AKAR PERSAMAAN NON AKAR PERSAMAAN NON LINEARLINEAR

Persamaan hingga derajat dua, masih mudah diselesaikan dengan cara analitik. Contoh :

02 cbxax

Solusi :a

acbbx2

42

12

Persamaan yang kompleks, solusinya susah dicari. Contoh :

03)( 23

xexf xx

Maka timbulah solusi dengan metode Maka timbulah solusi dengan metode numerik, dengan pembagian metode numerik, dengan pembagian metode sebagai berikut :sebagai berikut :

1. GRAFIS2. BISECTION3. REGULA FALSI4. SECANT5. NEWTON RHAPSON6. ITERASI FIXED POINT

1. GRAFIS1. GRAFISMerupakan metode mencari akar

dengan cara menggambar fungsi yang bersangkutan

Contoh :Y = 2x2 – 3x -2

Jawab:Jawab:

x f(x)-1.40 6.12-1.20 4.48-1.00 3.00-0.80 1.68-0.60 0.52-0.40 -0.48-0.20 -1.320.00 -2.000.20 -2.520.60 -3.080.90 -3.081.20 -2.721.50 -2.001.80 -0.922.10 0.522.40 2.322.70 4.48

Dengan memasukkan harga “x” didapat nilai fungsi f(x)

-4.00

-2.00

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

-2.00 -1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

X

f(x)

2. BISECTION2. BISECTION• Metode ini melakukan pengamatan

terhadap nilai f(x) dengan berbagai nilai x, yang mempunyai perbedaan tanda.

• Taksiran akar diperhalus dengan cara membagi 2 pada interval x yang mempunyai beda tanda tersebut.

F(x)

x

x1

x2x3

x4 x5

1) Pilih x1 bawah dan x2 puncak taksiran untuk akar, sehingga perubahan fungsi mencakup seluruh interval. Hal ini dapat diperiksa dengan memastikan :

2) Taksiran akar x, ditentukan oleh :

0)().( 21 xfxf

Algoritma :

221 xxxr

3) Buat evaluasi dengan memastikan pada bagian interval mana akar berbeda :

* jika f(x1).f(x2) < 0 akan berada pada bagian interval

bawah, maka x2 = xr , dan kembali kelangkah 2 * Jika f(x1).f(x2) > 0 akan berada pada bagian interval atas , maka x1 = xr , dan kembali

kelangkah 2 * Jika f(x1).f(x2) = 0, akar setara xr, perhitungan dihentikan, atau bisa juga :

)().( 21 xfxf

Dimana ε adalah harga toleransi yang dibuat.

Contoh :Contoh :

Carilah akar persamaan dari :

001,0 ,033)( 23 denganxxxxf

Penyelesaian:

Hitung nilai )(xf

pada interval antara 2 titikuntuk x=1, 43)1(3)1()1()1( 23 xf

untuk x=2 33)2(3)2()2()2( 23 xf

Fungsi diatas adalah kontinyu, berarti perubahan tanda dari fungsi antara x=1 dan x=2 akan memotong sumbu x paling tidak satu kali. titik perpotongan antar sumbu x dan fungsi merupakan akar-akar persamaan.

hitung nilai rx , kemudian hitung fungsi )( rxf

5,12

212

21

xxxr

875,13)5,1(3)5,1()5,1()5,1( 23 rxfLangkah selanjutnya adalah membuat setengah interval berikutnya untuk membuat interval yang semakin kecil, dimana akar persamaan berada. Hasil perhitungan ditunjukkan pada tabel berikut.

No. x f(x)1 1.5 -1.8752 1.75 0.1718753 1.625 -0.9433594 1.6875 -0.4094245 1.71875 -0.1247866 1.734375 0.022037 1.726563 -0.0517558 1.730469 -0.0149579 1.732422 0.003513

10 1.731445 -0.00572811 1.731934 -0.00110912 1.732178 0.00120113 1.732056 4.6E-05

Tabel hasil perhitungan:Tabel hasil perhitungan:

3. Metode Regula 3. Metode Regula Falsi.Falsi.

• Kekurangan metode bisection adalah membagi dua selang diantara x1 dengan x2 menjadi dua bagian yang sama, besaran f(x1) dan f(x2) diabaikan. Misalnya, jika f(x1) lebih dekat ke nol daripada f(x2), kemungkinan besar akar akan lebih dekat ke x1 daripada ke x2.

x1x2

f(x1)

f(x2)

x

y

Algoritma :Algoritma :1) Pilih x1 bawah dan x2 (puncak) untuk taksiran akar,

sehingga perubahan fungsi mencakup seluruh interval. Hal ini dapat diperiksa dengan: f(x1) . f(x2) < 0

2. Taksir akar xr, ditentukan oleh:

a) Buat evaluasi berikut untuk memastikan harga akar : b) Jika , maka akar berada pada bagian

interval bawah, maka , kembali ke langkah 2.c) Jika maka akar berada pada bagian

interval atas, maka , kembali ke langkah 2.d) Jika , akar setara xr maka hentikan

perhitungan.

)()()(

12

1222 xfxf

xxxfxxr

0)().( 1 rxfxf

rxx 2

0)().( 1 rxfxf

rxx 10)().( 1 rxfxf

Contoh:Contoh:00001.0

1)( 6

xxxf

ditentukan ; 2.11

2

1

xx

subtitusikan pada persamaan ;

78598,012,1)2,1()2,1( 6 f

111)1( 16 xf

maka nilai 11198,1))1(78598,0(

)12,1(78598,02,1

rx

22146,0111198,111198,1)1198,1( 6 f

Tabel hasil perhitungan:Tabel hasil perhitungan:No. x f(x)

1 1 -12 1.2 0.7859843 1.111983 -0.2214294 1.131329 -0.0346415 1.134228 -0.0050996 1.134652 -0.0007447 1.134714 -0.0001088 1.134723 -1.58E-05

4. 4. Metode SecantMetode Secant • Metode ini memerlukan dua taksiran awal

akan tetapi karena f(x) tidak disyaratkan untuk berganti tanda diantara taksiran-taksiran, maka metode ini tidak digolongkan sebagai metode pengurung.

• Persamaan yang dipakai metode secant adalah

)()())((

1

11

nn

nnnnn xfxf

xxxfxx

x1x2

f(x1)

f(x2)

x

y

x3

Algoritma :Algoritma :• Pilih x1 bawah dan x2 (puncak) untuk taksiran

akar.• Taksir akar xn+1, ditentukan oleh:

• Perhitungan dihentikan jika f(x n+1) ≈ 0 atau Є = yang ditentukan

)()())((

1

11

nn

nnnnn xfxf

xxxfxx

Contoh:Contoh:

1111)1( 6 f61122)2( 6 f

01)( 6 xxxfDitentukan taksiran awalnya adalah :X1 = 1X2 = 2

016129,1)1(61)12(6121

nx

No. x f(x)1 1 -12 2 613 1.016129 -0.9153684 1.030675 -0.8319215 1.175689 0.4652276 1.123679 -0.1106337 1.133671 -0.0108068 1.134753 0.0002949 1.134724 -7.48E-07

Tabel hasil perhitungan:Tabel hasil perhitungan:

5. Metode Newton Rhapson5. Metode Newton Rhapson• Metode ini paling banyak digunakan

dalam mencari akar-akar dari suatu persamaan. Jika perkiraan dari akar adalah xi, suatu garis singgung dapat dibuat dari titik (xi, f(xi). Titik dimana garis singgung tersebut memotong sumbu x biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar.

x

y

x1x2

Algoritma :Algoritma :• Tentukan nilai x1 sebagai terkaan awal• Buat taksiran untuk x1+n dengan

persamaan :

• Perhitungan dihentikan jika f(x n+1) ≈ 0 atau Є = yang ditentukan

)()(

'1n

nnn xf

xfxx

Contoh :Contoh :01)( 6 xxxf

61122)2( 6 f

016)( 5' xxf

Ditentukan taksiran awal x1 = 2

1911)2(6)2( 5' f

680628,11916122 x

No. x f(x) f'(x)1 2 61 1912 1.680628 19.85294 79.446953 1.430739 6.146795 34.971074 1.254971 1.651657 17.677545 1.161538 0.29431 11.685846 1.136353 0.016826 10.368897 1.134731 6.57E-05 10.28795

Tabel hasil perhitungan:Tabel hasil perhitungan:

6. 6. Metode Iterasi Fixed Metode Iterasi Fixed PointPoint

• Teknik iterasi fixed point dijalankan dengan cara membuat fungsi f(x) menjadi bentuk fungsi implisit f(x)=0 kemudian x=g(x), iterasi yang digunakan adalah dalam bentuk persamaan; xn+1 = g(xn)

Algoritma :Algoritma :• Tentukan nilai taksiran awal xn

• Lakukan perhitungan taksiran akar dengan mempergunakan persamaan;

Xn+1=g(xn)• Perhitungan dihentikan jika;

nn xx 1

Contoh:Contoh:X2 - 3x + 1 = 0

3x = x2 + 1

X = 1/3 (x2 +1)

ε = 0,001

Ditentukan x0 = 2

X= 1/3(22+1) = 1,667

Іx1 – x0І= 1,667 – 2 = 0,333

No. Xn Іxn - x n+1І1 2 -2 1.6667 0.33333 1.2593 0.40744 0.8619 0.39735 0.5810 0.28096 0.4458 0.13517 0.3996 0.04628 0.3866 0.01309 0.3831 0.003410 0.3823 0.0009

Tabel Hasil Perhitungan