol dengan menambahkan kelipatan yang sesuai dari

salah satu baris ini pada baris yang satu lagi. Jadi, jika matriks kuadrat mempunyai dua

baris yang sebanding, maka determinannya sama dengan nol.

¼ Karena operasi perkalian maka

kebalikannya dikali

ditukar

Karena pertukaran antar baris

maka dikali .

Karena pertambahan antar baris

maka tidak berpengaruh.

Contoh :

Karena baris pertama dan kedua sebanding yaitu 1 : 2 maka det (A) = 0.

3.3 SIFAT-SIFAT FUNGSI DETEREMINAN

Pernyataan. Karena hasil ini, maka hampir tiap-tiap teorema mengenai determinan yang

mengandung perkataan baris dalam pernyataannya akan benar juga bila perkataan “kolom”

disubstitusikan untuk “baris”. Untuk membuktikan pernyataan kolom, kita hanya perlu

mentranspos (memindahkan) matriks yang di tinjau untuk mengubah pernyataan kolom

tersebut pada pernyataan baris, dan kemudian menerapkan hasil yang bersesuaian yang sudah

kita ketahui untuk baris.

Contoh

Hitunglah determinan dari

A =

Determinan ini dapat di hitung seperti sebelumunya dengan menggunakan operasi baris

elementer untuk mereduksi A pada bentuk eelon baris. Sebaliknya, kita dapat menaruh A

pada bentuk segitiga bawah dalam satu langkah dengan menambahkan -3 kali kolom pertama

pada kolom keempat untuk mendapatkan

Det (A) = det

=(1)(7)(3)(-26)= -546

Contoh ini menunjukkan bahwa selalu merupakan hal yang bijaksana untuk memperhatikan

operasi kolom yang tepat yang akan meringkaskan perhitungan tersebut.

Misalkan A dan B adalah matriks-matriks n x n dan k adalah sebarang skalar. Kita karang

meninjau hubungan yang mungkin di antara det(A), det(B), dan

det(kA), det(A + B), dan det(AB)

Teorema 4. Jika A adalah sembarang matiks kuadrat, maka det (A) =det (At).

karena sebuah faktor bersama dari sebarang baris matriks dapat dipindahkan melalui tanda

det, dan karena setiap baris n baris dalam kA mempunyai factor bersama sebesr k, maka kita

dapatkan

det(kA) = kn det(A)

Contoh

Dengan menghitung determinan, anda dapat memeriksa bahwa

det

)1(71401

302

571

=

741

302

571

det +

110

302

571

det

Contoh

Tinjaulah matriks-matriks

12

13A

85

31B

143

172AB

Kita peroleh det(A) det(B) = (1) (-23) = -23. Sebaliknya dengan perhitungan langsung maka

det(AB) = -23, sehingga det(AB) = det(A) det(B).

Contoh

Karena baris pertama dan baris ketiga dari

Teorema 5. Misalkan A, A’, dan A” adalah matiks n x n yang hanya berbeda dalam

garis tunggal, katakanlah baris ke r, dan anggaplah bahwa baris ke r dari A” dapat

diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam baris ke r dari A

dan dalam baris ke r dari A’. Maka

det(A”) = det (A) + det (A’)

Hasil yang serupa berlaku untuk kolom-kolom itu.

Teorema 6. Jika A dan B adalah matriks kuadrat yang ukurannya sama, maka

det(AB) = det(A)det(B)

Teorema 7. Sebuah matriks A kuadrat dapat di balik jika dan hanya jika det(A) 0

642

101

321

A

Sebanding, maka det(A) = 0, jadi A tidak dapat dibalik

3.4 EKSPANSI KOFAKTOR; ATURAN CRAMER

Pada bagian ini kita meninjau sebuah metode untuk mengitung determinan yang

berguna untuk perhitungan yang menggunakan tangan dan secara teoritis penting

penggunaannya. Sebagai konsekuensi dari kerja kita di sini, kita akan mendapatkan rumus

untuk invers dari matriks yang dapat dibalik dan juga akan mendapatkan rumus untuk

pemecahan sistem-sistem persamaan linear tertentu yang dinyatakan dalam determinan.

Contoh :

Misalkan

Minor entri a11 adalah

Kofaktor a11 adalah

C11 = (-1)1 + 1

M11 = M11 = 16

Demikian juga, minor entri a32 adalah

Kofaktor a32 adalah

Definisi : Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor entri aij dinyatakan oleh Mij dan

didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah baris ke i dan kolom ke j

dicoret dari A. Bilangan (-1)i + jMij dinyatakan oleh Cij dan dinamakan kofaktor entri aij.

C32 = (-1)3 + 2

M32 = M32 = – 26

Perhatikan bahwa kofaktor dan minor elemen aij hanya berbeda dalam tandanya, yakni, Cij =

± Mij. Cara cepat untuk menentukan apakah penggunaan tanda + atau tanda – merupakan

kenyataan bahwa penggunaan tanda yang menghubungkan Cij dan Mij berada dalam baris ke i

dan kolom ke j dari susunan

Misalnya, C11 = M11, C21 = – M21, C12 = – M12, C22 = M22, dan seterusnya.

Tinjaulah matriks 3 x 3 umum

dapat kita tuliskan kembali menjadi

Karena pernyataan-pernyataan dalam kurung tidak lain adalah kofaktor-kofaktor C11, C21 dan

C31, maka kita peroleh

Persamaan di atas memperlihatkan bahwa determinan A dapat dihitung dengan mengalikan

entri-entri pada kolom pertama A dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil

kalinya. Metode menghitung det(A) ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom

pertama A.

Contoh :

Hitunglah det(A) dengan metode ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama A.

Pemecahan.

Perhatikan bahwa dalam setiap persamaan semua entri dan kofaktor berasal dari baris atau

kolom yang sama. Persamaan ini dinamakan ekspansi-ekspansi kofaktor det(A).

Hasil-hasil yang baru saja kita berikan untuk matriks 3 x 3 membentuk kasus khusus dari

teorema umum berikut, yang kita nyatakan tanpa memberikan buktinya.

Maka, ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke j

dan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke i

Jika matriks A adalah sebarang matriks n x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka matriks

Teorema 8.

Determinan matriks A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri

dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil

kali yang dihasilkan; yakni untuk setiap 1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ n

Dinamakan matriks kofaktor A. Transpos matriks ini dinamakan adjoin A dan dinyatakan

dengan adj(A).

Teorema 9.

Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka

Teorema 10 (Aturan Cramer)

Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linear dalam n bilangan

takdiketahui sehingga det(A) ≠ 0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yan unik.

Pemecahan ini adalah

dimana Aj adalah matriks yang kita dapatkan dengan mengganti entri-entri dalam kolom ke j

dari A dengan entri-entri dalam matriks

BAB III

PENUTUP

Saran

Alangkah baiknya kita mengenal Matematika dulu sebelum kita menganggap Matematika itu

sulit, karena bila kita telah mengenal Matematika dengan baik dan menikmati bagaimana Matematika

itu bekerja akan terasa bahwa Matematika itu tidaklah seburuk apa yang kita pikirkan.

DAFTAR PUSTAKA

Anton Howard. 1991. Aljabar Linear Elementer. Jakarta: Erlangga.

www.google.com

www.wikipedia.com