Modul Aljabar Linear 1

A l j a b a r L i n e a r 1

1

MODUL ALJABAR LINEAR 1

Disusun oleh, ASTRI FITRIA NURANI

2014

Astri Fitria Nurani Aljabar Linear 1

1/1/2014


DAFTAR ISI

DAFTAR ISI ................................................................................................... i

BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN

A. Pendahuluan ............................................................................. 1

B. Aljabar Matriks ......................................................................... 5

C. Sistem Persamaan Linear .......................................................... 15

BAB II DETERMINAN

A. Pengertian Determinan.............................................................. 22

B. Metode Perhitungan Determinan ........ ..................................... 23

C. Sifat-sifat Determinan .............................................................. 25

BAB III INVERS MATRIKS

A. Pengertian Invers Matriks .......................................................... 27

B. Matriks Adjoint ........ ................................................................ 28

C. Sifat-sifat Invers Matriks ......................................................... 29

D. Hubungan Invers Matriks, determinan, dan Solusi SPL . ......... 31

i


BAB I

MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN

A. Pendahuluan

Bentuk persamaan linear dalam n peubah (variabel):

11 + 22 + + =

Dimana:

1, 2, , , = bilangan bilangan real

1, 2, , = peubah

Dengan demikian maka suatu sistem linear dari m persamaan dalam n peubah (sistem

linear m x n) adalah sebagai berikut:

111 + 122 + + 1 = 1

211 + 222 + + 2 = 2

.

.

.

11 + 22 + + =

Contoh sistem linear:

1. Sistem 2 x 2

1 + 22 = 5

21 + 32 = 8

2. Sistem 2 x 3

1 2 + 3 = 2

21 + 2 3 = 4

3. Sistem 3 x 2

1 + 2 = 2

1 2 = 1

1 = 4

Definisi 1:

Dua sistem persamaan yang mengunakan peubah-peubah yang sama dikatakan

ekivalen jika kedua sistem itu memiliki himpunan penyelesaian yang sama.

Contoh:

1 + 22 = 4

31 2 = 2

41 + 2 = 6

Dan

41 + 2 = 6

31 2 = 2

1 + 22 = 4

1


Keduanya terdiri dari tiga persamaan yang sama dan sebagai akibatnya kedua

sistem persamaan ini harus memiliki himpunan penyelesaian yang sama. Sehingga

kedua persamaan tersebut dikatakan ekivalen.

Jika salah satu persamaan dari sistem dikalikan dengan suatu bilangan real

bukan nol, maka hal ini tidak berpengaruh pada himpunan penyelesaian dan sistem

yang baru akan ekivalen dengan sistem awal.

Contoh:

1 + 2 + 3 = 3

21 2 + 43 = 1

Dan

21 + 22 + 23 = 6

21 2 + 43 = 1

Definisi 2:

Suatu sistem dikatakan memiliki bentuk segitiga jika koefisien-koefisien dari k-1

peubah yang pertama dalam persamaan ke-k semuanya nol dan koefisien dari xk adalah

bukan nol (k = 1, 2, ... ,n).

Contoh:

31 + 22 + 3 = 1

2 3 = 2

23 = 4

Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut!

Penyelesaian:

Sistem persamaan diatas memiliki bentuk segitiga, karena koefisien-koefisien dalam

persamaan kedua masing-masing adalah 0, 1, -1, dan koefisien-koefisien dalam

persamaan ketiga masing-masing adalah 0, 0, 2. Karena berbentuk segitiga, sistem ini

mudah untuk diselesaikan. Dari persamaan ketiga diperoleh:

23 = 4

3 = 2

Kemudian substitusikan nilai 3 = 2 ke persamaan 2 sehinga diperoleh:

2 3 = 2

2 2 = 2

2 = 2 + 2

2 = 4

2


Substitusikan kembali nilai 3 = 2 dan 2 = 4 ke persamaan 1 sehingga diperoleh:

31 + 22 + 3 = 1

31 + 2(4) + 2 = 1

31 + 8 + 2 = 1

31 = 1 10

31 = 9

1 = 3

Jadi himpunan dari sistem persamaan diatas adalah (-3, 4, 2).

Sembarang sistem sigitiga n x n dapat diselesaikan dengan cara yang sama seperti

dalam contoh. Pertama persamaan ke-n diselesaikan untuk mendapatkan nilai xn. Nilai

ini digunakan dalam persamaan ke n-1 untuk mendapatkan nilai xn-1. Nilai-nilai xn dan

xn-1 digunakan dalam persamaan ke n-2 untuk mendapatkan nilai xn-2, dan seterusnya.

Metedo menyelesaikan sistem segitiga ini disebut Substitusi Balik (back-

substitution).

Latihan:

1. Analisis apakah persamaan-persamaan berikut ekivalent atau tidak? Jelaskan!

a. 1 + 2 = 4

1 2 = 2

31 32 = 6

21 + 22 = 8

b. 1 22 = 5

31 + 2 = 1

1 22 = 5

121 + 42 = 4

c. 1 + 22 3 = 1

21 2 + 3 = 3

1 + 22 + 33 = 7

61 32 + 33 = 9

41 + 82 43 = 4

21 + 42 + 93 = 14

d. 31 + 22 + 3 = 0

21 + 2 3 = 2

21 2 + 23 = 1

21 + 2 3 = 2

41 22 + 43 = 2

61 + 42 + 23 = 0

3


2. Gunakan cara substitusi balik untuk menyelesaikan sistem persamaan berikut:

a. 1 + 2 + 3 = 8

22 + 3 = 5

33 = 9

b. 21 2 + 33 24 = 1

2 23 + 34 = 2

43 + 34 = 3

44 = 4

c. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 5

22 + 3 24 + 5 = 1

43 + 4 + 25 = 1

4 35 = 0

25 = 2

Penyelesaian:

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

4


B. Aljabar Matriks

1. Pengertian

a. Matriks

Yaitu kelompok bilangan yang disusun dalam suatu jajaran berbentuk persegi

atau persegi panjang yang terdiri atas baris-baris dan kolom-kolom.

= 1 1 12 2 2

dan =

1 1 12 2 23 3 3

b. Baris

Yaitu bagian susunan bilangan yang dituliskan mendatar / horizontal dalam

matriks.

= 1 1 1

c. Kolom

Yaitu bagian susunan bilangan yang dituliskan tegak / vertikal dalam matriks.

=

123

d. Elemen / unsur

Yaitu bilangan bilangan (real atau kompleks) yang menyusun matriks itu.

=

1 1 12 2 23 3 3

Pada matriks B diatas, elemen/unsurnya yaitu 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, dan 3

e. Ordo

Yaitu banyak baris dikali banyak kolom pada sebuah matriks.

=

1 1 12 2 23 3 3

=

1 12 23 3

Ordo : 3 x 3 ordo : 3 x 2

dengan :

A = sebuah matriks

m = jumlah baris pada matriks

n = jumlah kolom pada matriks

5


2. Macam macam Matriks:

a. Matriks Persegi

Yaitu matriks dengan banyak baris sama dengan banyak kolom (berordo n x n).

=

matriks A berordo 2 x 2 / berordo 2

=

matriks B berordo 3 x 3 / berordo 3

b. Matrks Baris

Yaitu matriks yang hanya memiliki satu baris dan memuat n elemen.

(berordo 1 x n).

= 1 2

c. Matriks Kolom

Yaitu matriks yang hanya memiliki satu kolom dan memuat m elemen.

(berordo m x 1).

=

12

d. Matriks Skalar

Yaitu matriks yang hanya memuat satu unsur.

=

e. Matriks Sama

Yaitu matriks yang berordo sama dan unsur yang seletak sama.

=

dan =

, maka A = B

f. Matriks Satuan / Identitas

Yaitu matriks persegi yang unsur-unsur pada diagonal utama bernilai 1 dan

unsur lainnya bernilai 0 (nol).

= 1 00 1

= 1 0 00 1 00 0 1

6


g. Matriks Segitiga atas

Yaitu matriks persegi yang unsur-unsur dibawah diagonal utama semuanya

bernilai 0 (nol).

= 1 1 10 2 20 0 3

h. Batriks Segitiga bawah

Yaitu matriks persegi yang unsur-unsur diatas diagonal utama semuanya bernilai

0 (nol).

=

1 0 02 2 03 3 3

i. Matriks Diagonal

Yaitu matriks persegi yang semua unsur-unsurnya bernilai 0 (nol) kecuali unsur-

unsur yang terletak pada diagonal utama.

=

1 0 00 2 00 0 3

j. Matriks Transpos

Yaitu matriks baru yang dihasilkan dari pertukaran baris-baris menjadi kolom-

kolom atau sebaliknya.

=

1 12 23 3

= 1 2 31 2 3

k. Matriks Simetris

Yaitu matriks yang jika A = At.

=

1 1 12 2 23 3 3

=

1 1 12 2 23 3 3

l. Matriks Nol

Yaitu matriks yang semua unsur-unsurnya bernilai 0 (nol).

= 0 0 0 = = 0 0 00 0 00 0 0

=

7


m. Matriks Konyugat

Yaitu matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengganti tiap elemen dengan

konyugantnya (sekawannya).

= +

=

+

Teorema:

Dengan menganggap bahwa ukuran-ukuran matriks memadai sehingga dapat

dilakukannya operasi yang ditunjukkan, maka aturan-aturan berikut akan sahih:

a. + =

b. =

c. =

d. x =

e. x =

3. Operasi pada Matriks

a. Sifat-sifat pada Penjumlahan Matriks

Jika A, B, dan C merupakan matriks yang berordo sama, dan k, l adalah skalar

dengan k, l R, maka penjumlahan dan perkalian skalar dengan matriks

memenuhi sifat berikut:

a) A + B = B + A

Bukti:

Ambil sembarang matriks A, B Mmxn yaitu:

=

11 12 121 22 2

1

2

dimana 11 , 12 , ,

=

11 12 121 22 2

1

2

dimana 11 , 12 , ,

Maka:

+ =

11 12 121 22 2

1

2

+

11 12 121 22 2

1

2

8


+ =

11 + 11 12 + 12 1 + 121 + 21 22 + 22 2 + 2

1 + 1

2 + 2

+

+ =

11 + 11 12 + 12 1 + 121 + 21 22 + 22 2 + 2

1 + 1

2 + 2

+

+ =

11 12 121 22 2

1

2

+

11 12 121 22 2

1

2

+ = +

b) (A + B) + C = A + (B + C)

Bukti:

Ambil sembarang matriks A, B, dan C Mmxn, yaitu:

=

11 1

1

dimana 11 , 12 , ,

=

11 1

1

dimana 11 , 12 , ,

=

11 1

1

dimana 11 , 12 , ,

Maka:

+ + =

11 1

1

+

11 1

1

+

11 1

1

+ + =

11 + 11 1 + 1

1 + 1 +

+

11 1

1

+ + =

11 + 11 + 11 1 + 1 + 1

1 + 1 + 1 + +

+ + =

11 1

1

+

11 + 11 1 + 1

1 + 1 +

9


+ + =

11 1

1

+

11 1

1

+

11 1

1

+ + = + ( + )

c) (k + l) A = kA + lA

Bukti:

Ambil sembarang matriks A Mmxn dan bilangan real (k,l)

=

11 1

1

dimana 11 , 12 , ,

Maka:

+ = ( + )

11 1

1

+ =

( + )11 ( + )1

( + )1 ( + )

+ =

11 + 11 1 + 1

1 + 1 +

+ =

11 1

1

+

11 1

1

+ =

11 1

1

+

11 1

1

+ = +

d) k (A + B) = kA + kB

Bukti:

Ambil sembarang matriks A, B Mmxn dan k bilangan Real, yaitu:

=

11 1

1

dimana 11 , 12 , ,

=

11 1

1

dimana 11 , 12 , ,

10


Maka:

( + ) =

11 1

1

+

11 1

1

( + ) =

11 + 11 1 + 1

1 + 1 +

( + ) =

(11 + 11) (1 + 1)

(1 + 1) ( + )

( + ) =

11 + 11 1 + 1

1 + 1 +

( + ) =

11 1

1

11 1

1

+ =

11 1

1

+

11 1

1

+ = +

b. Jika matriks A, B, dan C adalah matriks-matriks yang memadai untuk

dilakukannya perkalian matriks, maka memenuhi sifat-sifat berikut:

a) (AB)C = A(BC)

b) (A + B) C = AC + BC

c) A (B + C) = AB + AC

4. Transpos Matriks

Definisi:

Jika A adalah sembarang matriks m x n, maka transpos A dinyatakan dengan At

adalah matriks n x m yang kolom pertamanya sama dengan baris pertama matriks

A, kolom kedua sama dengan baris kedua matriks A, dan seterusnya.

11


Contoh:

1. Tentukan transpos dari matriks berikut!

= 2 3 41 0 5

Penyelesaian:

Diketahui matriks = 2 3 41 0 5

, maka transposnya yaitu:

= 2 13 04 5

Definisi:

Jika A matriks berordo n x n dan A = At, maka A disebut Matriks Simetris.

Contoh:

= 1 22 1

, maka = 1 22 1

= 2 5 8

5 4 78 7 0

, maka = 2 5 8

5 4 78 7 0

Teorema:

a) (At)t = A

b) (A + B)t = At + Bt, jika A, B Mmxn

c) (kA)t = kAt, dengan sembarang skalar k R

d) (AB)t = BtAt, jika A matriks m x n dan B matriks n x r

5. Invers Matriks

Definisi:

Jika A adalah matriks persegi, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB =

BA = I, maka dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers dari A.

(A-1

= B)

12


a) Matriks Singular

Yaitu matriks persegi yang tidak mempunyai invers.

b) Matriks Non-Singular

Yaitu matriks persegi yang mempunyai invers.

Contoh:

Apakah matriks berikut saling invers?

1. = 2 43 1

dengan =

1

10

3

53

10

1

5

2. = 3 51 2

dengan = 2 51 3

Penyelesaian:

1. x = 2 43 1

1

10

3

53

10

1

5

x = 1

2

5

08

5

x

Jadi, matriks A dan B tidak saling invers.

2. x = 3 51 2

2 51 3

x = 1 00 1

x =

x = 2 51 3

3 51 2

x = 1 00 1

x =

Jadi, matriks A dan B saling invers.

13


Latihan:

1. Tentukan transpos dari matriks-matriks berikut!

= 4 3 21 1 00 5 1

= 2 5 4

= 1 2 32 0 53 5 1

= 4

2. Carilah invers dari masing-masing matriks berikut (jika ada) !

a. = 1 00 2

b. = 1 1

1 1

Penyelesaian:

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

14


C. Sistem Persaman Linear

1. Pendahuluan

a. Sebuah persamaan linear dengan n peubah dapat dituliskan sebagai berikut:

11 + 22 + + =

b. Sistem persamaan linear dengan n peubah dan m persamaan linear dapat

dituliskan sebagai berikut:

111 + 122 + + 1 = 1

211 + 222 + + 2 = 2

:

:

11 + 22 + + =

c. Diagram penyelesaian Sistem Persamaan Linear :

d. Untuk menyelesaikan suatu SPL dapat digunakan metode sebagai berikut:

1) Metode Eliminasi

Yaitu menghilangkan atau mengeliminasi salah satu peubah dengan cara

menambahkan kelipatan suatu persamaan ke persamaan lain.

2) Metode Substitusi

Yaitu mengganti atau mensubstitusi suatu peubah berdasarkan nilai peubah

tersebut pada persamaan yang lain.

SPL

Memiliki Solusi (Konsisten)

TunggalBanyak Solusi

Tidak Memiliki Solusi (Tidak Konsisten)

15


Contoh:

Diketahui sistem persamaan linear sebagai berikut:

x + 2y = 1

2x y = 7

Tentukan solusinya dengan:

a. Metode Eliminasi

b. Metode Substitusi

Penyelesaian:

a. Metode Eliminasi

+ 2 = 12 = 7

x 2x 1

2 + 4 = 22 = 7

5 = 5

= 1

+ 2 = 12 = 7

x 1x 2

+ 2 = 1

4 2 = 14

5 = 15

= 3

Jadi himpunan penyelesaiannya (HP) = {3, -1}

b. Metode Substitusi

+ 2 = 1 ..... (1)

= 1 2 ..... (2)

2 = 7 ..... (3)

Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (3) :

2 = 7

2(1 2 ) = 7

2 4 = 7

2 5 = 7

5 = 5

= 1 ..... (4)

16


Substitusikan persamaan (4) ke persaman (2) :

= 1 2

= 1 2(1)

= 1 + 2

= 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya (HP) = {3,-1}

2. Eliminasi Gauss Jordan

Yaitu suatu metode untuk menentukan solusi suatu persamaan linear dengan cara

mengubah suatu SPL dalam bentuk persamaan matriks kemudian mereduksi

matriks yang bersesuaian dengan SPL tersebut menjadi bentuk Matriks Eselon

Tereduksi.

Matriks Eselon Tereduksi adalah matriks yang memenuhi 4 syarat, yaitu:

a. Bilangan tak nol pertama dan setiap baris adalah 1 ( 1 utama).

b. Kolom yang memuat 1 utama hanya memuat nol di tempat lainnya.

c. 1 utama pada baris yang lebih bawah terletak lebih kanan dari pada baris

diatasnya.

d. Bila terdapar baris nol maka letaknya pada baris bagian bawah matriks.

Untuk mendapatkan bentuk Eselon baris tereduksi diperlukan Operasi Baris

Elementer (OBE) yang terdiri dari 3 operasi, yaitu:

a. Mengalikan suatu baris dengan suatu konstanta k 0.

b. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya.

c. Mempertukarkan 2 buah baris.

Contoh:

Diketahui SPL sebagai berikut:

+ + = 6

2 + = 1

+ 2 = 5

Selesaikan SPL tersebut dengan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ)!

17


Penyelesaian:

. =

1 1 12 1 11 1 2

=

615

Matriks diperbesar:

= 1 1 12 1 11 1 2

615

=

1 1 12 1 11 1 2

615 21 + 2

1 + 3

=

1 1 10 1 30 2 1

6

111

2

=

1 1 10 1 30 2 1

6

111

2 + 1

22 + 3

=

1 0 20 1 30 0 7

51121

1

73

=

1 0 20 1 30 0 1

5113

23 + 133 + 2

=

1 0 00 1 00 0 1

123

=

123

Jadi, Himpunan penyelesaiaannya (HP) = {1,2,3}

Catatan:

a. SPL memiliki solusi tunggal jika banyaknya 1 utama pada matriks eselon baris

tereduksi = banyaknya variabel.

b. SPL memiliki solusi tak hingga jika n (1 utama) < n (variabel).

c. SPL tidak memiliki solusi jika pada matriks eselon baris tereduksi terdapat 1

utama pada kolom paling kanan.

18


3. SPL Homogen

Yaitu bentuk khusus dari SPL = adalah bentuk khusus untuk = (nol) atau

bisa dituliskan sebagai = .

Solusi SPL Homogen :

a. Trivial

Yaitu bila SPL Homogen hanya memiliki = sebagai satu-satunya solusi.

b. Tak Trivial

Yaitu bila SPL Homogen memiliki solusi selain = .

Contoh:

Tentukan solusi SPL Homogen dengan matriks koefisien!

= 2 1 11 1 14 1 1

Penyelesaian:

. =

2 1 11 1 14 1 1

123

= 000

Matriks diperbesar:

= 2 1 11 1 14 1 1

000

123

= 2 1 11 1 14 1 1

000 tukar baris ke-1 dengan baris ke-2

123

= 1 1 12 1 14 1 1

000 21 + 2

41 + 3

123

= 1 1 10 3 30 3 3

000

1

32

123

= 1 1 10 1 10 3 3

000

2 + 1

32 + 3

19


123

= 1 0 00 1 10 0 0

000

Di dapat:

1 = 0

2 3 = 0

2 = 3

Misal:

1 = ,

Maka:

1 = 0

2 =

3 = 0

Jadi, solusi SPL tak trivial.

Latihan:

1. Diketahui SPL sebagai berikut:

+ + = 1

2 + = 2

2 = 1

Tentukan solusinya dengan metode campuran eliminasi dan substitusi!


2 + = 2

+ = 3

4 + = 8

Tentukan solusi untuk SPL tersebut dengan EGJ!

3. Diketahui SPL dalam bentuk matrik sebagai berikut:

3 2 1 12 2 4 21 0 3 1

= 23

5



2 3 11 2 13 2 1

123

= 202


20



3 1 4

1 2 31 3 2

=

21

4



+ = 2

+ + 2 = 3

+ 4 = 5


7. Diketahui matriks = 3 2 22 2 31 2 4

. Tentukan solusi SPL Homogen tersebut dengan

matriks koefisien!

Penyelesaian :

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

21


BAB II

DETERMINAN

A. Pengertian Determinan

Definisi:

Determinan merupakan suatu fungsi yang didefinisikan pada matriks persegi.

Determinan A didefinisikan sebagai jumlah hasil kali elementer bertanda dari Anxn

yang berbentuk:

11, 22

dengan 1, 2, , merupakan permutasi dari himpunan {1,2,.... n)

Hasil kali elementer 11, 22 akan bertanda positif jika banyaknya invers

(bilangan bulat kecil yang didahului oleh bilangan bulat lebih besar pada permutasi)

adalah genap. Sedangkan 11, 22 bertanda negatif jika banyaknya invers

adalah ganjil.

Determinan Anxn dinotasikan dengan:

det = = =

11 12 121 22 2

1 2

Contoh:

Hitunglah determinan dari: = 11 1221 22

Penyelesaian:

Permutasi Hasil Kali Elementer Banyak Invers Tanda

(1,2)

(2,1)

11dan 12

12dan 21

0

1

det = = = 11 . 22 12 . 21

22


B. Metode Perhitungan Determinan

1. Metode Ekspansi Kofaktor

a. Ekspansi Kofaktor sepanjang baris i

= 11 21 + + dengan = 1,2, ,

b. Ekspansi Kofaktor sepanjang kolom j

= 11 22 + + dengan = 1,2, ,

Mij (Minor elemen i, j) yaitu determinan matriks A yang sudah dihilangkn baris ke-i

dan kolom ke-j nya. Pemilihan baris ke-i dan kolom ke-j bebas.

Tanda (+) atau (-) di depan aij.Mij didasarkan pada:

1) Jika i + j genap, maka tanda (+).

2) Jika i + j ganjil, maka tanda (-).

Contoh:

Hitunglah determinan dari matriks = 2 3 43 2 31 2 2

dengan ekspansi kofaktor baris

dan kolom!

Penyelesaian:

a. Ekspansi Kofaktor baris ke-2:

= 2 3 43 2 31 2 2

= 3 3 42 2

+ 2 2 41 2

3 2 31 2

= 3 6 8 + 2 4 4 3(4 3)

= 3 2 + 2 0 3(1)

= 6 + 0 3

= 3

b. Ekspansi Kofaktor kolom ke-3:

= 2 3 43 2 31 2 2

= 4 3 21 2

3 2 31 2

+ 2 2 33 2

= 4 6 2 3 4 3 + 2(4 9)

23


= 4 4 3 1 + 2(5)

= 16 3 10

= 3

2. Metode Reduksi Baris

Bila A adalah matriks segitiga atau berukuran n x n

=

11 12 1 0 22 2 0 0

Maka yang dihitung dengan mengunakan ekspansi sepanjang kolom ke-1 akan

diperoleh:

= 1112

Metode reduksi baris memiliki prinsip mengubah bentuk matriks menjadi matriks

segitiga atas dengan melakukan OBE (Operas Baris Elementer). OBE pada matriks

akan mempengaruhi nilai determinan untuk operasi:

1) Jika menukarkan dua baris maka determinannya bernilai (-). Untuk

mengembalikan determinan ke nilai semua, kalikan determinan matriks dengan

(-1).

2) Jika suatu baris dikali k 0 maka nilai determinan menjadi k kali determinan

semula. Agar nilai determinan tetap, maka kalikan determinan dengan 1

.

Contoh:

Hitunglah determinan untuk matriks = 2 3 43 2 31 2 2

Penyelesaian:

= 2 3 43 2 31 2 2

menukar baris 1 dengan baris 3.

= 2 3 43 2 31 2 2

= (1) 1 2 23 2 32 3 4

31 + 2 21 + 3

24


= 2 3 43 2 31 2 2

= (1) 1 2 20 4 30 1 0

1

42

= 2 3 43 2 31 2 2

= 1 (4)

1 2 2

0 1 3 4

0 1 0

= 2 3 43 2 31 2 2

= 4

1 2 2

0 1 3 4

0 1 3 4

= 2 3 43 2 31 2 2

= 4(1 x 1 x 3

4)

= 2 3 43 2 31 2 2

= 3

C. Sifat-sifat Determinan

1. Jika Anxn matriks diagonal maka adalah perkalian elemen pada diagonal

utamanya.

3x3 = 0 00 00 0

= . .

2. Jika Anxn matriks segitiga atas / bawah maka adalah perkalian elemen pada

diagonal utamanya.

3x3 = 0 0 0

= . .

3. Jika ada baris / kolom dari Anxn yang semua elemennya nol, maka = 0.

3x3 = 0 0 0

= 0

4. Jika ada 2 baris / 2 kolom / kelipatannya pada Anxn , maka = 0.

3x3 = 1 2 30 4 11 2 3

= 0

3x3 = 1 2 32 0 6

1 5 3 3 = 31

= 0

25


3x3 = 1 2 32 4 6

1 1 2 2 = 21 = 0

5. =

6. =

7. Jika suatu baris pada Anxn dikali dengan maka determinan matriks barunya

8. Jika Anxn maka =

9. Apabila dua buah baris suatu matriks dipertukarkan maka 1 = .

Latihan :

1. Hitunglah determinan dari matriks =

2 0 2 21 2 3 13 02 1

23

23

dengan ekspansi kofaktor

baris dan kolom!

Penyelesaian:

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

26


BAB III

INVERS MATRIKS

A. Pengertian Invers Matriks

Definisi:

Bila A adalah matriks persegi berukuran n x n yang memiliki determinan tidak sama

dengan nol, maka invers matriks A (dinotasikan dengan A-1

) didefinisikan sebagai

matriks yang memenuhi persamaan:

AA-1

= A-1

A = I

Dengan I = matriks identitas berukuran n x n.

Invers suatu matriks adalah tunggal.

Apabila = 0 maka A tidak mempunyai invers.

Contoh:

Tentukan invers dari matriks = 3 0 10 2 12 5 3

!

Penyelesaian:

= 3 0 10 2 12 5 3

1 0 00 1 00 0 1

1

31

= 1 0 1 3

0 2 12 5 3

13 0 0

0 1 00 0 1

21 + 3

=

1 0 1 3

0 2 1

0 5 7 3

13 0 0

0 1 0

2 3 0 1

1

22

=

1 0 1 3

0 1 1 2

0 5 7 3

13 0 0

0 1 2 0

2 3 0 1

52 + 3

27


=

1 0 1 3

0 1 1 2

0 0 1 6

13 0 0

0 1 2 0

2 3 5

2 1

63

=

1 0 1 3

0 1 1 2

0 0 1

13 0 0

0 1 2 0

4 15 6

1

33 + 1

1

23 + 2

= 1 0 00 1 00 0 1

1 5 22 7 34 15 6

= 1

Jadi, 1 = 1 5 22 7 34 15 6

B. Matriks Adjoint

Matriks Adjoint didefinisikan sebagai matriks Cij transpos dengan Cij adalah kofaktor

elemen i,j.

Invers matriks A memiliki rumusan:

1 =1

()

1 =1

( )

Dengan Cij = (-1)i+j

.Mij

Contoh:

Dengan mengunakan Adjoint matriks, tentukan invers dari = 3 0 10 2 12 5 3

Penyelesaian:

11 = (1)1+1

2 15 3

= 6 5 = 1

12 = (1)1+2

0 12 3

= (0 2) = 2

13 = (1)1+3

0 22 5

= 0 4 = 4

21 = (1)2+1

0 15 3

= (0 5) = 5

28


22 = (1)2+2

3 12 3

= 9 2 = 7

23 = (1)2+3

3 02 5

= 15 0 = 15

31 = (1)3+1

0 12 1

= 0 2 = 2

32 = (1)3+2

3 10 1

= (3 0) = 3

33 = (1)3+3

3 00 2

= 6 0 = 6

Didapat = 1 2 45 7 15

2 3 6

Dan = 1 5 22 7 3

4 15 6

Maka = 3 2 15 3

+ 1 0 22 5

= 3 6 5 + 0 4 = 1

Sehingga 1 =1

1

1 5 22 7 3

4 15 6 =

1 5 22 7 34 15 6

C. Sifat sifat Invers Matriks

1. (AB)-1 = B-1.A-1

2. (A-1)-1 = A

3. A-1.A = I

Menentukan solusi SPL dengan menggunakan invers matriks, pandang persamaan:

A.x = b , dengan A-1

ada

A.A-1

.x = A-1

.b

I.x = A-1

.b

x = A-1

.b

29


Jika Anxn dan memiliki invers A-1

, maka:

1. Jika B adalah matriks A-1 yang kolom baris ke-i dan ke-j dipertukarkan maka B-1

adalah A-1

yang kolom ke-i dan ke-j juga dipertukarkan.

2. Jika C adalah matriks A yang baris ke-i dikali k, maka C-1 adalah A-1 yang kolom

ke-i dikali 1

.

Contoh:

1. Tentukan solusi SPL berikut dengan persamaan Ax = b!

3 0 10 2 12 5 3

=

234

Penyelesaian:

Dari perhitungan sebelumnya diperoleh 1 = 1 5 22 7 34 15 6

sehingga:

= 1

=

1 5 22 7 34 15 6

234

=

2 15 + 84 21 + 128 + 45 24

=

91329

Jadi, himpunan penyelesaiannya (HP) = {-9,13,29}

2. Tentukan invers dari matriks-matriks berikut!

= 3 0 10 2 12 5 3

Penyelesaian:

= 3 0 10 2 12 5 3

1 = 1 5 22 7 34 15 6

30


D. Hubungan Invers Matriks, Determinan, dan Solusi SPL

Pada suatu SPL Ax = b dengan A matriks persegi, terdapat hubungan antara

keberadaan 1, , dan jenis solusi SPLnya, yaitu:

1. A-1 ada jika dan hanya jika 0, maka SPL memiliki solusi tungal.

2. A-1 tidak ada jika dan hanya jika = 0, maka SPL memiliki solusi tak hingga,

solusi banyak, dan tidak ada solusi.

Latihan:

1. Tentukan invers dari matriks-matriks berikut:

= 3 0 12 5 30 2 1

dan = 3 0 10 4 22 5 3

2. Tentukan invers matriks = 1 4 20 2 12 3 2

dengan menggunakan:

a. Eliminasi Gauss-Jordan

b. Matriks Adjoint

3. Tentukan solusi SPL berikut:

2 1 22 3 11 1 0

=

321

Penyelesaian:

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

31

Modul Aljabar Linear 1

Documents

Transcript of Modul Aljabar Linear 1