Gbrp Aljabar Linear 2012

A. GBRP ALJABAR LINEAR 2012

GBRP Matakuliah : Aljabar Linear,Kode MK/SKS : 204H1103/3SKS,Semester : Awal (Tahun II)Prasyarat : Matematika Dasar IIKompetensi Utama : Setelah menyelesaikan kuliah ini, mahasiswa diharapkan mampu menerapkan prinsip-prinsip

deduksi matematis (cf. elemen kompetensi a) dilengkapi dengan kemampuan simbolik dan abstraksi (cf. elemen kompetensi c) dalam proses analisis dan sintesis (cf. elemen kompetensi e dan f) terhadap berbagai masalah baku (standard problem-solvings) yang bisa diselesaikan dengan menggunakan Aljabar Linear.

Kompetensi Pendukung : Setelah menyelesaikan matakuliah ini, mahasiswa diharapkan dapat melakukan komputasi matriks dan Aljabar Linear dengan menggunakan paket-paket komputasi dalam MAPLE, MATLAB, dsb.

Minggu ke :

Sasaran Pembelajaran Materi PembelajaranStrategi

PembelajaranIndikator Penilaian

Bobot Nilai (%)

1 2 3 4 5 6

1 Mhs memahami hak dan tugas/kewajiban serta sistem pembelajaran, termasuk sistem penilaian melalui Kontrak Pembelajaran. Mhs bisa menulis matriks secara simbolik (notasi singkat) dan secara lengkap, bisa mencari balikan matriks serta bisa menghitung determinan matriks persegi.

Kontrak Pembelajaran. Pengenalan matriks, notasi singkat matriks A = (aij) dan contoh-contoh aplikasi notasi dalam Kalkulus dsb. Operasi tambah dan kali antar matriks, balikan suatu matriks, determinan matriks persegi. Jenis2 matriks (persegi, simetri, diagonal, segitiga, tak singulir, dsb).

Kuliah+

Pemberian tugas esei atau program

komputer

Keakuratan mengubah notasi lengkap matriks ke notasi singkat dan sebaliknya, ketrampilan melakukan operasi antara matriks. mencari balikan suatu matriks dengan matriks adjoint (cara tidak efisien) dan ketrampilan menghitung determinan matriks persegi.

3

2 Mampu mencari balikan matriks A dengan menggunakan matriks adjoin Adan menerapkannya dalam pencarian solusi tunggal Sistem Persamaan Linear (SPL) Ax = b dengan A tak singulir.

Minor, kofaktor dan adjointA, balikan matriks A dan aplikasinya untuk mencari solusi SPLAx = b dengan A tak singulir, determinan, Aturan Cramer.

Kuliah+


komputer

Keakuratan dan ketelitian ketika menurunkan A1, balikan dari matriks A,dan ketika menerapkan A1 untuk menyelesaikan SPL Ax = b dengan solusi tunggal.

4

1

3 Mampu mengerjakan langkah-langkah prosedur baku eliminasi Gauss(-Jordan) untuk menyelesaikan SPL Ax = b dengan A dan b masing-masing berukuran m n danm 1.Mampu menentukan menguraikan setiap matriks sebagai hasil kali matriks-matriks elementer dan menerapkannya dalam pencarian balikan matriks.

Matriks koefisien SPLdan berbagai definisi dan konsep terkait: SPL konsisten, SPL homogen., matriks eselon (tereduksi), operasi baris/kolom elementer, eliminasi Gauss-Jordan,matriks elementer dan balikannya

Kuliah+


komputer.

Ketepatan memilih dan mengerjakan langkah-langkah prosedur eliminasi Gauss(-Jordan)untuk mendapatkan balikan suatu matriks dan uraiannya atas matriks-matriks elementerdan ketepatan menjelaskan semua konsep yang terkait dengan SPL.

5

4 Mampu melakukan manipulasi dan perhitungan yang terkait konsep-konsep transformasi linear dan matriks pada ruang Euclid, misalnya manipulasi dan perhitungan vektor/nilai eigen serta mampu menerapkannya pada geometri Euclid dimensi 2 dan 3.

Transformasi linear dari Rn ke Rm, sifat-sifat tranformasi linear, matriks baku transformasi linear, nilai dan vektor eigen transformasi linear, pemantulan, projeksi, perputaran, dilasi, kontraksi dan komposisinya

Kuliah+

Pemberian tugas esei atau

pemrograman komputer.

Kemampuan mendefiinisikan dan menerapkan konsep transformasi linear dalam bahasa matriks, bahasa fungsi atau pun bahasa geometri (pemantulan, projeksi, perputaran, dilasi, kontraksi), kemampuan menentukan nilai dan vektor eigen.

3

5 Mampu mendefinisikan dan membuktikan suatu himpunan sebagai (sub)ruang vektor, mampu menyatakan ruang vektor yang direntang oleh beberapa vektor, penentuanhimpunan bebas atau tak bebas linear sebagai penentuan tunggal atau tidak tunggalnya solusi SPL homogin

Aksioma ruang vektor, subruang vektor, kombinasi linear, himpunan perentang, kebebasan linear dan kaitannya dengan SPL homogin, kebebasan linear fungsi-fungsi: determinan Wronski.

Kuliah+



Keakuratan membuktikan kebenaran atau penyangkalan suatu himpunan adalah (sub)ruang vektor, keakuratan mencari solusi SPL homogin dalam penentuan kebebasan linear, keakuratan menerapkan determinan Wronski untuk menentukan kebebasan linear himpunan fungsi-fungsi.

3

6 Mampu menyatakan syarat perlu dan cukup agar sebuah vektor di V bisa dinyatakan secara tunggal sebagai kombinasi linear beberapa vektor-vektor.

Basis baku (untuk Rn, untuk Pn, untuk Mmn dsb), vektor koordinat (v)S dari v relatif terhadap basis S, dimensi ruang vektor

Kuliah+



Kemampuan membuktikan apakah suatu himpunan merentang sebuah ruang vektor atau bebas linear, kemampuan menghitung dimensi ruang vektor, menghi-tung rank, mencari ruang baris dan ruang kolom suatu matriks, kemampuan melakukan

4

2

7 Mahasiswa mampu merumuskan ruang kolom dan ruang baris, menyatakan kaitan antara solusi SPL dengan sifat-sifat matriks koefisien SPL tersebut,terlatih dalam pembuktian dalil-dalil sederhana dalam proses penurunan sifat-sifat bebas atau tergantung linear dan kaitannya dengan vektor-vektor baris dan kolom pada suatu matriks.

Basis dan dimensi (sub-)ruang vektor, rank dan nolitas dari suatu tranformasi linear (atau dari matriks penyajiannya).

Kuliah+



Keakuratan mengerjakan OBE-OBE ketika menentukan rank atau basis ruang baris, ruang kolom atau ruang nol suatu matriks.

3

8 Ujian Tengah Semester 25

9 Mahasiswa mampu menyatakan ruang hasil kali dalam (RHKD) sebagai bentuk khusus ruang vektor,mampu memilih vektor-vektor basis satuan yang saling ortogonal,merumuskan jarak antara dua vektor dan proyeksi suatu vektorke suatu subruang, baik secara geometri(di ruang Rn) atau pun berdasarkan definisi aksiomatik di ruang vektor umum,.

Ruang Hasil Kali Dalam (RHKD), panjang /norm, jarak, besar sudut antara dua vektor dan sifat orthogonal dalam RH-KD, ruang yang saling komplemen ortogonal, basis ortonormal, proses Gram-Schmidt, dekomposisi-QR, metoda least-square dalam bahasa aljabar (aplikasi), beberapa sifat-sifat matriks ortogonal

Kuliah+


pemrograman komputer

Keakuratan mengerjakan proses Gram-Schmidt, menguraikan metoda kuadrat terkecil sebagai projeksi, menguraikan dekomposisi-QR, menghitung sudut antara dua vektor.

3

10 Mampu menerapkan konsep projeksi ortogonal untuk memilih sebuah titik di dalam subruang W agar ‘jarak’-n,ya dengan titik b W minimal, mampu menafsirkan konsep least square secara geometri, mampu menyatakan setiap vektor di dalam ruang vektor umum berdimensi n sebagai vektor di dalam Rn relatif terhadap suatu basis, dan mampu menyatakan perubahan vektor di dalam Rn akibat perubahan basis sebagai SPL perkalian matriks dengan vektor.

Projeksi ortogonal sebagai best approximation, istem normal, solusi tunggal untukmasalah kuadrat terkecil (least squares problem), projeksi b pada ruang kolom W sebagai transformasi linear,matriks baku untuk projeksi ortogonal b pada W, vektor kolom [v]S sebagai koordinat dari v relatif terhadap basis S, perubahan koordinat akibat perubahan basis, matriks transisi dari perubahan basis B

Kuliah+



Keakuratan menerapkan konsep projeksi ortogonal dalam penentuan ‘titik terdekat’ di dalam W dengan titik b W, keakuratan penerapan SPL untuk mencari koordinat suatu vektor relatif terhadap sebuah basis, keakuratan menentukan matriks transisi.

4

11 Mampu memberi definisi yang ekuivalen Matriks ortogonal A, beberapa kriteria Kuliah Keakuratan menurunkan |Ax| = ‖x‖ 4

3

dari matriks ortogonal sekaligus memberi contohnya, mampu mendefinisikan dan memberi contoh vektor-vektor ortogonal, ortonormal, mampu menentukan nilai dan vektor eigen suatu matriks, mampu menurunkan polinom karakteristik suatu matriks, mampu menghitung multiplisitas aljabar dan multiplisitas geometri setiap nilai eigen dari matriks, mampu mencari matriks tak singulir P yang membuat P1AP diagonal (P mendiagonalkan A),

yang ekuivalen dengan sifat ortogonal matriks A, vektor-vektor ortogonal, ortonormal, nilai dan vektor eigen sebagai solusi SPL homogin, persamaan karakteristik, matriks terdiagonal dan kebebasan linear vektor-vektor eigennya, matriks tak singulir P yang membuat P1AP diagonal, multiplisitas geometris dan multiplisitas aljabar matriks

+Pemberian tugas

esei atau pemrograman

komputer.

dan AxAy = xy jika A ortogonal, keakuratan menentukan nilai dan vektor eigen dari polinom karateristik matriks, keakuratan memberikan syarat cukup/perlu kebebasan linear vektor-vektor eigen suatu matriks, keakuratan penurunan mariks tak singulir P yang membuat P1AP diagonal, keakuratan menghitung multiplisitas geometris dan multiplisitas aljabar nilai-nilai eigennya.

12 Mampu membuktikan bahwa sifat untuk setiap matriks persegi berukuran n n berlaku: sifat ortogonal terdiagonal matriks A ekuivalen dengan sifat simetri matriks A, juga ekuivalen dengan keberadaan n vektor-vektor eigen yang ortonormal, mampu memberikan banyak contoh transformasi linear di ruang vektor umum, mampu menyatakan dan memberi contoh sifat-sifat dasar transformasi linear dan menerapkannya untuk membuktikan suatu fungsi bukan transformasi linear, mampu memberi contoh beberapa komposisi beberapa transformasi linear.

Ekuivalensi sifat ortogonal terdiagonal dengan bentuk simetri dan sifat ortonormal vektor-vektor eigen matriks A, transformasi linear di ruang vektor umum V dan contoh-contonya, sifat-sifat dasar transformasi linear, komposisi beberapa transformasi linear

Kuliah+



Keakuratan pembuktian ekuivalensi antara sifat ortogonal terdiagonal A dengan fakta semua vektor eigen membentuk himpunan ortonormal dan dengan bentuk simetri A, keakuratan dan kelayakan contoh transformasi linear di ruang vektor umum, keakuratan pembuktian bahwa suatu pemetaan adalah transformasi linear atau bukan transformasi linear, keakuratan memberi contoh verifikasi bahwa komposisi transformasi linear juga transformasi linear.

4

13 Mampu menentukan kernel, daerah jangkauan pemetaan linear dan sekaligus melakukan verifikasi bahwa dimensi keduanya (nulitas dan rank) memenuhi

kernel dan daerah jangkauan transformasi linear dan sifat-sifat dasarnya, nulitas dan rank suatu matriks A, nulitas dan rank suatu transformasi

Kuliah+


Keakuratan dan kelayakan memberi contoh-contoh transformasi linear dilengkapi dengan kernel dan daerah jangkauannya, ketepatan menghitung

3

4

Teorema Dimensi. linear TA yang diwakili oleh matriks A, Teorema Dimensi


nulitas dan rank transformasi linear tersebut, kelayakan contoh- contoh untuk verifikasi Teorema Dimensi

14 Mampu menentukan apakah transformasi linear T bersifat 1-1, menentukan syarat-syarat dengan contoh apakah suatu sifat 1-1 dari T ekuivalen dengan sifat pada, bisa merumuskan hubungan sifat 1-1 transformasi linear T dengan kernel dan daerah jangkauan T, dengan dimensi, domain dan kodomain T, bisa menyatakan sifat 1-1 transformasi sebagai komposisi dua transformasi linear, mampu mencari matriks pernyajian transformasi linear.

Transformasi linear yang bersifat 1-1, perkalian matrix T(x) = Ax dengan A tak singulir, contoh penyangkal sifat 1-1 tidak ekuivalen dengan sifat pada, kernel, daerah jangkauan dan nulitas transformasi linear yang bersifat 1-1, komposisi tranformasi linear dan balikan transformasi linear yang bersifat 1-1, dimensi domain, kodomain dan transformasi linear 1-1, matriks penyajian dari transformasi linear relatif terhadap perubahan basis.

Kuliah+



Kecermatan menyatakan syarat perlu dan cukup suatu transformasi linear bersifat 1-1, keakuratan menentukan balikan transformasi 1-1 T, yaitu mencari T 1: range(T) → domain(T), kecermatan melakukan verifikasi dengan contoh-contoh dari implikasi: Jika basis B U, B” V, T1: U → V, T2: V → W linear maka [T2○T1]B’,B = [T2]B’,B” [T1] B”,B

4

15 Mampu memilih basis dalam V agar bentuk matriks perwakilan operator linear T pada V mempunyai bentuk sesederhana mungkin (diagonal), mampu menyatakan transformasi linear dari ruang vektor umum berdimensi n ke ruang vektor umum berdimensi n sebagai transformasi linear antara dua ruang vektor Euclid Rn ke Rm dengan menggunakan matriks transisi, bahkan mampu menyatakan isomorfisma dua ruang vektor yang sama dimensinya.

Keserupaan, perubahan basis untuk pendiagonalan matriks operator linear, besaran/konsep yang invariant terhadap keserupaan, matriks diagonal yang mewakili operator linear, contoh-contoh dua ruang vektor yang isomorf.

Kuliah+


komputer

Ketepatan menjelaskan definisi nilai eigen, vektor eigen dan polinom karakteristik dari suatu matriks, akurasi menyatakan syarat perlu-cukup suatu matriks bisa terdiagonal berdasarkan konsep multiplisitas aljabar dan geometris, akurasi mendiagonalkan secara ortogonal suatu matriks simetri.

3

16-20 Ujian Akhir Semester + Remedial Treatments 25

B. SATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP) MATAKULIAH ALJABAR LINEAR S1BERDASARKAN RANCANGAN GBRP ALJABAR LINEAR TAHUN 2012

5

Minggu ke :

Materi PembelajaranBobot

Nilai (%)

1 2 3 4 5 6

1 PERTEMUAN I : (Ref: Anton, Rorres [1], SubBab 1.3)1. Kontrak Pembelajaran. Memperkenalkan hak dan tugas/kewajiban serta sistem pembelajaran, termasuk sistem

penilaian melalui Kontrak Pembelajaran.2. Pengenalan matriks, notasi singkat matriks A = (aij).

Contoh penggunaan notasi singkat dalam Kalkulus: Matriks Jacobian adalah matriks

= (ruas kiri sekedar simbol, ruas kanan adalah notasi singkat) di mana f1, f2, ..., fm adalah mfungsi peubah banyak dalam n peubah x1, x2, ..., xn). Lihat penggunaan matriks Jacobi berukuran 3 1 sebagai solusi SPL melalui pers

Contoh Soal/Tugas:

a. Jika matriks 2 3 ditulis dalam notasi singkat A = ( ), tulis matriks Adalam notasi lengkap.

b. Simbol matriks Jacobian untuk 3 fungsi dalam 3 peubah: f(x, y, z), g(x, y, z), h(x, y, z) adalah .

Instruktur merumuskan fungsi f, g dan h, mahasiswa diminta menulis matriks Jacobiannya dalam notasi lengkap.

c. Lihat juga soal-soal dalam SubBab 1.3, no. 20 – 22.

3

3. Transpose dan balikan matriks, matriks persegi, simetri, diagonal, segitiga, dsb. dan definisi kesamaan dua matriks.4. Definisi operasi tambah/kali antara matriks A= (aij) dengan matriks B = (bij) yang menghasilkan matriks C =

(cij)dengan cij = ... (rumusan skalar cij).5. Minor, matriks kofaktor, matriks adjoint dan balikan suatu matriks berdasarkan matriks adjoint.

6

PERTEMUAN II: (Ref: Anton, Rorres [1] SubBab 1.3 - 1.4, 1.6 - 1.7)1. Determinan matriks persegi: menghitung determinan dengan ekspansi pada salah satu baris atau kolom. Perlakuan

khusus untuk determinan matriks 2 2 dan determinan matriks 3 32. Sifat-sifat dan keberadaan inversi suatu matriks-matriks persegi tak singulir: (AB)1 = B1A1, dsb.3. Sistem Persamaan Linier (SPL)Ax = b;A ≡ matriks koefisien SPL, [A | b]≡matriks pertambahan (augmented) SPL.4. Solusitunggal SPL Ax = bdengan A tak singulir adalah x = A1b. (Contoh: SPL a dalam dua contoh SPL di bawah).

Solusi tunggal SPL Ax = b dengan A tak singulir menggunakan Aturan Cramer

2 PERTEMUAN I (Ref: Anton, Rorres [1] SubBab 2.1):1. Sifat-sifat fungsi determinan2. SPL berbentuk Ax = λx, nilai dan vektor eigen dari matriks A5. Definisi determinan matriks A melalui hasil kali elementer entri-entri matriks, hasil kali elementer bertanda dan

kaitannya dengan permutasi ganjil dan genap pada himpunan {1, 2, ..., n}

PERTEMUAN II (Ref: Anton, Rorres [1] SubBab 1.1 - 1.2, SubBab 2.1, 2.3 – 2.4):1. Tiga jenis operasi baris elementer (OBE) pada matriks dan aplikasinya untuk menghitung determinan matriks persegi

(metoda reduksi baris)2. SPL konsisten dan SPL homogin3. Aplikasi OBE pada matriks pertambahan suatu SPL untuk mencari solusi SPL tersebut (Eliminasi Gauss-Jordan).Catatan:

Instruktur sebaiknya mencari contoh SPL yang determinan matriks koefisiennya ±1 atau ±2 (agar entri-entri inversnya banyak yang bulat) dan membayangkan satu solusi (dalam contoh berikut, membayangkan solusi (3, 2, 1)) untuk dapat mengubah-ubah ruas kanan dari SPL. Tampilkan sekontras mungkin kedua notasi, seperti contoh langkah-langkah eliminasi Gauss(-Jordan) pada Lampiran I dan interpretasi solusinya sebagai garis lurus pada Lampiran II

4

3 PERTEMUAN I: (Ref: Anton, Rorres [1]), SubBab 1.1 – 1.2, SubBab 2.2)

1. Definisi matriks elementer Eyang sesuai dengan suatu OBE:In Edan balikannya:E1.2. Matriks hasil kali EAsebagai hasil OBE terhadap matriks A;danAEsebagai hasil OKE terhadap matriks A.

4

7

PERTEMUAN II (Ref: Anton, Rorres [1] SubBab 1.5):1. Diberikan matriks tak singulirA, tentukan A1dengan menggunakan prosedur eliminasi Gauss-Jordan dan sekaligus

mendapatkan uraian A1sebagai hasil kali matriks-matriks elementer2. Berdasarkan uraian matriks tak singulirA1sebagai hasil kali matriks-matriks elementer, A juga bisa

dinyatakansebagai hasil kali matriks-matriks elementer.Catatan:

Mahasiswa perlu contoh penggunaan prosedur eliminasi Gauss-Jordan untuk mencari A1 dan sekaligus menguraikan A1 ke dalam bentuk hasil kali matriks-matriks elementer semacam contoh pada Lampiran III.

4 PERTEMUAN I (Ref: Anton, Rorres [1] SubBab 4.1 – 4.2):1. Hasil kali dalam uv antara dua vektor di ruang Euclid Rn(optional)2. Panjang/norm vektor, jarak antara dua vektor dan definisi dua vektor saling tegak lurus di ruang Euclid Rn(optional)3. Transformasi linear T dari Rn ke Rm, operator linear pada Rn

4. Transformasi nol, transformasi identitas, pemantulan, projeksi, perputaran, dilasi, kontraksi dan komposisinya.5. Ekuivalensi sifat 1-1 dan sifat pada: operator linear T pada Rn bersifat 1-1 jika dan haya jika bersifat pada.

5

PERTEMUAN II (Ref: Anton, Rorres [1] SubBab 4.3 – 4.4):1. Definisi dan contoh matriks baku A untuk transformasi linear T dari Rn ke Rm, yaitu T: x Rn → Ax Rm.2. Sifat-sifat dasar transformasi linear T3. Interpretasi geometri dari vektor eigen dan nilai eigen dari operator linear,4. Asosiasi antara polinom derajat n di Pn dengan vektor di Rn+1: anxn + an1xn1 + ... + a1x + a0 ≈ (an, an1 , ... , a1, a0)T.

5 PERTEMUAN I (Ref: Anton, Rorres [1] SubBab 5.1 – 5.2):1. Aksioma Ruang Vektor Umum2. Ruang vektor nol (trivial), ruang Euklid Rn, ruang matriks Mmn, ruang fungsi-fungsi bernilai real, bidang datar

melalui titik asal, ruang fungsi-fungsi real kontinyu C(,), ruang fungsi-fungsi terdiferensial k kali Ck(,).3. Subruang vektor: semua polinom berderajat ≤ n, subruang fungsi-fungsi real terdiferensial i kali Ci(,)

C(,), subruang semua solusi SPL homogin Ax = 0.

3

PERTEMUAN II (Ref: Anton, Rorres [1] SubBab 5.2 – 5.3):1. Definisi dan contoh-contoh kombinasi linear, himpunan perentang S ruang vektor V

8

2. Kebebasan linear dan hubungannya dengan ketunggalan SPL homogin3. Kebebasan linear himpunan fungsi-fungsi, determinan Wronski W(x)

6 PERTEMUAN I (Ref: Anton, Rorres [1] SubBab 5.3):1. Definisi dan contoh-contoh basis baku (untuk Rn, untuk Pn, untuk Mmndsb), vektor baris KU(v) = (v)S sebagai

koordinat v U relatif terhadap basis S atau sebagai hasil peta dari transformasi linear KU: v U → KU(v) Rn

2. Dimensi ruang vektor

4

PERTEMUAN II (Ref: Anton, Rorres [1] SubBab 5.4):1. Mengkonstruksi basis B jika B ≠ S & B S atau B ≠ S & B S untuk subruang span(S)2. Beberapa contoh ruang vektor dimensi hingga dan tak hingga3. Mengkonstruksi basis dengan menambah atau mengurangi vektor di dalam himpunan vektor-vektor

7 PERTEMUAN I (Ref: Anton, Rorres [1] SubBab 5.5):1. Basis untuk ruang baris, ruang kolom dan ruang nol dari matriks2. Ekuivalensi baris antara dua matriks3. Solusi SPL sebagai jumlah vektor solusi khusus SPL + kombinasi linear vektor-vektor solusi SPL homogin

3

PERTEMUAN II (Ref: Anton, Rorres [1] SubBab 5.6):1. Rank dari matriks2. Rank(A) + Nulitas(A) = n, di mana A berukuran m n.3. Implementasi dalam SPL: banyak variabel utama + banyak variabel bebas = n.4. Syarat perlu-cukup agarSPL Ax = b konsisten.

8 UJIAN TENGAH SEMESTER 25

9 PERTEMUAN I (Ref: Anton, Rorres [1] SubBab 6.1 - 6.2):1. Ruang Hasil Kali Dalam (RHKD)2. Perumusan panjang vektor, jarak dan sudut antara dua vektor di Rn dan di RHKD3. Pertaksamaan Cauchy-Schwarz4. Ruang yang saling komplemen ortogonal: ruang nol dan ruang baris dari suatu matriks adalah ruang yang saling

komplemen ortogonal di Rn.

3

9

5. Hubungan kedua basis ruang yang saling komplemen ortogonal

PERTEMUAN II (Ref: Anton, Rorres [1] SubBab 6.3):1. Basis ortonormal2. Projeksi ortogonal3. Proses Gram-Schmidt4. Dekomposisi-QR

10 PERTEMUAN I (Ref: Anton, Rorres [1] SubBab 6.4): (NB: Materi penting untuk program studi statistik)1. Sistem normal ATAx = ATb yang bersesuaian dengan SPL Ax = b, projeksi ortogonal sebagai best approximation2. Diskusi solusi tunggal untuk masalah kuadrat terkecil (least squares problem) adalah x = (ATA)1ATb dan projeksi b

pada ruang kolom W dari matriks A adalah transformasi linear T: xRn → Ax = A(ATA)1ATb W Rm

3. Matriks baku untuk projeksi ortogonal b pada W

4

PERTEMUAN II (Ref: Anton, Rorres [1] SubBab 6.5, 8.4; Lipschutz, Lipson [3] Theorem 6.6 - 6.13):1. Vektor kolom LU(v) = [v]S: koordinat dari v relatif terhadap basis S atau hasil peta LU: v U → LU(v) Rn

2. perubahan koordinat akibat perubahan basis3. P = [[u1’]B, [u2’]B, ..., [un’]B], matriks transisi perubahan basis dari B’ = {u1’, u2’, ..., un’} ke B = {u1, u2, ..., un},

matriks T terhadap basis B dan B’ : [T]B’,B = [[T(u1)]B’, [T(u2)]B’, ..., [T(un)]B’]. Untuk operator linear T dengan B’ = B, matriks [T]B’,B menjadi [T]B = [[T(u1)]B, [T(u2)]B, ..., [T(un)]B].

4. Verifikasi perumusan SPL: P[v]B’ = [v]B, [T]B’B[x],B = [x]B’ dan [T]B[x],B = [T(x)]B melalui contoh-contoh.

Catatan:a. Masalah pencarian matriks transformasi linear sebaiknya digambarkan melalui contoh soal. Sebuah contoh soal

yang dilengkapi diagram komutatif dan penjelasannya diberikan dalam Lampiran IV.SubBab 8.4 Anton, Rorres [1] berisi materi transformasi linear di ruang vektor umum, bukan sekedar ruang Euclid

11 PERTEMUAN I (Ref: Anton, Rorres [1] SubBab 6.6):1. Hubungan antara sifat ortogonal A, sifat ortonormal baris/kolom matriks A sebagai vektor di ruang Euclid.2. Ekuivalensi antara sifat ortogonal A berukuran n n dengan kesamaan |Ax| = ‖x‖ dan AxAy = xy, x, y Rn.

4

PERTEMUAN II (Ref: Anton, Rorres [1] SubBab 7.1 - 7.2):

10

1. Hubungan antara nilai eigen λ dari matriks persegi A, SPL homogin (λI A)x = 0, dan det(λI A).2. Polinom karateristik matriks A3. Hubungan antara keberadaan invers matriks persegi A dengan nilai eigen matriks persegi A.4. Definisi matriks terdiagonal dan hubungannya dengan sifat kebebasan linear vektor-vektor eigennya.5. Penentuan matriks tak singulir P yang membuat P1AP diagonal

12 PERTEMUAN I (Ref: Anton, Rorres [1] SubBab 7.3):1. Hubungan antara matriks terdiagonal dengan multiplisitas geometris dan multiplisitas aljabar nilai-nilai eigennya.2. Ekuivalensi sifat ortogonal terdiagonal dengan bentuk simetri dan sifat ortonormal vektor-vektor eigen matriks A.3. Implikasi dari bentuk simetri matriks A terhadap nilai eigen dan sifat ortogonal vektor-vektor eigen matriks A.

4

PERTEMUAN II (Ref: Anton, Rorres [1] SubBab 8.1):1. Definisi transformasi linear di ruang vektor umum V yang dilengkapi contoh-contoh: dilasi, kontraksi, projeksi

ortogonal, transformasi linear pengawanan setiap vektor di V ke koordinat vektor tersebut relatif terhadap suatu basis, dari Pn ke Pn+1, operator linear pada Pn, transformasi linear yang didefinisikan oleh hasil kali dalam, dari C(,) ke C1(,). Perlu diberikan satu-dua contoh fungsi yang bukan transformasi linear.

2. Sifat-sifat dasar transformasi linear3. Komposisi beberapa transformasi linear

13 PERTEMUAN I (Ref: Anton, Rorres [1] SubBab 8.2):1. Definisi kernel dan daerah jangkauan transformasi linear dilengkapi contoh-contoh: transformasi linear sebagai

perkalian matrix T(x) = Ax, transformasi nol, operator identitas, projeksi ortogonal, rotasi, penurunan (diferensiasi)2. Sifat-sifat dasar kernel dan daerah jangkauan transformasi linear

3

PERTEMUAN II (Ref: Anton, Rorres [1] SubBab 8.2):1. Perbedaan dan ekuvalensi antara nulitas dan rank suatu matriks A dengan nulitas dan rank transformasi linear TA

yang diwakili oleh matriks A tersebut.2. Teorema Dimensi dan penerapannya

14 PERTEMUAN I (Ref: Anton, Rorres [1] SubBab 8.3): 4

11

1. Transformasi linear yang bersifat 1-1 dan contoh-contohnya: perkalian matrix T(x) = Ax dengan A tak singulir, T(p(x)) = xp(x), contoh penyangkal sifat 1-1 tidak ekuivalen dengan sifat pada, contoh transformasi linear yang tidak 1-1 (diferensiasi)

2. Kernel, daerah jangkauan dan nulitas transformasi linear yang bersifat 1-1

PERTEMUAN II (Ref: Anton, Rorres [1] SubBab 8.3 – 8.4):1. Komposisi dua tranformasi linear dan balikan transformasi linear yang bersifat 1-12. Hubungan antara dimensi domain, kodomain dan transformasi linear 1-13. Review dan pendalaman matriks penyajian dari transformasi linear relatif terhadap perubahan basis (Minggu 10,

pertemuan II) khususnya verifikasi dari implikasi: Jika B adalah basis untuk U, B” adalah basis untuk V, B’ adalah basis untuk W, T1: U → V, T2: V → W adalah transformasi linear, maka diperoleh kesamaan matriks [T2○T1]B’,B = [T2]B’,B” [T1] B”,B.

15 PERTEMUAN I (Ref: Anton, Rorres [1] SubBab 8.5):1. P = [I]B,B’, matriks transisi perubahan basis dari B’ ke B adalah matriks transisi dari operator identitas2. Verifikasi kesamaan matriks: [T]B’ = [I]B’,B[T]B[I]B, B’ = P1[T]BP yaitu matriks dari fungsi komposisi I○T○I di

mana basis untuk domain pertama dan kodomain terakhir (keduanya dari fungsi identitas I) adalah B’ sedangkan basis untuk domain dan kodomain T adalah B.

3. Keserupaan, dua matriks yang serupa.

3

PERTEMUAN II (Ref: Anton, Rorres [1] SubBab 8.5 8.6):1. Besaran dan konsep yang invariant terhadap keserupaan: determinan, memiliki balikan, rank, nulitas, trace,

polinom karakteristik, nilai eigen, dimensi ruang eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ,2. Matriks diagonal yang mewakili operator linear

Persyaratan dimensi V dan W agar terdapat operator linear T: V → W yang bijektif atau isomorf. Contoh-contoh.

16 - 20 UJIAN AKHIR + REMEDIAL 25

Referensi :[1].Horward Anton, Chris Rorres, 2005. Elementary Linear Algebra, Applications Version, Edisi 9, John Wiley & Sons.[2].Jack L. Goldberg. MatrixTheory, McGraw-Hill, 1991.

12

[3].Seymour Lipschutz, Marc L. Lipson, 2004. Schaum’s Outline of Linear Algebra, Edisi 3.

13

C. CARA PENILAIAN

1. Bobot Penilaian: Mid: 25%, Fin: 25%. Bobot penilaian dari masing-masing dosen (quiz, tugas, praktikum, dsb): 50%2. Mid dan Final Menggunakan Soal Bersama. 3. Rumusan transformasi nilai. Misalkan rentang nilai mentah akhir adalah [xmin, xmax]. Nilai akhir tertinggi Ymax disepakati berada pada

rentangan 90 99 dan nilai akhir terendah ymin disepakati berada pada rentangan 35 40 sesuai dengan rumus transformasi dari nilai mentah x ke nilai akhir y :

y = (atau y = )Contoh : Dengan xmin= 30, xmax = 75, ymin = 35 dan ymax = 95, mahasiswa dengan nilai mentah x = 57 akan mendapat nilai akhir y = 71.

14

Lampiran I. Contoh Eliminasi Gauss Dengan Kontrasi Antara Notasi Persamaan dan Notasi Matriks

SPL dengan notasi persamaan (dengan peubah x, y, z)a. x + 2y + 3z = 4; b.2x + 4y + z = 13; 2x + 3y + z = 11; x + 2y 3z = 10; 3x + 5y + 2z = 19. x + 2y + 4z = 3.

SPL dengan notasi matriks (matriks pertambahan SPL)

a. b.

Catatan: Mahasiswa biasanya lebih sulit memahami SPL yang kedua (SPL b)yang banyak solusinya tak hingga. Satu solusi

(3, 2, 1) sudah dibayangkan oleh instruktur ketika menentukan ruas kanan 13, 10 dan 3 dari SPL b. Instruktur bisa (dianjurkan) untuk mengubah-ubah ruas kanan dari SPL dengan membayangkan solusi lain.

Langkah-langkah pencarian solusi SPL b dalam kedua notasi perlu dikontraskan, seperti contoh berikut:

i. Tukar persamaan pertama dengan persamaan ketiga x + 2y + 4z = 3;x + 2y 3z = 10; 2x + 4y + z = 13.

ii. Persamaan kedua dikurangi 1 persamaam pertama x + 2y + 4z = 3;7z = 7; 2x + 4y + z = 13.

iii. Persamaan ketiga dikurangi 2 persamaan pertama

x + 2y + 4z = 3;7z = 7;7z = 7.

i. B1 ←→ B3

ii. B2 + (1)B1

iii.B3 + (2)B1

iii. SPL bisa diubah ke SPL dengan hanya dua persamaan x + 2y + 4z = 3; 7z = 7.

iii.SPL di atas ekuivalen dengan SPL

15

iv. Persamaan kedua di kali 1/7 x + 2y + 4z = 3;z =1.

(SPL dalam bentuk eselon)

(kelak akan dijelaskan dengan konsep independen)iv. B2(1/7)

(matriks berbentuk eselon)

Sampai di sini, dilakukan substitusi balik: Nilai variabel terakhir (nilai 1 dari variabel z) pada persamaan paling akhir disubstitusikan ke dalam persamaan sebelumnya sehingga diperoleh:x + 2y + 4(1)= 3;z =1sehingga diperoleh SPL eselon tereduksix + 2y = 7;z =1.

Setelah mencapai bentuk matriks eselon, ada dua pilihan:a. Melanjutkan sampai ke bentuk matriks eselon tereduksi

atau,b. meninggalkan notasi matriks dan kembali ke notasi

persamaan untuk melakukan substitusi balik (seperti yang dikerjakan di sebelah kiri).

LANGKAH ALTERNATIF (tanpa substitusi balik):Dalam persamaan yang diperoleh setelah langkah iv,variabel z bisa dihapus dengan operasi elementer

v. Persamaan pertama dikurangi 4 persamaan kedua x + 2y = 7; z = 1

LANGKAH ALTERNATIF (tanpa substitusi balik), matriks eselon dibawa ke matriks eselon tereduksi dengan OBE berikut:

v. B1 + (4)B2

SOLUSI UMUM dari SPL bisa berbentuk garis lurus, bidang datar, dst. Untuk solusi SPL dalam Lampiran I, setelah mencapai bentuk eselon (tereduksi), kedua variabel x dan z yang koefisiennya 1 disebut variabel utama sedangkan kedua koefisien 1 oleh Anton, Rorres [1] disebut entri 1 utama, walaupun bentuk eselon versi Lipschutz

16

[3] tidak mengharuskan koefisiennya bilangan 1, cukup tidak sama dengan 0. Variabel yang bukan variabel utama, yaitu variabel y, disebut variabel bebas. Variabel y dinamakan variabel bebas karena bebas diisi nilai apapun, katakan y diberi nilai t sehingga

y = t.Setelah substitusi y = t ke dalam semua persamaan dalam SPL eselon tereduksi, diperoleh solusi umum:

x = 7 2t, y = t dan z = 1. (1)Dalam notasi matriks, solusi umum bisa ditulis sebagai matriks kolom baris atau kolom, misalnya dalam matriks kolom ditulis sebagai

= t + . (2)Catatan:a. Kelak banyak variabel bebas disebut dimensi dari ruang solusi.b. Mahasiswa perlu memahami bahwa kesamaan matriks di ruas kiri (2) dengan matriks di ruas kanan (2)

diperolehberdasarkan definisi kesamaan matriks dan persamaan (1).c. Mahasiswa perlu memahami bahwa persamaan (2) adalah persamaan garis lurus di di R3. Peran gradien m

dalam bentuk konvensional y = mt + n di R2 digantikan oleh matriks Jacobi d(x, y, z)/dt berukuran 3 1, yaitu oleh matriks

= .

Lampiran II. Solusi Umum SPL Sebagai Garis Lurus, Bidang Datar, dst.

17

Lampiran III. Contoh Mencari A1 Sekaligus Menyatakan A1 Sebagai Hasil Kali Matriks Elementer

Input :

A = I3 =

Langkah 1: Mengerjakan OBE 1

B2 + (2)B1Matriks elementer yang sesuai dengan OBE 1

E1 =

Hasil 1:

E1A = E1I3 = E1 =



E2 =

Hasil 2:

E2E1A = E2E1 =



E3 =

18

Hasil 3:

E3E2E1A = E3E2E1 =


B3( )

Matriks elementer yang sesuai dengan OBE 4

E4 =

Hasil 4:

E4E3E2E1A = E4E3E2E1 =


B1 + (2)B2Matriks elementer yang sesuaian dengan OBE 5

E5 =

Hasil 5:

E5E4E3E2E1A = E5E4E4E3E2E1 =


B2(1)Matriks elementer yang sesuai dengan OBE 6

E6 =

Hasil 6:Matriks eselon

E6E5E4E3E2E1A = E6E5E4E4E3E2E1 =

19



E7 =

Hasil 7:

E7E6E5E4E3E2E1A = E7E6E5E4E4E3E2E1 =



E8 =

Hasil 8:Matriks identitas I3

E8E7E6E5E4E3E2E1A = E8E7E6E5E4E4E3E2E1 = =

KESIMPULAN:(E8E7E6E5E4E3E2E1)A = I3:

a. A1 = E8E7E6E5E4E3E2E1 = ; danb. A = E1

1E21E3

1E41E5

1E61E7

1E81.

20

A

x= 3 + 2x + x2 T(x)

[x]B [D(x)]B

[D(x)]S

[x]S

P1 P1

L = [D]B

D

M = [D]S

PP

3PL2PL

Lampiran IV: Contoh Soal Matriks Perubahan Basis dengan Diagram Komutatif

Contoh Soal :Diberikan operator linear (diferensiasi)

D: P3(x) P2(x)dengan D(a+bx + cx2 + dx3) = b + 2cx + 3dx2 dan dua basis untuk R3:

B = {(0, 1, 1),(1, 0, 1),(0, 1, 1)}dan

S = {(1, 1, 1),(1, 1, 1),(1, 1, 1)}.Jika x = 3 + 2x + x2 dan P adalah matriks transisi dari B ke S, tulis semua besaran (vektor D(x), vektor [x]B, [x]S, matriks L = [D]B, matriks M = [D]S, ..., dsb) yang ada di dalam diagram tersebut. (Matriks A, matriks koefisien dari SPL A[x]B=[D(x)]S, disebut matriks yang mewakili operator linear T relatif terhadap pasangan basis B dan S. Notasi untuk matriks A adalah [D] S,B).Keterangan Diagaram K omutatif :Setiap garis lurus menyatakan suatu transformasi linear atau menyatakan matriks yang mewakili transformasi linear tersebut. Dalam contoh di atas, setiap garis mewakili satu operator linear/matriks perubahan basis sehingga operator linear tersebut tak singulir dan bisa diwakili oleh suatu matriks persegi tak singulir.

Pada gambar di samping, kedua garis lurus yang ujungnya bertemu di y menyatakan fungsi komposisi T2○T1 atau hasil kali matriks SR di mana z = T2(y) =T2(T1(x)) = [T2○T1](x), Jika x, y dan z adalah vektor kolom, maka z = Sy = SRx. matriks R adalah matriks yang mewakili T relatif terhadap basis A, matriks S adalah matriks yang mewakili T relatif terhadap basis B

Diagram disebut komutatif jika untuk setiap vektor x diperoleh komposisi T2○T1(x) = T3(x) (atau diperoleh hasil kali matriks RSx =

Tx). Diagram dalam contoh soal di atas komutatif, sebab setiap subdiagramnya komutatif. Misalnya untuk setiap x P3 berlaku

MP1 (x) = P D(x), L (x) = D(x), ...., dsb.

21

x

S

y

z

R = T

=[T3]B,A

Untuk prodi statistik: 1. Notasi singkat untuk matriks kovarians dari X1, X2, ..., Xnadalah matriks simetri

∑ = (σiσjρij)di mana σi adalah simpangan baku dari Xi dan ρijadalah korelasi antara Xi dengan Xj. Di siniσij = σiσjρij menyatakan kovarians antara Xi dan Xj.

2. Misalkan fungsi kerapatan peluang bersama dari n peubah acak Y1, Y2, ..., Yn dan n peubah acak X1, X2, ..., Xn adalah f dan g. Misalkan lagi kedua himpunan peubah acak memenuhi hubungan transformasi variable Yi = yi(X1, X2, ..., Xn) (atau Xi= adalah xi(Y1, Y2, ..., Yn)), maka kaitan f dan g sering ditulis dalam notasi

g(y1, y2, ..., yn) = f(x1, x2, ..., xn)J(y1, y2, ..., yn),di mana J(y1, y2, ..., yn) adalah nilai mutlak dari determinan matrriks Jacobian

J(y1, y2, ..., yn) = |det |.

[email protected]@[email protected]

22

mailto:[email protected]

Gbrp Aljabar Linear 2012

Documents

Transcript of Gbrp Aljabar Linear 2012